Whoa! Lots of TLAs (Three LeSer Acronyms): will I - - PowerPoint PPT Presentation

Nonlinearity ¡meets ¡Quantum ¡Mechanics: ¡

Intrinsic ¡Localized ¡Modes ¡(ILMs) ¡in ¡a ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡(BEC) ¡ trapped ¡in ¡an ¡Op@cal ¡LaAce ¡(OL) ¡ ¡

David ¡Campbell ¡ Physics ¡482, ¡February ¡14, ¡2013 ¡

• Whoa! ¡Lots ¡of ¡TLAs ¡(Three ¡LeSer ¡Acronyms): ¡will ¡

I ¡understand ¡any ¡of ¡this?? ¡

• Nonlinear: ¡ ¡(a+b)2 ¡≠ ¡a2 ¡+ ¡b2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡a2 ¡+ ¡b2 ¡+ ¡2ab ¡

– Chaos ¡(pictures) ¡ – “Solitons” ¡(pictures) ¡

• ILM ¡= ¡Intrinsic ¡Localized ¡Mode ¡~ ¡soliton ¡(pictures) ¡
• BEC ¡= ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡~ ¡weird ¡state ¡of ¡

maSer ¡at ¡ultralow ¡temperature, ¡ ¡> ¡100,000 ¡ atoms ¡all ¡in ¡a ¡single ¡(macroscopic) ¡quantum ¡ state ¡!!! ¡(picture) ¡

• OL ¡= ¡Op@cal ¡LaAce ¡(picture) ¡

3

n n n

q k p p π π 2 sin 2

1

− =

+

Nonlinearity Parameter

(MOD 1)

“Chaos”

1 1 + +

+ =

n n n

p q q

For ¡k ¡= ¡0 ¡(i.e. ¡no ¡nonlinearity) ¡ ¡

1

p p p

n n

≡ =

+

Momentum Conserved

1

p q q

n n

+ =

+

The “Standard” Map

4

So orbits are straight lines of constant p=po and q simply “rotating” around interval What about ? =>

Chaos !

≠ k

The next images show behavior for k =1.1

p 1 1 q

p0 = 4/5, q0 = 0.1 p0 = 1/√2, q0 = arbitrary p0 = 1/3, q0 = 0.5

5

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

6

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

7

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

8

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

9

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

10

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡

11

Soliton collision: Vl = 3, Vs=1.5 Solitons: ¡Localized ¡nonlinear ¡waves ¡

12

13

Surfin’ the Severn River

Defini@on ¡of ¡ILMs ¡and ¡BoSom ¡Line ¡

• Defini@on: ¡an ¡“intrinsic ¡localized ¡mode”—or ¡“discrete ¡

breather”—is ¡a ¡spa@ally ¡localized, ¡@me-­‑periodic, ¡stable ¡(or ¡at ¡ least ¡very ¡long-­‑lived) ¡excita@on ¡in ¡a ¡spa@ally ¡extended, ¡ perfectly ¡periodic, ¡discrete ¡system. ¡

• BoSom ¡Line: ¡The ¡mechanism ¡that ¡permits ¡the ¡existence ¡of ¡

ILMs/DBs ¡has ¡been ¡understood ¡theore@cally ¡for ¡more ¡than ¡a ¡

• decade. ¡Only ¡recently ¡have ¡they ¡been ¡observed ¡in ¡physical ¡

systems ¡as ¡dis@nct ¡as ¡charge-­‑transfer ¡solids, ¡Josephson ¡ junc@ons, ¡photonic ¡structures, ¡and ¡micromechanical ¡oscillator ¡

• arrays. ¡

ILMs ¡in ¡Op@cal ¡Waveguides ¡

Edge-­‑on ¡view ¡of ¡the ¡output ¡facet ¡of ¡ the ¡coupled ¡op@cal ¡waveguide ¡array ¡ shown ¡on ¡previous ¡slide. ¡ ¡The ¡input ¡ pulse ¡is ¡localized ¡at ¡the ¡center ¡of ¡the ¡

• array. ¡At ¡low ¡power, ¡pulses ¡

propagate ¡linearly ¡and ¡“diffract” ¡ across ¡en@re ¡array. ¡At ¡intermediate ¡ power, ¡nonlinear ¡effects ¡induce ¡ some ¡localiza@on. ¡At ¡high ¡power, ¡the ¡ pulse ¡remains ¡truly ¡localized ¡and ¡is ¡ an ¡example ¡of ¡an ¡ILM ¡in ¡these ¡

• systems. ¡(From ¡Eisenberg ¡et ¡al). ¡

Bose-­‑Einstein ¡Condensates: ¡velocity ¡distribu@on ¡ “collapses” ¡to ¡a ¡single ¡wave ¡func@on ¡

BECs ¡in ¡an ¡Op@cal ¡LaAce ¡

Image ¡from ¡I. ¡Bloch ¡Nature ¡453 ¡1016-­‑1022 ¡(2008) ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡Counter-­‑propaga@ng ¡laser ¡pulses ¡crea@ng ¡standing ¡ wave ¡that ¡interacts ¡with ¡atoms, ¡so ¡that ¡the ¡BEC ¡ experiences ¡a ¡periodic ¡poten@al ¡of ¡the ¡form: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡UL(x,y) ¡is ¡transverse ¡confining ¡poten@al, ¡λ ¡is ¡the ¡laser ¡ wavelength ¡(typically ¡850 ¡nm) ¡and ¡“z” ¡is ¡the ¡direc@on ¡of ¡ mo@on. ¡

Egg ¡carton/marble ¡model ¡

Image ¡of ¡2D ¡op@cal ¡laAce ¡trapping ¡Bose ¡par@cles ¡

• Now ¡DO ¡you ¡understand ¡the ¡TLAs ¡and ¡the ¡basic ¡

ideas ¡?? ¡Let’s ¡see: ¡

• Nonlinear: ¡ ¡(a+b)2 ¡≠ ¡a2 ¡+ ¡b2 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡a2 ¡+ ¡b2 ¡+ ¡2ab ¡

– Chaos ¡(pictures) ¡ – “Solitons” ¡(pictures) ¡

• ILM ¡= ¡Intrinsic ¡Localized ¡Mode ¡~ ¡soliton ¡(pictures) ¡
• BEC ¡= ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡~ ¡weird ¡state ¡of ¡

maSer ¡at ¡ultralow ¡temperature, ¡ ¡> ¡100,000 ¡ atoms ¡all ¡in ¡a ¡single ¡(macroscopic) ¡quantum ¡ state ¡!!! ¡(picture) ¡

• OL ¡= ¡Op@cal ¡LaAce ¡(picture) ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡QUESTIONS ¡?? ¡