tstr r r - - PowerPoint PPT Presentation

❲✐❧❞ ❇♦♦tstr❛♣ ■♥❢❡r❡♥❝❡ ❢♦r ❲✐❧❞❧② ❉✐✛❡r❡♥t ❈❧✉st❡r ❙✐③❡s

▼❛tt❤❡✇ ❉✳ ❲❡❜❜ ❖❝t♦❜❡r ✾✱ ✷✵✶✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚❤✐s ♣❛♣❡r ✐s ❥♦✐♥t ✇✐t❤✿ ❏❛♠❡s ●✳ ▼❛❝❑✐♥♥♦♥ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ◗✉❡❡♥✬s ❯♥✐✈❡rs✐t② ❑✐♥❣st♦♥✱ ❖♥t❛r✐♦✱ ❈❛♥❛❞❛ ❑✼▲ ✸◆✻ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✿

Pr❡s❡♥ts ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ❡✈✐❞❡♥❝❡ t❤❛t ♦✈❡rt✉r♥s t❤❡ ❵r✉❧❡ ♦❢ ✹✷✬ ❙❤♦✇s t❤❛t ❉✐❉ ❛♥❞ ❈❘❱❊ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✇♦r❦s ♣♦♦r❧② ✇❤❡♥ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ❝❧✉st❡rs tr❡❛t❡❞ ✐s ✈❡r② s♠❛❧❧ ♦r ✈❡r② ❧❛r❣❡

❙t❛♥❞❛r❞ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❉✐✛❡r❡♥❝❡✲✐♥✲❉✐✛❡r❡♥❝❡s

❙✉♣♣♦s❡ ②♦✉ ✇❛♥t t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥❝❡✲✐♥✲❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❡q✉❛t✐♦♥ Yigt = β✵+β✶∗treatg +β✷∗yeart +β✸∗treatg ∗yeart +Xigtγ+ǫigt ✭✶✮ Yigt ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❢♦r ♣❡rs♦♥ ✐ ✐♥ ❣r♦✉♣ ❣ ❛♥❞ t✐♠❡ t treatg ❞✉♠♠② ❢♦r ✐❢ t❤❡ ♣❡rs♦♥ ✐s ✐♥ t❤❡ tr❡❛t♠❡♥t ❣r♦✉♣ yeart ❞✉♠♠② ✐❢ ✐♥ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ❛❢t❡r tr❡❛t♠❡♥t Xigt ♦t❤❡r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s treatg ∗ yeart ✐s t❤❡ ❉✐❉ t❡r♠

❊st✐♠❛t✐♥❣ β

❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❢♦r t❤❡ ❖▲❙ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ ˆ β✸ ❲✐t❤ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s t❤❛t ❞❛t❛ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦✈❡r ❣✱ ❜✉t ❡rr♦rs ❛r❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❝❧✉st❡r E[ug] = ✵ E[ugu

′

g] = Σg✱ ✈✐♦❧❛t❡s t❤❡ ✐✳✐✳❞✳ ❛ss✉♠♣t✐♦♥

E[ugu

′

h] = ✵ ❢♦r ❝❧✉st❡r h = g

❲❤❡♥ t❤❡♥ ❤❛✈❡ √ N(ˆ β − β) ∼ ℵ[✵, NV [ˆ β]]

❈❧✉st❡r ❘♦❜✉st ❱❛r✐❛♥❝❡ ❊st✐♠❛t♦r ✭❈❘❱❊✮

ˆ VCR[ˆ β] = (X

′X)−✶

 

G

• g=✶

Xg ˜ ug ˜ u

′

gX

′

g

  (X

′X)−✶

✐♥ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❝❛s❡ t❤❡ ❖▲❙ r❡s✐❞✉❛❧s ❛r❡ ✉s❡❞ ˜ ug = ˆ ug = yg − Xgβ ✐♥ ♦t❤❡r ❝❛s❡s G

g=✶ Xg ˆ

ug ˆ u

′

gX

′

g✱ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② G g=✶ ˜

Ug ˜ U

′

g

❙t❛t❛ ✉s❡s✿ ˜ Ug =

Ng

• i=✶

ˆ uig ✶ Xg

• ,

❆s②♠♣t♦t✐❝s ❯♥❞❡r❧②✐♥❣ ❈❘❱❊

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts ♦♥ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐① ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❲❤✐t❡ ✭✶✾✽✹✮ ✐♠♣❧② ♦❢

