Crime and Punishment: An Economic Approach Gary Becker - - PDF document

Crime ¡and ¡Punishment: ¡An ¡Economic ¡Approach ¡ Gary ¡Becker ¡ ¡ Thursday, ¡January ¡26, ¡2012 ¡ Economics ¡206-­‑ ¡Team ¡Lewis ¡ Tevy ¡Chawwa, ¡Igor ¡Hernandez, ¡Nan ¡Li, ¡and ¡Laura ¡Paul ¡ ¡ I. Introduction ¡

• How ¡many ¡resources ¡should ¡be ¡used ¡to ¡enforce ¡the ¡laws? ¡Is ¡there ¡an ¡optimal ¡

level ¡of ¡crime? ¡

• The ¡optimal ¡level ¡of ¡enforcement ¡depends ¡of ¡costs ¡of ¡apprehension, ¡

conviction, ¡punishment ¡and ¡the ¡elasticity ¡of ¡the ¡supply ¡of ¡crime ¡with ¡respect ¡ to ¡changes ¡in ¡enforcement ¡ ¡

• Economics ¡allows ¡us ¡to ¡take ¡these ¡parameters ¡and ¡to ¡minimize ¡

social ¡loss. ¡

• Some ¡people ¡commit ¡crimes ¡when ¡others ¡do ¡not ¡because ¡their ¡costs ¡

and ¡benefits ¡differ. ¡ ¡ II. Basic ¡Analysis ¡ ¡

• The ¡Cost ¡of ¡Crime ¡
• The ¡US ¡Bureau ¡of ¡Justice ¡Statistics ¡reports ¡ ¡
• In ¡2010, ¡a ¡total ¡of ¡7.1 ¡million ¡persons ¡under ¡“supervision ¡of ¡

adult ¡correctional ¡authorities” ¡(in ¡jail ¡or ¡on ¡probation). ¡ ¡

• Between ¡2008 ¡and ¡2009, ¡there ¡were ¡a ¡total ¡of ¡86,975 ¡federal ¡

sentences ¡imposed, ¡only ¡2,747 ¡of ¡which ¡were ¡fines. ¡

• During ¡2007, ¡the ¡cost ¡of ¡the ¡nation's ¡police ¡protection, ¡

corrections, ¡and ¡judicial ¡and ¡legal ¡services ¡was ¡$228 ¡billion, ¡an ¡ increase ¡of ¡171% ¡since ¡1982, ¡after ¡adjusting ¡for ¡inflation. ¡

• In ¡2007, ¡a ¡total ¡of ¡2.5 ¡million ¡persons ¡were ¡employed ¡in ¡the ¡

nation's ¡justice ¡system, ¡an ¡increase ¡of ¡93% ¡from ¡1982, ¡when ¡ 1.3 ¡million ¡persons ¡were ¡employed. ¡

• The ¡Model ¡
• Damages ¡
• Harm, ¡H, ¡is ¡a ¡function ¡of ¡activity ¡level, ¡O. ¡ ¡
• 𝐼! > 0, 𝐼!! > 0 ¡
• The ¡gain ¡to ¡offenders, ¡G, ¡is ¡also ¡a ¡function ¡of ¡O. ¡ ¡
• 𝐻! > 0, 𝐻!! > 0 ¡
• Net ¡damage ¡to ¡society, ¡D, ¡is ¡a ¡function ¡of ¡the ¡two: ¡
• 𝐸 𝑃 = 𝐼 𝑃 − 𝐻 𝑃 ¡(3) ¡
• 𝐸! > 0 ¡ ¡ ¡∀ ¡𝑃 > ¡𝑃! ¡ ¡if ¡ ¡𝐸! 𝑃! > 0 ¡
• The ¡Cost ¡of ¡Apprehension ¡and ¡Conviction ¡
• Police ¡activity, ¡A, ¡is ¡a ¡function ¡of ¡manpower, ¡materials ¡and ¡
• capital. ¡
• Therefore, ¡the ¡cost ¡of ¡law ¡enforcement, ¡𝐷 = 𝐷(𝐵) ¡(6), ¡is ¡a ¡

function ¡of ¡this ¡activity. ¡

¡ 2 ¡

• An ¡empirical ¡measure ¡of ¡law ¡enforcement ¡activity ¡could ¡be ¡the ¡

number ¡of ¡offenses ¡cleared ¡by ¡conviction: ¡𝐵 ≅ 𝑞𝑃 ¡(7) ¡

• Where ¡p ¡is ¡the ¡ratio ¡of ¡offenses ¡convicted ¡to ¡all ¡offenses ¡committed ¡

(probability ¡of ¡conviction). ¡ ¡Substituting ¡(7) ¡into ¡(6) ¡and ¡ differentiating ¡we ¡have ¡

• 𝐷! =

!"(!") !"

