A Time Marching Scheme for Solving Volume Integral Equa9ons - - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Time ¡Marching ¡Scheme ¡for ¡Solving ¡Volume ¡ Integral ¡Equa9ons ¡on ¡Nonlinear ¡Sca<erers ¡

¡ Hakan ¡Bağcı ¡ ¡

Division ¡of ¡Computer, ¡Electrical, ¡and ¡Mathema9cal ¡Sciences ¡and ¡Engineering ¡(CEMSE) ¡ KAUST ¡SRI ¡Center ¡for ¡Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡in ¡Computa9onal ¡Science ¡and ¡Engineering ¡ King ¡Abdullah ¡University ¡of ¡Science ¡and ¡Technology ¡(KAUST) ¡ ¡ SRI ¡UQ ¡Annual ¡Mee9ng ¡ January ¡6, ¡2015 ¡ KAUST, ¡Thuwal ¡23955-­‑6900, ¡Saudi ¡Arabia ¡

¡

• Mo9va9on: ¡Need ¡for ¡Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡(UQ) ¡in ¡Electromagne9c ¡Simula9ons ¡
• UQ ¡Framework ¡

§ Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ § Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ § Mul9 ¡Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡

• Time ¡Domain ¡Determinis9c ¡Simulator ¡for ¡Kerr-­‑nonlinear ¡Sca<erers ¡

§ Time ¡Domain ¡Volume ¡Integral ¡Equa9on ¡(TDVIE) ¡Solver ¡ § TDVIE ¡Formula9on ¡ § Discre9za9on ¡ ¡ § Explicit ¡Marching-­‑on-­‑in-­‑Time ¡(MOT) ¡Solu9on ¡ § Numerical ¡Results ¡

Outline ¡

• Electromagne9c ¡simulators ¡are ¡needed ¡in ¡a ¡broad ¡range ¡of ¡

applica9ons ¡ § EMC/EMI ¡characteriza9on ¡ § Wireless ¡network ¡design ¡in ¡harsh ¡environments ¡ § Device ¡design ¡at ¡microwave ¡and ¡op9cal ¡frequencies ¡ ¡

• Almost ¡all ¡these ¡systems ¡are ¡replete ¡with ¡uncertain9es ¡

§ Fabrica9on ¡and ¡installa9on ¡ambigui9es ¡ § Contamina9on ¡of ¡materials ¡ § Approxima9ons ¡in ¡cons9tu9ve ¡models– ¡dispersion ¡models, ¡

homogeniza9on ¡techniques, ¡etc. ¡

§ Noise ¡sources ¡

• State-­‑of-­‑the-­‑art ¡electromagne9c ¡simulators ¡

§ Large ¡scale ¡problems ¡(paralleliza9on, ¡adap9ve ¡meshing ¡and ¡9me ¡

stepping, ¡FMM/FFT ¡accelera9on) ¡

§ Mul9-­‑scale ¡physics ¡(high/low ¡frequency, ¡geometry ¡details, ¡

hybridiza9on ¡of ¡different ¡equa9ons, ¡precondi9oners) ¡

• Objec9ve: ¡Efficient ¡UQ ¡techniques ¡in ¡electromagne9c ¡simula9on ¡

frameworks ¡to ¡allow ¡for ¡design ¡and ¡characteriza9on ¡of ¡complex ¡ electromagne9c ¡and ¡photonic ¡systems ¡

Mo9va9on: ¡UQ ¡for ¡Electromagne9c ¡Simula9ons ¡

• UQ ¡Framework ¡

§ Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ § Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ § Mul9 ¡Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡

with: ¡Abdulkadir ¡Yucel ¡and ¡Eric ¡Michielssen ¡(University ¡of ¡Michigan) ¡

• ¡ ¡ ¡ ¡parameterizes ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡random ¡variables ¡distributed ¡with ¡an ¡assumed/known ¡pdf ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

represents ¡a ¡set ¡of ¡EM ¡observables ¡ ¡

• Sta9s9cal ¡moments ¡of ¡EM ¡observable ¡ ¡

¡

• Es9ma9ng ¡sta9s9cal ¡informa9on ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡via ¡Monte ¡Carlo ¡(MC) ¡method ¡ ¡