t❤❡ ❈❘❱❊ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✉♥❞❡r t❤r❡❡ ❦❡② ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✿ ❆✶✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs ❣♦❡s t♦ ✐♥✜♥✐t②✳ ❆✷✳ ❚❤❡ ✇✐t❤✐♥✲❝❧✉st❡r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥st❛♥t ❛❝r♦ss ❝❧✉st❡rs✳ ❆✸✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❧✉st❡rs ❝♦♥t❛✐♥ ❛♥ ❡q✉❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✳ ❈❛rt❡r✱ ❙❝❤♥❡♣❡❧ ❛♥❞ ❙t❡✐❣❡r✇❛❧❞ ✭✷✵✶✷✮ r❡❧❛① ❆✶ ❛♥❞ ❆✷✳ ❚❤✐s t❛❧❦ ❝♦♥❝❡r♥s ❆✸✳

❘❡❧❛t❡❞ ▲✐t❡r❛t✉r❡

❈❧✉st❡r❡❞ ❊rr♦rs

❑❧♦❡❦ ✭✶✾✽✶✮ ▼♦✉❧t♦♥ ✭✶✾✾✵✮

■♥❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❉✐✛❡r❡♥❝❡✲✐♥✲❉✐✛❡r❡♥❝❡

❈♦♥❧❡② ❛♥❞ ❚❛❜❡r ✭✷✵✶✶✮ ❉♦♥❛❧❞ ❛♥❞ ▲❛♥❣ ✭✷✵✵✼✮

❇♦♦tstr❛♣ ■♥❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❉✐✛❡r❡♥❝❡✲✐♥✲❉✐✛❡r❡♥❝❡s

❇❡rtr❛♥❞✱ ❉✉✢♦ ❛♥❞ ▼✉❧❧❛✐♥❛t❤❛♥ ✭✷✵✵✹✮ ❈❛♠❡r♦♥✱ ●❡❧❜❛❝❤ ❛♥❞ ▼✐❧❧❡r ✭✷✵✵✽✮ ❲❡❜❜ ✭✷✵✶✸✮

❘❡❥❡❝t✐♦♥ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ❜② ◆✉♠❜❡r ♦❢ ❈❧✉st❡rs

◆✉♠❜❡r ♦❢ ●r♦✉♣s ✭●✮ ✺ ✶✵ ✶✺ ✷✵ ✷✺ ✸✵ ❖▲❙ ∼ N(✵, ✶) ✵✳✹✻✽ ✵✳✹✽✻ ✵✳✹✾✸ ✵✳✹✾✹ ✵✳✹✽✾ ✵✳✹✾✾ ❈❘❱❊ ∼ N(✵, ✶) ✵✳✷✶✶ ✵✳✶✸✸ ✵✳✶✵✽ ✵✳✵✾✹ ✵✳✵✽✹ ✵✳✵✽✵ ❈❘❱❊ ∼ T(G − ✶) ✵✳✶✵✵ ✵✳✵✾✵ ✵✳✵✽✶ ✵✳✵✼✺ ✵✳✵✼✵ ✵✳✵✻✾ ◆♦t❡s✿ ❘❡♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❈●▼✳ ❘❡❥❡❝t✐♦♥ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❡st✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ ✺✵✱✵✵✵ r❡♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳

❚❤❡ ✏❘✉❧❡ ♦❢ ✹✷✑

❈❧❛✐♠✿ ✏■♥ ❛ ❉❉ s❝❡♥❛r✐♦ ✇❤❡r❡ ②♦✉✬❞ ❧✐❦❡ t♦ ❝❧✉st❡r ♦♥ st❛t❡ ♦r s♦♠❡ ♦t❤❡r ❝r♦ss✲s❡❝t✐♦♥❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢♦r ❝♦✉♥t✐♥❣ ❝❧✉st❡rs ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ st❛t❡s ♦r ❝r♦ss✲s❡❝t✐♦♥❛❧ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❉♦✉❣❧❛s ❆❞❛♠✬s ❞✐❝t✉♠ t❤❛t t❤❡ ❛♥s✇❡r t♦ ❧✐❢❡✱ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❡✱ ❛♥❞ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ✹✷✱ ✇❡ ❜❡❧✐❡✈❡ t❤❡ q✉❡st✐♦♥ ✐s✿ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧✉st❡rs ❛r❡ ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r r❡❧✐❛❜❧❡ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ✉s✐♥❣ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❝❧✉st❡r ❛❞❥✉st♠❡♥t❄✑ ❆♥❣r✐st ❛♥❞ P✐s❝❤❦❡✱ ▼♦st❧② ❍❛r♠❧❡ss ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝s✱ ♣❛❣❡ ✸✶✾✳ ❘❡s♣♦♥s❡✿ ❚r✉❡ ✐❢ ❝❧✉st❡rs ❛r❡ ♦❢ ❡q✉❛❧ s✐③❡✱ ❢❛❧s❡ ♦t❤❡r✇✐s❡✳

