A Closure for Grads 13 Moment Equa7ons Using A - - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Closure ¡for ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa7ons ¡Using ¡ ¡ ¡ A ¡Hermite ¡Polynomial ¡Representa7on ¡ ¡ Of ¡Velocity ¡Distribu7on ¡Func7on ¡

• L. ¡Pekker ¡

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments

• mass of a particle

thermal ¡velocity ¡

ρ = m⋅ n f ⋅ d3  V ∫

mass ¡density ¡ flow ¡velocity ¡

ui = Vi⋅ f ⋅ d3  V ∫ i = (x,y,z) 3 4 ρ⋅ VT

2 = ρ

2⋅ Vi − ui

( )

2⋅ f ⋅ d3 

V ∫

heat ¡ ¡flux ¡

qi = ρ 2⋅ Vi − ui

( )⋅

 V −  u

( )

2⋅ f ⋅ d3 

V ∫ i = (x,y,z)

viscous ¡stress ¡ ¡tensor ¡

σij = ρ⋅ Vi − ui

( )⋅ Vj − uj

( ) −δij

VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ f ⋅ d3  V ∫ ij = (xx,xy,xz,yy,yz)

• velocity distribution function
• number density

f (  V ) n m- mass of a molecule

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments

• mass of a particle

13 ¡

thermal ¡velocity ¡

ρ = m⋅ n f ⋅ d3  V ∫

mass ¡density ¡ flow ¡velocity ¡

ui = Vi⋅ f ⋅ d3  V ∫ i = (x,y,z) 3 4 ρ⋅ VT

2 = ρ

2⋅ Vi − ui

( )

2⋅ f ⋅ d3 

V ∫

heat ¡ ¡flux ¡

qi = ρ 2⋅ Vi − ui

( )⋅

 V −  u

( )

2⋅ f ⋅ d3 

V ∫ i = (x,y,z)

viscous ¡stress ¡ ¡tensor ¡

σij = ρ⋅ Vi − ui

( )⋅ Vj − uj

( ) −δij

VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ f ⋅ d3  V ∫ ij = (xx,xy,xz,yy,yz)

• velocity distribution function
• number density

f (  V ) n m- mass of a molecule

Boltzmann ¡equa<on ¡ Multiplying Boltzmann equation by these functions and integrating over the entire velocity space and taking into account that we obtain the moment equations that correspond to mass, momentum, and energy conservation laws and moment equations for heat flux and viscous stress tensor: General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments

∂(n⋅ f ) ∂t +Vi⋅ ∂(n⋅ f ) ∂xi = St(n⋅ f ) m m⋅ Vi m 2 ⋅  V 2 m 2 ⋅ (  V −  u )2(Vi − ui) m (Vi − ui)⋅ (Vj − ui) −δij VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ m⋅ St( f )⋅ d3  V = 0 ∫ m⋅  V ⋅ St( f )⋅ d3  V = 0 ∫ m 2 ⋅  V 2⋅ St( f )⋅ d3  V = 0 ∫

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡

∂σij ∂t + ∂(ukσij) ∂xk +σik ∂uj ∂xk +σ jk ∂ui ∂xk + ρVT

2

2 ∂ui ∂x j + ∂uj ∂xi ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂xk ρ (Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) fd3  V ∫

( ) = −

σij τ ij = (xy,xz,yx)

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡

∂σij ∂t + ∂(ukσij) ∂xk +σik ∂uj ∂xk +σ jk ∂ui ∂xk + ρVT

2

2 ∂ui ∂x j + ∂uj ∂xi ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂xk ρ (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) fd3  V ∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = −σll τ + ∂ ∂xk ρ (Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) fd3  V ∫

( ) = −

σij τ ∂σll ∂t − 1 3 ρVT

2 ∂ui

∂xi − 2 3 ∂qi ∂xi − 2 3σij ∂ui ∂x j + ∂(ukσll) ∂xk + 2σlk ∂ul ∂xk + ρVT

2 ∂ul

∂xl ij = (xy,xz,yx) l = (x,y) σzz = −σxx −σyy

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡

∂σij ∂t + ∂(ukσij) ∂xk +σik ∂uj ∂xk +σ jk ∂ui ∂xk + ρVT

2

2 ∂ui ∂x j + ∂uj ∂xi ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂xk ρ (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) fd3  V ∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = −σll τ +ρ ∂uj ∂xk (Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) fd3  V ∫ = − qi τ + ∂ ∂xk ρ (Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) fd3  V ∫

