Arf Numerical Semigroups with Mul6plicity 6 Halil - - PowerPoint PPT Presentation

Arf ¡Numerical ¡Semigroups ¡ ¡ with ¡Mul6plicity ¡≤ ¡6 ¡

Halil ¡İbrahim ¡Karakaş ¡ Başkent ¡University ¡ Akara ¡-­‑ ¡Turkey ¡ IMNS ¡2016 ¡-­‑ ¡Levico ¡Terme ¡

Cahit ¡Arf ¡

N0 ¡: ¡ ¡the ¡set ¡of ¡nonnegaIve ¡integers, ¡ ¡ {a1, ¡a2, ¡. ¡. ¡. ¡, ¡ae} ¡: ¡minimal ¡set ¡of ¡generators ¡ ¡for ¡S ¡with ¡ ¡a1 ¡< ¡ ¡a2 ¡< ¡ ¡. ¡. ¡. ¡< ¡ae ¡. ¡ F ¡= ¡F ¡(S) ¡: ¡Frobenius ¡number ¡of ¡S. ¡ S ¡: ¡a ¡numerical ¡semigroup. ¡ a1 ¡= ¡m ¡= ¡m(S) ¡: ¡mul5plicity ¡of ¡S. ¡ e ¡ ¡= ¡ ¡e(S) ¡ ¡: ¡embedding ¡dimension ¡of ¡ ¡S. ¡ ¡ S ¡ ¡is ¡said ¡to ¡be ¡of ¡maximal ¡embedding ¡dimension ¡if ¡e(S) ¡= ¡m(S). ¡ C ¡ ¡= ¡C ¡(S) ¡: ¡Conductor ¡of ¡S. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C(S) ¡= ¡F(S)+1; ¡C(N0) ¡= ¡0 ¡and ¡C(S) ¡≥ ¡2 ¡ ¡iff ¡ ¡ ¡S ¡≠ ¡ ¡N0. ¡ a2 ¡= ¡R ¡= ¡R(S) ¡: ¡ra5o ¡of ¡S. ¡

S ¡= ¡{s0 ¡= ¡0, ¡s1, ¡s2, ¡. ¡. ¡. ¡, ¡sn-­‑1 ¡, ¡sn ¡= ¡C→} ¡

N0 ¡\ ¡S ¡ ¡= ¡{ ¡gaps ¡of ¡S}, ¡ ¡| ¡N0 ¡\ ¡S| ¡= ¡G ¡= ¡G(S) ¡: ¡Genus ¡of ¡S ¡ a ¡∈ ¡S\{0}. ¡ ¡Ap(S, ¡a) ¡= ¡{s ¡∈ ¡S ¡: ¡s ¡− ¡a ¡ ¡is ¡not ¡in ¡ ¡S} ¡is ¡the ¡Apery ¡set ¡of ¡S ¡with ¡respect ¡to ¡a. ¡ S ¡: ¡Arf ¡numerical ¡semigroup. ¡ Ap(S, ¡a) ¡={0,w(1), ¡. ¡. ¡. ¡, ¡w(a ¡− ¡1)} ¡, ¡w(i) ¡: ¡the ¡least ¡element ¡of ¡S ¡such ¡that ¡w(i) ¡≡ ¡i ¡(mod ¡a). ¡ ¡ S ¡= ¡⟨a, ¡w(1), ¡. ¡. ¡. ¡, ¡w(a ¡− ¡1)⟩ ¡ ¡, ¡ ¡F(S) ¡= ¡max(Ap(S, ¡a)) ¡− ¡a. ¡ x, ¡y, ¡z ¡∈ ¡S; ¡x ¡≥ ¡y ¡≥ ¡z ¡ ¡⇒ ¡ ¡x ¡+ ¡y ¡− ¡z ¡∈ ¡ S ¡. ¡ Every ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡is ¡of ¡maximal ¡embedding ¡dimension: ¡e(S) ¡= ¡m(S) ¡ ¡ ¡ {m, ¡w(1), ¡. ¡. ¡. ¡, ¡w(m ¡− ¡1)} ¡is ¡the ¡minimal ¡set ¡of ¡generators ¡of ¡S ¡if ¡S ¡ ¡is ¡Arf. ¡ ¡ The ¡largest ¡element ¡of ¡the ¡set ¡{m, ¡w(1), ¡. ¡. ¡. ¡, ¡w(m ¡− ¡1)} ¡is ¡F ¡+ ¡m ¡= ¡C ¡+ ¡m−1. ¡

, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡s0 ¡= ¡0 ¡< ¡s1 ¡< ¡ ¡s2 ¡< ¡ ¡. ¡. ¡. ¡ ¡< ¡ ¡sn-­‑1 ¡ ¡< ¡sn ¡= ¡C ¡

Lemma ¡1. ¡A ¡numerical ¡semigroup ¡S ¡is ¡an ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡if ¡and ¡only ¡ ¡if ¡ ¡2x ¡− ¡y ¡∈ ¡S ¡for ¡ all ¡x, ¡y ¡∈ ¡S ¡with ¡x ¡≥ ¡y. ¡(Dobbs ¡and ¡Mathews) ¡ Lemma ¡2. ¡Let ¡S ¡be ¡an ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡and ¡let ¡s ¡be ¡any ¡element ¡of ¡S. ¡If ¡s ¡+ ¡1 ¡∈ ¡S, ¡then ¡ s ¡+ ¡k ¡∈ ¡S ¡for ¡all ¡k ¡∈ ¡N0 ¡and ¡thus ¡C ¡≤ ¡s. ¡(Rosales, ¡Garcia-­‑Sanchez, ¡Garcia-­‑Garcia ¡and ¡Branco) ¡ Lemma ¡3. ¡Let ¡S ¡be ¡an ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡with ¡mul5plicity ¡m ¡> ¡2 ¡and ¡conductor ¡C. ¡For ¡ each ¡ ¡j ¡ ¡= ¡2, ¡3, ¡. ¡. ¡. ¡, ¡m ¡− ¡1, ¡we ¡have ¡ Lemma ¡4. ¡Let ¡S ¡be ¡an ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡with ¡mul5plicity ¡m ¡and ¡conductor ¡C ¡where ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ≡ ¡k ¡(mod ¡m), ¡k ¡∈ ¡{0, ¡2, ¡. ¡. ¡. ¡,m ¡− ¡1}. ¡ ¡Then ¡ Lemma ¡5. ¡Let ¡ ¡S ¡ ¡be ¡an ¡Arf ¡numerical ¡semigroup ¡with ¡mul5plicity ¡ ¡m ¡ ¡> ¡2 ¡. ¡ ¡For ¡any ¡ ¡posi5ve ¡ integer ¡ ¡k ¡ ¡< ¡m/2 ¡, ¡ ¡we ¡have ¡ (i) ¡ ¡w(2k) ¡≤ ¡w(k) ¡+ ¡k ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(i) ¡w(j ¡− ¡1) ¡< ¡w(j) ¡⇒ ¡C ¡≤ ¡w(j) ¡− ¡1 ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(ii) ¡w(j) ¡< ¡w(j ¡− ¡1) ¡⇒ ¡C ¡≤ ¡w(j ¡− ¡1). ¡ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ + + − = + = 1 1 ) 1 ( ) ( k ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ m k C k ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C w i

. 1 ) 1 ( ) ( , − + − = − m k C m w ii

, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(ii) ¡ ¡w(m ¡− ¡2k) ¡≤ ¡w(m ¡− ¡k) ¡+ ¡m ¡− ¡k. ¡ David ¡E. ¡Dobbs ¡and ¡Gretchen ¡L. ¡Mathews, ¡On ¡comparing ¡two ¡chains ¡of ¡numerical ¡semigroups ¡ ¡ and ¡detec5ng ¡Arf ¡semigroups, ¡Semigroup ¡Forum ¡63 ¡(2001), ¡237 ¡-­‑ ¡ ¡246. ¡ ¡

• J. ¡C. ¡Rosales, ¡P. ¡A. ¡Garcia-­‑Sanchez, ¡J. ¡I. ¡Garcia-­‑Garcia, ¡and ¡M. ¡B. ¡Branco, ¡Arf ¡numerical ¡ ¡

