Construc*ng Tree Decomposi*ons Using Itera*ve Compression - - PowerPoint PPT Presentation

¡Construc*ng ¡Tree ¡Decomposi*ons ¡ Using ¡Itera*ve ¡Compression ¡ ¡ ¡

Jiao ¡Tong ¡University ¡ ¡ Shanghai, ¡China ¡ ¡ June ¡21, ¡2013 ¡ ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡

To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡

• Create ¡a ¡sequence ¡of ¡graphs: ¡G0=G,G1,…,Gl ¡
• such ¡that ¡the ¡poblem ¡is ¡easy ¡to ¡solve ¡on ¡Gl, ¡& ¡
• We ¡can ¡solve ¡the ¡problem ¡on ¡Gi ¡efficiently ¡

given ¡our ¡solu*on ¡on ¡Gi+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡

To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡

• Create ¡ ¡G0=G,G1,…,Gl ¡
• Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡Gl, ¡& ¡
• Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi ¡using ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡

To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡

• Create ¡ ¡G0=G,G1,…,Gl ¡
• Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡Gl, ¡& ¡
• Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi ¡using ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi+1 ¡ ¡

Itera*ve ¡Compression ¡

To ¡solve ¡an ¡op*miza*on ¡problem ¡on ¡G, ¡we: ¡ ¡

• Create ¡ ¡G0=G,G1,…,Gl ¡
• Solve ¡the ¡ ¡problem ¡ ¡on ¡Gl, ¡& ¡
• Obtain ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi ¡using ¡a ¡solu*on ¡on ¡Gi+1 ¡ ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡

bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡Ht ¡

is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K5 ¡minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡

each ¡Ht ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡Kl ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡Kl ¡minor-­‑ free ¡graphs. ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡

bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡Ht ¡

is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K5 ¡minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡

each ¡Ht ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡Kl ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡Kl ¡minor-­‑ free ¡graphs. ¡

Some ¡Well-­‑Behaved ¡Tree ¡ Decomposi*ons ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡width ¡w ¡for ¡graphs ¡with ¡no ¡

bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡adhesion ¡3 ¡where ¡each ¡Ht ¡

is ¡planar ¡or ¡L, ¡for ¡ ¡K5 ¡minor-­‑free ¡ ¡graphs. ¡

• Decomposi*ons ¡of ¡bounded ¡adhesion ¡where ¡

each ¡Ht ¡is ¡nearly ¡embeddable ¡in ¡a ¡surface ¡in ¡ which ¡Kl ¡cannot ¡be ¡embedded ¡for ¡Kl ¡minor-­‑ free ¡graphs. ¡

A ¡2-­‑Step ¡Approach ¡

For ¡each ¡decomposi*on, ¡ ¡we ¡ ¡

• describe ¡how ¡to ¡construct ¡the ¡sequence ¡of ¡

graphs, ¡then ¡ ¡

• discuss ¡how ¡to ¡ ¡backtrack ¡through ¡the ¡

sequence ¡to ¡find ¡a ¡decomposi*on ¡if ¡it ¡exists ¡ ¡

A ¡2-­‑Step ¡Approach ¡

For ¡each ¡decomposi*on, ¡ ¡we ¡ ¡

• describe ¡how ¡to ¡construct ¡the ¡sequence ¡of ¡

graphs, ¡then ¡ ¡

• discuss ¡how ¡to ¡ ¡backtrack ¡through ¡the ¡

sequence ¡to ¡find ¡a ¡decomposi*on ¡or ¡the ¡ excluded ¡structure. ¡ ¡

Focusing ¡on ¡Consecu*ve ¡Sequence ¡ Elements ¡

• We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡Gi+1 ¡ ¡from ¡Gi ¡

and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡Gi ¡from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡Gi+1. ¡ ¡

