Charged par*cle beams and bunches defini'on, phase - - PowerPoint PPT Presentation

Charged ¡par*cle ¡beams ¡and ¡bunches ¡

¡

• defini'on, ¡ ¡
• phase ¡space ¡and ¡emi0ance, ¡
• trace ¡space, ¡ ¡
• beam ¡matrix ¡and ¡its ¡evolu'on, ¡ ¡
• phase ¡space, ¡Liouville’s ¡theorem ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 1 ¡

trajectory ¡of ¡a ¡single ¡par*cle ¡

• classical ¡mechanics ¡use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡posi'on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡canonical ¡momentum. ¡

• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡form ¡a ¡set ¡of ¡canonical-­‑conjugate ¡

variables ¡

• alterna've ¡descrip'on ¡use ¡divergence ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡but ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡not ¡canonical ¡conjugates. ¡

2 ¡

(x, p) x ≡ (x, y, z) p ≡ (px, py, pz) (x, p) x0 ≡ px/pz y0 ≡ py/pz (x, x0)

phase ¡space ¡ trace ¡space ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡

how ¡to ¡characterize ¡a ¡beam? ¡

• Each ¡par'cle ¡in ¡the ¡beam ¡have ¡the ¡following ¡

possible ¡a0ributes: ¡

– posi'on, ¡momentum, ¡ ¡ – charge, ¡mass, ¡ ¡ – spin. ¡ ¡

• We ¡will ¡exclusively ¡consider ¡single-­‑species ¡

beam ¡so ¡that ¡only ¡posi'on ¡and ¡momentum ¡ are ¡need ¡for ¡each ¡par'cle ¡in ¡the ¡beam. ¡

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how ¡to ¡characterize ¡a ¡beam? ¡

• Consider ¡a ¡beam ¡with ¡N ¡par'cles ¡
• each ¡are ¡characterized ¡by ¡2 ¡vectors ¡ ¡ ¡

– posi'on ¡ ¡ – momentum ¡

• so ¡we ¡have ¡6N ¡scalars! ¡
• instead ¡it ¡is ¡sufficient ¡for ¡most ¡purposes ¡to ¡

describe ¡the ¡beam ¡with ¡macroscopic ¡ quan''es ¡(beam ¡size, ¡divergence,…) ¡

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x ≡ (x, y, z) p ≡ (px, py, pz)

phase ¡space ¡portraits ¡

• example ¡of ¡the ¡un-­‑damped ¡ ¡

pendulum, ¡ ¡ ¡

• trajectories ¡in ¡phase ¡space ¡

are ¡curves ¡with ¡constant ¡ energy ¡ ¡

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[see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡ unstable ¡ fixed ¡points ¡ separatrix ¡ unstable ¡ trajectories ¡ stable ¡ trajectories ¡

phase ¡space ¡portraits ¡

• phase ¡space ¡portraits ¡allows ¡to ¡“track” ¡the ¡

trajectory ¡of ¡an ¡object ¡in ¡the ¡phase ¡space, ¡ ¡

• phase-­‑space ¡portraits ¡difficult ¡to ¡interpret ¡for ¡

an ¡ensemble ¡of ¡par'cle ¡

• instead ¡use ¡Poincare ¡ ¡

sec'on ¡that ¡shows ¡ ¡ intersec'ons ¡of ¡the ¡ ¡ phase ¡space ¡trajectories ¡ with ¡a ¡plane ¡

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[see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡

phase ¡space… ¡

• phase ¡space ¡portraits, ¡and ¡Poicare ¡maps ¡are ¡

most ¡oben ¡referred ¡to ¡as ¡“phase ¡spaces” ¡in ¡ beam ¡physics ¡(no ¡dis'nc'on) ¡

• Also ¡for ¡non ¡periodic ¡system, ¡phase ¡spaces ¡
• ben ¡display ¡the ¡par'cle ¡coordinates ¡(for ¡the ¡

full ¡beam ¡ensemble) ¡at ¡a ¡given ¡axial ¡loca'on ¡ along ¡the ¡accelerator’s ¡beamline. ¡ ¡

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example ¡of ¡phase ¡space ¡in ¡ ¡ beam ¡physics ¡

• asdsad ¡

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[see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡ Courtesy ¡of ¡A. ¡Seymour ¡(NIU, ¡2014) ¡ trace ¡space ¡snapshot ¡ Poincare ¡(stroboscopic) ¡map ¡

phase ¡space ¡characteriza*on ¡

• restrain ¡our ¡discussion ¡to ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡actually ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡we ¡can ¡write ¡the ¡phase ¡space ¡density ¡ distribu'on ¡as ¡ ¡ with ¡ ¡

• let’s ¡define ¡the ¡moments: ¡

¡ ¡ ¡ ¡

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(x, px) (x, x0) F(x, x0)

Z Z +1

1

F(x, x0)dxdx0 = 1

hxi = Z Z +1

1

xF(x, x0)dxdx0

hx0i = Z Z +1

1

x0F(x, x0)dxdx0

hxx0i = Z Z +1

1

xx0F(x, x0)dxdx0

hx2i = Z Z +1

1

x2F(x, x0)dxdx0

hx02i = Z Z +1

1

x02F(x, x0)dxdx0

2nd ¡order ¡ moments ¡ 1st ¡order ¡ moments ¡

phase ¡space ¡characteriza*on ¡

• for ¡simplicity ¡we ¡assume ¡the ¡1st-­‑order ¡

moments ¡are ¡zero: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡

• we ¡define ¡the ¡beam ¡(or ¡covariance) ¡matrix ¡as ¡
• the ¡matrix ¡is ¡definite ¡posi've ¡and ¡