❚❤❡ ✏❘✉❧❡ ♦❢ ✹✷✑

✻ ✶✵ ✷✵ ✺✵ ❖▲❙ ✵✳✸✽✸ ✵✳✹✹✸ ✵✳✸✾✵ ✵✳✹✾✵ ❈❘❱❊ ✵✳✶✺✸ ✵✳✶✵✺ ✵✳✵✽✵ ✵✳✵✺✺ ◆♦t❡s✿ ❇❡rtr❛♥❞✱ ❉✉✢♦ ❛♥❞ ▼✉❧❧❛✐♥❛t❤❛♥ ✭✷✵✵✹✮ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✉s✐♥❣ ❈P❙ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❞❛t❛✳ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s t❤❡s❡✱ ❛♥❞ t❤♦s❡ ❜② ❈❛♠❡r♦♥✱ ●❡❧❜❛❝❤ ❛♥❞ ▼✐❧❧❡r ✭✷✵✵✽✮ ❤❛✈❡ ❧❡❞ t♦ ❛ s❤♦rt❤❛♥❞ ❵r✉❧❡ ♦❢ ✹✷✬✱ ✇❤❡♥ ❆✶ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② s❛t✐s✜❡❞✳ ✏❈✉rr❡♥t ❝♦♥s❡♥s✉s ❛♣♣❡❛rs t♦ ❜❡ t❤❛t G = ✺✵ ✐s ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r st❛t❡✲②❡❛r ♣❛♥❡❧ ❞❛t❛✳✑ ❈❛♠❡r♦♥ ❛♥❞ ▼✐❧❧❡r ✭✷✵✶✸✮

Pr♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ❲✐❧❞ ❈❧✉st❡r ❇♦♦tstr❛♣✲t

✶✳ ❡st✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✶ ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ ❡st✐♠❛t❡s ♦❢ ˆ β✱ ˆ γ ❛♥❞ ˆ ǫigt ✶❛✳ ❡st✐♠❛t❡ ❛ r❡str✐❝t❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✶ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣♦s❡s t❤❡ ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ ♦❜t❛✐♥ ˜ ǫigt ❛♥❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✷✳ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ ♦❢ ˆ β✸ s♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ t✲st❛t✐st✐❝✱ˆ t✱ ✉s✐♥❣ ❝❧✉st❡r r♦❜✉st st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦rs ✸✳ ❝❤♦♦s❡ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜♦♦tstr❛♣s✱ B✱ ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ♥❡✇ ❜♦♦tstr❛♣ s❛♠♣❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ ❉●P✿ y∗

igt = ˜

β✵ + ˜ β✶ ∗ treatg + ˜ β✷ ∗ yeart+ ˜ β✸ ∗ treatg ∗ yeart + Xigt˜ γ + f (˜ uigt)v∗

g ,

✭✷✮ ✇❤❡r❡ f (˜ uigt) tr❛♥s❢♦r♠s t❤❡ ith r❡s✐❞✉❛❧ ✐♥ t✐♠❡ t ❢r♦♠ ❣r♦✉♣ g✱ ˜ uigt✱ ❛♥❞ vg ✐s ❛ ❜♦♦tstr❛♣ ✇❡✐❣❤t✳ ■♠♣♦s❡ t❤❡ ♥✉❧❧ ❜② s❡tt✐♥❣ ˜ β✸ = ✵

Pr♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ❲✐❧❞ ❈❧✉st❡r ❇♦♦tstr❛♣✲t

✹✳ ❡st✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✶ ❛❣❛✐♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ s❛♠♣❧❡ ✺✳ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ t✲st❛t✐st✐❝✱ t∗

j ♦♥ ˆ

β✸ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝❧✉st❡r r♦❜✉st st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦rs ✻✳ ❛❢t❡r t❤❡ Bth ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ ♣✲✈❛❧✉❡ ❜② ˆ p∗(ˆ t) = ✷♠✐♥   ✶ B