= 𝐷!𝑃 > 0 ¡ ¡and ¡ ¡ ¡𝐷! =

!"(!") !"

= 𝐷!𝑞 > 0 ¡(6, ¡8) ¡

• The ¡Supply ¡of ¡Offenses ¡ ¡
• The ¡number ¡of ¡crimes ¡that ¡an ¡individual, ¡j, ¡will ¡commit ¡is ¡a ¡

function ¡of ¡the ¡probability ¡that ¡they ¡will ¡be ¡caught, ¡the ¡ punishment ¡and ¡other ¡influences ¡on ¡criminal ¡activity: ¡

• 𝑃

! = 𝑃 ! 𝑞!, 𝑔 !, 𝑣! , !!! !!! < 0, !!! !!! < 0 ¡ ¡ ¡(12) ¡

• The ¡other ¡influences, ¡uj, ¡could ¡be ¡educational ¡

attainment, ¡income ¡level, ¡or ¡cultural ¡influences. ¡

• An ¡increase ¡in ¡𝑞! ¡compensated ¡by ¡an ¡equal ¡percentage ¡

reduction ¡in ¡𝑔

! ¡would ¡not ¡change ¡the ¡expected ¡income ¡from ¡an ¡

• ffense, ¡but ¡could ¡change ¡the ¡expected ¡utility ¡through ¡risk. ¡
• 𝐹𝑍

! = 𝑞! 𝑍 ! − 𝑔 ! + 1 − 𝑞! 𝑍 ! = 𝑍 ! − 𝑞!𝑔 ! ¡(fn ¡17) ¡

• From ¡the ¡Expected ¡Utility ¡Maximization ¡Problem ¡
• !!"!

!!! = 𝑉 ! 𝑍 ! − 𝑔 ! − 𝑉 ! 𝑍 ! < 0 ¡and ¡ !!"! !!! = −𝑞!𝑉 !′ 𝑍 ! − 𝑔 ! < 0. ¡

• And ¡if ¡𝜁! > 𝜁!, ¡it ¡can ¡be ¡shown ¡that ¡
• !! !!!!! !!! !!

!!

> 𝑉

! ! 𝑍 ! − 𝑔 ! ¡

• Graphically, ¡if ¡the ¡criminal ¡is ¡risk ¡lover, ¡ ¡ ¡

¡

• The ¡stronger ¡effect ¡of ¡p ¡could ¡reflect ¡other ¡forces. ¡ ¡
• Limited ¡government ¡budgets ¡result ¡in ¡“cheaper” ¡
• punishments. ¡
• Monetary ¡punishments ¡might ¡impact ¡rich ¡and ¡poor ¡
• differently. ¡ ¡
• Risk ¡aversion ¡level ¡and ¡time ¡preference ¡will ¡change ¡the ¡

impact ¡of ¡punishments ¡in ¡the ¡future. ¡ ¡

• In ¡the ¡US, ¡it ¡can ¡take ¡years ¡for ¡criminal ¡cases ¡to ¡

Yj#$ fj Yj# Utility

¡ 3 ¡ be ¡processed. ¡This ¡also ¡allows ¡for ¡discounting. ¡

• Conviction ¡lag ¡in ¡other ¡countries ¡could ¡instead ¡

increase ¡in ¡f ¡substantially. ¡

• Extension: ¡entrepreneurs, ¡like ¡criminals, ¡are ¡risk ¡lovers ¡and ¡

generate ¡externalities. ¡

• Call ¡p ¡probability ¡of ¡recognition ¡and ¡f ¡reward. ¡
• Would ¡p ¡have ¡a ¡larger ¡effect ¡on ¡entrepreneurs? ¡
• How ¡would ¡f ¡incentivize ¡entrepreneurs? ¡
• Could ¡we ¡turn ¡criminals ¡into ¡(legal) ¡entrepreneurs ¡with ¡

positive ¡externalities? ¡

• Punishments ¡
• The ¡cost ¡of ¡punishment ¡varies ¡between ¡individual ¡and ¡type ¡of ¡
• punishment. ¡
• Punishments ¡are ¡translated ¡in ¡to ¡a ¡monetary ¡cost ¡by ¡the ¡

coefficient ¡b. ¡ ¡

• For ¡example, ¡fines ¡create ¡little ¡to ¡no ¡cost ¡to ¡society, ¡so ¡

𝑐 = 0. ¡ ¡ ¡

• Whereas ¡imprisonment ¡represents ¡a ¡high ¡cost ¡to ¡

society, ¡so ¡𝑐 > 0. ¡This ¡is ¡because ¡society ¡must ¡pay ¡the ¡ costs ¡of ¡the ¡prison ¡operation. ¡