E V(x) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = V (x)W(x)dx

D

∫

std V (x) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = V 2(x) − E V (x) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

( )

2W(x)dx D

∫

V (x)

x = [x1,x2,…,x

Ndof ] =

cable positions/bend/electrical characteristics, source locations (ext/int. generated EMI), angle of arrival (ext. generated EMI), source strengths/signatures (int. generated EMI), incident field polarization (ext. generated EMI), widths and lengths of interconnects, constitutive parameters of substrates, electronic system positions/parameters,… ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

x Ndof V (x)

V (x) = E-field(x),

{

H-field(x), Power(x)}

V (x)

W(x) = w(xi)

i=1 Ndof

∏

W(x)

xi ∈Di = ai,bi ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

dof

1 N i i

D

D

=

=∏

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡

EM Solver Random Variables

x V (xi)

pdf of x

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ Direct ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡

Monte Carlo Method

xi

Binning

i = 1,...,N MC

• Direct ¡Monte ¡Carlo ¡(MC) ¡Method ¡

§ Slow ¡convergence ¡ ¡ § ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡high ¡ § Very ¡costly ¡since ¡ ¡each ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡a ¡computer ¡simula9on ¡

N MC

V (xi)

Mean

• Std. dev

pdf of

V (x)

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡

EM Solver Random Variables

x

Mean

• Std. dev

pdf of x pdf of

Surrogate Model

 V (xi) xk V (xk )

Monte Carlo Method

x xi

Binning

 V (x)

i = 1,...,N MC p = 1,...,NSM NSM  N MC

• Surrogate ¡model ¡assisted ¡MC ¡Method ¡

§ Dras9cally ¡cheaper ¡if ¡ ¡ § Accurate ¡pdfs ¡if ¡ ¡

NSM  N MC

 V (x) ≈V (x)

• The ¡probabilis9c ¡colloca9on ¡(PC) ¡generates ¡surrogate ¡model ¡by ¡pth-­‑order ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡(gPC) ¡

expansion ¡

• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡mul9variate ¡orthogonal ¡polynomial ¡basis ¡selected ¡due ¡to ¡ ¡
• Legendre ¡polynomials ¡are ¡selected ¡as ¡polynomial ¡bases ¡regardless ¡of ¡ ¡
• Invert ¡this ¡rela9on ¡to ¡get ¡the ¡coefficients ¡
• To ¡numerically ¡evaluate ¡mul9dimensional ¡integral ¡

§

Tensor-­‑product ¡(TP) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡

§

Sparse ¡grid ¡(SG) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡

V (x) ≈  V (x) = vmPm(x)

m=0 N p

∑

, N p = Ndof + p

( )!

Ndof !p!

( )−1

vm vm = V (x)Pm(x)dx

D

∫

= V (xk )Pm(xk )α k

k=1 NSM

∑

, m = 0,…,N p

Observable Surrogate Model

Pm(x) W(x) W(x)

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡

• The ¡probabilis9c ¡colloca9on ¡(PC) ¡generates ¡surrogate ¡model ¡by ¡pth-­‑order ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡(gPC) ¡

expansion ¡

• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡mul9variate ¡orthogonal ¡polynomial ¡basis ¡selected ¡due ¡to ¡ ¡
• Legendre ¡polynomials ¡are ¡selected ¡as ¡polynomial ¡bases ¡regardless ¡of ¡ ¡
• Invert ¡this ¡rela9on ¡to ¡get ¡the ¡coefficients ¡
• To ¡numerically ¡evaluate ¡mul9dimensional ¡integral ¡

§

Tensor-­‑product ¡(TP) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡

§

Sparse ¡grid ¡(SG) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡

V (x) ≈  V (x) = vmPm(x)

m=0 N p

∑

, N p = Ndof + p

( )!

