} C dt -Q Z dQ q Z LdI U C = C d t U L = I d t dt dt Z Q - - PowerPoint PPT Presentation

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c dt q z dq q z ldi u c c d t u l i d t dt dt z q z i 1 q

Oct 12, 2022 253 likes •329 views

Lecture 34 Energy in a Capacitor and Inductor: dt = qV Power: P = dU = IV t In Capacitors: For Inductors: + Q V = LdI V = Q } C dt -Q Z dQ q Z LdI U C = C d t U L = I d

SLIDE 1

Lecture ¡34 ¡

Energy ¡in ¡a ¡Capacitor ¡and ¡Inductor: ¡ In ¡Capacitors: ¡

UC = Z dQ dt q C dt = 1 C Z Q qdq = Q2 2C

For ¡Inductors: ¡

V = Q C

V = LdI dt

UL = Z I ✓ LdI dt ◆ dt = L Z I IdI = LI2 2

}

Power: P = dU dt = ∆qV ∆t = IV

SLIDE 2

Mechanical ¡Analogy: ¡Mass ¡Spring ¡System ¡

F = ma = md2x dt2 KE = 1 2mv2 1 2C q2 1 2LI2 PE = 1 2kx2

Corresponds ¡to: ¡

LC ¡circuits ¡oscillate ¡much ¡in ¡the ¡same ¡way ¡a ¡mass ¡spring ¡system ¡oscillates ¡

SLIDE 3

L C

LC ¡Circuit ¡

Basic ¡Equa?ons: ¡

VL + VC = 0

LdI dt + q C = 0

Loop ¡Equa?on: ¡ Power ¡Equa?on: ¡ Conserva?on ¡of ¡ Energy: ¡

0 = I ✓ LdI dt ◆ + dq dt q C

P = I × loop eqn. = IVL + IVC = 0

UC,max = UC + UL = UL,max

UL + UC = const.

SLIDE 4

Solving ¡the ¡Loop ¡Equa?on ¡– ¡Analogy ¡to ¡Mass-‑Spring ¡System ¡

md2x dt2 = −kx

Solu?on: ¡

x = A cos ωt dx dt = −Aω sin ωt d2x dt2 = −Aω2 cos ωt = −ω2x

Comment: ¡

General ¡Solu?on: ¡

x = xmax cos(ωt + δ)

(δ ¡is ¡the ¡ini?al ¡phase ¡angle ¡of ¡the ¡oscilla?on) ¡ OJen ¡set ¡δ ¡= ¡0, ¡where ¡at ¡t ¡= ¡0, ¡the ¡ini?al ¡ ¡ condi?on ¡is ¡chosen ¡to ¡be ¡x ¡= ¡xmax ¡

SLIDE 5

LC ¡Circuit ¡Analogy ¡

q = qmax cos ωt

Q I

t t

T/4 T/2 3T/4 T

+ - +

I = dq

dt = −qmaxω sin ωt = −Imax sin ωt

q charge on left plate. at t = 0, q = qmax cos (ω0) = qmax I current in coil. At t = T 4 , I = −Imax sin ✓ωT 4 ◆ = −Imax sin ✓2π 4 ◆ = Imax

SLIDE 6

Check: ¡

LHS = 1 2L (Imax sin ωt)2 + 1 2C (qmax cos ωt)2

u0 = 1 2LI2

max

= 1 2Lω2q2

max

= 1 2L 1 LC q2

max

u0 = 1 2C q2

max

LHS = u0 sin2 ωt + u0 cos2 ωt = u0

sin2 ωt + cos2 ωt = 1

where ¡

UL + UC = U0