Vo(ng NeVlix recommenda(on system A jurys verdict - - PDF document

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Vo(ng ¡

¡ ¡FROM ¡SLIDES ¡BY ¡PROF. ¡JASON ¡HARTLINE ¡AND ¡PROF. ¡NICOLE ¡IMMORLICA ¡ ¡++ ¡

Group ¡decision-­‑making ¡ A ¡jury’s ¡verdict ¡ US ¡presiden(al ¡elec(ons ¡

Ranking ¡of ¡college ¡football ¡teams ¡

Ranking ¡of ¡search ¡results ¡

NeVlix ¡recommenda(on ¡system ¡

Voters ¡

Arrow ¡ Borda ¡ Condorcet ¡

Alterna(ves ¡

chocolate ¡ strawberry ¡ vanilla ¡

11/29/11 ¡ 2 ¡

Rankings ¡

Arrow ¡

Arrow ¡prefers ¡strawberry ¡to ¡chocolate. ¡

chocolate ¡ strawberry ¡

Rankings ¡ Problem ¡

Given: ¡ ¡ ¡Set ¡of ¡voters, ¡set ¡of ¡alterna(ves, ¡rankings ¡ Output: ¡ ¡ ¡Global ¡ranking ¡of ¡alterna(ves ¡

Assump(ons ¡

• 1. Rankings ¡are ¡complete. ¡

¡Each ¡voter ¡has ¡an ¡opinion ¡about ¡each ¡pair ¡of ¡ alterna(ves. ¡

? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡

11/29/11 ¡ 3 ¡

Assump(ons ¡

• 2. Rankings ¡are ¡transi(ve. ¡

In ¡other ¡words, ¡… ¡

Assump(ons ¡imply ¡rankings ¡are ¡

complete ¡rank-­‑ordered ¡lists. ¡

Ques(on ¡

How ¡can ¡we ¡combine ¡individual ¡rankings ¡ ¡ to ¡produce ¡a ¡group ¡ranking ¡of ¡the ¡alterna(ves? ¡

Vo(ng ¡schemes ¡ Majority ¡ Dictatorship ¡ Electoral ¡ college ¡ Consensus ¡ Borda ¡count ¡

Which ¡scheme ¡works ¡best? ¡

… ¡always ¡produces ¡a ¡valid ¡ranking ¡ … ¡is ¡not ¡subject ¡to ¡manipula(on ¡ … ¡makes ¡the ¡“right” ¡decision ¡

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Majority ¡rule ¡ Two ¡alterna(ves: ¡ ¡ Three ¡alterna(ves? ¡ Majority ¡rule ¡

For ¡every ¡pair ¡of ¡alterna(ves ¡X ¡and ¡Y, ¡

¡Rule. ¡Rank ¡X ¡above ¡Y ¡if ¡more ¡ voters ¡rank ¡X ¡ ¡ ¡ ¡Y ¡than ¡Y ¡ ¡ ¡ ¡X ¡ Majority ¡with ¡3 ¡alterna(ves ¡

¡ ¡X ¡Y ¡Z ¡ ¡ ¡Y ¡Z ¡X ¡ ¡ ¡Z ¡X ¡Y ¡

Majority ¡

X ¡Y ¡ Y ¡Z ¡ Z ¡X ¡

Majority ¡is ¡not ¡transi(ve. ¡

• 1. ¡
• 2. ¡
• 3. ¡

¡ ¡X ¡Y ¡Z ¡ ¡ ¡Y ¡Z ¡X ¡ ¡ ¡Z ¡X ¡Y ¡ For ¡any ¡winner, ¡there ¡is ¡another ¡ winner ¡a ¡majority ¡of ¡voters ¡prefer: ¡

e.g., ¡If ¡X ¡wins, ¡2 ¡and ¡3 ¡would ¡prefer ¡Z. ¡

• 1. ¡
• 2. ¡
• 3. ¡

Condorcet ¡ triple ¡

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Are ¡these ¡preferences ¡sensible? ¡

Che ¡Guevara ¡ John ¡McCain ¡ Barack ¡Obama ¡

Single-­‑peaked ¡preferences ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

Far ¡ lef ¡ Far ¡ right ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

value ¡ Single-­‑peaked: ¡just ¡one ¡maximum ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