¡ ¡ ¡ ¡

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hx0i = 0 hxi = 0 Σ =  hx2i hxx0i hxx0i hx02i

• |Σ| ≥ 0

beam ¡matrix ¡

• oben ¡parameterized ¡in ¡term ¡of ¡Courant-­‑

Snyder ¡parameters ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡

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Σ = ε2

x

 βx −αx −αx γx

• betatron ¡func'on ¡

betatron ¡slope ¡

(αx, βx) γx ≡ 1 + α2

x

βx

determinant=1 ¡

ε2

x ⌘ hx2ihx2i hxx0i2

propaga*on ¡of ¡beam ¡matrix ¡

• ABCD ¡formalism ¡(see ¡Lecture ¡1): ¡
• can ¡be ¡applied ¡to ¡the ¡beam ¡matrix ¡

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accelerator ¡or ¡op'cal ¡ ¡ beamline ¡with ¡n ¡components ¡ 1 ¡

X0 = (x0, x0

0)

Xf = (xf, x0

f)

2 ¡ n ¡

Xf = RnRn−1...R3R3R1X0

propaga*on ¡of ¡beam ¡matrix ¡

• first ¡recognize ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡transpose. ¡ ¡ ¡

• so ¡that ¡ ¡

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Σ = hX X X e X e X e Xi X X X = (x, x0) e X X X f Xf Xf Xf = ] RX0 X0 X0 = f X0 X0 X0 e R Xf Xf Xf = RX0 X0 X0 Σf = RΣ0 e R

emi?ance ¡conserva*on ¡

• Since ¡the ¡determinant ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡so ¡that ¡the ¡determinant ¡of ¡the ¡beam ¡matrix ¡is ¡a ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡conserved ¡quan'ty ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ geometric ¡emi?ance ¡is ¡conserved ¡ ¡

• this ¡is ¡actually ¡a ¡consequence ¡of ¡Liouville’s ¡

theorem ¡(simple ¡case ¡though) ¡

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|R| = 1 |Σf| = |RΣ0 e R| = |Σ0|

emi?ances ¡

• The ¡canonical ¡emi0ance ¡is ¡a ¡conserved ¡

quan'ty ¡for ¡linear ¡system ¡dominated ¡by ¡ single-­‑par'cle ¡dynamics ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• ¡Some'me ¡the ¡normalized ¡emi0ance ¡is ¡used: ¡

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ε2

n,x = (βγ)2 ⇥

hx2ihx02i hxx0i2⇤ = (βγεx)2 ε2

n,c =

1 m2c2 ⇥ hx2ihp2

xi hxpxi2⇤

emi0ances ¡have ¡the ¡dimension ¡of ¡length ¡

normalized ¡emi?ance ¡

• star'ng ¡from ¡ ¡
• the ¡normlized ¡emi0ance ¡is ¡defined ¡by ¡wri'ng ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡assuming ¡ ¡ ¡

• this ¡is ¡OK ¡for ¡beam ¡with ¡small ¡spread ¡in ¡

energy ¡(or ¡longitudinal ¡momentum), ¡in ¡some ¡ type ¡of, ¡e.g., ¡electron ¡source ¡this ¡approxima-­‑ 'on ¡does ¡not ¡always ¡hold. ¡ ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 16 ¡

ε2

n,c =

1 m2c2 ⇥ hx2ihp2

xi hxpxi2⇤

px = x0pz pz = hpi = mcβγ

back ¡to ¡the ¡phase-­‑space ¡density ¡ distribu*on ¡

• we ¡have ¡assume ¡the ¡phase ¡space ¡can ¡be ¡

described ¡by ¡a ¡density ¡distribu'on ¡

• It ¡is ¡convenient ¡to ¡approximate ¡the ¡beam ¡

distribu'ons ¡by ¡analy'cal ¡func'on ¡

• BUT ¡a ¡beam ¡is ¡a ¡ensemble ¡of ¡N ¡par'cles. ¡ ¡
• use ¡Klimontovich’s ¡distribu'on ¡

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F(x, x0) F(x, x0) = 1 N

N

X

i=1

δ(x − xi, x0 − x0

i)

Dirac’s ¡func'on ¡ (two-­‑dimensional ¡here) ¡

back ¡to ¡the ¡phase-­‑space ¡density ¡ distribu*on ¡(cnt’d) ¡

• Then ¡the ¡second ¡order ¡moment ¡are ¡

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hx2i = 1 N

N

X

i=1

x2

i

hx02i = 1 N

N

X

i=1

x02

i

hxx0i = 1 N

N

X

i=1

x0

ixi

concept ¡of ¡“equivalent ¡beams” ¡

• the ¡“rms” ¡sta's'cal ¡descrip'on ¡of ¡a ¡beam ¡ ¡

provide ¡an ¡“equivalent ¡beam ¡descrip'on” ¡

• The ¡par'cle ¡distribu'on ¡is ¡ ¡

view ¡as ¡“contained” ¡within ¡ ¡ an ¡ellipse ¡with ¡equa'on: ¡ ¡ ¡

• other ¡descrip'ons ¡provide ¡an ¡analy'cal ¡form ¡

¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡

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F(x, x0)

γxx2 + 2αxxx0 + βxx02 = εx