Ndof !p!

( )−1

vm vm = V (x)Pm(x)dx

D

∫

= V (xk )Pm(xk )α k

k=1 NSM

∑

, m = 0,…,N p

Observable Surrogate Model

Pm(x) W(x) W(x)

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡

• The ¡ME-­‑PC ¡method* ¡ ¡for ¡efficiently ¡handling ¡func9ons ¡with ¡discon9nui9es, ¡rapid, ¡and ¡slow ¡varia9ons ¡together ¡
• Adap9vely ¡refines ¡(sub-­‑) ¡domains ¡based ¡on ¡the ¡decay ¡

¡ ¡ ¡ ¡rates ¡of ¡observables’ ¡local ¡variances ¡

• Refinement ¡is ¡performed ¡along ¡dimensions ¡that ¡sa9sfy ¡

¡ ¡

( )

1

, 1, ,

(var var ) var ;

j p j p j p j j

J

τ

γ γ β

−

= − ≥

α j

i ≥ τ 2 ⋅

max

i=1,…,Ndof α j i

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ; α j

i = v j i (varp, j− varp−1, j)

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ The ¡Mul9-­‑Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ ¡

* ¡X. ¡Wan ¡and ¡G. ¡E. ¡Karniadakis, ¡“An ¡adap9ve ¡mul9-­‑element ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡method ¡for ¡stochas9c ¡differen9al ¡equa9ons.” J. ¡Comput. ¡

Phys., ¡209 ¡(2005), ¡pp. ¡617-­‑642. ¡

E H

• Determinis9c ¡Simulator-­‑ ¡How ¡to ¡compute ¡V(xi) ¡? ¡

Field ¡Solver ¡

• 3D ¡MoM ¡ ¡
• FMM-­‑FFT ¡accelerated ¡
• Parallel ¡computa9on ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Field ¡Solver ¡

• 3D ¡MoM ¡
• FFT ¡accelerated ¡
• Parallel ¡computa9on ¡

Circuit ¡Solver ¡

• MNA ¡
• Linear ¡elements ¡
• Nonlinear ¡elements ¡ ¡

Cable ¡Solver ¡

• 1D ¡MoM ¡
• FFT ¡accelerated ¡
• Coaxial ¡cables ¡
• Mul9conductor ¡

EMC/EMI ¡Characteriza9on ¡ Wave ¡Propaga9on ¡in ¡Tunnels ¡

Periodic ¡Field ¡Solver ¡

• 3D ¡TD-­‑DG-­‑FEM ¡
• FFT-­‑accelerated ¡EACs ¡
• Efficient ¡9me ¡integra9on ¡

Diffrac9on ¡Gra9ngs ¡

Transient ¡Field ¡Solver ¡

• 3D ¡TDVIE ¡
• Nonlinear ¡

cons9tu9ve ¡rela9on ¡

• Efficient ¡explicit ¡

9me ¡marching ¡

Kerr-­‑nonlinear ¡Sca<erers ¡

ε(r,t) = ε0 χ L + χ NL E(r,t)

2

( )

Transient ¡Field ¡Solver ¡

• 3D ¡TDVIE ¡
• Band-­‑limited ¡interpola9on ¡
• Stable ¡extrapola9on ¡

High-­‑contrast ¡Sca<erers ¡

2013 ¡ 2014 ¡ 2012 ¡ Pre-­‑2012 ¡

• Time ¡Domain ¡Determinis9c ¡Simulator ¡for ¡Kerr-­‑nonlinear ¡Sca<erers ¡

§ Time ¡Domain ¡Volume ¡Integral ¡Equa9on ¡(TDVIE) ¡Solver ¡ § TDVIE ¡Formula9on ¡ § Discre9za9on ¡ ¡ § Explicit ¡Marching-­‑on-­‑in-­‑Time ¡(MOT) ¡Solu9on ¡ § Numerical ¡Results ¡