( ) = −

σij τ ∂σll ∂t − 1 3 ρVT

2 ∂ui

∂xi − 2 3 ∂qi ∂xi − 2 3σij ∂ui ∂x j + ∂(ukσll) ∂xk + 2σlk ∂ul ∂xk + ρVT

2 ∂ul

∂xl ∂qi ∂t + ∂(ukqi) ∂xk + qk ∂ui ∂xk − 5VT

2

4 ∂ ∂xi ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σij ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − σik ρ ∂ ∂xk ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jk ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂xk ρ 2 (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk) fd3  V ∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ij = (xy,xz,yx) l = (x,y) i = (x,y,z) σzz = −σxx −σyy

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

HN (χ)

−∞ +∞

∫ ⋅ HN (χ)⋅ Exp(−χ2)⋅ dχ = 0, N ≠ M π ⋅ N! ⋅2N , N = M ⎧ ⎨ ⎩ HN (χ) = (−1)N Exp(χ2) dN dχN Exp −χ2

( )

( ) 1D Hermite polynomial ¡

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

HN (χ)

−∞ +∞

∫ ⋅ HN (χ)⋅ Exp(−χ2)⋅ dχ = 0, N ≠ M π ⋅ N! ⋅2N , N = M ⎧ ⎨ ⎩ HN (χ) = (−1)N Exp(χ2) dN dχN Exp −χ2

( )

( ) 1D Hermite polynomial ¡

For our purposes we need only the following set of Hermite polynomials:

H0 =1 H1χ = 2χ H2χ = 4χ2 − 2 H3χ = 8χ3 −12χ3 H4χ =16χ4 − 48χ2 +12

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

HN (χ)

−∞ +∞

∫ ⋅ HN (χ)⋅ Exp(−χ2)⋅ dχ = 0, N ≠ M π ⋅ N! ⋅2N , N = M ⎧ ⎨ ⎩ HN (χ) = (−1)N Exp(χ2) dN dχN Exp −χ2

( )

( )

χi = Vi − ui VT

1D Hermite polynomial ¡ For our purposes we need only the following set of Hermite polynomials: The velocity distribution function can be described as a combination of 3D Hermite polynomials : ¡ ¡

i = (x,y,z) H0 =1 H1χ = 2χ H2χ = 4χ2 − 2 H3χ = 8χ3 −12χ3 H4χ =16χ4 − 48χ2 +12 fH = Exp −χx

2 − χy 2 − χz 2

( )