• Is ¡b ¡and ¡effective ¡way ¡to ¡monetize ¡punishments? ¡By ¡

how ¡much ¡does ¡it ¡vary? ¡Is ¡it ¡correlated ¡with ¡the ¡number ¡

• f ¡offenses? ¡
• Would ¡remorse ¡on ¡the ¡part ¡of ¡the ¡criminal ¡remove ¡the ¡need ¡for ¡

punishment? ¡ ¡ ¡ III. Optimality ¡Conditions ¡

• Societies ¡could ¡reduce ¡the ¡number ¡of ¡crimes ¡to ¡near ¡zero, ¡however, ¡the ¡cost ¡

to ¡society ¡of ¡enforcement ¡would ¡be ¡more ¡than ¡that ¡of ¡allowing ¡some ¡crimes. ¡ ¡

• Social ¡loss ¡is ¡made ¡up ¡of ¡cost ¡to ¡offenders ¡and ¡cost ¡to ¡society ¡and ¡is ¡a ¡function ¡
• f ¡the ¡damages ¡to ¡society, ¡cost ¡of ¡law ¡enforcement, ¡costs ¡of ¡punishment, ¡and ¡

the ¡number ¡of ¡offenses. ¡

• 𝑀 = 𝑀 𝐸, 𝐷, 𝑐𝑔, 𝑃 ¡and ¡𝑀 = 𝐸 𝑃 + 𝐷 𝑞, 𝑃 + 𝑐𝑞𝑔𝑃 ¡(18). ¡
• Where ¡

!" !" > 0, !" !" > 0, !" !"# > 0, ¡and ¡bpfO ¡is ¡the ¡total ¡social ¡loss ¡

from ¡punishments. ¡

• What ¡about ¡other ¡influences ¡on ¡crime ¡and ¡interaction ¡between ¡the ¡

variables? ¡

• Our ¡objective ¡is ¡to ¡minimize ¡social ¡loss, ¡L. ¡Marginal ¡costs ¡should ¡be ¡equal ¡to ¡

the ¡marginal ¡revenue ¡in ¡the ¡optimal ¡condition. ¡

• The ¡marginal ¡cost ¡of ¡changing ¡the ¡number ¡of ¡offenses ¡through ¡a ¡

change ¡of ¡punishment, ¡f: ¡𝐸! + 𝐷! = −𝑐𝑞𝑔(1 −

! !!) ¡ ¡(21). ¡

• The ¡marginal ¡cost ¡of ¡changing ¡the ¡number ¡of ¡offenses ¡through ¡a ¡

change ¡of ¡the ¡probability ¡of ¡being ¡caught, ¡p: ¡

¡ 4 ¡ ¡𝐸! + 𝐷! + 𝐷!

! !! = −𝑐𝑞𝑔(1 − ! !!) ¡(22). ¡

• Where ¡the ¡elasticities ¡of ¡punishment ¡and ¡probability ¡of ¡being ¡caught ¡

are: ¡𝜁! = −

! ! 𝑃! ¡and ¡𝜁! = − ! ! 𝑃! ¡(23). ¡

• The ¡death ¡penalty ¡(highest ¡form ¡of ¡punishment) ¡upholds ¡the ¡

assumption ¡that ¡elasticity ¡of ¡punishment ¡is ¡relatively ¡inelastic ¡ ( 𝜁! < 1). ¡ ¡ ¡

• Only ¡risk ¡preference ¡and ¡marginal ¡utility ¡of ¡crime ¡can ¡determine ¡the ¡

marginal ¡benefit ¡of ¡crime. ¡Policy ¡(determining ¡punishment ¡level ¡and ¡ probability ¡of ¡being ¡caught) ¡is ¡what ¡defines ¡the ¡marginal ¡cost. ¡ ¡

• Extensions ¡
• If ¡offenders ¡were ¡all ¡risk ¡neutral, ¡what ¡would ¡be ¡the ¡socially ¡optimal ¡

p ¡and ¡f? ¡

• What ¡if ¡we ¡turned ¡this ¡into ¡a ¡principal-­‑agent ¡model? ¡
• In ¡the ¡case ¡where ¡f ¡is ¡too ¡high, ¡and ¡a ¡conviction ¡would ¡mean ¡a ¡big ¡

social ¡loss, ¡the ¡judges ¡and ¡juries ¡would ¡not ¡be ¡so ¡inclined ¡to ¡convict ¡