with: ¡Sadeed ¡B. ¡Sayed ¡and ¡H. ¡Arda ¡Ulku ¡(KAUST) ¡

• Time ¡Domain ¡Volume ¡Integral ¡Equa9on ¡(TDVIE) ¡Solvers ¡are ¡an ¡alterna9ve ¡to ¡finite ¡

difference ¡9me ¡domain ¡(FDTD) ¡and ¡classical ¡FEM ¡schemes ¡

• Fields ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Spa9o-­‑temporal ¡convolu9ons ¡of ¡unknown ¡current ¡and ¡Green ¡func9on ¡of ¡

the ¡background ¡medium ¡

• Boundary/field ¡condi9ons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡TDVIE ¡
• TDVIEs ¡are ¡classically ¡solved ¡using ¡Marching-­‑on-­‑in-­‑9me ¡(MOT) ¡schemes ¡
• Local ¡spa9al ¡and ¡temporal ¡basis ¡func9ons ¡
• Galerkin ¡tes9ng ¡in ¡space ¡and ¡point ¡tes9ng ¡in ¡9me ¡
• Causal ¡temporal ¡basis ¡func9ons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Implicit ¡9me ¡marching ¡

Advantages ¡ ¡

• No ¡phase ¡dispersion ¡(Green ¡func9on ¡is ¡analy9cal) ¡
• No ¡grid ¡trunca9on ¡(exact ¡radia9on ¡condi9on) ¡
• Time ¡step ¡size ¡is ¡not ¡necessarily ¡constrained ¡by ¡spa9al ¡discre9za9on ¡(no ¡CFL ¡

condi9on) ¡

• Only ¡volume ¡of ¡the ¡object ¡is ¡discre9zed ¡ ¡
• Accurate ¡representa9on ¡of ¡the ¡geometry ¡(higher-­‑order ¡spa9al ¡discre9za9on) ¡

Introduc9on ¡

Challenges ¡

• Interac9ons ¡are ¡global ¡in ¡space ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡High ¡computa9onal ¡cost ¡
• Reduced ¡using ¡previously ¡developed ¡

§

Plane ¡Wave ¡Time ¡Domain ¡(PWTD) ¡scheme ¡(9me ¡domain ¡version ¡of ¡FMM) ¡

§

Blocked ¡FFT ¡scheme ¡(9me ¡domain ¡version ¡of ¡CG-­‑FFT) ¡

• Retarded ¡9me ¡func9ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡integrated ¡and ¡tested ¡in ¡space ¡
• Numerical ¡stability ¡calls ¡for ¡high ¡accuracy ¡

§

Exact ¡or ¡quasi ¡exact ¡integra9on ¡methods ¡

§

Band-­‑limited ¡temporal ¡interpola9on ¡with ¡con9nuous ¡deriva9ves ¡and ¡stable ¡extrapola9on ¡schemes ¡

• Applicability ¡of ¡the ¡TDVIE ¡solvers ¡should ¡be ¡expanded ¡
• Applica9on ¡to ¡sca<erers ¡with ¡nonlinear ¡cons9tu9ve ¡rela9on ¡(i.e., ¡material ¡proper9es ¡

depend ¡on ¡field ¡values) ¡has ¡been ¡limited ¡

§

MOT ¡schemes ¡are ¡implicit: ¡Difficult ¡to ¡incorporate ¡nonlineari9es ¡

§

Explicit ¡MOT ¡schemes ¡are ¡needed ¡

Introduc9on ¡

f (r,t − r − ′ r c0),

V

ε(r)

Formula9on: ¡TDVIE ¡

Dielectric Object

Einc(r,t)

µ0

• Volumetric ¡sca<er ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

residing ¡in ¡free ¡space ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡

ε0

µ0

• Total ¡volume: ¡ ¡ ¡
• Excita9on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡band-­‑limited ¡to ¡ ¡ ¡
• Current ¡induced ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡ ¡

V

Einc(r,t) fmax

J(r,t)

V J(r,t)

