trt tts - - PowerPoint PPT Presentation

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• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

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• ❢ (st) ❞µ(s) ❞ν(t)

µ, ν ∈ ▼(●); ❢ ∈ ❈✵(●). ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts✿ µ ∈ ▼(●) s✉❝❤ t❤❛t µ ⋆ µ = µ ❛♥❞ µ = ✶✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭●r❡❡♥❧❡❛❢ ✬✻✺✮

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❈♦❤❡♥ ✬✻✵✮

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• ❢ (st) ❞µ(s) ❞ν(t)

µ, ν ∈ ▼(●); ❢ ∈ ❈✵(●). ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts✿ µ ∈ ▼(●) s✉❝❤ t❤❛t µ ⋆ µ = µ ❛♥❞ µ = ✶✳

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❆❧❧ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♠❡❛s✉r❡s ♦♥ ❛ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts χ ❞♠❍✳

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❚❤❡ ❋♦✉r✐❡r✕❙t✐❡❧t❥❡s ❛❧❣❡❜r❛ ❇(●) ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ✉♥✐t❛r② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ●✳ ❇(●) ∼ = ❈ ∗(●)∗ ✐❢ ● ❛❜❡❧✐❛♥✱ ❇(●) ∼ = ▼(

• ) ✈✐❛ ❋♦✉r✐❡r✕❙t✐❡❧t❥❡s tr❛♥s❢♦r♠

❚❤❡♦r❡♠ ✭■❧✐❡✕❙♣r♦♥❦ ✬✵✺✮

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• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

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▲♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣s ✭❑✉st❡r♠❛♥s✕❱❛❡s✮

❆ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣ G ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ ❈✵(G) ❛ ❝♦♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ∆: ❈✵(G) → ▼(❈✵(G) ⊗ ❈✵(G)) (∆ ⊗ ✐❞)∆ = (✐❞ ⊗ ∆)∆ ✭❝♦❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t②✮ ❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t ❍❛❛r ✇❡✐❣❤ts φ ❛♥❞ ψ✳

❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❝❛s❡ G = ●

❈✵(G) = ❈✵(●)✱ ❋♦r ❢ ∈ ❈✵(●) ❛♥❞ s, t ∈ ●✱ ∆(❢ )(s, t) = ❢ (st). φ ❛♥❞ ψ ❛r❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t ❍❛❛r ♠❡❛s✉r❡s

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• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✹ ✴ ✶✸

❈♦✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❝❛s❡

❈♦✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❝❛s❡ G =

• ❈✵(G) = ❈ ∗

r (●) t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❣r♦✉♣ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛

∆(λ(s)) = λ(s) ⊗ λ(s)✱ λ ✐s t❤❡ ❧❡❢t r❡❣✉❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥❀ s ∈ ● φ = ψ ✐s t❤❡ P❧❛♥❝❤❡r❡❧ ✇❡✐❣❤t ✭❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ●✱ φ(❛) = ❛δ❡, δ❡ ✮ ✇❡ s❤❛❧❧ ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡ ♦♥ ❝♦❛♠❡♥❛❜❧❡ ▲❈◗●s ✇❤✐❝❤ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ♠❡❛♥s t❤❛t ● ✐s ❛♠❡♥❛❜❧❡ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❈ ∗

r (●) = ❈ ∗(●)

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✺ ✴ ✶✸

❈♦♠♠♦♥ ❢♦r♠

❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ✐♥ ❇(●) ✭● ❛♠❡♥❛❜❧❡✮

✶❈ = ✶s❍ = ✶❍(s−✶·) = ✶❍λs−✶ ✶❍ ✐s ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t st❛t❡ ✭✐✳❡✳ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t✮ λs−✶ ✐s ❛ ❣r♦✉♣✲❧✐❦❡ ✉♥✐t❛r② ✐♥ ▼(❈ ∗(●))✿ ∆(λs−✶) = λs−✶ ⊗ λs−✶

❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ✐♥ ▼(●)

χ❞♠❍ ❞♠❍ ✐s ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t st❛t❡ ✭❤❡r❡ ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡✮ χ ✐s ❛ ❣r♦✉♣✲❧✐❦❡ ✉♥✐t❛r② ✐♥ ❈(❍)✱ ∆❍(χ) = χ ⊗ χ✳ ❲❡ ♠❛② ✈✐❡✇ χ ❛s ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ ❈✵(●) t❤❛t ✐s ❣r♦✉♣✲❧✐❦❡ ✉♥✐t❛r② ♦♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ ❞♠❍✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

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❈❤❛r❛❝t❡r✐s❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