VT

3⋅ π 3/2

Λk ˆ H

k(χx,χy,χz) k=1 k=35

∑

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

ˆ H

1 = H0

ˆ H

4 = H1z

2 ˆ H

3 =

H1y 2 ˆ H

2 = H1x

2 ˆ H

5 = H2x

4 ˆ H

8 =

H2y 4 ˆ H

7 = H1x⋅ H1z

4 ˆ H

6 =

H1x⋅ H1y 4 ˆ H

9 =

H1y⋅ H1z 4 ˆ H

10 = H2z

4 ˆ H

11 =

H3x + H1x⋅ H2y + H1x⋅ H2z 8 ˆ H

12 =

H3y + H1y⋅ H2x + H1y⋅ H2z 8 ˆ H

13 =

H3z + H1z⋅ H2x + H1z⋅ H2y 8 i ≠ j ˆ H

i⋅ ˆ

H j⋅ Exp − χ

2

( )⋅ d3

χ ∫ = 0

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

ˆ H

14 = H4x

ˆ H

17 = H2x⋅ H2y

ˆ H

16 = H4z

ˆ H

15 = H4y

ˆ H

18 = H2x⋅ H2z

ˆ H

21 = H3x⋅ H1z

ˆ H

20 = H3x⋅ H1y

ˆ H

19 = H2y⋅ H2z

ˆ H

22 = H3y⋅ H1x

ˆ H

23 = H3y⋅ H1z

ˆ H

24 = H3z⋅ H1x

ˆ H

25 = H3z⋅ H1y

ˆ H

26 = H1x⋅ H1y⋅ H2z

ˆ H

27 = H1y⋅ H1z⋅ H2x

ˆ H

30 = H3x −

3⋅ H1x⋅ (H2y + H2z) 2 ˆ H

29 = H1x⋅ H1y⋅ H1z

ˆ H

28 = H1x⋅ H1z⋅ H2y

ˆ H

31 = H3y −

3⋅ H1y⋅ (H2x + H2z) 2 ˆ H

32 = H3z −

3⋅ H1z⋅ (H2x + H2y) 2 ˆ H

33 = H1x⋅ (H2y + H2z)

ˆ H

34 = H1y⋅ (H2x + H2z)

ˆ H

35 = H1z⋅ (H2x + H2y)

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ )

where

 χ = (χx,χy,χz) = Vx − ux VT , Vy − uy VT ,Vz − uz VT ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ ) fH

 V

∫ ⋅ d3  V =1 fH

 V

∫ ⋅  V ⋅ d3  V =  u fH

 V

∫ ⋅ (  V −  u )2⋅ d3  V = 3 2⋅ VT

2

where

 χ = (χx,χy,χz) = Vx − ux VT , Vy − uy VT ,Vz − uz VT ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Since the particle distribution function has to satisfy the following conditions: ¡ ¡

=> ¡

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ ) fH

 V

∫ ⋅ d3  V =1 fH

 V

∫ ⋅  V ⋅ d3  V =  u fH

 V

∫ ⋅ (  V −  u )2⋅ d3  V = 3 2⋅ VT

2

where

 χ = (χx,χy,χz) = Vx − ux VT , Vy − uy VT ,Vz − uz VT ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Since the particle distribution function has to satisfy the following conditions: ¡ ¡

=> ¡

Λ1 =1 Λ2 = Λ3 = Λ4 = 0 Λ5 + Λ8 + Λ10 = 0

=> ¡ => ¡

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ ) fH

 V

∫ ⋅ d3  V =1 fH

 V

∫ ⋅  V ⋅ d3  V =  u fH

 V

∫ ⋅ (  V −  u )2⋅ d3  V = 3 2⋅ VT

2

where

 χ = (χx,χy,χz) = Vx − ux VT , Vy − uy VT ,Vz − uz VT ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Since the particle distribution function has to satisfy the following conditions: ¡ ¡ Thus, the particle distribution function has 35 variables:

=> ¡

Λ1 =1 Λ2 = Λ3 = Λ4 = 0 Λ5 + Λ8 + Λ10 = 0

=> ¡ => ¡

n (ux,uy,uz) VT

2 (Λ5,Λ6,Λ7,Λ8,Λ9,Λ11 − Λ35)

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ ) fH

 V

∫ ⋅ d3  V =1 fH

 V

∫ ⋅  V ⋅ d3  V =  u fH

 V

∫ ⋅ (  V −  u )2⋅ d3  V = 3 2⋅ VT

2

where

 χ = (χx,χy,χz) = Vx − ux VT , Vy − uy VT ,Vz − uz VT ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Since the particle distribution function has to satisfy the following conditions: ¡ ¡ Thus, the particle distribution function has 35 variables:

=> ¡

Λ1 =1 Λ2 = Λ3 = Λ4 = 0 Λ5 + Λ8 + Λ10 = 0

=> ¡ => ¡

n (ux,uy,uz) VT

2 (Λ5,Λ6,Λ7,Λ8,Λ9,Λ11 − Λ35)

Substituting into expressions for the heat flux and viscous stress tensor we obtain

fH Λ11 = 8⋅ qx 5⋅ ρ⋅ VT

3 Λ12 =

8⋅ qy 5⋅ ρ⋅ VT

3

Λ13 = 8⋅ qz 5⋅ ρ⋅ VT

3

Λ9 = 4⋅ σyz ρ⋅ VT

2

Λ7 = 4⋅ σxz ρ⋅ VT

2

Λ6 = 4⋅ σxy ρ⋅ VT

2

Λ10 = − 2⋅ (σxx +σyy) ρ⋅ VT

2

Λ8 = 2⋅ σyy ρ⋅ VT

2

Λ5 = 2⋅ σxx ρ⋅ VT

2

Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡ 13 moment equation

∂σij ∂t + ...... = − σij τ i = (x,y,z) ∂qi ∂t + ...... = − qi τ ∂σll ∂t + ...... = −σll τ ij = (xy,xz,yz) l = (x,y)

Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

fGrad = fM Λi ˆ H

i i=1 i=13

∑

13 moment equation Grad have suggested his velocity distribution function

∂qx ∂t + ∂ ukqx

( )

∂xk + qk ∂ux ∂xk − 5VT

2

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ ∂x ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jx ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − σ xk ρ ∂ ∂xk ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jk ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂xk ρ 2⋅ (Vx − ux)⋅ (  V −  u )2⋅ (Vk − uk)⋅ fGRAD⋅ d3  V

 V

∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ρ⋅ (Vx − ux)⋅ (Vk − uk)⋅ (Vj − uj)⋅ fGRAD⋅ d3  V

 V

∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂uj ∂xk = − qx τ

Substituting fGrad into the heat flux equation with help of Mathematica

∂σij ∂t + ...... = − σij τ i = (x,y,z) ∂qi ∂t + ...... = − qi τ ∂σll ∂t + ...... = −σll τ ij = (xy,xz,yz) l = (x,y)

Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

∂qx ∂t + ∂ ∂xk ukqx

( ) + qk

∂ux ∂xk − 5VT

2

4 ∂ ∂x ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jx ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − σ xk ρ ∂ ∂xk ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jk ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂x 5ρVT

4

8 + 7VT

2σ xx

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y 7VT

2σ xy

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂z 7VT

2σ xz

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 6qx 5 ∂ux ∂x + 2qy 5 ∂uy ∂x + + 2qy 5 ∂ux ∂y + 2qz 5 ∂uz ∂x + 2qz 5 ∂ux ∂z + 2qx 5 ∂uy ∂y + 2qx 5 ∂uz ∂z = − qx τ

Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡ Substituting fGrad into the viscous stress tensor equations with help of Mathematica

∂qx ∂t + ∂ ∂xk ukqx

( ) + qk

∂ux ∂xk − 5VT

2

4 ∂ ∂x ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jx ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − σ xk ρ ∂ ∂xk ρVT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂σ jk ∂x j ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂x 5ρVT

4

8 + 7VT

2σ xx

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y 7VT

2σ xy

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂z 7VT

2σ xz

4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 6qx 5 ∂ux ∂x + 2qy 5 ∂uy ∂x + + 2qy 5 ∂ux ∂y + 2qz 5 ∂uz ∂x + 2qz 5 ∂ux ∂z + 2qx 5 ∂uy ∂y + 2qx 5 ∂uz ∂z = − qx τ ∂σxx ∂t + ∂ ∂xk ukσxx

( ) + 2σxx

∂ux ∂x + 2σyx ∂ux ∂y + 2σzx ∂ux ∂z − 2σkl 3 ∂ul ∂xk + + 2ρVT

2

3 ∂ux ∂xx − ρVT

2

3 ∂uy ∂y − ρVT

2

3 ∂uz ∂z + 8 15 ∂qx ∂x − 4 15 ∂qy ∂y − 4 15 ∂qz ∂z = −σxx τ ∂σxy ∂t + ∂ ukσxy

( )

∂xk +σky ∂ux ∂xk + ρVT

2

2 ∂ux ∂y +σkx ∂uy ∂xk + ρVT

2

2 ∂uy ∂x + 2 5 ∂qy ∂x + 2 5 ∂qx ∂y = − σxy τ

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

(Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk)

=> ¡

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

(Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk) χiχjχk χl

2 − 1

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ χk χiχk  χ

2

=> ¡

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

=> ¡

All polynomials are orthogonal to each other

(Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk) χiχjχk χl

2 − 1

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ χk χiχk  χ

2

=> ¡

H4χi H2χiH2χ j ij = (xy,xz,yz) H1χiH1χ j H2χk ijk = (xyz,xzy,yzx) H1χi H2χi H3χi i = (x,y,z) H1χiH1χ j H3χiH1χ j H2χiH1χ j ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) H1χiH1χ j H1χk ijk = (x,y,z) H0