• These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(Gi)|+|V(Gi)|) ¡

*me. ¡

• We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡ε>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

|E(Gi+1)|+|V(Gi+1)|<(1-­‑ε) ¡(|E(Gi)|+|V(Gi)|). ¡ ¡

• Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡

*me. ¡ ¡ ¡

Focussing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡

• We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡Gi+1 ¡ ¡from ¡Gi ¡

and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡Gi ¡from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡Gi+1. ¡ ¡

• These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(Gi)|+|V(Gi)|) ¡

*me. ¡

• We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡ε>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

|E(Gi+1)|+|V(Gi+1)|<(1-­‑ε) ¡(|E(Gi)|+|V(Gi)|). ¡ ¡

• Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡

*me. ¡ ¡ ¡

Focussing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡

• We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡Gi+1 ¡ ¡from ¡Gi ¡

and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡Gi ¡from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡Gi+1. ¡ ¡

• These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(Gi)|+|V(Gi)|) ¡

*me. ¡

• We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡δ>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

|E(Gi+1)|+|V(Gi+1)|<(1-­‑δ) ¡(|E(Gi)|+|V(Gi)|). ¡ ¡

• Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡

*me. ¡ ¡ ¡

Focusing ¡on ¡consecu*ve ¡sequence ¡ elements ¡

• We ¡discuss ¡algorithms ¡to ¡create ¡Gi+1 ¡ ¡from ¡Gi ¡

and ¡to ¡obtain ¡the ¡solu*on ¡for ¡Gi ¡from ¡the ¡ solu*on ¡for ¡Gi+1. ¡ ¡

• These ¡ ¡algorithms ¡run ¡ ¡in ¡O(|E(Gi)|+|V(Gi)|) ¡

*me. ¡

• We ¡ensure ¡that ¡for ¡some ¡δ>0 ¡we ¡have: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

|E(Gi+1)|+|V(Gi+1)|<(1-­‑δ) ¡(|E(Gi)|+|V(Gi)|). ¡ ¡

• Thus ¡the ¡algorithm ¡runs ¡in ¡O(|E(G)|+|V(G)|) ¡

*me. ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡I ¡

¡ A ¡Key ¡Lemma: ¡For ¡every ¡w ¡there ¡is ¡a ¡d ¡and ¡a ¡δ>0 ¡ ¡ such ¡that ¡for ¡any ¡graph ¡H, ¡in ¡linear ¡*me ¡ ¡we ¡can ¡ either ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡in ¡H, ¡or ¡find ¡one ¡

• f: ¡

(i) A ¡matching ¡M ¡of ¡H ¡with ¡|M|>δ(|V(H)|+|E(H)|) ¡ such ¡that ¡every ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡

• r ¡

(ii) ¡A ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡H ¡with ¡|S|> ¡δ(|V(H)|+|E(H)|) ¡ such ¡that ¡ ¡for ¡all ¡v ¡in ¡S, ¡|N(v)|<d ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡II ¡

¡ We ¡construct ¡Gi+1 ¡from ¡Gi ¡by ¡either ¡ ¡ (i) Contrac*ng ¡the ¡edges ¡of ¡a ¡ ¡matching ¡M ¡of ¡Gi ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡|M|>δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡every ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (i) Dele*ng ¡ ¡the ¡ver*ces ¡of ¡a ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡ ¡Gi ¡with ¡|S|> ¡ δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡ ¡such ¡that ¡ ¡for ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|N(v)|<d ¡and ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡ We ¡con*nue ¡un*l ¡either ¡ ¡we ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡ in ¡Gi ¡or ¡construct ¡Gi+1 ¡with ¡fewer ¡than ¡1/δ ¡ver*ces. ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡II ¡

¡ We ¡construct ¡Gi+1 ¡from ¡Gi ¡by ¡either ¡ ¡ (i) Contrac*ng ¡the ¡edges ¡of ¡a ¡ ¡matching ¡M ¡of ¡Gi ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡|M|>δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡every ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (i) Dele*ng ¡ ¡the ¡ver*ces ¡of ¡a ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡ ¡Gi ¡with ¡|S|> ¡ δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡ ¡such ¡that ¡ ¡for ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|N(v)|<d ¡and ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡ We ¡con*nue ¡un*l ¡either ¡ ¡we ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡ in ¡Gi ¡or ¡construct ¡Gi+1 ¡with ¡fewer ¡than ¡1/δ ¡ver*ces. ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡I ¡

¡ We ¡can ¡ ¡find ¡either ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡in ¡Gl ¡

• r ¡a ¡tree ¡decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡it ¡ ¡in ¡

constant ¡*me ¡since ¡if ¡we ¡do ¡not ¡already ¡have ¡ such ¡a ¡bramble, ¡ ¡Gl ¡has ¡bounded ¡size. ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡II ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡contains ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡we ¡can ¡ find ¡one ¡in ¡ ¡Gi ¡and ¡we ¡are ¡done. ¡So ¡we ¡can ¡ assume ¡that ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡ decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1. ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡II ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡contains ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡we ¡can ¡ find ¡one ¡in ¡ ¡Gi ¡and ¡we ¡are ¡done. ¡So ¡we ¡can ¡ assume ¡that ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡ decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1. ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡III ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡obtained ¡from ¡ ¡Gi ¡by ¡contrac*ng ¡the ¡edges ¡

• f ¡a ¡matching ¡M ¡ ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡

decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1 ¡then: ¡ We ¡can ¡easily ¡obtain ¡a ¡tree ¡decomposi*on ¡of ¡width ¡ 2w+1 ¡for ¡Gi. ¡ Applying ¡dynamic ¡programming ¡to ¡this ¡tree ¡ decomposi*on ¡we ¡can ¡in ¡linear ¡*ne ¡either ¡(i)obtain ¡ a ¡tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡of ¡width ¡at ¡most ¡w, ¡or ¡ (ii) ¡determine ¡that ¡Gi ¡has ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡III ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡obtained ¡from ¡ ¡Gi ¡by ¡contrac*ng ¡the ¡edges ¡

• f ¡a ¡matching ¡M ¡ ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡

decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1 ¡then: ¡ We ¡can ¡easily ¡obtain ¡a ¡tree ¡decomposi*on ¡of ¡width ¡ 2w+1 ¡for ¡Gi. ¡ Applying ¡dynamic ¡programming ¡to ¡this ¡tree ¡ decomposi*on ¡we ¡can ¡in ¡linear ¡*ne ¡either ¡(i)obtain ¡ a ¡tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡of ¡width ¡at ¡most ¡w, ¡or ¡ (ii) ¡determine ¡that ¡Gi ¡has ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2. ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡IV ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡Gi-­‑S ¡for ¡some ¡S, ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡ decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1 ¡then: ¡ ¡ For ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡there ¡is ¡a ¡node ¡t(v) ¡of ¡the ¡tree ¡ decomposi*on ¡such ¡that ¡N(v) ¡is ¡contained ¡in ¡Wt(v). ¡

¡

We ¡obtain ¡a ¡tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡by ¡adding ¡for ¡each ¡ such ¡v, ¡a ¡node ¡s(v) ¡adjacent ¡to ¡the ¡corresponding ¡t(v) ¡and ¡ sejng ¡Ws(v)=N(v) ¡+v. ¡If ¡this ¡tree ¡decomposi*on ¡has ¡width ¡ exceeding ¡w ¡then ¡we ¡can ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡in ¡ Gi ¡and ¡return ¡it. ¡ ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡IV ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡Gi-­‑S ¡for ¡some ¡S, ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡tree ¡ decomposi*on ¡of ¡width ¡w ¡for ¡Gi+1 ¡then: ¡ ¡ For ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡there ¡is ¡a ¡node ¡t(v) ¡of ¡the ¡tree ¡ decomposi*on ¡such ¡that ¡N(v) ¡is ¡contained ¡in ¡Wt(v). ¡