▲❡t G ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t q✉❛♥t✉♠ ❣r♦✉♣✳ ▼(G) := ❈✵(G)∗ ✐s ❛ ❇❛♥❛❝❤ ❛❧❣❡❜r❛ ✉♥❞❡r µ ⋆ ν = (µ ⊗ ν)∆ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❛t G ✐s ❝♦❛♠❡♥❛❜❧❡✿ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐t ✐♥ ▼(G)✳ ❆ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♦♥ G ✐s ω ∈ ▼(G) s✉❝❤ t❤❛t ω ⋆ ω = ω ❛♥❞ ω = ✶✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❙❙❙✮

❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ✐♥ ▼(G) ❛r❡ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ✐♥ ▼(G) ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ω = |ω|(✈·) ✇❤❡r❡ |ω| ✐s ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t st❛t❡ ❛♥❞ ✈ ∈ ❈✵(G) s✉❝❤ t❤❛t ∆(✈) − ✈ ⊗ ✈ ∈ ◆|ω|⊗|ω|. ❍❡r❡ ◆σ = { ❛ ∈ ❆; σ(❛∗❛) = ✵ } ❢♦r σ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦♥ ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ ❆✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✼ ✴ ✶✸

❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✿ ❍❛❛r ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

❘❡❝❛❧❧ t❤❛t |ω| ✐s ❛ ❍❛❛r ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ✐❢ |ω| = φH ◦ π ✇❤❡r❡ π: ❈✵(G) → ❈(H) ✐s ❛ s✉r❥❡❝t✐✈❡ ∗✲❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ s✉❝❤ t❤❛t ∆Hπ = (π ⊗ π)∆G φH ✐s t❤❡ ❍❛❛r st❛t❡ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❛❝t q✉❛♥t✉♠ s✉❜❣r♦✉♣ H ♦❢ G

❈♦r♦❧❧❛r② ✭◆❙❙❙✮

▲❡t ω ❜❡ ❛ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♦♥ G s✉❝❤ t❤❛t |ω| = φH ◦ π ✐s ❛ ❍❛❛r ✐❞❡♠♣♦t❡♥t✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r♦✉♣✲❧✐❦❡ ✉♥✐t❛r② ✉ ∈ ❈(H) s✉❝❤ t❤❛t ω = φH(✉π(·)). ❚❤✐s ✐s ✐♥ ♣❡r❢❡❝t ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ ●r❡❡♥❧❡❛❢✬s r❡s✉❧t✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✽ ✴ ✶✸

❚❘❖s ❛♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s

❆ ❚❘❖ ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ s✉❜s♣❛❝❡ ❚ ♦❢ ❇(❍, ❑) s✉❝❤ t❤❛t ❛❜∗❝ ∈ ❚ ✇❤❡♥❡✈❡r ❛, ❜, ❝ ∈ ❚. ▲✐♥❦✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛ ✭❈✯✲❛❧❣❡❜r❛✮✿ ❆❚ = ❚❚ ∗ ❚ ❚ ∗ ❚ ∗❚

• ⊆ ❇(❑ ⊕ ❍).

❆ ❚❘❖ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ P ❢r♦♠ ❛ ❚❘❖ ❚ ♦♥t♦ ❛ s✉❜✲❚❘❖ ❳ ⊆ ❚✳ ❚❤❡♥ P(❛①∗②) = P(❛)①∗②, P(①❛∗②) = ①P(❛)∗②, P(①②∗❛) = ①②∗P(❛), ✇❤❡♥❡✈❡r ❛ ∈ ❚ ❛♥❞ ①, ② ∈ ❳ ✭❊✛r♦s✕❖③❛✇❛✕❘✉❛♥ ✬✵✶✮✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✾ ✴ ✶✸

❚❘❖ str✉❝t✉r❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ω

❊✈❡r② ω ∈ ▼(G) = ❈✵(G)∗ ✐♥❞✉❝❡s ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ▲ω : ❈✵(G) → ❈✵(G), ▲ω(❛) = (ω ⊗ ✐❞)∆(❛), ❘ω : ❈✵(G) → ❈✵(G), ❘ω(❛) = (✐❞ ⊗ ω)∆(❛).

❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❙❙❙✮

■❢ ω ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t✱ ▲ω(❈✵(G)) ✐s ❛ s✉❜✲❚❘❖ ♦❢ ❈✵(G) ▲ω ✐s ❛ ❚❘❖ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋r❛♥③✕❙❦❛❧s❦✐ ✬✵✾❀ ❙✕❙❦❛❧s❦✐ ✬✶✷✮

■❢ ω ✐s ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t st❛t❡✱ ▲ω(❈✵(G)) ✐s ❛ ❈✯✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❈✵(G) ▲ω ✐s ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✶✵ ✴ ✶✸

❚❘❖ str✉❝t✉r❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ω

❊✈❡r② ω ∈ ▼(G) = ❈✵(G)∗ ✐♥❞✉❝❡s ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ▲ω : ❈✵(G) → ❈✵(G), ▲ω(❛) = (ω ⊗ ✐❞)∆(❛), ❘ω : ❈✵(G) → ❈✵(G), ❘ω(❛) = (✐❞ ⊗ ω)∆(❛).

❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❙❙❙✮

■❢ ω ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t✱ ▲ω(❈✵(G)) ✐s ❛ s✉❜✲❚❘❖ ♦❢ ❈✵(G) ▲ω ✐s ❛ ❚❘❖ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋r❛♥③✕❙❦❛❧s❦✐ ✬✵✾❀ ❙✕❙❦❛❧s❦✐ ✬✶✷✮

■❢ ω ✐s ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t st❛t❡✱ ▲ω(❈✵(G)) ✐s ❛ ❈✯✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❈✵(G) ▲ω ✐s ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✶✵ ✴ ✶✸

❊①♣❡❝t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❡✐❣❤ts

▲❡t η ❜❡ ❛ ✇❡✐❣❤t ♦♥ ❛ ❈✯✲❛❧❣❡❜r❛ ❆✳ ❆ ❈✯✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ❳ ⊆ ❆ ✐s η✲❡①♣❡❝t❡❞ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ P : ❆ → ❳ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ η ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t η(P(❛)) = η(❛)✳ ▲❡t ψ ❜❡ t❤❡ r✐❣❤t ❍❛❛r ✇❡✐❣❤t ♦❢ G✳ ❉❡✜♥❡ ψ(✷) : ▼✷(❈✵(G))+ → [✵, ∞] ❜② ψ(✷) ❛✶ ❛✷ ❛✸ ❛✹

• = ψ(❛✶) + ψ(❛✹).

❚❤❡♥ ψ(✷) ✐s ❛ ❞❡♥s❡❧② ❞❡✜♥❡❞✱ ❢❛✐t❤❢✉❧✱ ❧♦✇❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✇❡✐❣❤t ♦♥ ▼✷(❈✵(G))✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✶✶ ✴ ✶✸

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ r❡s✉❧t ❢♦r ✉♥✐♠♦❞✉❧❛r ▲❈◗●

❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❙❙❙✮

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G ✐s ✉♥✐♠♦❞✉❧❛r ✭φ = ψ✮✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ω ♦♥ G ♥♦♥❞❡❣❡♥❡r❛t❡ s✉❜✲❚❘❖s ❳ ⊆ ❈✵(G) s✉❝❤ t❤❛t ❆❳ ✐s ψ(✷)✲❡①♣❡❝t❡❞ ❛♥❞ r✐❣❤t ✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ▲|ω|r ▲ω ▲ω ▲|ω|❧

• .

❆ ⊆ ▼✷(❈✵(G)) ✐s r✐❣❤t ✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❢ ❘µ ❘µ ❘µ ❘µ

• (❛) ∈ ❆

∀❛ ∈ ❆, µ ∈ ❈✵(G)∗. ❳ ⊆ ❚ ✐s ♥♦♥❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ✐❢ ❳❚ ∗❚ = ❚ ❛♥❞ ❚❚ ∗❳ = ❚✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✶✷ ✴ ✶✸

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ r❡s✉❧t ❢♦r t❤♦s❡ ω ✇✐t❤ |ω| ❍❛❛r

❚❤❡♦r❡♠ ✭◆❙❙❙✮

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ω ♦♥ G s✉❝❤ t❤❛t |ω| ✐s ❛ ❍❛❛r ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♥♦♥❞❡❣❡♥❡r❛t❡ s✉❜✲❚❘❖s ❳ ⊆ ❈✵(G) s✉❝❤ t❤❛t ❆❳ ✐s ψ(✷)✲❡①♣❡❝t❡❞ ❛♥❞ r✐❣❤t ✐♥✈❛r✐❛♥t ❛♥❞ ❳❳ ∗ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳ ❆ r✐❣❤t ✐♥✈❛r✐❛♥t ❈✯✲s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ❆ ♦❢ ❈✵(G) ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✐❢ ❱ ∗(✶ ⊗ ❛)❱ ∈ ▼

• K(▲✷(G)) ⊗ ❆
• ❢♦r ❡✈❡r② ❛ ∈ ❆.

❍❡r❡ ❱ ✐s t❤❡ r✐❣❤t ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ✉♥✐t❛r② ♦❢ G✳ ❚❤❡ s②♠♠❡tr② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❣♦❡s ❜❛❝❦ t♦ ❚♦♠❛ts✉ ✬✵✼ ❛♥❞ ❙ ✬✶✶✳

P❡❦❦❛ ❙❛❧♠✐ ✭❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✮ ❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts

• öt❡❜♦r❣ ✷✵✶✸

✶✸ ✴ ✶✸