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

=> ¡

35 ¡

All polynomials are orthogonal to each other

(Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk) χiχjχk χl

2 − 1

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ χk χiχk  χ

2

=> ¡

H4χi H2χiH2χ j ij = (xy,xz,yz) H1χiH1χ j H2χk ijk = (xyz,xzy,yzx) H1χi H2χi H3χi i = (x,y,z) H1χiH1χ j H3χiH1χ j H2χiH1χ j ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) H1χiH1χ j H1χk ijk = (x,y,z) H0

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

=> ¡

35 ¡

All polynomials are orthogonal to each other

fH = Exp − χ

2

( )

VT

3⋅ π 3/2 ⋅

Λk⋅ ˆ H

k( k=1 35

∑  χ )

System of 35 Hermite orthogonal polynomials is congruent to the set of above 35 Hermite polynomials

ˆ H

k

=> ¡

H4χi H2χiH2χ j ij = (xy,xz,yz) H1χiH1χ j H2χk ijk = (xyz,xzy,yzx) H1χi H2χi H3χi i = (x,y,z) H1χiH1χ j H3χiH1χ j H2χiH1χ j ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) H1χiH1χ j H1χk ijk = (x,y,z) H0

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

A Hermite polynomial representation of under integral polynomials in left- hand side of equations for the heat flux and viscous stress tensor

=> ¡

35 ¡

All polynomials are orthogonal to each other System of 35 Hermite orthogonal polynomials is congruent to the set of above 35 Hermite polynomials

Thus, it was shown that the chosen set of Hermite polynomials is complete and has good physical sense, the first 13 of them corresponds to , , , and

(Vi − ui)(Vj − uj)(Vk − uk) (Vl − ul)2 − VT

2

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ (Vk − uk) (Vi − ui)(  V −  u )2(Vk − uk) χiχjχk χl

2 − 1

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ χk χiχk  χ

2

=> ¡

H4χi H2χiH2χ j ij = (xy,xz,yz) H1χiH1χ j H2χk ijk = (xyz,xzy,yzx) H1χi H2χi H3χi i = (x,y,z) H1χiH1χ j H3χiH1χ j H2χiH1χ j ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) H1χiH1χ j H1χk ijk = (x,y,z) H0

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

Following the Chapman-Enskog method fH = fGrad +τ⋅ fM ⋅ f1 Because does not have to contribute into previously obtained 13 moments

τ⋅ fM ⋅ f1 τ⋅ f1 = Λi⋅ ˆ H

i i=14 i=35

∑

=> ¡

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

Following the Chapman-Enskog method fH = fGrad +τ⋅ fM ⋅ f1 Because does not have to contribute into previously obtained 13 moments

τ⋅ fM ⋅ f1 τ⋅ f1 = Λi⋅ ˆ H

i i=14 i=35

∑

=> ¡

Substituting into

fH i = (x,y,z) ∂qi ∂t + ...... = − qi τ ∂σij ∂t + ...... = − σij τ ∂σll ∂t + ...... = −σll τ ij = (xy,xz,yz) l = (x,y)

M4i = VT

4⋅ ρ⋅

H4χi fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ M2i2 j = VT

4⋅ ρ⋅

H2χi ⋅ H2χ j ⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ i = (x,y,z) M1i1j1k = VT

3⋅ ρ⋅

H1i⋅ H1j⋅ H1k⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ M3i1j = VT

4⋅ ρ⋅

H3χi ⋅ H1χ j ⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ M1i1j2k = VT

4⋅ ρ⋅

H1i⋅ H1j⋅ H2k⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ Mi(2 j+2k) = VT

3⋅ ρ⋅

H3χi − 3 2⋅ H1χi ⋅ (H2χ j + H2χk ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫ M1i(2 j−2k) = VT

3⋅ ρ⋅

H1i⋅ (H2 j − H2k)⋅ fH ⋅ d3 χ

 χ

∫

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) ijk = (x,y,z) ij = (xy,xz,yz) ijk = (xyz,yzx,zxy) ijk = (xyz,yzx,zxy) ijk = (xyz,yzx,zxy)

introducing

∂qx ∂t + .....