• Cons9tu9ve ¡rela9on ¡
• For ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cons9tu9ve ¡

rela9on ¡becomes ¡nonlinear ¡ ¡

• Kerr ¡nonlinearity ¡
• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡the ¡first ¡and ¡third ¡order ¡

rela9ve ¡permipvity ¡terms ¡

D(r,t) = ε(r,t)E(r,t) ε(r,t) = ε0 χ L + χ NL E(r,t)

2

( )

χ

L , χ NL

ε(r,t) = f (E(r,t))

V

ε(r)

Formula9on: ¡TDVIE ¡

∂tEinc(r,t) = ∂tE(r,t) + L{E(r,t)} −ε0

−1L{D(r,t)}

• Fields ¡sa9sfy ¡(TDVIE) ¡

¡ ¡

Dielectric Object

Einc(r,t)

µ0

• Volumetric ¡sca<er ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

residing ¡in ¡free ¡space ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡

ε0

µ0

• Total ¡volume: ¡ ¡ ¡
• Excita9on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡band-­‑limited ¡to ¡ ¡ ¡
• Current ¡induced ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡ ¡

V

Einc(r,t) fmax

J(r,t)

V J(r,t) R = r − ′ r L{X(r,t)}= − µ0ε0 4π 1 R ∂t

3X( ′

r ,τ )d ′ r

V

∫

+ 1 4π ∇ 1 R ′ ∇ ⋅∂t X( ′ r ,τ )d ′ r

V

∫

• Sca<ered ¡electric ¡field ¡operator ¡

τ = t − R c0

• To ¡numerically ¡solve ¡the ¡TDVIE ¡
• Volume ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡divided ¡into ¡tetrahedrons ¡
• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡expanded ¡as ¡ ¡
• Unknowns: ¡ ¡
• Temporal ¡basis ¡func9ons: ¡
• Spa9al ¡basis ¡func9ons: ¡ ¡

D(r,t) = In,i

DTi(t)fn f (r) n=1 Nf

∑

i=0 Nt

∑

In,i

D

V

D(r,t)

fn

f (r)

fn

f (r) = ± Ak

3Vk

± (r − rk ±), r ∈Vk ±

, elsewhere ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

n

ρ +

n

ρ −

Ti(t)

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• To ¡numerically ¡solve ¡the ¡TDVIE ¡
• Volume ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡divided ¡into ¡tetrahedrons ¡
• ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡expanded ¡as ¡ ¡
• Unknowns: ¡ ¡
• Temporal ¡basis ¡func9ons: ¡
• Spa9al ¡basis ¡func9ons: ¡ ¡

E(r,t) = In,i

E Ti(t)fn h(r) n=1 Nh

∑

i=0 Nt

∑

In,i

E

V

E(r,t)

fn

h(r)

fn

h(r) =

Ak 3Vk (r − rk ) , r ∈Vk , elsewhere ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

Ti(t)

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

ρn

• Tes9ng ¡TDVIE ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡9mes ¡yields ¡

¡

• MOT ¡matrices ¡
• Sparse ¡Gram ¡matrix ¡
• Tested ¡electric ¡field ¡

¡

G∂tI j

E = Vj inc − Z0I j E −

Z j−iIi

E i=0 j−1

∑

+ε0

−1Z0PtI j D + ε0 −1

Z j−iPtIi

D i=0 j−1

∑

fn

h(r)

t = jΔt

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

{Z j−i}m,n = fm

h(r)⋅L{fm h(r)Ti(t)}

t= jΔt dr Vm

∫

{G}m,n = f

m h(r)⋅f n h(r)dr

Vm

∫

{Vj}= f

m h(r)⋅E inc(r,t)dr

Vm

∫

t= jΔt

MOT ¡matrix ¡system ¡

• Tes9ng ¡TDVIE ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡9mes ¡yields ¡

¡

• Unknown ¡coefficients ¡

¡

• Sparse ¡matrix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡maps ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡space ¡to ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡space ¡

G∂tI j

E = Vj inc − Z0I j E −

Z j−iIi

E i=0 j−1

∑

+ε0

−1Z0PtI j D + ε0 −1

Z j−iPtIi

D i=0 j−1

∑

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

MOT ¡matrix ¡system ¡

{I j

E}n = In, j E {∂tI j E}n = ∂t In, j E {I j D}n = In, j D

P

t = jΔt fn

h(r)

fn

f (r)

fn

h(r)

• Tes9ng ¡cons9tu9ve ¡rela9on ¡with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡9mes ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡yields ¡
• Sparse ¡Gram ¡matrices ¡
• Unknown ¡coefficients ¡
• Discre9zed ¡permipvity ¡

PGPtI j

D = P 

G jI j

E

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

Auxiliary ¡equa9on ¡

{I j

E}n = In, j E {I j D}n = In, j D

{G}m,n = f

m h(r)⋅f n h(r)dr

Vm

∫

{  G j}m,n = ε(r, jΔt)f

m h(r)⋅f n h(r)dr

Vm

∫

ε(r, jΔt)  ε0 χ L + χ NL In, j

E fn h(r) n=1 N

∑

2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

t = jΔt fn

f (r)

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡

¡ ¡ ¡

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ ¡ ¡ ¡

jth Vj

fixed = Vj inc −

Z j−iIi

E i=0 j−1

∑

+ ε0

−1

Z j−iPtIi

D i=0 j−1

∑

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p I j

E,0 =

{p}lI j−1+l−k

E

+{p}k+l ∂tI j−1+l−k

E

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

l=1 k

∑

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

PGPtI j

D,0 = P 

G jI j

E,0

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

G∂tI j

E,0 = Vj fixed − Z0I j E,0 + ε0 −1Z0PtI j D,0

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1)

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c I j

E,ν =

{c}lI j−1+l−k

E

+{c}k+l ∂tI j−1+l−k

E

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

l=1 k

∑

+{c}2k+1∂tI j

E,ν−1

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡Step ¡4.2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

PGPtI j

D,ν = P 

G jI j

E,ν

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡Step ¡4.2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡Step ¡4.3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

G∂tI j

E,ν = Vj fixed − Z0I j E,ν + ε0 −1Z0PtI j D,ν

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡Step ¡4.2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡Step ¡4.3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ ¡Step ¡4.4 ¡: ¡Apply ¡successive ¡over ¡relaxa9on ¡to ¡ ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

I j

E

I j

E,ν = αI j E,ν + (1−α)I j E,ν−1

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡Step ¡4.2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡Step ¡4.3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ ¡Step ¡4.4 ¡: ¡Apply ¡successive ¡over ¡relaxa9on ¡to ¡ ¡ ¡Step ¡4.5 ¡: ¡Check ¡for ¡convergence ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

I j

E

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

• Coupled ¡matrix ¡system ¡is ¡integrated ¡in ¡9me ¡using ¡PE(CE)m ¡
• At ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡9me ¡step ¡ ¡

Step ¡0 ¡: ¡Compute ¡the ¡fixed ¡part ¡ Step ¡1 ¡: ¡Predict ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡predictor ¡coefficients ¡ ¡ Step ¡2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ Step ¡3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ Step ¡4 ¡: ¡Iterate ¡un9l ¡convergence ¡ ¡ ¡Step ¡4.1 ¡: ¡Correct ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡corrector ¡coefficients ¡ ¡ ¡Step ¡4.2 ¡: ¡Update ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡solve ¡for ¡ ¡ ¡Step ¡4.3 ¡: ¡Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡by ¡solving ¡ ¡Step ¡4.4 ¡: ¡Apply ¡successive ¡over ¡relaxa9on ¡to ¡ ¡ ¡Step ¡4.5 ¡: ¡Check ¡for ¡convergence ¡ Step ¡5 ¡: ¡Store ¡results ¡and ¡march ¡on ¡ ¡ ¡