¡

We ¡obtain ¡a ¡tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡by ¡adding ¡for ¡each ¡ such ¡v, ¡a ¡node ¡s(v) ¡adjacent ¡to ¡the ¡corresponding ¡t(v) ¡and ¡ sejng ¡Ws(v)=N(v) ¡+v. ¡If ¡this ¡tree ¡decomposi*on ¡has ¡width ¡ exceeding ¡w ¡then ¡we ¡can ¡find ¡a ¡bramble ¡of ¡order ¡w+2 ¡in ¡ Gi ¡and ¡return ¡it. ¡ ¡ ¡

K5-­‑Model ¡Free ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡I ¡

¡ A ¡Key ¡Lemma: ¡For ¡every ¡l ¡there ¡is ¡a ¡d ¡and ¡a ¡δ>0 ¡ ¡ such ¡that ¡in ¡any ¡graph ¡H ¡we ¡can ¡find ¡in ¡linear ¡*me ¡ ¡ either ¡a ¡Kl ¡model ¡or ¡one ¡of: ¡ (i) A ¡matching ¡M ¡of ¡H ¡with ¡|M|>δ(|V(H)|+|E(H)| ¡ s.t. ¡every ¡vertex ¡of ¡M ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (ii) ¡A ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡H ¡with ¡|S|> ¡δ(|V(H)|+|E(H)|) ¡ such ¡that ¡ ¡for ¡all ¡v ¡in ¡S, ¡|N(v)|<d ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>w+1 ¡ ¡ ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡II ¡

¡ We ¡ ¡reduce ¡to ¡the ¡3-­‑connected ¡pieces ¡of ¡G. ¡We ¡then ¡ ¡ construct ¡ ¡a ¡3-­‑connected ¡graph ¡Gi+1 ¡from ¡Gi ¡by ¡either: ¡ ¡ (i) Contrac*ng ¡the ¡edges ¡of ¡a ¡ ¡matching ¡M ¡of ¡Gi ¡with ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|M|>δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡every ¡vertex ¡of ¡M ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (i) Dele*ng ¡ ¡the ¡ver*ces ¡of ¡a ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡ ¡Gi ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|S|> ¡δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡ ¡for ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|N(v)|=3 ¡ ¡and ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>5. ¡ ¡ ¡ We ¡con*nue ¡un*l ¡either ¡we ¡find ¡a ¡K5 ¡model ¡in ¡Gi ¡or ¡Gi+1 ¡ ¡ has ¡fewer ¡than ¡1/δ ¡ ¡ver*ces. ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Finding ¡The ¡Sequence ¡II ¡

¡ We ¡ ¡reduce ¡to ¡the ¡3-­‑connected ¡pieces ¡of ¡G. ¡We ¡then ¡ ¡ construct ¡ ¡a ¡3-­‑connected ¡graph ¡Gi+1 ¡from ¡Gi ¡by ¡either: ¡ ¡ (i) Contrac*ng ¡the ¡edges ¡of ¡a ¡ ¡matching ¡M ¡of ¡Gi ¡with ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|M|>δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡every ¡vertex ¡of ¡M ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡has ¡degree ¡<d ¡in ¡H, ¡or ¡ (i) Dele*ng ¡ ¡the ¡ver*ces ¡of ¡a ¡stable ¡set ¡S ¡of ¡ ¡Gi ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|S|> ¡δ(|V(Gi)|+|E(Gi)|) ¡such ¡that ¡ ¡for ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡|N(v)|=3 ¡ ¡and ¡|{y| ¡y ¡is ¡in ¡V-­‑S, ¡N(y)=N(v)}|>5. ¡ ¡ ¡ We ¡con*nue ¡un*l ¡either ¡we ¡find ¡a ¡K5 ¡model ¡in ¡Gi ¡or ¡Gi+1 ¡ ¡ has ¡fewer ¡than ¡1/δ ¡ ¡ver*ces. ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡I ¡

¡ We ¡look ¡for ¡a ¡special ¡nice ¡tree ¡decomposi*on, ¡ the ¡(3,3)-­‑tree ¡for ¡Gi. ¡This ¡has ¡cutnodes ¡ corresponding ¡to ¡those ¡cutsets ¡of ¡size ¡3 ¡whose ¡ dele*on ¡leaves ¡a ¡graph ¡with ¡at ¡least ¡3 ¡