B

• j=✶

I(t∗

j ≤ ˆ

t), ✶ B

B

• j=✶

I(t∗

j > ˆ

t)   . ✭✸✮

❇♦♦tstr❛♣ ❲❡✐❣❤t ❉✐str✐❜✉t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ f (˜ uigt)v∗

g t❡r♠ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷

❲✐t❤ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ f (˜ uigt) = ˜ uigt ❍♦✇❡✈❡r✱ vg ❝❤❛♥❣❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ ✇❡✐❣❤t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❖♥❡ ❝♦♠♠♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s t❤❡ ▼❛♠♠❡♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ vg = − √ ✺ − ✶ ✷ ✇✳♣✳ p = √ ✺ + ✶ ✷ √ ✺ ❛♥❞ vg = √ ✺ + ✶ ✷ ✇✳♣✳ ✶ − p ❚❤❡ ♦t❤❡r ❝♦♠♠♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ✇✐t❤ ♣r❡❢❡r❛❜❧❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s✱ ✐s t❤❡ ❘❛❞❡♠❛❝❤❡r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ vg = ±✶ ✇✳♣✳ ✵.✺ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❜♦t❤ ♦❢ t❤❡s❡ r❡s✉❧t ✐♥ ♦♥❧② ✷G ♣♦ss✐❜❧❡ ❜♦♦tstr❛♣ s❛♠♣❧❡s

▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❉❡s✐❣♥

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s✿ yig = β✶ + β✷Xig + ǫig, i = ✶, . . . , Ng, g = ✶, . . . , G. ✭✹✮ ❊❛❝❤ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❡❞s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

✶ ❙♣❡❝✐❢② ρx ∈ {✵, ✵.✷, . . . , ✵.✽, ✶} ❛♥❞ ρǫ ∈ {✵, ✵.✶, . . . , ✵.✽, ✵.✾}✳ ✷ ❋♦r ❡❛❝❤ s✐♠✉❧❛t❡❞ s❛♠♣❧❡✱ ❣❡♥❡r❛t❡ Xig ❛♥❞ ǫig ❛♥❞ ✉s❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✮

t♦ ❝♦♠♣✉t❡ yig✱ ✇✐t❤ β✶ = ✵ ❛♥❞ β✷ = ✵✳

✸ ❊st✐♠❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✮ ❜② ❖▲❙✳ ✹ ❚❡st t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s t❤❛t β✷ = ✵✱ ✉s✐♥❣ ❡✐t❤❡r ❛ t t❡st ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡

❈❘❱❊ ♦r ❛ ✇✐❧❞ ❜♦♦tstr❛♣ t❡st✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ❛❜♦✈❡✳

✺ ❘❡♣❡❛t st❡♣s ✷✱ ✸✱ ❛♥❞ ✹ ✶✵✵✱✵✵✵ t✐♠❡s✱ ❛♥❞ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ r❡❥❡❝t✐♦♥

❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ ❡❛❝❤ t❡st ❛t t❤❡ ✳✵✶✱ ✳✵✺✱ ❛♥❞ ✳✶✵ ❧❡✈❡❧s✳

❘❡❥❡❝t✐♦♥ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ✇✐t❤ ✺✵ ❊q✉❛❧✲❙✐③❡❞ ❈❧✉st❡rs

ρ① ρǫ ✵ ✵✳✷ ✵✳✹ ✵✳✻ ✵✳✽ ✶ ✵ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✶✷ ✵✳✵✺✵✷ ✵✳✵✺✶✷ ✵✳✵✺✵✾ ✵✳✵✺✼✷ ✵✳✵✻✻✸ ✇✐❧❞ ✵✳✵✺✶✵ ✵✳✵✹✾✺ ✵✳✵✺✵✺ ✵✳✵✹✽✸ ✵✳✵✺✵✺ ✵✳✵✺✵✸ ✵✳✸ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✵✶ ✵✳✵✺✶✽ ✵✳✵✺✸✻ ✵✳✵✺✻✽ ✵✳✵✻✶✻ ✵✳✵✻✻✼ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✻ ✵✳✵✺✵✽ ✵✳✵✺✵✹ ✵✳✵✺✵✹ ✵✳✵✺✵✺ ✵✳✵✺✵✸ ✵✳✺ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✵✻ ✵✳✵✺✵✷ ✵✳✵✺✹✸ ✵✳✵✺✽✶ ✵✳✵✻✸✹ ✵✳✵✻✻✷ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✼ ✵✳✵✹✾✺ ✵✳✵✺✵✻ ✵✳✵✺✵✵ ✵✳✵✺✵✶ ✵✳✵✺✵✶ ✵✳✼ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✵✼ ✵✳✵✺✷✶ ✵✳✵✺✹✸ ✵✳✵✺✾✵ ✵✳✵✻✸✼ ✵✳✵✻✼✻ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✽ ✵✳✵✺✵✷ ✵✳✵✺✵✵ ✵✳✵✺✵✵ ✵✳✵✺✵✼ ✵✳✵✺✶✺ ✵✳✾ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✵✸ ✵✳✵✺✶✼ ✵✳✵✺✹✺ ✵✳✵✺✼✽ ✵✳✵✻✹✶ ✵✳✵✻✺✼ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✽ ✵✳✵✺✵✾ ✵✳✵✹✾✽ ✵✳✵✹✾✹ ✵✳✵✺✵✾ ✵✳✵✹✾✺