jth I j

E

p ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

(ν ≥ 1) I j

E

c ε(r, jΔt) I j

D

P  G jI j

E

∂tI j

E

I j

E

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

Formula9on: ¡MOT ¡Solu9on ¡

Highlights ¡

• First ¡formula<on ¡and ¡implementa<on ¡of ¡an ¡MOT-­‑TDVIE ¡solver ¡for ¡nonlinear ¡

sca<erers ¡

• Proposed ¡MOT ¡scheme ¡is ¡quasi-­‑explicit ¡

§ Gram ¡matrices ¡are ¡sparse ¡and ¡well-­‑condi9oned ¡regardless ¡of ¡9me ¡step ¡size ¡and ¡

frequency ¡

§ Matrix ¡inversion ¡is ¡carried ¡out ¡very ¡efficiently ¡using ¡an ¡itera9ve ¡solver ¡ § More ¡efficient ¡than ¡implicit ¡solver ¡at ¡low ¡frequencies ¡

• Previously ¡developed ¡PWTD ¡and ¡blocked ¡FFT ¡schemes ¡can ¡s9ll ¡be ¡used ¡
• A ¡Newton-­‑type ¡nonlinear ¡solver ¡is ¡not ¡required ¡
• Nonlinearity ¡is ¡accounted ¡for ¡as ¡only ¡a ¡func9on ¡evalua9on ¡

• Sca<erer: ¡Dielectric ¡sphere ¡of ¡unit ¡radius ¡
• Excita9on: ¡ ¡

¡

Numerical ¡Examples: ¡Four ¡wave ¡mixing ¡

Einc(r,t) = ˆ yG(t − r⋅ ˆ z c0 , f0)

G(t, f ) = cos 2π f (t − tp) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦exp[−(t − tp)2 / 2σ 2] f0 = 12.5MHz, fbw = 2.5MHz, σ = 3/ (2π fbw), tp = 6σ

2 m

Einc(r,t) ˆ y ˆ z

χ L = 1.5, χ NL = 0.075 f0 3f0

ε(r,t) = ε0(χ L + χ NL E(r,t)

2)

• Sca<erer: ¡Dielectric ¡sphere ¡of ¡unit ¡radius ¡
• Excita9on: ¡ ¡

¡

Numerical ¡Examples: ¡Four ¡wave ¡mixing ¡

Einc(r,t) = ˆ y 0.75G(t − r⋅ ˆ z c0 , f1) ⎡ ⎣ +0.5G(t − r⋅ ˆ z c0 , f2)⎤ ⎦

f1 = 12.5MHz, f2 = 8MHz, fbw = 2.5MHz

f1 f2 2 f2 − f1 2 f1 − f2

2 m

Einc(r,t) ˆ y ˆ z

χ L = 1.5, χ NL = 0.075

ε(r,t) = ε0(χ L + χ NL E(r,t)

2)

• More ¡work ¡on ¡the ¡MOT ¡scheme ¡for ¡nonlinear ¡sca<erers ¡

§ Time-­‑step ¡size ¡selec9on ¡ ¡ § Valida9on ¡of ¡the ¡accuracy ¡ § Computa9onal ¡efficiency ¡

• Applying ¡the ¡MOT-­‑TDVIE ¡solver ¡to ¡more ¡realis9c ¡nonlinear ¡structures ¡
• MOT ¡scheme ¡for ¡9me ¡domain ¡surface ¡integral ¡equa9ons ¡+ ¡dispersive ¡

cons9tu9ve ¡rela9on ¡for ¡plasmonic ¡interac9ons ¡(Poster ¡session) ¡

• MOT ¡scheme ¡for ¡9me ¡domain ¡impedance ¡boundary ¡condi9ons ¡+ ¡

dispersive ¡cons9tu9ve ¡rela9on ¡for ¡graphene ¡(Poster ¡session) ¡

• Explicit ¡solver ¡for ¡volume ¡magne9c ¡field ¡integral ¡equa9on ¡(Poster ¡

session) ¡

• UQ ¡framework ¡with ¡mul9-­‑level ¡Monte ¡Carlo ¡method ¡(Poster ¡session) ¡

On-­‑Going ¡and ¡Future ¡Work ¡

PhD ¡Students ¡

§

Abdulla ¡Desmal ¡(Jan. ¡2011-­‑May ¡2015): ¡“Sparse ¡reconstruc9on ¡techniques ¡for ¡nonlinear ¡electromagne9c ¡imaging” ¡