• people. ¡
• We ¡can ¡introduce ¡a ¡measure ¡of ¡price ¡discrimination ¡into ¡social ¡loss: ¡ ¡
• 𝑤 =

! ! = !!! ! ¡(fn ¡30). ¡

• Additional ¡social ¡loss ¡is ¡created ¡when ¡criminals ¡are ¡not ¡caught ¡and ¡

punished ¡as ¡compared ¡to ¡when ¡they ¡are. ¡ ¡ ¡ IV. Shifts ¡in ¡Behavioral ¡Relations ¡ ¡ ¡ Variable ¡ Example ¡ Effects ¡ O* ¡ 1 ¡ Marginal ¡Damages, ¡ 𝐸! =

!" !" ¡increases ¡

Corresponds ¡to ¡ different ¡kinds ¡of ¡

• ffenses ¡
• !"

!" , !" !" ¡increase, ¡

• p* ¡ ¡and ¡f* ¡increase ¡

Decreases ¡ 2 ¡ Marginal ¡cost ¡of ¡ apprehension ¡and ¡ conviction, ¡𝐷! =

!" !" ¡

increases ¡ Increase ¡in ¡benefits ¡to ¡ police ¡or ¡judges ¡

• !"

!" , !" !" ¡increases ¡

• p* ¡ ¡and ¡f* ¡increase ¡

Decreases ¡ 3 ¡ Marginal ¡cost ¡of ¡ changing ¡the ¡ probability ¡that ¡an ¡

• ffense ¡is ¡convicted, ¡

𝐷! =

!" !" ¡increases ¡

Quantity ¡of ¡patrolling ¡ police ¡officers ¡ increases ¡ ¡

• No ¡direct ¡effect ¡to ¡

𝑁𝑆! ¡

• Reduces ¡𝑁𝑆! ¡
• Reduces ¡p* ¡and ¡
• nly ¡partially ¡

compensates ¡with ¡ increase ¡in ¡f ¡ Increases ¡ 4 ¡ Marginal ¡costs ¡of ¡ changing ¡the ¡ probability ¡and ¡ conviction ¡C’ ¡and ¡𝐷! ¡ increase ¡ Increase ¡the ¡wages ¡of ¡ police ¡officers ¡

• f* ¡increase ¡ ¡
• Can ¡increase ¡or ¡

decrease ¡p* ¡ Could ¡ increase ¡or ¡ decrease ¡

¡ 5 ¡ 5 ¡ Marginal ¡costs ¡of ¡ changing ¡the ¡ probability ¡and ¡ conviction ¡C’ ¡and ¡𝐷! ¡ decrease ¡ Improved ¡police ¡ technology ¡

• f* ¡ ¡decrease ¡
• Can ¡increase ¡or ¡

decrease ¡p* ¡ Could ¡ increase ¡or ¡ decrease ¡ 6 ¡ If ¡𝑐 > 0, ¡

!" !" ¡decreases ¡

If ¡the ¡elasticity ¡of ¡f ¡is ¡ low, ¡people ¡commit ¡ crimes ¡no ¡matter ¡the ¡ punishment ¡(like ¡ teenagers) ¡

• f* ¡ ¡decrease ¡
• p* ¡increase ¡
• 𝑁𝑆! ¡Increases ¡

Increases ¡ 7 ¡ If ¡𝑐 > 0, ¡

!" !" ¡decreases ¡

If ¡the ¡elasticity ¡of ¡p ¡is ¡ low, ¡people ¡commit ¡ crimes ¡no ¡matter ¡the ¡ probability ¡

• f* ¡increase ¡ ¡
• p* ¡decrease ¡
• 𝑁𝑆!Increases ¡

Increases ¡ 8 ¡ If ¡𝑐 = 0, ¡

!" !" ¡has ¡no ¡

effect ¡ ¡

• No ¡effect ¡

No ¡effect ¡ 9 ¡ If ¡b ¡increases ¡ The ¡cost ¡of ¡the ¡ punishment ¡to ¡society ¡ increases ¡