{ }+ ∂

∂x M4x 32 + M2x2y 8 + M2x2z 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y M3x1y 32 + M1x3y 32 + M1x1y2z 32 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂z M3x1z 32 + M1x3z 32 + M1x1z2y 32 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + Mx(2y + 2z) 20 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂x + + M1y(2x − 2z) 16 − My(2x + 2z) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + M1z(2x − 2y) 16 − Mz(2x + 2y) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂z + ∂uz ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + M1x1y1z 8 ⋅ ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = − qx τ

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

and can be obtained by a proper rotation of indexes

qy qz

and with help of Mathematica we obtain the following set of equations for heat flux and viscous stress tensor, where {…..} are terms due to fGrad

∂σxx ∂t + .....

{ }+ ∂

∂x Mx(2y + 2z) 20 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y M1y(2x − 2z) 16 − My(2x + 2z) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂z M1z(2x − 2y) 16 − Mz(2x + 2y) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = −σxx τ

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡

∂σxy ∂t + .....

{ }+ ∂

∂x M1y(2x − 2z) 16 − My(2x + 2z) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂y M1x(2y − 2z) 16 − Mx(2y + 2z) 40 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 1 8⋅ ∂ ∂z M1x1y1z

( ) = −

σxy τ

, , and can be obtained by a proper rotation of indexes

σyy σxy σxy

and with help of Mathematica we obtain the following set of equations for heat flux and viscous stress tensor, where {…..} are terms due to fGrad

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡ The coefficients in the velocity distribution function are: The coefficients have been derived using Mathematica

Λ14 −16 = M4i 384⋅ ρ⋅ VT 4 Λ29 = M1yM1yM1z 32⋅ ρ⋅ VT 4 i = (x,y,z) Λ17 −19 = M2iM2 j 64⋅ ρ⋅ VT 4 ij = (xy,xz,yz) Λ20 − 25 = M3iM1j 96⋅ ρ⋅ VT 4 ij = (xy,xz,yx,yz,zx,zy) Λ26−28 = M1xM1yM2z 32⋅ ρ⋅ VT 4 ijk = (xyz,yxz,zyx) Λ30 − 32 = Mi(2 j + 2k) 120⋅ ρ⋅ VT 4 Λ33 − 35 = Mi(2 j − 2k) 32⋅ ρ⋅ VT 4 ijk = (xyz,yxz,zyx)

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Step 1. Multiply the Boltzmann equation by 8⋅ ρ⋅ (Vx − ux)⋅ (Vy − uy)⋅ (Vz − uz)

8⋅ m⋅ (Vx − ux)⋅ (Vy − uy)⋅ (Vz − uz)⋅ ∂(n⋅ f ) ∂t + + 8⋅ m⋅ (Vx − ux)⋅ (Vy − uy)⋅ (Vz − uz)⋅ Vk⋅ ∂(n⋅ f ) ∂xk = = 8⋅ ρ⋅ (Vx − ux)⋅ (Vy − uy)⋅ (Vz − uz)⋅ ( fM − f ) τ M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫

Step 2. Transfer the terms in front of the derivatives inside of the derivative brackets

∂ ∂t 8ρ(Vx − ux)(Vy − uy)(Vz − uz) f

( ) + 8ρ(Vy − uy)(Vz − uz) f ( )

∂ux ∂t + + 8ρ(Vx − ux)(Vz − uz) f

( )

∂uy ∂t + 8ρ(Vx − ux)(Vy − uy) f

( )

∂ux ∂t + + ∂ ∂xk 8ρ(Vk − uk)(Vx − ux)(Vy − uy)(Vz − uz) f

( ) +

+ ∂ ∂xk 8ρuk(Vx − ux)(Vy − uy)(Vz − uz) f

( ) +

+ 8ρ(Vk − uk)(Vy − uy)(Vz − uz) f

( )

∂ux ∂xk + 8ρuk(Vy − uy)(Vz − uz) f

( )

∂ux ∂xk + + 8ρ(Vk − uk)(Vx − ux)(Vz − uz) f

( )

∂uy ∂xk + 8ρuk(Vx − ux)(Vx − uz) f

( )

∂uy ∂xk + + 8ρ(Vk − uk)(Vx − ux)(Vy − uy) f

( )

∂uz ∂xk + 8ρuk(Vx − ux)(Vy − uy) f

( )