§

Ismail ¡Uysal ¡(Sep. ¡2011-­‑May ¡2015): ¡“Quantum-­‑corrected ¡9me ¡domain ¡surface ¡integral ¡equa9on ¡solvers ¡for ¡plasmonics” ¡

§

Sadeed ¡B. ¡Sayed ¡(Sep. ¡2012-­‑May ¡2016): ¡“Highly ¡stable ¡9me ¡domain ¡volume ¡integral ¡equa9ons ¡for ¡dielectric ¡sca<erers” ¡

§

Ali ¡Imran ¡Sandhu ¡(Sep. ¡2013-­‑May ¡2017): ¡“Time ¡domain ¡surface ¡integral ¡equa9ons ¡solvers ¡for ¡analyzing ¡graphene ¡structures” ¡

§

Noha ¡Alhar9 ¡(June ¡2013-­‑ ¡Dec. ¡2017): ¡“A ¡parallel ¡FMM-­‑accelerated ¡Nystrom ¡solver ¡for ¡electromagne9cs” ¡ Post-­‑Doctoral ¡Researchers ¡

§

Arda ¡Ulku ¡(Aug. ¡2011-­‑Jan. ¡2015) ¡ ¡

§

Yifei ¡Shi ¡(May ¡2012-­‑May ¡2015) ¡

§

Mohamed ¡Farhat ¡(Sep. ¡2012-­‑Sep. ¡2015) ¡

§

Ping ¡Li ¡(Sep. ¡2014-­‑Sep ¡2015) ¡ Alumni ¡

§

Muhammad ¡Amin ¡(PhD ¡degree, ¡Sep. ¡2010-­‑May ¡2014): ¡Assistant ¡Professor, ¡Electrical ¡Engineering, ¡Sarhad ¡University ¡of ¡Science ¡ and ¡Informa9on ¡Technology ¡(SUIT), ¡Peshawar, ¡Pakistan ¡

§

Abdulla ¡Desmal ¡(MS ¡degree, ¡Sep. ¡2009-­‑Dec. ¡2010): ¡PhD ¡student ¡at ¡KAUST ¡

§

Umair ¡Khalid ¡(MS ¡degree, ¡Dec. ¡2010): ¡MBA ¡Student, ¡Strategy ¡and ¡Finance, ¡Emory ¡University, ¡Atlanta, ¡GA. ¡ ¡

§

Kostyantyn ¡Sirenko ¡(Post-­‑Doc) ¡(February ¡2010-­‑August ¡2014) ¡

§

Mohamed ¡Salem, ¡(Post-­‑Doc) ¡(Mar-­‑2010-­‑Mar. ¡2013): ¡Post-­‑doctoral ¡Researcher, ¡Poly-­‑Grames ¡Research ¡Center, ¡École ¡ Polytechnique ¡de ¡Montréal, ¡Montréal, ¡Canada ¡

§

Ahmed ¡Al-­‑Jarro, ¡(Post-­‑Doc) ¡(Nov. ¡2010-­‑Nov. ¡2012): ¡Research ¡Scien9st, ¡Electronic ¡and ¡Electrical ¡Engineering, ¡University ¡College ¡ London, ¡London, ¡United ¡Kingdom ¡

§

Meilin ¡Liu, ¡(Post-­‑Doc) ¡(Jan. ¡2011-­‑Jan. ¡2013): ¡Satellite ¡Communica9ons ¡Researcher, ¡Shanghai ¡Ins9tute ¡of ¡Satellite ¡Engineering, ¡ Shanghai ¡City, ¡China ¡

CEM ¡Research ¡Group ¡at ¡KAUST ¡– ¡People ¡and ¡ Facili9es ¡