• f* ¡ ¡decrease ¡
• p* ¡increase ¡
• 𝑁𝑆!and ¡𝑁𝑆! ¡

increase ¡ Increases ¡ ¡ V. Fines ¡

• Optimality ¡Conditions ¡
• Assumption: ¡b=0, ¡p=1, ¡C’=0, ¡D’ ¡can ¡be ¡0 ¡or ¡negative ¡
• Optimal ¡level ¡of ¡fines ¡is ¡equal ¡to ¡full ¡compensation ¡for ¡the ¡damage. ¡
• 𝑀 = 𝐸! 𝑃 = 0 ¡(24) ¡
• 𝑊 = 𝐻! 𝑃 = 𝐼! 𝑃 ¡(25, ¡26) ¡
• 𝑔 = 𝑊 = 𝐼! 𝑃 ¡ ¡(27) ¡
• This ¡means ¡fine ¡should ¡be ¡set ¡at ¡the ¡level ¡that ¡just ¡compensate ¡the ¡

harm ¡of ¡the ¡offense ¡to ¡the ¡society ¡ ¡

• If ¡𝐷! > 0, ¡then ¡𝐸! 𝑃 + 𝐷! 𝑃, 1 = 0 ¡(28) ¡ ¡
• ¡𝑔 = 𝐼! 𝑃 + ¡𝐷! 𝑃, 1 ¡(29) ¡
• In ¡this ¡case, ¡fine ¡should ¡be ¡set ¡to ¡compensate ¡both ¡the ¡harm ¡of ¡
• ffense ¡and ¡the ¡cost ¡of ¡catching ¡and ¡convicting ¡offender. ¡ ¡
• Every ¡offense ¡can ¡fully ¡be ¡compensated ¡by ¡a ¡fine, ¡𝑐 = 0. ¡ ¡
• You ¡have ¡to ¡assume ¡that ¡𝐸’ ¡ = 𝐼’ − 𝐻’ < 0. ¡In ¡other ¡words, ¡the ¡

private ¡gain ¡can ¡be ¡higher ¡than ¡the ¡compensation ¡to ¡society. ¡ ¡

• Under ¡those ¡two ¡conditions, ¡you ¡can ¡create ¡a ¡fine ¡that ¡

compensates ¡for ¡the ¡damage. ¡ ¡

• The ¡Case ¡for ¡Fines ¡
• Arguments ¡for ¡fines ¡
• Fines ¡do ¡not ¡use ¡up ¡social ¡resources. ¡

¡ 6 ¡

• Easy ¡to ¡use ¡in ¡setting ¡optimal ¡level ¡of ¡punishment ¡and ¡does ¡

not ¡require ¡an ¡understanding ¡of ¡the ¡elasticity ¡of ¡supply. ¡ ¡

• Comply ¡with ¡the ¡status ¡quo ¡principle—they ¡redistribute ¡

wealth ¡to ¡put ¡the ¡harmed ¡back ¡to ¡how ¡things ¡were ¡before ¡the ¡

• crime. ¡Fines ¡do ¡not ¡easily ¡cause ¡anger ¡or ¡fear. ¡
• Arguments ¡against ¡fines ¡
• Moral ¡issue: ¡offenses ¡can ¡be ¡bought ¡at ¡a ¡price. ¡However, ¡

imprisonment ¡can ¡also ¡be ¡measured ¡in ¡monetary ¡terms. ¡

• When ¡𝑐 > 1, ¡the ¡richer ¡the ¡offender, ¡the ¡larger ¡his ¡elasticity ¡

with ¡respect ¡to ¡fines. ¡

• When ¡𝑐 = 0, ¡the ¡poorer ¡the ¡offender, ¡the ¡larger ¡his ¡elasticity ¡

with ¡respect ¡to ¡fines. ¡

• Certain ¡crimes ¡are ¡so ¡bad ¡that ¡no ¡amount ¡of ¡money ¡can ¡compensate. ¡ ¡
• Those ¡convicted ¡are ¡thus ¡debtors ¡to ¡the ¡society. ¡
• The ¡optimal ¡prison ¡terms ¡are ¡actually ¡in ¡favor ¡of ¡offenders ¡

because ¡the ¡punishment ¡will ¡never ¡be ¡equal ¡to ¡the ¡cost ¡

• inflicted. ¡
• Compare ¡social ¡cost ¡to ¡the ¡cost ¡for ¡the ¡offender. ¡Do ¡fines ¡

compensate ¡social ¡costs ¡of ¡crime? ¡

• Imprisonment ¡increases ¡social ¡cost. ¡

¡ VI. Some ¡Applications ¡ ¡

• Use ¡a ¡profit ¡function ¡to ¡show ¡the ¡increase ¡in ¡income ¡from ¡optimal ¡benefits: ¡
• Π = 𝐵 𝐶 − 𝐿 𝐶, 𝑞! − 𝑐!𝑞!𝑏𝐶 ¡

(33) ¡

• At ¡the ¡margin, ¡benefactors ¡are ¡risk ¡avoiders, ¡if ¡the ¡following ¡

holds: ¡ ¡

• !"#

!!! !! ! > !"# !" ! ! ¡(fn ¡61) ¡

• where ¡𝐹𝑉 = 𝑞!𝑉 𝑍 + 𝑏 + 1 − 𝑞! 𝑉 𝑍 ¡
• by ¡differentiating, ¡

! !!! !!(!) !