• components. ¡ ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡II ¡

¡ We ¡can ¡find ¡either ¡a ¡K5 ¡model ¡in ¡Gl ¡or ¡its ¡ ¡(3,3)-­‑ tree ¡in ¡constant ¡*me ¡since ¡if ¡we ¡do ¡not ¡already ¡ have ¡a ¡K5 ¡model, ¡Gl ¡has ¡constant ¡size. ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡III ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡contains ¡a ¡K5 ¡model ¡ ¡we ¡can ¡find ¡one ¡in ¡ ¡Gi ¡ and ¡we ¡are ¡done. ¡So, ¡we ¡can ¡assume ¡we ¡have ¡a ¡ (3,3)-­‑tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡ ¡for ¡which ¡each ¡ Ht ¡is ¡planar. ¡

K5 ¡Model ¡Free ¡ ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡IV ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡Gi-­‑S ¡for ¡some ¡S, ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡a ¡(3,3) ¡ ¡ tree ¡decomposi*on ¡of ¡ ¡for ¡Gi+1 ¡with ¡planar ¡nodes ¡then: ¡ ¡ For ¡every ¡v ¡in ¡S, ¡there ¡is ¡a ¡cutnode ¡t(v) ¡of ¡the ¡tree ¡ decomposi*on ¡such ¡that ¡N(V) ¡is ¡Wt(v). ¡

¡

We ¡obtain ¡the ¡(3,3)-­‑tree ¡decomposi*on ¡for ¡G ¡with ¡planar ¡ nodes ¡i ¡by ¡adding ¡for ¡each ¡such ¡v, ¡a ¡node ¡s(v) ¡adjacent ¡to ¡ the ¡corresponding ¡t(v) ¡and ¡sejng ¡Ws(v)=N(v) ¡+v. ¡ ¡

Bounded ¡Width ¡Decomposi*ons: ¡ Obtaining ¡ ¡The ¡Solu*ons ¡V ¡

¡ If ¡Gi+1 ¡ ¡is ¡obtained ¡from ¡ ¡Gi ¡by ¡contrac*ng ¡the ¡ edges ¡of ¡a ¡matching ¡M ¡ ¡ ¡and ¡ ¡we ¡have ¡obtained ¡ a ¡(3,3)-­‑tree ¡decomposi*on ¡of ¡Gi+1 ¡with ¡planar ¡Ht ¡ then: ¡ We ¡uncontract ¡the ¡matching ¡and ¡.applying ¡ dynamic ¡programming ¡ ¡we ¡can ¡in ¡linear ¡*ne ¡ either ¡(i)obtain ¡a ¡(3,3)-­‑tree ¡decomposi*on ¡for ¡Gi ¡ with ¡planar ¡Ht, ¡or ¡(ii) ¡find ¡a ¡K5 ¡model ¡in ¡Gi. ¡ ¡

Kl ¡Model ¡Free ¡Decomposi*ons ¡

• As ¡before ¡we ¡ ¡apply ¡dynamic ¡programming ¡ ¡ ¡ ¡

to ¡the ¡structure ¡obtained ¡from ¡a ¡nice ¡tree ¡ decomposi*on ¡for ¡Gi+1 ¡aker ¡uncontrac*ng ¡a ¡

• matching. ¡Doing ¡so ¡requires ¡a ¡mix ¡of ¡DP ¡on ¡

BTW ¡and ¡LBTW ¡(because ¡planar) ¡graphs. ¡ ¡

Planar ¡Graphs ¡with ¡ ¡brambles ¡of ¡order ¡ 6g ¡contain ¡a ¡g ¡by ¡g ¡grid ¡model ¡