Y ¡

If ¡for ¡all ¡ candidates ¡Y, ¡ ¡ then: ¡

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Result ¡

Majority ¡works ¡for ¡single-­‑peaked ¡preferences! ¡

(it ¡always ¡outputs ¡a ¡transi(ve ¡ranking) ¡

Who ¡should ¡win? ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ # ¡1st ¡votes: ¡ (101 ¡voters) ¡

Obama ¡is ¡the ¡median ¡alterna(ve, ¡ i.e., ¡the ¡middle ¡of ¡the ¡best ¡alterna(ves. ¡

Majority ¡winner ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ # ¡1st ¡votes: ¡ (101 ¡voters) ¡

All ¡these ¡voters ¡ prefer ¡Obama ¡to ¡ Che ¡or ¡Colbert. ¡ All ¡these ¡voters ¡ prefer ¡Obama ¡to ¡ McCain ¡or ¡Cheney. ¡

= ¡85 ¡voters ¡> ¡½ ¡the ¡voters ¡ ¡

(since ¡Obama ¡is ¡median ¡alterna(ve). ¡

Obama ¡beats ¡McCain ¡and ¡ Cheney ¡in ¡Majority ¡Rule. ¡ ½ ¡voters ¡< ¡50 ¡voters ¡= ¡

(since ¡Obama ¡is ¡median ¡alterna(ve). ¡

Obama ¡beats ¡Colbert ¡and ¡ Che ¡in ¡Majority ¡Rule. ¡

Majority ¡winner ¡

Che ¡ Cheney ¡ Obama ¡ Colbert ¡ McCain ¡

7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ # ¡1st ¡votes: ¡ (101 ¡voters) ¡

Obama ¡is ¡the ¡median ¡alterna(ve, ¡ and ¡the ¡majority ¡winner. ¡

11/29/11 ¡ 7 ¡ ¡Fact. ¡For ¡single-­‑peaked ¡preferences, ¡ majority ¡winner ¡= ¡median ¡alterna(ve! ¡

Borda ¡count ¡ ¡Rule. ¡Assign ¡a ¡score ¡to ¡each ¡ alterna(ve ¡based ¡on ¡rank, ¡output ¡ rank-­‑by-­‑score. ¡ ¡(break ¡(es ¡alphabe(cally) ¡ Compu(ng ¡Borda ¡count ¡

2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ Borda ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡

¡Fact. ¡Borda ¡count ¡always ¡produces ¡a ¡ complete ¡transi(ve ¡ranking. ¡

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Vo(ng ¡in ¡Borda ¡count ¡

Experiment: ¡

¡ ¡Z ¡Y ¡X ¡ ¡ ¡Y ¡X ¡Z ¡ ¡ ¡X ¡Z ¡Y ¡ YOU: ¡

• 2. ¡
• 3. ¡

If ¡you ¡elect: ¡

Z: ¡2 ¡pts. ¡ Y: ¡1 ¡pt. ¡ X: ¡0 ¡pts. ¡ YOU: ¡

Problem ¡with ¡Borda ¡

Then ¡elect ¡X ¡(break ¡(es ¡alphabe(cally). ¡ Then ¡elect ¡Y. ¡

• 2. ¡
• 3. ¡

Z ¡ Y ¡ X ¡ Y ¡ X ¡ Z ¡ X ¡ Z ¡ Y ¡

Problem ¡with ¡Borda ¡

3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ Borda ¡ 0 ¡ 0 ¡ 5 ¡ 4 ¡ 3 ¡ 0 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡

Problem ¡with ¡Borda ¡

¡Highest-­‑ranked ¡alterna(ve ¡can ¡change ¡

depending ¡on ¡how ¡individuals ¡rank ¡low-­‑ ranked ¡alterna(ves. ¡

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Reasonable ¡vo(ng ¡schemes ¡

• 1. Produce ¡a ¡complete ¡transi(ve ¡ranking. ¡
• 2. Unanimity: ¡If ¡everyone ¡prefers ¡X ¡to ¡Y, ¡rank ¡X ¡

before ¡Y. ¡

• 3. Independence ¡of ¡Irrelevant ¡Alterna(ves ¡(IIA): ¡

For ¡any ¡three ¡alterna(ves ¡X, ¡Y, ¡and ¡Z, ¡group ¡ ranking ¡of ¡X ¡and ¡Y ¡does ¡not ¡depend ¡on ¡how ¡ individuals ¡rank ¡Z. ¡