> 𝑉′(𝑍 + 𝑏). ¡

• The ¡Effectiveness ¡of ¡Public ¡Policy ¡
• 𝐹 =

! !! ![! ! !! !,! !!!!! ! !! !! !!

¡(fn ¡65) ¡

• where ¡𝑞, 𝑔, and ¡𝑃 ¡denote ¡optimized ¡values. ¡𝑃! ¡is ¡the ¡number ¡of ¡
• ffenses ¡that ¡would ¡occur ¡if ¡𝑞 = 𝑔 = 0, ¡and ¡𝑃! ¡is ¡the ¡value ¡of ¡ ¡O ¡

that ¡minimizes ¡D. ¡

• A ¡Theory ¡of ¡Collusion ¡
• Collusion ¡is ¡a ¡good ¡fit ¡for ¡industries ¡where ¡supply ¡elasticity ¡is ¡high ¡

and ¡demand ¡elasticity ¡is ¡low. ¡

• Regarding ¡punishment, ¡the ¡most ¡desirable ¡form ¡is ¡fine ¡(no ¡collective ¡

loss). ¡ ¡ ¡ VII. Criticism ¡

• On ¡the ¡Criminals’ ¡risk ¡attitudes ¡

¡ 7 ¡

• Becker ¡argues ¡that ¡because ¡𝜁! > 𝜁!, ¡then ¡the ¡criminals ¡should ¡be ¡

risk ¡lovers ¡(fn ¡19) ¡ ¡

• However, ¡Brown ¡and ¡Reynolds ¡(1973) ¡observe ¡that ¡this ¡result ¡only ¡

holds ¡because ¡of ¡the ¡definition ¡of ¡loss ¡used, ¡which ¡is ¡the ¡difference ¡ between ¡what ¡happened ¡(being ¡caught) ¡and ¡what ¡might ¡have ¡ happened ¡

• A ¡more ¡common ¡approach ¡is ¡if ¡the ¡criminal ¡is ¡successful ¡with ¡

the ¡offense, ¡he ¡wins ¡G, ¡and ¡if ¡he ¡is ¡caught, ¡he ¡loses ¡L, ¡and ¡ therefore ¡the ¡expected ¡utility ¡can ¡be ¡written ¡as ¡

• 𝐹𝑉 = 𝑞𝑉(𝑋 − 𝑀) + (1 − 𝑞)𝑉(𝑋 + 𝐻), ¡where ¡𝑋 ¡is ¡the ¡

initial ¡wealth ¡and ¡𝑉(∙) ¡is ¡a ¡von ¡Neumann-­‑Morgernstern ¡ utility ¡function. ¡

• Taking ¡derivatives ¡with ¡respect ¡to ¡𝑞, 𝑀 ¡and ¡𝐻, ¡they ¡show ¡ ¡
• !"#

!" = 𝑉 𝑋 − 𝑀 − 𝑉(𝑋 + 𝐻), ¡

• !"#

!" = −𝑞𝑉′ 𝑋 − 𝑀 < 0 ¡ ¡

• !"#

!" = (1 − 𝑞)𝑉′ 𝑋 + 𝐻 < 0 ¡ ¡

• Then ¡𝜁! = −

!"# !" ! !" = − 𝑉 𝑋 − 𝑀 − 𝑉 𝑋 + 𝐻 ! !" ¡and ¡

𝜁! = −

!"# !" ! !" = 𝑞𝑉! 𝑋 − 𝑀 ! !" ¡. ¡

• Whether ¡ ¡𝜁! ⋛ 𝜁! ¡depends ¡on ¡

¡

! !!! !! !!! !

⋛ 𝑉′ 𝑋 − 𝑀 ¡or ¡ ¡

! !!! !! ! ![! ! !! !!! ] !

⋛ 𝑉′ 𝑋 − 𝑀 . ¡ ¡

• If ¡𝑉’’ > 0 ¡(risk ¡lovers), ¡we ¡know ¡that ¡

[! ! !! !!! ] !

> 𝑉′ 𝑋 − 𝑀 ¡and ¡ therefore ¡𝜁! > 𝜁!. ¡ ¡

• We ¡want ¡to ¡show ¡that ¡if ¡𝑉’’ < 0, ¡𝜁! > 𝜁! ¡can ¡also ¡hold. ¡ ¡

¡

• In ¡the ¡graph, ¡𝑉′ 𝑋 − 𝑀 ¡can ¡be ¡measured ¡as ¡

!!! !