• Consider ¡a ¡planar ¡drawing ¡of ¡G ¡and ¡a ¡simple ¡closed ¡

curve ¡C ¡intersec*ng ¡G ¡in ¡a ¡set ¡of ¡at ¡most ¡4g ¡ver*ces ¡ such ¡that ¡(i) ¡there ¡is ¡a ¡bramble ¡element ¡inside ¡C, ¡and ¡ (ii) ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡is ¡minimal ¡with ¡this ¡property. ¡

• ¡C ¡will ¡pass ¡through ¡4g ¡ver*ces ¡and ¡if ¡we ¡enumerate ¡

them ¡in ¡the ¡order ¡they ¡appear ¡around ¡C, ¡we ¡will ¡g ¡ disjoint ¡paths ¡through ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡from ¡{v1,…,vg} ¡to ¡ {v2g+1, ¡…,v3g} ¡& ¡from ¡{vg+1,…,v2g} ¡to ¡{v3g+1, ¡…,v4g}. ¡ ¡

• The ¡union ¡of ¡these ¡two ¡sets ¡of ¡paths ¡will ¡contain ¡the ¡

desired ¡grid ¡model. ¡ ¡ ¡ ¡

Planar ¡Graphs ¡with ¡ ¡brambles ¡of ¡order ¡ 6g ¡contain ¡a ¡g ¡by ¡g ¡grid ¡model ¡

• Consider ¡a ¡planar ¡drawing ¡of ¡G ¡and ¡a ¡simple ¡closed ¡

curve ¡C ¡intersec*ng ¡G ¡in ¡a ¡set ¡of ¡at ¡most ¡4g ¡ver*ces ¡ such ¡that ¡(i) ¡there ¡is ¡a ¡bramble ¡element ¡inside ¡C, ¡and ¡ (ii) ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡is ¡minimal ¡with ¡this ¡property. ¡

• ¡C ¡will ¡pass ¡through ¡4g ¡ver*ces ¡and ¡if ¡we ¡enumerate ¡

them ¡in ¡the ¡order ¡they ¡appear ¡around ¡C, ¡we ¡will ¡g ¡ disjoint ¡paths ¡through ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡from ¡{v1,…,vg} ¡to ¡ {v2g+1, ¡…,v3g} ¡& ¡from ¡{vg+1,…,v2g} ¡to ¡{v3g+1, ¡…,v4g}. ¡ ¡

• The ¡union ¡of ¡these ¡two ¡sets ¡of ¡paths ¡will ¡contain ¡the ¡

desired ¡grid ¡model. ¡ ¡ ¡ ¡

Planar ¡Graphs ¡with ¡ ¡brambles ¡of ¡order ¡ 6g ¡contain ¡a ¡g ¡by ¡g ¡grid ¡model ¡

• Consider ¡a ¡planar ¡drawing ¡of ¡G ¡and ¡a ¡simple ¡closed ¡

curve ¡C ¡intersec*ng ¡G ¡in ¡a ¡set ¡of ¡at ¡most ¡4g ¡ver*ces ¡ such ¡that ¡(i) ¡there ¡is ¡a ¡bramble ¡element ¡inside ¡C, ¡and ¡ (ii) ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡is ¡minimal ¡with ¡this ¡property. ¡

• ¡C ¡will ¡pass ¡through ¡4g ¡ver*ces ¡and ¡if ¡we ¡enumerate ¡

them ¡in ¡the ¡order ¡they ¡appear ¡around ¡C, ¡we ¡will ¡g ¡ disjoint ¡paths ¡through ¡the ¡inside ¡of ¡C ¡from ¡{v1,…,vg} ¡to ¡ {v2g+1, ¡…,v3g} ¡& ¡from ¡{vg+1,…,v2g} ¡to ¡{v3g+1, ¡…,v4g}. ¡ ¡

• The ¡union ¡of ¡these ¡two ¡sets ¡of ¡paths ¡will ¡contain ¡the ¡

desired ¡grid ¡model. ¡ ¡ ¡ ¡

Thank ¡you ¡for ¡your ¡aoen*on! ¡ ¡