Vo(ng NeVlix recommenda(on system A jurys verdict - PDF document

11/29/11 ¡ Group ¡decision-­‑making ¡ Vo(ng ¡ NeVlix ¡recommenda(on ¡system ¡ A ¡jury’s ¡verdict ¡ Ranking ¡of ¡search ¡results ¡ ¡ ¡ F ROM ¡ SLIDES ¡ BY ¡P ROF . ¡J ASON ¡H ARTLINE ¡ AND ¡P ROF . ¡N ICOLE ¡I MMORLICA ¡ ¡++ ¡ US ¡presiden(al ¡elec(ons ¡ Ranking ¡of ¡college ¡football ¡teams ¡ Voters ¡ Alterna(ves ¡ vanilla ¡ Condorcet ¡ strawberry ¡ Arrow ¡ chocolate ¡ Borda ¡ 1 ¡

11/29/11 ¡ Rankings ¡ Rankings ¡ strawberry ¡ chocolate ¡ Arrow ¡ Arrow ¡prefers ¡strawberry ¡to ¡chocolate. ¡ Problem ¡ Assump(ons ¡ Given: ¡ 1. Rankings ¡are ¡complete. ¡ ¡ ¡Set ¡of ¡voters, ¡set ¡of ¡alterna(ves, ¡rankings ¡ ¡Each ¡voter ¡has ¡an ¡opinion ¡about ¡each ¡pair ¡of ¡ alterna(ves. ¡ Output: ¡ ¡ ¡Global ¡ranking ¡of ¡alterna(ves ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ ? ¡ 2 ¡

11/29/11 ¡ Assump(ons ¡ In ¡other ¡words, ¡… ¡ 2. Rankings ¡are ¡transi(ve. ¡ Assump(ons ¡imply ¡rankings ¡are ¡ complete ¡rank-­‑ordered ¡lists. ¡ Ques(on ¡ Vo(ng ¡schemes ¡ Consensus ¡ Dictatorship ¡ How ¡can ¡we ¡combine ¡individual ¡rankings ¡ ¡ Which ¡scheme ¡works ¡best? ¡ to ¡produce ¡a ¡group ¡ranking ¡of ¡the ¡alterna(ves? ¡ … ¡always ¡produces ¡a ¡valid ¡ranking ¡ … ¡is ¡not ¡subject ¡to ¡manipula(on ¡ Majority ¡ … ¡makes ¡the ¡“right” ¡decision ¡ Electoral ¡ Borda ¡count ¡ college ¡ 3 ¡

11/29/11 ¡ Majority ¡rule ¡ Majority ¡rule ¡ For ¡every ¡pair ¡of ¡alterna(ves ¡X ¡and ¡Y, ¡ Two ¡alterna(ves: ¡ ¡ ¡Rule. ¡Rank ¡X ¡above ¡Y ¡if ¡more ¡ Three ¡alterna(ves? ¡ voters ¡rank ¡X ¡ ¡ ¡ ¡Y ¡than ¡Y ¡ ¡ ¡ ¡X ¡ Condorcet ¡ Majority ¡with ¡3 ¡alterna(ves ¡ ¡ ¡X ¡Y ¡Z ¡ 1. ¡ triple ¡ 2. ¡ ¡ ¡Y ¡Z ¡X ¡ ¡ ¡X ¡Y ¡Z ¡ 1. ¡ X ¡Y ¡ ¡ ¡Z 3. ¡ ¡X ¡Y ¡ ¡ ¡Y ¡Z 2. ¡ ¡X ¡ Y ¡Z ¡ Majority ¡ For ¡any ¡winner, ¡there ¡is ¡another ¡ 3. ¡ ¡ ¡Z ¡X ¡Y ¡ Z ¡X ¡ winner ¡a ¡majority ¡of ¡voters ¡prefer: ¡ Majority ¡is ¡not ¡transi(ve. ¡ e.g., ¡If ¡X ¡wins, ¡2 ¡and ¡3 ¡would ¡prefer ¡Z. ¡ 4 ¡