semigroups, ¡J. ¡of ¡Alg. ¡276 ¡(2004), ¡3 ¡-­‑ ¡12. ¡ ¡ ¡uuu ¡ ¡uuu ¡

Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡2 ¡and ¡conductor ¡C ¡: ¡ C ¡ ¡is ¡even, ¡ ¡S ¡= ¡⟨2, ¡C ¡+ ¡1⟩. ¡ Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡3 ¡and ¡conductor ¡C ¡: ¡ C ¡≡ ¡0 ¡ ¡or ¡ ¡2 ¡(mod ¡ ¡3). ¡ C ¡≡ ¡0 ¡ ¡(mod ¡ ¡3) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨3, ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡2 ¡⟩. ¡ C ¡≡ ¡2 ¡ ¡(mod ¡ ¡3) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨3, ¡C, ¡C ¡+ ¡2 ¡⟩. ¡ Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡4 ¡and ¡conductor ¡C ¡: ¡ C ¡≡ ¡0, ¡2 ¡ ¡or ¡ ¡3 ¡(mod ¡ ¡4). ¡ C ¡≡ ¡0 ¡ ¡(mod ¡ ¡4) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡4, ¡4t ¡+ ¡2, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡3 ¡⟩ ¡, ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡C/4. ¡ ¡ C ¡≡ ¡2 ¡ ¡(mod ¡ ¡4) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡4, ¡4t ¡+ ¡2, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡3 ¡⟩ ¡, ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡(C ¡– ¡2)/4. ¡ ¡ C ¡≡ ¡3 ¡ ¡(mod ¡ ¡4) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡4, ¡C, ¡ ¡C ¡+ ¡2, ¡ ¡C ¡+ ¡3 ¡⟩. ¡

Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡5 ¡and ¡conductor ¡C ¡: ¡ C ¡≡ ¡0, ¡2, ¡3 ¡ ¡or ¡ ¡4 ¡(mod ¡ ¡5). ¡ C ¡≡ ¡0 ¡ ¡(mod ¡ ¡5) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C ¡– ¡2, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡3 ¡, ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩. ¡ C ¡≡ ¡2 ¡ ¡(mod ¡ ¡5) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩. ¡ C ¡≡ ¡3 ¡ ¡(mod ¡ ¡5) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡3, ¡ ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡≡ ¡4 ¡ ¡(mod ¡ ¡5) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C ¡– ¡2, ¡ ¡C, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡5, ¡C, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡3 ¡, ¡C ¡+ ¡4 ¡⟩. ¡

Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡6 ¡and ¡conductor ¡C ¡: ¡ C ¡≡ ¡0, ¡2, ¡3, ¡4 ¡ ¡or ¡ ¡5 ¡(mod ¡ ¡6). ¡ C ¡≡ ¡0 ¡ ¡(mod ¡ ¡6) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡4, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡2, ¡6u ¡+ ¡4, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2, ¡C ¡+ ¡4, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡4, ¡6u ¡+ ¡8, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡, ¡ ¡1 ¡≤ ¡ ¡u ¡ ¡≤ ¡ ¡(C/6)-­‑1. ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡≡ ¡2 ¡ ¡(mod ¡ ¡6) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6t ¡+ ¡2, ¡6t ¡+ ¡4, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡3, ¡C ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡2, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡4, ¡6u ¡+ ¡8, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡((C ¡– ¡2)/6), ¡1 ¡≤ ¡ ¡u ¡ ¡≤ ¡ ¡((C ¡– ¡2)/6)-­‑1. ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡≡ ¡3 ¡ ¡(mod ¡ ¡6) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6u ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡1, ¡ ¡C ¡+ ¡2, ¡C ¡+ ¡4, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩, ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡(C ¡– ¡3)/6. ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡≡ ¡4 ¡ ¡(mod ¡ ¡6) ¡ ¡⇒ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6t ¡+ ¡2, ¡6t ¡+ ¡4, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6t ¡+ ¡4, ¡6t ¡+ ¡8, ¡ ¡C ¡+ ¡1, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩, ¡ ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡(C ¡– ¡4)/6. ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡≡ ¡5 ¡ ¡(mod ¡ ¡6) ¡ ¡⇒ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡C, ¡ ¡C ¡+ ¡2 ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡4, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩ ¡or ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡S ¡= ¡⟨ ¡6, ¡6t ¡+ ¡3, ¡ ¡C ¡, ¡ ¡C ¡+ ¡2, ¡C ¡+ ¡3, ¡C ¡+ ¡5 ¡⟩, ¡ ¡1 ¡≤ ¡ ¡t ¡ ¡≤ ¡ ¡(C ¡-­‑5)/6. ¡ ¡ ¡ ¡

nA(C,m) ¡= ¡the ¡number ¡of ¡Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡conductor ¡C ¡and ¡mul6plicity ¡m ¡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≡ ≡ − ≡ = ) 4 ( 3 C 1 ) 4 ( 2 C 4 2 C ) 4 ( C 4 C ) 4 , ( ¡ mod ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ mod ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ mod ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C nA ⎩ ⎨ ⎧ ≡ ≡ ≡ ≡ = ) 5 ( 3 ) 5 ( 2 1 ) 5 ( 4 ) 5 ( 2 ) 5 , ( ¡ mod C ¡ ¡