∂uz ∂xk = = 8ρ(Vx − ux)(Vy − uy)(Vz − uz) ( fM − f ) τ

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫

Step 3. Substitute and integrate over the entire velocity domain

fH = fGrad +τ⋅ fM ⋅ f1

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ ∂ ∂t 8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + 8ρVT

2 χyχz( fGRAD +τfM f1)d3

χ

 χ

∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂ux ∂t + ....... ...+ 8ρVT

3 χkχx  χ

∫ χy( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk + + 8ukρVT

2 χx  χ

∫ χy( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk = = − 8ρVT

3

τ χx

 χ

∫ χyχz( fGRAD +τfM f1)d3 χ = −8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz fM f1d3 χ

Step 4. Following the Chapman-Enskog recipe, let us put τ = 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ ∂ ∂t 8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + 8ρVT

2 χyχz( fGRAD +τfM f1)d3

χ

 χ

∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂ux ∂t + ....... ...+ 8ρVT

3 χkχx  χ

∫ χy( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk + + 8ukρVT

2 χx  χ

∫ χy( fGRAD +τfM f1)d3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk = = − 8ρVT

3

τ χx

 χ

∫ χyχz( fGRAD +τfM f1)d3 χ = −8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz fM f1d3 χ

Step 4. Following the Chapman-Enskog recipe, let us put τ = 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ ∂ ∂t 8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz fGRADd3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + 8ρVT

2 χyχz fGRADd3

χ

 χ

∫ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂ux ∂t + ....... ...+ 8ρVT

3 χkχx  χ

∫ χy fGRADd3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk + + 8ukρVT

2 χx  χ

∫ χy fGRADd3 χ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∂uz ∂xk = = − 8ρVT

3

τ χx

 χ

∫ χyχz( fGRAD +τfM f1)d3 χ = −8ρVT

3 χx  χ

∫ χyχz fM f1d3 χ = − M1x1y1z τ

Step 5. Use Mathematica to “take” all integrals ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ − M1x1y1z τ = (8⋅ σyz)⋅ ∂ux ∂t + (8⋅ σxz)⋅ ∂uy ∂t + (8⋅ σxy)⋅ ∂uz ∂t + + (8⋅ σyz⋅ uk)⋅ ∂ux ∂xk + (σxz⋅ uk)⋅ ∂uy ∂xk + (8⋅ σxy⋅ uk)⋅ ∂uz ∂xk + + 16⋅ qz 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 16⋅ qy 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂z + ∂uz ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 16⋅ qx 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂x 4⋅ VT 2⋅ σyz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y 4⋅ VT 2⋅ σxz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z 4⋅ VT 2⋅ σxy ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Step 5. Use Mathematica to “take” all integrals ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ − M1x1y1z τ = (8⋅ σyz)⋅ ∂ux ∂t + (8⋅ σxz)⋅ ∂uy ∂t + (8⋅ σxy)⋅ ∂uz ∂t + + (8⋅ σyz⋅ uk)⋅ ∂ux ∂xk + (σxz⋅ uk)⋅ ∂uy ∂xk + (8⋅ σxy⋅ uk)⋅ ∂uz ∂xk + + 16⋅ qz 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 16⋅ qy 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂z + ∂uz ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 16⋅ qx 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + + ∂ ∂x 4⋅ VT 2⋅ σyz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y 4⋅ VT 2⋅ σxz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z 4⋅ VT 2⋅ σxy ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Step 6. Substitute the expressions for from momentum equations ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫ ∂ui /∂t

Step 6. Substitute the expressions for from momentum equations ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

− M1x1y1z τ = 4⋅ ρ⋅ VT 2⋅ ∂ ∂x σyz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y σxz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z σxy ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − 8⋅ σyz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂σkx ∂xk − 8⋅ σxz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂σky ∂xk − 8⋅ σxy ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂σkz ∂xk + + 16⋅ qz 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 16⋅ qy 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂z + ∂uz ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 16⋅ qx 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

Step 7. Take into account small Kn ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Deriva+on ¡of ¡moment ¡equa+ons, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

M1i1j1k = VT

3ρ H1iH1 jH1k fHd3

χ ∫

Taking into account that let us drop terms in that are of the order in the right-hand side of Eq. for