¡and ¡

[! ! !! !!! ] !

¡ can ¡be ¡measured ¡as

!!! !

, ¡and ¡

! !!! !! ! !

¡can ¡be ¡measured ¡as ¡

!!! !

¡ (assuming ¡𝐻 = 𝑀) ¡. ¡ ¡

¡ 8 ¡

• Whether ¡ ¡𝜁! ⋛ 𝜁! ¡depends ¡on ¡

!!! !

+

!!! !

⋛

!!! !

¡or ¡ ¡ 𝐸 − 𝐹 + 𝐶 − 𝐷 ⋛ (𝐵 − 𝐷). ¡ ¡

• We ¡know ¡that ¡𝐵 − 𝐷 > ¡𝐶 − 𝐷, ¡but ¡if ¡(𝐸 − 𝐹) ¡is ¡large ¡enough, ¡

that ¡is, ¡if ¡[𝑉(𝑋 + 𝐻) ¡– ¡𝑉(𝑋)] ¡is ¡large ¡enough, ¡then ¡𝜁! > 𝜁! ¡ even ¡for ¡risk ¡avoiders. ¡

• Using ¡this ¡new ¡definition ¡of ¡loss ¡means ¡that ¡if ¡authorities ¡make ¡off-­‑

setting ¡changes ¡in ¡p ¡and ¡L ¡rather ¡than ¡p ¡and ¡f, ¡the ¡expected ¡income ¡ would ¡change ¡

• For ¡criminals ¡that ¡are ¡risk ¡avoiders ¡(something ¡theoretically ¡

possible), ¡the ¡scenario ¡in ¡which ¡p ¡decreases ¡and ¡L ¡increases ¡ could, ¡in ¡some ¡cases, ¡increase ¡the ¡number ¡of ¡offenses. ¡ ¡

• Graphically, ¡if ¡p ¡reduces ¡and ¡L ¡moves ¡to ¡L’, ¡we ¡could ¡end ¡up ¡moving ¡

from ¡A* ¡to ¡B**, ¡which, ¡for ¡a ¡criminal ¡that ¡is ¡risk ¡averse ¡(as ¡shown ¡ previously, ¡this ¡case ¡cannot ¡be ¡ruled ¡out), ¡and ¡the ¡number ¡of ¡

• ffenses ¡could ¡increase. ¡

¡ ¡ VIII. Conclusion ¡

• This ¡paper ¡shows ¡that ¡crime ¡can ¡be ¡seen ¡as ¡a ¡problem ¡of ¡allocation ¡of ¡

resources, ¡where ¡criminals ¡are ¡trying ¡to ¡maximize ¡their ¡utility, ¡and ¡ authorities ¡are ¡trying ¡to ¡minimize ¡the ¡social ¡losses ¡of ¡crime. ¡ ¡ ¡

• Benefits ¡from ¡an ¡offense ¡come ¡from ¡the ¡preferences ¡of ¡criminals. ¡However, ¡

the ¡number ¡of ¡offenses ¡is ¡determined ¡once ¡authorities ¡choose ¡the ¡optimal ¡ values ¡of ¡conviction ¡and ¡punishment. ¡ ¡

• If ¡criminals ¡are ¡considered ¡to ¡be ¡risk ¡lovers, ¡then ¡the ¡effect ¡of ¡changes ¡in ¡the ¡

probability ¡of ¡conviction ¡could ¡be ¡higher ¡than ¡the ¡effect ¡of ¡changes ¡in ¡the ¡ level ¡of ¡punishment. ¡On ¡the ¡other ¡hand, ¡increasing ¡the ¡probability ¡of ¡ conviction ¡is ¡associated ¡with ¡higher ¡levels ¡of ¡enforcement ¡(and ¡higher ¡costs ¡

• f ¡activity). ¡ ¡
• Fines ¡are ¡more ¡suitable ¡than ¡other ¡punishments ¡because ¡they ¡create ¡a ¡higher ¡

reduction ¡in ¡social ¡loss, ¡however, ¡there ¡are ¡some ¡other ¡considerations ¡that ¡ allow ¡the ¡use ¡of ¡other ¡punishments. ¡ ¡