11/29/11 ¡ Are ¡these ¡preferences ¡sensible? ¡ Single-­‑peaked ¡preferences ¡ Far ¡ Far ¡ lef ¡ right ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ Che ¡Guevara ¡ John ¡McCain ¡ Barack ¡Obama ¡ value ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ If ¡for ¡all ¡ Y ¡ then: ¡ candidates ¡Y, ¡ ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ Single-­‑peaked: ¡just ¡one ¡maximum ¡ 5 ¡

11/29/11 ¡ Result ¡ Who ¡should ¡win? ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ Majority ¡works ¡for ¡single-­‑peaked ¡preferences! ¡ (it ¡always ¡outputs ¡a ¡transi(ve ¡ranking) ¡ # ¡1 st ¡votes: ¡ 7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ (101 ¡voters) ¡ Obama ¡is ¡the ¡median ¡alterna(ve, ¡ i.e., ¡the ¡middle ¡of ¡the ¡best ¡alterna(ves. ¡ Majority ¡winner ¡ Majority ¡winner ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ Che ¡ Colbert ¡ Obama ¡ McCain ¡ Cheney ¡ # ¡1 st ¡votes: ¡ 7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ (101 ¡voters) ¡ # ¡1 st ¡votes: ¡ 7 ¡ 43 ¡ 35 ¡ 13 ¡ 3 ¡ (101 ¡voters) ¡ Obama ¡is ¡the ¡median ¡alterna(ve, ¡ All ¡these ¡voters ¡ All ¡these ¡voters ¡ Obama ¡beats ¡McCain ¡and ¡ Obama ¡beats ¡Colbert ¡and ¡ and ¡the ¡majority ¡winner. ¡ ½ ¡voters ¡< ¡50 ¡voters ¡= ¡ = ¡85 ¡voters ¡> ¡½ ¡the ¡voters ¡ ¡ prefer ¡Obama ¡to ¡ prefer ¡Obama ¡to ¡ Che ¡in ¡Majority ¡Rule. ¡ Cheney ¡in ¡Majority ¡Rule. ¡ McCain ¡or ¡Cheney. ¡ Che ¡or ¡Colbert. ¡ (since ¡Obama ¡is ¡median ¡alterna(ve). ¡ (since ¡Obama ¡is ¡median ¡alterna(ve). ¡ 6 ¡

11/29/11 ¡ Borda ¡count ¡ ¡Rule. ¡Assign ¡a ¡score ¡to ¡each ¡ ¡Fact. ¡For ¡single-­‑peaked ¡preferences, ¡ alterna(ve ¡based ¡on ¡rank, ¡output ¡ majority ¡winner ¡= ¡median ¡alterna(ve! ¡ rank-­‑by-­‑score. ¡ ¡ (break ¡(es ¡alphabe(cally) ¡ Compu(ng ¡Borda ¡count ¡ ¡Fact. ¡Borda ¡count ¡always ¡produces ¡a ¡ complete ¡transi(ve ¡ranking. ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ Borda ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 7 ¡

11/29/11 ¡ Vo(ng ¡in ¡Borda ¡count ¡ Problem ¡with ¡Borda ¡ Experiment: ¡ YOU: ¡ Z ¡ Y ¡ X ¡ YOU: ¡ ¡ ¡Z ¡Y ¡X ¡ 2. ¡ Y ¡ X ¡ Z ¡ ¡ ¡Y ¡X ¡Z ¡ 2. ¡ 3. ¡ X ¡ Z ¡ Y ¡ ¡ ¡X ¡Z 3. ¡ ¡Y ¡ Then ¡elect ¡X ¡(break ¡(es ¡alphabe(cally). ¡ If ¡you ¡elect: ¡ Then ¡elect ¡Y. ¡ Z: ¡2 ¡pts. ¡ Y: ¡1 ¡pt. ¡ X: ¡0 ¡pts. ¡ Problem ¡with ¡Borda ¡ Problem ¡with ¡Borda ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ Highest-­‑ranked ¡alterna(ve ¡can ¡change ¡ depending ¡on ¡how ¡individuals ¡rank ¡low-­‑ ranked ¡alterna(ves. ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ Borda ¡ 5 ¡ 4 ¡ 4 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 0 ¡ 2 ¡ 8 ¡