σij ∝ τ⋅ ρ⋅ VT

2⋅ u

L qi ∝ τ⋅ ρ⋅ VT

4

L M1x1y1z = −τ⋅ 4⋅ ρ⋅ VT 2⋅ ∂ ∂x σyz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + ∂ ∂y σxz ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z σxy ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ + + 16⋅ qz 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + 16⋅ qy 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅ ∂ux ∂z + ∂uz ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 16⋅ qx 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ∂uy ∂z + ∂uz ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ M1x1y1z τ2

Closure ¡of ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa+on ¡for ¡BGK ¡Collision ¡Term ¡Approxima+on ¡ Step 8. Substituting the obtained equations for –moment into equation for and a closure of Grad’s 13 momentum equations is obtained.

M  q σij

Conclusions ¡

• ¡ ¡ ¡A ¡new ¡set ¡of ¡moment ¡equa.ons ¡for ¡rarefied ¡gas ¡dynamics ¡have ¡been ¡presented. ¡

¡ ¡ ¡ ¡Our ¡equa.ons ¡are ¡a ¡closure ¡for ¡Grad’s ¡13 ¡moment ¡equa.ons ¡extended ¡to ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡third ¡order ¡of ¡the ¡Knudsen ¡number. ¡ ¡

Conclusions ¡

• ¡ ¡ ¡A ¡new ¡set ¡of ¡moment ¡equa.ons ¡for ¡rarefied ¡gas ¡dynamics ¡have ¡been ¡presented. ¡

¡ ¡ ¡ ¡Our ¡equa.ons ¡are ¡a ¡closure ¡for ¡Grad’s ¡13 ¡moment ¡equa.ons ¡extended ¡to ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡third ¡order ¡of ¡the ¡Knudsen ¡number. ¡ ¡

• ¡ ¡ ¡We ¡have ¡assumed ¡a ¡Hermite ¡polynomial ¡approxima.on ¡for ¡the ¡monatomic ¡gas ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡velocity ¡distribu.on ¡func.on, ¡the ¡BGK ¡approxima.on ¡of ¡the ¡collision ¡term ¡in ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Boltzmann ¡kine.c ¡equa.on ¡and ¡used ¡the ¡well-­‑known ¡Chapman-­‑Enskog ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡regulariza.on ¡method ¡that ¡has ¡been ¡previously ¡used ¡to ¡derive ¡a ¡closure ¡of ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Euler’s ¡gas ¡dynamic ¡equa.ons. ¡ ¡

Conclusions ¡

• ¡ ¡ ¡A ¡new ¡set ¡of ¡moment ¡equa.ons ¡for ¡rarefied ¡gas ¡dynamics ¡have ¡been ¡presented. ¡

¡ ¡ ¡ ¡Our ¡equa.ons ¡are ¡a ¡closure ¡for ¡Grad’s ¡13 ¡moment ¡equa.ons ¡extended ¡to ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡third ¡order ¡of ¡the ¡Knudsen ¡number. ¡ ¡

• ¡ ¡ ¡We ¡have ¡assumed ¡a ¡Hermite ¡polynomial ¡approxima.on ¡for ¡the ¡monatomic ¡gas ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡velocity ¡distribu.on ¡func.on, ¡the ¡BGK ¡approxima.on ¡of ¡the ¡collision ¡term ¡in ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Boltzmann ¡kine.c ¡equa.on ¡and ¡used ¡the ¡well-­‑known ¡Chapman-­‑Enskog ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡regulariza.on ¡method ¡that ¡has ¡been ¡previously ¡used ¡to ¡derive ¡a ¡closure ¡of ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Euler’s ¡gas ¡dynamic ¡equa.ons. ¡ ¡

• ¡ ¡ ¡We ¡have ¡shown ¡that ¡the ¡selected ¡35-­‑term ¡Hermite ¡polynomial ¡representa.on ¡of ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡velocity ¡distribu.on ¡func.on ¡has ¡a ¡perfect ¡physical ¡sense, ¡and ¡the ¡obtained ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡set ¡of ¡regularized ¡Grad’s ¡equa.ons ¡is ¡ ¡complete ¡in ¡terms ¡of ¡assump.ons ¡made ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡model. ¡ ¡ ¡

Thank ¡you! ¡