¡ 9 ¡

• This ¡model ¡can ¡be ¡applied ¡to ¡interpret ¡other ¡types ¡of ¡problems ¡such ¡as ¡
• ptimal ¡benefit, ¡effectiveness ¡of ¡public ¡policy ¡and ¡theory ¡of ¡collusion. ¡
• There ¡are ¡some ¡other ¡considerations ¡that ¡the ¡model ¡does ¡not ¡address, ¡such ¡

as ¡the ¡effect ¡of ¡enforcement ¡error ¡and ¡the ¡implications ¡of ¡elasticity ¡in ¡the ¡risk ¡ preferences ¡among ¡criminals. ¡A ¡dynamic ¡model ¡of ¡crime ¡could ¡be ¡also ¡an ¡ important ¡extension ¡of ¡this ¡paper. ¡ ¡ IX. References ¡

• Becker, ¡Gary, ¡1968, ¡“Crime ¡and ¡punishment: ¡an ¡economic ¡approach.” ¡Journal ¡
• f ¡Political ¡Economy ¡76: ¡169-­‑217. ¡
• Brown, ¡W. ¡and ¡Reynolds, ¡M. ¡1973, ¡“Notes, ¡Comments, ¡and ¡Letters ¡to ¡the ¡

Editor, ¡Crime ¡and ¡“Punishment”: ¡Risk ¡Implications.” ¡Journal ¡of ¡Economic ¡ Theory ¡6, ¡508-­‑514. ¡

• Cassidy, ¡T., ¡Koumpias, ¡A., ¡Liang, ¡X. ¡and ¡Zhou, ¡Y. ¡2011, ¡“Notes ¡for ¡Gary ¡

Becker’s ¡“Crime ¡and ¡Punishment: ¡An ¡Economic ¡Approach.” ¡ ¡ X. Variables ¡ Variable ¡ Description ¡ 𝐼! ¡ Harm ¡(to ¡society) ¡from ¡the ¡ith ¡criminal ¡activity ¡ 𝑃! ¡ Criminal ¡activity ¡level ¡(number ¡of ¡offenses) ¡ 𝐻 ¡ Gain ¡to ¡offenders ¡(criminals) ¡ 𝐵 ¡ Law ¡enforcement ¡activity, ¡𝐵 = 𝐵 𝑛, 𝑠, 𝑑 ¡a ¡function ¡of ¡manpower, ¡materials ¡ and ¡capital. ¡ ¡ 𝐷 ¡ Cost ¡of ¡police ¡and ¡court ¡activity ¡ 𝑄 ¡ Probability ¡that ¡an ¡offense ¡(crime) ¡is ¡cleared ¡by ¡conviction ¡ ℎ 𝑞, 𝑃, 𝑏 ¡ A ¡function ¡of ¡activity, ¡A, ¡where, ¡𝑗𝑔 ¡ℎ!, ℎ!, 𝑏𝑜𝑒 ¡ℎ! > 0 ¡𝑢ℎ𝑓𝑜 ¡𝐷!, 𝐷!, 𝑏𝑜𝑒 ¡𝐷! > 0 ¡ 𝑃

! ¡

The ¡number ¡of ¡offenses ¡that ¡one ¡would ¡commit ¡during ¡a ¡particular ¡period ¡ 𝑞! ¡ The ¡probability ¡of ¡conviction ¡per ¡offense ¡ 𝑔

! ¡

The ¡punishment ¡per ¡offense ¡(e.g. ¡fines, ¡torture, ¡death) ¡ 𝑣! ¡ All ¡other ¡influences ¡on ¡criminal ¡activity ¡(e.g. ¡education ¡level, ¡additional ¡income ¡ for ¡law-­‑abidingness) ¡ 𝑍

! ¡

Income ¡(monetary ¡and ¡psychic) ¡from ¡committing ¡an ¡offense ¡ 𝑔! ¡ Social ¡cost ¡of ¡crime ¡ 𝑐 ¡ Transforms ¡punishment ¡into ¡monetary ¡cost ¡(to ¡society). ¡For ¡example, ¡ 𝑐 ≅ 0 ¡for ¡fines ¡and ¡𝑐 > 1 ¡for ¡torture ¡ 𝑃 ¡ The ¡optimal ¡number ¡of ¡offenses ¡ 𝐻 𝑃 ¡ The ¡marginal ¡private ¡gain ¡of ¡crime ¡ 𝑊 ¡ Monetary ¡value ¡of ¡marginal ¡penalties ¡ 𝜈 ¡ The ¡expected ¡punishment, ¡𝜈 = 𝑞𝑔 ¡ 𝜏 ¡ The ¡variance, ¡𝜏! = 𝑞(1 − 𝑞)𝑔! ¡ 𝑤 ¡ The ¡coefficient ¡of ¡variance ¡(price ¡discrimination ¡of ¡punishment) ¡ ¡