11/29/11 ¡ Reasonable ¡vo(ng ¡schemes ¡ Arrow’s ¡impossibility ¡result ¡ 1. Produce ¡a ¡complete ¡transi(ve ¡ranking. ¡ Pick ¡an ¡arbitrary ¡voter ¡and ¡output ¡her ¡ranking. ¡ 2. Unanimity: ¡If ¡everyone ¡prefers ¡X ¡to ¡Y, ¡rank ¡X ¡ before ¡Y. ¡ Only ¡reasonable ¡vo(ng ¡scheme ¡is ¡dictatorship. ¡ ¡ 3. Independence ¡of ¡Irrelevant ¡Alterna(ves ¡(IIA): ¡ (or, ¡if ¡you ¡prefer, ¡there ¡is ¡no ¡reasonable ¡vo(ng ¡scheme) ¡ For ¡any ¡three ¡alterna(ves ¡X, ¡Y, ¡and ¡Z, ¡group ¡ ranking ¡of ¡X ¡and ¡Y ¡does ¡not ¡depend ¡on ¡how ¡ individuals ¡rank ¡Z. ¡ Let ¡P ¡be ¡profile, ¡F(P) ¡the ¡vo(ng ¡scheme. ¡We’ll ¡show ¡ that ¡if ¡it’s ¡reasonable, ¡it’s ¡a ¡dictatorship. ¡ • Consider ¡any ¡profile ¡ with ¡X ¡at ¡end ¡in ¡all ¡ rankings. ¡ • Gradually ¡convert ¡to ¡ profile ¡with ¡X ¡at ¡front, ¡ one ¡voter ¡at ¡a ¡(me. ¡ • P i-­‑1 ¡ and ¡P i ¡differ ¡only ¡in ¡ that ¡i ¡ranks ¡X ¡last ¡ ¡in ¡P i-­‑1 ¡ ¡ and ¡first ¡in ¡P i ¡ ¡ Let ¡X ¡be ¡any ¡polarizing ¡alterna(ve ¡in ¡P ¡ ¡(X ¡at ¡beginning ¡or ¡end ¡of ¡all ¡rankings). ¡ • X ¡is ¡last ¡in ¡F(P 0 ) ¡and ¡ Claim: ¡X ¡at ¡beginning ¡or ¡end ¡of ¡F(P) ¡ first ¡in ¡F(P k ) ¡ ¡ If ¡in ¡F(P), ¡X ¡not ¡at ¡end ¡or ¡beginning, ¡there ¡are ¡Y ¡and ¡Z ¡s.t. ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z. ¡ • j ¡is ¡first ¡such ¡that ¡X ¡is ¡ Create ¡P’ ¡that ¡moves ¡Z ¡just ¡ahead ¡of ¡Y ¡in ¡P. ¡ first ¡in ¡F(P j ) ¡ Rela(ve ¡order ¡of ¡ ¡X ¡vs ¡Y, ¡X ¡vs ¡Z ¡unchanged, ¡so ¡by ¡IIA, ¡in ¡F(P’), ¡s(ll ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z ¡ But ¡Z ¡> ¡Y ¡unanimous, ¡so ¡Y ¡> ¡X ¡> ¡Z ¡> ¡Y ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑><-­‑ ¡ • Voter ¡j ¡is ¡powerful! ¡ We’ll ¡use ¡this ¡to ¡show ¡that ¡one ¡of ¡the ¡voters ¡is ¡a ¡dictator. ¡ 9 ¡