Construc*ng Tree Decomposi*ons Using Itera*ve Compression - PowerPoint PPT Presentation

¡Construc*ng ¡Tree ¡Decomposi*ons ¡ Using ¡Itera*ve ¡Compression ¡ ¡ ¡ Jiao ¡Tong ¡University ¡ ¡ Shanghai, ¡China ¡ ¡ June ¡21, ¡2013 ¡ ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡ To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡ • Create ¡a ¡sequence ¡of ¡graphs: ¡G 0 =G,G 1,…, G l ¡ • such ¡that ¡the ¡poblem ¡is ¡easy ¡to ¡solve ¡on ¡G l , ¡& ¡ • We ¡can ¡solve ¡the ¡problem ¡on ¡G i ¡ efficiently ¡ given ¡our ¡solu*on ¡on ¡G i+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡ To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡ • Create ¡ ¡G 0 =G,G 1,…, G l ¡ • Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡G l , ¡& ¡ • Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i ¡ using ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡ To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡ • Create ¡ ¡G 0 =G,G 1,…, G l ¡ • Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡G l , ¡& ¡ • Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i ¡ using ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡ To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡ • Create ¡ ¡G 0 =G,G 1,…, G l ¡ • Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡G l , ¡& ¡ • Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i ¡ using ¡a ¡solu*on ¡on ¡G i+1 ¡ ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡ bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡H t ¡ is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K 5 ¡ minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡ each ¡H t ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡K l ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡K l ¡ minor-­‑ free ¡graphs. ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡ bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡H t ¡ is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K 5 ¡ minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡ each ¡H t ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡K l ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡K l ¡ minor-­‑ free ¡graphs. ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡ bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡H t ¡ is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K 5 ¡ minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡ • Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡ each ¡H t ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡K l ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡K l ¡ minor-­‑ free ¡graphs. ¡

A ¡2-­‑Step ¡Approach ¡ For ¡each ¡decomposi*on, ¡ ¡we ¡ ¡ • describe ¡how ¡to ¡construct ¡the ¡sequence ¡of ¡ graphs, ¡then ¡ ¡ • discuss ¡how ¡to ¡ ¡backtrack ¡through ¡the ¡ sequence ¡to ¡find ¡a ¡decomposi*on ¡if ¡it ¡exists ¡ ¡

A ¡2-­‑Step ¡Approach ¡ For ¡each ¡decomposi*on, ¡ ¡we ¡ ¡ • describe ¡how ¡to ¡construct ¡the ¡sequence ¡of ¡ graphs, ¡then ¡ ¡ • discuss ¡how ¡to ¡ ¡backtrack ¡through ¡the ¡ sequence ¡to ¡find ¡a ¡decomposi*on ¡or ¡the ¡ excluded ¡structure. ¡ ¡

Focusing ¡on ¡Consecu*ve ¡Sequence ¡ Elements ¡ • We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡G i+1 ¡ ¡from ¡G i ¡ and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡G i ¡ from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡G i+1 . ¡ ¡ • These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(G i )|+|V(G i )|) ¡ *me. ¡ • We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡ε>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ |E(G i+1 )|+|V(G i+1 )|<(1-­‑ε) ¡(|E(G i )|+|V(G i )|). ¡ ¡ • Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡ *me. ¡ ¡ ¡

Focussing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡ • We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡G i+1 ¡ ¡from ¡G i ¡ and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡G i ¡ from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡G i+1 . ¡ ¡ • These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(G i )|+|V(G i )|) ¡ *me. ¡ • We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡ε>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ |E(G i+1 )|+|V(G i+1 )|<(1-­‑ε) ¡(|E(G i )|+|V(G i )|). ¡ ¡ • Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡ *me. ¡ ¡ ¡

Focussing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡ • We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡G i+1 ¡ ¡from ¡G i ¡ and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡G i ¡ from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡G i+1 . ¡ ¡ • These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(G i )|+|V(G i )|) ¡ *me. ¡ • We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡δ>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ |E(G i+1 )|+|V(G i+1 )|<(1-­‑δ) ¡(|E(G i )|+|V(G i )|). ¡ ¡ • Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡ *me. ¡ ¡ ¡

Focusing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡ • We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡G i+1 ¡ ¡from ¡G i ¡ and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡G i ¡ from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡G i+1 . ¡ ¡ • These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(G i )|+|V(G i )|) ¡ *me. ¡ • We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡δ>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ |E(G i+1 )|+|V(G i+1 )|<(1-­‑δ) ¡(|E(G i )|+|V(G i )|). ¡ ¡ • Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡ *me. ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡I ¡ ¡ A ¡Key ¡Lemma: ¡For ¡every ¡w ¡there ¡is ¡a ¡d ¡and ¡a ¡δ>0 ¡ ¡ such ¡that ¡for ¡any ¡graph ¡H, ¡in ¡linear ¡*me ¡ ¡we ¡can ¡ either ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡in ¡H, ¡or ¡find ¡one ¡ of: ¡ (i) A ¡matching ¡M ¡of ¡H ¡with ¡|M|>δ(|V(H)|+|E(H)|) ¡ such ¡that ¡every ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡ or ¡ (ii) ¡A ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡H ¡with ¡|S|> ¡δ(|V(H)|+|E(H)|) ¡ such ¡that ¡ ¡for ¡all ¡v ¡in ¡S, ¡|N(v)|<d ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡II ¡ ¡ We ¡construct ¡G i+1 ¡ from ¡G i ¡by ¡either ¡ ¡ (i) Contrac*ng ¡the ¡edges ¡of ¡a ¡ ¡matching ¡M ¡of ¡G i ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡|M|>δ(|V(G i )|+|E(G i )|) ¡such ¡that ¡every ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (i) Dele*ng ¡ ¡the ¡ver*ces ¡of ¡a ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡ ¡G i ¡with ¡|S|> ¡ δ(|V(G i )|+|E(G i )|) ¡ ¡such ¡that ¡ ¡for ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|N(v)|<d ¡and ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡ We ¡con*nue ¡un*l ¡either ¡ ¡we ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡ in ¡G i ¡or ¡construct ¡G i+1 ¡with ¡fewer ¡than ¡1/δ ¡ver*ces. ¡