Cellular Automata Mus270C Cellular Automata Discrete - PowerPoint PPT Presentation

Cellular ¡Automata ¡ Mus270C ¡

Cellular ¡Automata ¡ • Discrete ¡Dynamical ¡System ¡ – Space ¡and ¡9me ¡ • Dimension ¡ – 1-­‑D, ¡2-­‑D, ¡… ¡ • States ¡ – Neighborhood ¡and ¡neighbors ¡ • Rules ¡ 2 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ 3 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ 4 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ 5 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ 6 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ t ¡= ¡2 ¡ 7 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ t ¡= ¡2 ¡ 8 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ t ¡= ¡2 ¡ 9 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ t ¡= ¡2 ¡ 10 ¡

1-­‑D ¡Cellular ¡Automata ¡ • ¡Neighborhood ¡ ¡ • Black ¡& ¡White ¡neighbors ¡(States) ¡ • Rules ¡ ¡ • Example ¡ t ¡= ¡1 ¡ t ¡= ¡2 ¡ 11 ¡

Wolfram ¡Code ¡ ¡Every ¡cell ¡and ¡its ¡two ¡neighbors ¡will ¡be ¡one ¡of ¡the ¡ following ¡types ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Represent ¡a ¡black ¡cell ¡with ¡1 ¡and ¡a ¡white ¡cell ¡with ¡0 ¡ ¡ ¡1 ¡1 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡1 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡0 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡0 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡1 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡1 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡0 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡0 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Every ¡ ¡ ¡yellow ¡cell ¡above ¡can ¡be ¡filled ¡out ¡with ¡a ¡0 ¡or ¡a ¡1 ¡giving ¡a ¡ total ¡of ¡2 ¡ 8 =256 ¡possible ¡update ¡rules. ¡

This ¡ ¡allows ¡any ¡string ¡of ¡eight ¡0s ¡and ¡1’s ¡to ¡represent ¡ a ¡dis9nct ¡ ¡update ¡rule ¡ Example: ¡ ¡ ¡Consider ¡the ¡string ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 ¡1 ¡1 ¡0 ¡1 ¡0 ¡1 ¡0 ¡ ¡ it ¡can ¡be ¡taken ¡ to ¡represent ¡the ¡update ¡rule ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡1 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡1 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡0 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡0 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡1 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡1 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡0 ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡0 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ Or ¡equivalently ¡ Now ¡think ¡of ¡01101010 ¡as ¡the ¡binary ¡expansion ¡of ¡the ¡number ¡ ¡ ¡ 0 ¡ 2 7 + ¡ 1 ¡ 2 6 + ¡ 1 ¡ 2 5 + ¡ 0 ¡ 2 4 + 1 ¡ 2 3 + ¡ 0 ¡ 2 2 + ¡ 1 ¡ 2 1 + ¡ 0 ¡ 2 0 ¡ = ¡64+32+8+2=106. ¡ So ¡the ¡update ¡rule ¡is ¡rule ¡ # ¡106 ¡

Rule ¡#45=32+8+4+1 ¡ = ¡ 0 ¡ 2 7 + ¡ 0 ¡ 2 6 + ¡ 1 ¡ 2 5 + ¡ 0 ¡ 2 4 + 1 ¡ 2 3 + ¡ 1 ¡ 2 2 + ¡ 0 ¡ 2 1 + ¡ 1 ¡ 2 0 ¡=0 ¡0 ¡1 ¡0 ¡1 ¡1 ¡0 ¡1 ¡ Rule ¡#30=16+8+4+2 ¡ = ¡ 0 ¡ 2 7 + ¡ 0 ¡ 2 6 + ¡ 0 ¡ 2 5 + ¡ 1 ¡ 2 4 + 1 ¡ 2 3 + ¡ 1 ¡ 2 2 + ¡ 1 ¡ 2 1 + ¡ 0 ¡ 2 0 ¡=0 ¡0 ¡0 ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡0 ¡ This ¡is ¡a ¡naming ¡conven9on ¡of ¡the ¡256 ¡dis9nct ¡update ¡rules ¡by ¡ Stephen ¡Wolfram, ¡ New ¡Kind ¡of ¡Science . ¡ Notable ¡rules ¡in ¡this ¡class ¡include ¡rule ¡30, ¡rule ¡110, ¡and ¡rule ¡184. ¡ Rule ¡90 ¡is ¡also ¡interes9ng ¡because ¡it ¡creates ¡Pascal's ¡Triangle ¡ modulo ¡2. ¡ Rule ¡110 ¡is ¡known ¡to ¡be ¡Turing ¡complete. ¡This ¡implies ¡that, ¡in ¡ principle, ¡any ¡calcula9on ¡or ¡computer ¡program ¡can ¡be ¡simulated ¡ using ¡this ¡automaton. ¡ ¡ hap://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_cellular_automaton ¡