• r

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ mod C ¡ ¡

• r

¡ ¡ ¡ ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C nA ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≡ + ≡ − ≡ − ≡ − ≡ = ) 6 ( 5 6 1 ) 6 ( 4 3 4 ) 6 ( 3 6 3 ) ( 2 2 2 ) 6 ( ¡ 2

• ­‑

2 ) 6 , ( ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ C 6 ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ mod C ¡ ¡ , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C C nA

Arf ¡numerical ¡semigroups ¡with ¡mul6plicity ¡6 ¡and ¡conductor ¡30: ¡

⟨ ¡6, ¡31, ¡ ¡32 ¡, ¡ ¡33, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡8, ¡ ¡10 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡14, ¡ ¡16 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡20, ¡ ¡22 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡26, ¡ ¡28 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡9, ¡ ¡31 ¡, ¡ ¡32, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡15, ¡ ¡31 ¡, ¡ ¡32, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡21, ¡ ¡31 ¡, ¡ ¡32, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡27, ¡ ¡31 ¡, ¡ ¡32, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡10, ¡ ¡14 ¡, ¡ ¡33, ¡34, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡16, ¡ ¡20 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡22, ¡ ¡26 ¡, ¡ ¡31, ¡33, ¡35 ¡⟩ ⟨ ¡6, ¡28, ¡ ¡31 ¡, ¡ ¡32, ¡33, ¡35 ¡⟩

• 1. ¡C. ¡Arf, ¡Une ¡interpreta5on ¡algebrique ¡de ¡la ¡suite ¡ordres ¡de ¡mul5plicite ¡d'une ¡branche ¡algebrique, ¡
• Proc. ¡London ¡Math. ¡Soc. ¡20 ¡(1949), ¡256 ¡-­‑ ¡287. ¡

¡

• 2. ¡V. ¡Barucci, ¡D. ¡E. ¡Dobbs, ¡and ¡M. ¡Fontana, ¡Maximality ¡proper5es ¡in ¡numerical ¡semigroups ¡and ¡

applica5ons ¡to ¡one-­‑dimensional ¡analy5cally ¡irreducible ¡local ¡domains, ¡Memoirs ¡of ¡the ¡ American ¡MathemaIcal ¡Society ¡125/598 ¡(1997), ¡1 ¡-­‑ ¡77. ¡ ¡

• 3. ¡David ¡E. ¡Dobbs ¡and ¡Gretchen ¡L. ¡Mathews, ¡On ¡comparing ¡two ¡chains ¡of ¡numerical ¡semigroups ¡ ¡

and ¡detec5ng ¡Arf ¡semigroups, ¡Semigroup ¡Forum ¡63 ¡(2001), ¡237 ¡-­‑ ¡ ¡246. ¡ ¡

• 4. ¡R. ¡Fröberg, ¡C. ¡Gorlieb, ¡and ¡R. ¡Haggkvist, ¡On ¡numerical ¡semigroups, ¡Semigroup ¡Forum ¡35 ¡(1987), ¡

63 ¡-­‑ ¡83. ¡ ¡

• 5. ¡Michal ¡Lason, ¡On ¡the ¡rela5on ¡between ¡be\ ¡number ¡of ¡an ¡Arf ¡semigroup ¡and ¡its ¡blowup, ¡Le ¡

MathemaIche ¡67 ¡(2012), ¡75 ¡-­‑ ¡80. ¡ ¡

• 6. ¡J. ¡C. ¡Rosales, ¡Numerical ¡semigroups ¡with ¡mul5plicity ¡three ¡and ¡four, ¡Semigroup ¡Forum ¡71 ¡(2005), ¡

323 ¡-­‑ ¡331. ¡ ¡

• 7. ¡J. ¡C. ¡Rosales ¡and ¡P. ¡A. ¡Garcia-­‑Sanchez, ¡Numerical ¡Semigroups, ¡Springer, ¡2009. ¡

¡

• 8. ¡J. ¡C. ¡Rosales, ¡P. ¡A. ¡Garcia-­‑Sanchez, ¡J. ¡I. ¡Garcia-­‑Garcia, ¡and ¡M. ¡B. ¡Branco, ¡Arf ¡numerical ¡ ¡semi-­‑

groups, ¡J. ¡of ¡Alg. ¡276 ¡(2004), ¡3 ¡-­‑ ¡12. ¡

References ¡

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