◆♦t❡s✿ ❘❡❥❡❝t✐♦♥ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❛t t❤❡ ✺✪ ❧❡✈❡❧ ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✶✵✵✱✵✵✵ r❡♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✺✵ ❡q✉❛❧✲s✐③❡❞ ❝❧✉st❡rs ✇✐t❤ ✷✵✵✵ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✳ ❲✐❧❞ ❜♦♦tstr❛♣ P ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✸✾✾ ❜♦♦tstr❛♣s ✉s✐♥❣ t❤❡ ❘❛❞❡♠❛❝❤❡r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳

❘❡❥❡❝t✐♦♥ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ✇✐t❤ ✺✵ ❙t❛t❡✲❙✐③❡❞ ❈❧✉st❡rs

ρ① ρǫ ✵ ✵✳✷ ✵✳✹ ✵✳✻ ✵✳✽ ✶ ✵ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✽✸ ✵✳✵✺✾✻ ✵✳✵✻✵✵ ✵✳✵✻✶✷ ✵✳✵✻✽✹ ✵✳✵✽✶✽ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✽✾ ✵✳✵✺✵✸ ✵✳✵✺✵✻ ✵✳✵✹✾✽ ✵✳✵✺✶✺ ✵✳✵✺✶✽ ✵✳✸ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✽✶ ✵✳✵✻✸✾ ✵✳✵✼✵✻ ✵✳✵✽✶✺ ✵✳✵✾✼✵ ✵✳✶✵✺✶ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✽ ✵✳✵✺✶✷ ✵✳✵✺✶✸ ✵✳✵✺✶✾ ✵✳✵✺✸✸ ✵✳✵✺✶✽ ✵✳✺ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✽✻ ✵✳✵✻✺✷ ✵✳✵✼✹✻ ✵✳✵✽✻✺ ✵✳✵✾✼✺ ✵✳✶✵✻✹ ✇✐❧❞ ✵✳✵✺✵✻ ✵✳✵✺✵✸ ✵✳✵✺✶✻ ✵✳✵✺✸✽ ✵✳✵✺✶✽ ✵✳✵✺✵✾ ✵✳✼ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✼✺ ✵✳✵✻✻✻ ✵✳✵✼✼✶ ✵✳✵✽✼✶ ✵✳✵✾✾✺ ✵✳✶✵✽✻ ✇✐❧❞ ✵✳✵✹✾✹ ✵✳✵✺✵✷ ✵✳✵✺✸✵ ✵✳✵✺✷✷ ✵✳✵✺✷✵ ✵✳✵✺✷✵ ✵✳✾ t✭●✲✶✮ ✵✳✵✺✼✵ ✵✳✵✻✼✹ ✵✳✵✼✻✾ ✵✳✵✽✻✽ ✵✳✵✾✽✸ ✵✳✶✵✼✼ ✇✐❧❞ ✵✳✵✺✶✾ ✵✳✵✺✷✵ ✵✳✵✺✷✼ ✵✳✵✺✶✾ ✵✳✵✺✶✺ ✵✳✵✺✷✶

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❋✐❣✉r❡ ✿ ✶ ✲ ❈❘❱❊ r❡❥❡❝t✐♦♥ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❛♥❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ tr❡❛t❡❞ ✭❝❧✉st❡r ✐♥❞✐❝❛t♦rs✮

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State-sized clusters (smallest first)

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• Rej. Rate

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• Rej. Rate

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State-sized clusters (smallest first)

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• Rej. Rate

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Equal-sized clusters . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . State-sized clusters(smallest first)

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• Rej. Rate

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• • • G = 25

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• A. CRVE rejection frequencies

P

• Rej. Rate

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

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• Rej. Rate
• B. Wild bootstrap rejection frequencies

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