CNRS - PowerPoint PPT Presentation

��������������������� ������� CNRS � Université de Paris�sud XI

���������������� ������������������������ � �������������������������������������� ����������������������������������� �������������������������������� �������� � � ���� ����������� �������������������������� ����������������������������������������� ���������������������������� � ������������ ���!���������������"������������������������ ��� ������������������#���������$�������%!���&��'�������(��!�"��� )������ ���*��+��,-./��012-1�

�������� #�����"��34����������!��4���������5�����$� ����������������!�������!������� ⊆ �3$5�� �67�7����������������!��������������������8� �����������������!������������������������ ������������������  �93��9!�2, ��  ��������������

������������������������� Theorem: cyc(G) ≥9 for every 3�connected cubic graph G. This bound is sharp (The Petersen graph). ��(��'�������4����:�;����:����)��""�����!����#��"������� (�����2������������"�����/2��������!���������� ��"�������������<��,-=<��1/20<� Theorem: If G is 3�connected and planar, cyc(G) ≥ 23. This bound is sharp. >�%����(�!��!�����4������(��'��������!�4��:�;����������� ��������</�������������/2��������!����������������������� $��������"�������,1��,---��/./2/.0�

����������������������������� Theorem: If G is 3�connected and claw�free, then cyc(G)≥ 6. ����� :��+�� ���������������������� ��� ����!���� �������������� ��������������������������"����������������������������#������������$�� ������� %�����������&''(� Theorem: Let G be a 3�connected claw�free graph and let U= {u 1 ,...,u k }, k ≤ ≤ 9, be an arbitrary set of at most nine ≤ ≤ vertices in G. Then G contains a cycle C which contains U. (� � %��%>#%?�#'%@>%:�&@>�/2�@ %�#%����(A2&>%%� $>()'��� %�����$�������!�:����������)��""�� ��!����!���������B��+������!�&�������CC

)������*�+��������� ������������� �����������

%8�"��������������� � �� ������������� ����������� ����� � ≤ ≤ � ≤ ≤ � � � �� � � � � � � � � � � � � � �

New result � Theorem (Flandrin, Gyori, Li, Shu, ): Let � be a � ��� �free graph and � a � � connected subset of vertices in � . Then if ��� ≤ ≤ ≤ ≤ �� , there exists a cycle containing � . Corollary. If G is � ��� �free k�connected, then the cyclability cyc(G) is at least �� .

New result � Theorem (Zhang, Li): Let � be a 3�edge�connected graph and � a weak�k�edge connected vertex subset of vertices in ��������� ≤ ≤ ≤ ≤ ���� ≤ ≤ ≤ ≤ �� . Then G admits an eulerian subgraph containing all vertices of S A vertex set S ⊆ ⊆ V(G) is weak�k�edge�connected ⊆ ⊆ if for every subset C of S and x ∈ S�C, there are min{k,|C|} edge�disjoint (x,C)�paths in G. The condition “ 3�edge�connected” is necessary: G=K 2,2m+1 and S is the (2m+1)� part.

P P Proof P roof roof roof: : : : ideas ideas ideas ideas � ∈ ∈ , ∈ ∈ !"���#$ ∩ ∩ !#%&�' ∩ ∩ ��()�*���������� � #$#� ≥ ≥ ≥ ≥ � ��#$ ∩ ∩ !#� ≥ ≥ ≥ ≥ � ∩ ∩ ∩ !�' (�� ' (+� #� ≥ ≥ ≥ ��� ≥ � ��� ∩ ∩ ∩ ' � ' � ∩ !#� ≥ ≥ � ≥ ≥ � #$ ∩ ∩ ∩ ' � ' *

P P Proof P roof roof roof: : : : ideas ideas ideas ideas � ∈ ∈ ∈ , ∈ ∩ !#%&�' ≥ ≥ ≥ ≥ � !"��� �#$ ∩ ∩ ∩ �� �)�-.��������� ��#!#%&�' ' � ' � ' � ' *

In the proof. In the proof. A lemma In the proof. In the proof. A lemma A lemma A lemma ��&&�"����������-��/��01��2� ⊆ 3�� ���(�1�#2# ≥ ≥ ≥ ≥ *��4 ∉ ∉ 2�)��1� ∉ ∉ �1���2 ∪ ∪ ∪ 546�()�*����������7�$�00�)���1����1������������(�������� ∪ �().�(���0��1)�8 . 94�' . :��� ≤ ≤ . ≤ ≤ �����&�4����' � ����' � )��1��1������� ≤ ≤ ≤ ≤ (�����4���(��)�����1�)��0��1)�����(��3�� �27�;1����1������� *�0��1)�< ( 94�� ( :��� ≤ ≤ ≤ ≤ ( ≤ ≤ ≤ ≤ *����&�4����5�� ( "� ≤ ≤ ≤ ≤ ( ≤ ≤ *6 ⊆ 2 ∪ ≤ ≤ ∪ ∪ ∪ 5' � �' � 6���(�1� � *�� %' � ����� * %' � )��1��1��� � �����(�����4���(��)�����1�)��0��1)�����(��3�� �2�� � �< � 94�� � :�< � 94�� � :�< � 94�� � :�777777�< *�� 94�� *�� :�< *�� 94�� *�� :������� < � 94�� � :�< � 94�� � :�< � 94�� � :�777777�< *�� 94�� *�� :�< * 94�� * : ����0�(��()��(���������().�(�����)0���(4����7

P P P Proof roof roof roof: : ideas : : ideas ideas ideas � ∈ ∈ , ∈ ∈ =���)(�/��1����&&����/�� < �� < ���> < *��� < *��� < * < * < *�� ' � ' � < *�� < � < � ' � ' *

P P P Proof roof roof roof: : ideas : : ideas ideas ideas � ∈ ∈ ∈ , ∈ ������%$ ∩ ∩ ∩ ∩ !�' � �' � �7���� ' ( ()��1�����������0��1�� < .��� �� ≤ ≤ (� ≤ ≤ *���� ≤ ≤ . ≤ ≤ *����� ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (��������)��1����1���� < * � ����4���(��)����� < *�� ' � (���0����������� ' � ��/��1����(�1�' (� �1��� &�*����? ��� @ < *�� < � < � ' � ' * ' (

P P Proof P roof roof roof: : : : ideas ideas ideas ideas � ∈ ∈ , ∈ ∈ �����A�%$ ∩ ∩ ∩ !�' � �' � � ∩ �����B%$� ∩ ∩ ∩ !�' . �' .+� 7� ∩ ���' ( ()��1���������-��1� 0��1)��<A9�A��' ( :����� < * �A <B9�B��' ( :���(��������)� < *�� ' � �/�(���1����1�������� ' � 4���(��)����� <A9�A��' ( : (���0����������� < *�� ��/��1����(�1�' (� �1��� < � ' . < � &�*����? ���� @ ' ( ' .+� �B ' * <B9�B��' ( :