Rule ¡30 ¡

Rule ¡90 ¡

Classes ¡of ¡cellular ¡automata ¡(Wolfram) ¡ Class ¡1: ¡ader ¡a ¡finite ¡number ¡of ¡9me ¡steps, ¡the ¡CA ¡tends ¡to ¡achieve ¡a ¡ unique ¡state ¡from ¡nearly ¡all ¡possible ¡star9ng ¡condi9ons ¡(limit ¡points) ¡ Class ¡2: ¡the ¡CA ¡creates ¡paaerns ¡that ¡repeat ¡periodically ¡or ¡are ¡stable ¡ (limit ¡cycles) ¡– ¡probably ¡equivalent ¡to ¡a ¡regular ¡grammar/finite ¡state ¡ automaton ¡ Class ¡3: ¡from ¡nearly ¡all ¡star9ng ¡condi9ons, ¡the ¡CA ¡leads ¡to ¡aperiodic-­‑ chao9c ¡paaerns, ¡where ¡the ¡sta9s9cal ¡proper9es ¡of ¡these ¡paaerns ¡ are ¡almost ¡iden9cal ¡(ader ¡a ¡sufficient ¡period ¡of ¡9me) ¡to ¡the ¡star9ng ¡ paaerns ¡(self-­‑similar ¡fractal ¡curves) ¡– ¡computes ¡‘irregular ¡problems’ ¡ Class ¡4: ¡ader ¡a ¡finite ¡number ¡of ¡steps, ¡the ¡CA ¡usually ¡dies, ¡but ¡there ¡ are ¡a ¡few ¡stable ¡(periodic) ¡paaerns ¡possible ¡(e.g. ¡Game ¡of ¡Life) ¡-­‑ ¡Class ¡ 4 ¡CA ¡are ¡believed ¡to ¡be ¡capable ¡of ¡universal ¡computa9on ¡

Conway’s ¡Game ¡of ¡Life ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡live ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡dead ¡ ¡ 18 ¡

Conway’s ¡Game ¡of ¡Life ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡live ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡dead ¡ ¡ 1. ¡Any ¡dead ¡cell ¡with ¡exactly ¡three ¡live ¡neighbors ¡ comes ¡to ¡life . ¡ 19 ¡

Conway’s ¡Game ¡of ¡Life ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡live ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡dead ¡ ¡ 1. ¡Any ¡dead ¡cell ¡with ¡exactly ¡three ¡live ¡neighbors ¡ comes ¡to ¡life . ¡ 20 ¡

Conway’s ¡Game ¡of ¡Life ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡live ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡dead ¡ ¡ 1. ¡Any ¡dead ¡cell ¡with ¡exactly ¡three ¡live ¡neighbors ¡ comes ¡to ¡life . ¡ 21 ¡

22 ¡

23 ¡

CA ¡in ¡AthenaCL ¡ • Standard: ¡f{s} ¡Discrete ¡cell ¡values, ¡rules ¡match ¡cell ¡ forma9ons ¡(neighborhoods) ¡ ¡ • Totalis9c: ¡f{t} ¡Discrete ¡cell ¡values, ¡rules ¡match ¡the ¡sum ¡ of ¡the ¡neighborhood ¡ ¡ • Con9nuous: ¡f{c} ¡Real-­‑number ¡cell ¡values ¡within ¡unit ¡ interval, ¡rules ¡specify ¡values ¡added ¡to ¡the ¡average ¡of ¡ previous ¡cell ¡forma9on ¡ ¡ • Float: ¡f{f} ¡Like ¡con9nuous, ¡but ¡implemented ¡with ¡floats ¡ (it ¡makes ¡a ¡difference) ¡ ¡

CA ¡in ¡AthenaCL ¡ • For ¡f{s,t}: ¡the ¡k ¡value ¡provides ¡the ¡number ¡of ¡ possible ¡values ¡ ¡ • For ¡f{c,f}: ¡the ¡k ¡value ¡is ¡zero ¡ ¡ • r: ¡ ¡number ¡of ¡neighbor ¡cells ¡taken ¡into ¡account ¡ (neighborhood ¡= ¡2r+1) ¡ • x: ¡size ¡of ¡CA ¡space ¡ • y: ¡number ¡of ¡genera9ons ¡ • sub-­‑table ¡is ¡defined ¡with ¡width ¡(w), ¡center ¡(c), ¡ and ¡skip ¡(s) ¡ • ¡i: ¡ini9aliza9on ¡as ¡center ¡or ¡random ¡