Arrow’s ¡impossibility ¡result ¡

Only ¡reasonable ¡vo(ng ¡scheme ¡is ¡dictatorship. ¡ ¡

(or, ¡if ¡you ¡prefer, ¡there ¡is ¡no ¡reasonable ¡vo(ng ¡scheme) ¡ Let ¡P ¡be ¡profile, ¡F(P) ¡the ¡vo(ng ¡scheme. ¡We’ll ¡show ¡ that ¡if ¡it’s ¡reasonable, ¡it’s ¡a ¡dictatorship. ¡ Pick ¡an ¡arbitrary ¡voter ¡and ¡output ¡her ¡ranking. ¡

Let ¡X ¡be ¡any ¡polarizing ¡alterna(ve ¡in ¡P ¡ ¡(X ¡at ¡beginning ¡or ¡end ¡of ¡all ¡rankings). ¡ Claim: ¡X ¡at ¡beginning ¡or ¡end ¡of ¡F(P) ¡ If ¡in ¡F(P), ¡X ¡not ¡at ¡end ¡or ¡beginning, ¡there ¡are ¡Y ¡and ¡Z ¡s.t. ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z. ¡ Create ¡P’ ¡that ¡moves ¡Z ¡just ¡ahead ¡of ¡Y ¡in ¡P. ¡ Rela(ve ¡order ¡of ¡ ¡X ¡vs ¡Y, ¡X ¡vs ¡Z ¡unchanged, ¡so ¡by ¡IIA, ¡in ¡F(P’), ¡s(ll ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z ¡ But ¡Z ¡> ¡Y ¡unanimous, ¡so ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z ¡> ¡Y ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑><-­‑ ¡ We’ll ¡use ¡this ¡to ¡show ¡that ¡one ¡of ¡the ¡voters ¡is ¡a ¡dictator. ¡

• Consider ¡any ¡profile ¡

with ¡X ¡at ¡end ¡in ¡all ¡

• rankings. ¡
• Gradually ¡convert ¡to ¡

profile ¡with ¡X ¡at ¡front, ¡

• ne ¡voter ¡at ¡a ¡(me. ¡
• Pi-­‑1 ¡and ¡Pi ¡differ ¡only ¡in ¡

that ¡i ¡ranks ¡X ¡last ¡ ¡in ¡Pi-­‑1 ¡ ¡ and ¡first ¡in ¡Pi ¡ ¡

• X ¡is ¡last ¡in ¡F(P0) ¡and ¡

first ¡in ¡F(Pk) ¡ ¡

• j ¡is ¡first ¡such ¡that ¡X ¡is ¡

first ¡in ¡F(Pj) ¡

• Voter ¡j ¡is ¡powerful! ¡

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• Claim: ¡j ¡is ¡a ¡dictator ¡

Gibbard ¡-­‑ ¡Saverthwaite ¡

• Consider ¡any ¡vo(ng ¡rule ¡(procedure ¡for ¡

determining ¡a ¡winner, ¡given ¡rankings ¡of ¡ voters) ¡that ¡sa(sfies: ¡

– ¡The ¡rule ¡is ¡not ¡a ¡dictatorship ¡ – ¡Any ¡candidate ¡can ¡win. ¡

• If ¡the ¡number ¡of ¡candidates ¡is ¡at ¡least ¡3, ¡any ¡scheme ¡

that ¡sa(sfies ¡these ¡two ¡condi(ons ¡will ¡create ¡an ¡ incen(ve ¡for ¡strategic ¡vo(ng. ¡

Strategic Voting

• Voters shouldn’t have incentive to misrepresent

their preferences.

• “I like A, but vote for B to stop C for winning.”
• Very common in real elections:

– 2000 US Presidential election in Florida. Seems that almost half of Nader supporters voted for Gore. – 1992 Presidential election: Many Perot supporters voted for Bush

No Strategic Voting

• Voters shouldn’t have incentive to misrepresent

their preferences.

• Problems with strategic voting:

– Philosophical objection: creates distortion – Practical objection: imposes a burden on voters.

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How about voting rules that work well on lots of types of preferences?

• If Vis a voting rule that works “well” for set of

preferences S, then either MR or R also works well for S. Theorem ¡ ¡(Dasgupta ¡and ¡Maskin): ¡ Together ¡Majority ¡Rule ¡(Condorcet) ¡+ ¡Rank ¡Order ¡ Vo(ng ¡(Borda) ¡dominate ¡all ¡other ¡vo(ng ¡rules. ¡