trtr tt t - - PowerPoint PPT Presentation

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▲❛tt✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ❛ ♠❡ss

Exact SVP Exact SIVP Exact CVP Gap-SVP Bounded D. D GDD Approx CVP Approx SVP Approx SIVP (I)SIS LWE Trivial worst-case red.

• Heuristic. worst-case red

Worst.case to avg case Quantum red.

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vol(L)

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✵ ✴ ✸✾

❚❤r❡❡ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠

❆♣♣r♦① ♣r♦❜❧❡♠

vol(S) ≫ vol(L)

❧♦ts ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s✳

❊①❛❝t ♣r♦❜❧❡♠

vol(S) ≈ vol(L)

≈s✐♥❣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥

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vol(S) ≪ vol(L) ❘❛♥❞♦♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❤❛✈❡ ♥♦ s♦❧✉t✐♦♥

❖♥❧② s♣❡❝✐❛❧❧② ❝r❛❢t❡❞ ✐♥st❛♥❝❡s ❤❛✈❡ ❛ s✐♥❣❧❡ ♦♥❡

vol(L)

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✵ ✴ ✸✾

❚❤r❡❡ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠

❆♣♣r♦① ♣r♦❜❧❡♠

vol(S) ≫ vol(L)

❧♦ts ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s✳

❊①❛❝t ♣r♦❜❧❡♠

vol(S) ≈ vol(L)

≈s✐♥❣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥

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vol(S) ≪ vol(L) ❘❛♥❞♦♠ ✐♥st❛♥❝❡s ❤❛✈❡ ♥♦ s♦❧✉t✐♦♥

❖♥❧② s♣❡❝✐❛❧❧② ❝r❛❢t❡❞ ✐♥st❛♥❝❡s ❤❛✈❡ ❛ s✐♥❣❧❡ ♦♥❡

vol(L)

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✵ ✴ ✸✾

❉❡♥s✐t② ✈s Pr♦✈❡❞ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❍❛r❞♥❡ss

Param=

• vol(S)

vol(L)

1

n

Asymptotic hardness poly(n) 1.01n O(√n) O(1) Poly. NP-hard Poly. 1.01−n

1

poly(n) O

• 1

√n

• Approx Pblms.

Unique Pblms. Exact Pblms.

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✶ ✴ ✸✾

❉❡♥s✐t② ✈s Pr♦✈❡❞ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❍❛r❞♥❡ss

Param=

• vol(S)

vol(L)

1

n

Asymptotic hardness poly(n) 1.01n O(√n) O(1) Poly. NP-hard Crypto (SIS) Poly. 1.01−n

1

poly(n) O

• 1

√n

• Approx Pblms.

Unique Pblms. Exact Pblms.

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✶ ✴ ✸✾

❉❡♥s✐t② ✈s Pr♦✈❡❞ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❍❛r❞♥❡ss

Param=

• vol(S)

vol(L)

1

n

Asymptotic hardness poly(n) 1.01n O(√n) O(1) Poly. NP-hard Crypto (SIS) Poly. 1.01−n

1

poly(n) O

• 1

√n

• Crypto (LWE)

Approx Pblms. Unique Pblms. Exact Pblms.

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✶ ✴ ✸✾

❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷

• ❙■❙

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✷ ✴ ✸✾

❚❤❡ ❙■❙ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❣r♦✉♣s

P❛r❛♠❡t❡rs✿

P✐❝❦ g1, . . . , gm ✉♥✐❢♦r♠❧② ❛t r❛♥❞♦♠ ✐♥ ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G

❚❤❡ ●❙■❙ ❢✉♥❝t✐♦♥

f●❙■❙ : ❇❛❧❧β(Zm) → G (x1, . . . , xm) → m

i=1 xigi

Pr♦♣❡rt✐❡s

❖♥❡ ✇❛②✳ ■♥✈❡rt✐♥❣ f●❙■❙ ✐s t❤❡ ●❙■❙ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❛❦❛✳ s✉❜s❡t s✉♠✱ ✳✳✳✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✸ ✴ ✸✾

▲✐♥❦ ✇✐t❤ ❧❛tt✐❝❡s

❙♦❧✈✐♥❣ ●❙■❙ ✐♥ ❛✈❡r❛❣❡ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧②✿

✜♥❞✐♥❣ s❤♦rt ✈❡❝t♦rs ✐♥ ❛ ✭✉♥✐❢♦r♠✮ r❛♥❞♦♠ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ L(G) = {❧❛tt✐❝❡s L ⊂ Zm s✳t✳ Zm/L ∼ G}

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✹ ✴ ✸✾

❲♦rst✲❝❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❝❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥

❬❆❥t❛✐✾✻❪ ■❢ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡✣❝✐❡♥t❧② s♦❧✈❡ ❙■❙ ❢♦r G = (Z/qZ)n ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡✱ t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡✣❝✐❡♥t❧② ✜♥❞ s❤♦rt ✈❡❝t♦rs ✐♥ ❡✈❡r② n✲❞✐♠ ❧❛tt✐❝❡✳ ❬●■◆❳✶✻❪ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛♥② ✜♥✐t❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t #G ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡ ≥ nΩ(max(n,r❛♥❦(G))) ◆♦t❡✿ (Z/2Z)n ✐s ♥♦t✳

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✺ ✴ ✸✾

❍❛r❞♥❡ss ♦❢ t❤❡ ●❙■❙ ♣r♦❜❧❡♠

• ❙■❙ ✭●r♦✉♣✮ ❤❛r❞♥❡ss ❞❡♣❡♥❞s

✔ ♦♥ t❤❡ ♦r❞❡r #G❄ ❨❡s✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ #G ր ✔ ♦♥ β❄ ❨❡s✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ β ց

• ❙■❙ ❤❛r❞♥❡ss ❞♦❡s ◆❖❚ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥

♦♥ ❄ ❙❤♦✉❧❞ ❜❡✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ ❜✉t s♦♠❡t✐♠❡s✱ ●❙■❙ ✐s ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ✭❝②❝❧❡s✮ ♦❢ ❄ ◆♦✦ ❆❧❧ str✉❝t✉r❡s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✭❙tr✉❝t✉r❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥✮ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ❄ ◆♦✦ ❆❧♠♦st ❛❧❧ ✐♥st❛♥❝❡s ❛r❡ ❤❛r❞ ✭✇♦rst✲❝❛s❡ t♦ ❛✈❣ ❝❛s❡ r❡❞✳✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✻ ✴ ✸✾

❍❛r❞♥❡ss ♦❢ t❤❡ ●❙■❙ ♣r♦❜❧❡♠

• ❙■❙ ✭●r♦✉♣✮ ❤❛r❞♥❡ss ❞❡♣❡♥❞s

✔ ♦♥ t❤❡ ♦r❞❡r #G❄ ❨❡s✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ #G ր ✔ ♦♥ β❄ ❨❡s✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ β ց

• ❙■❙ ❤❛r❞♥❡ss ❞♦❡s ◆❖❚ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥
• ♦♥ m❄

❙❤♦✉❧❞ ❜❡✿ ❤❛r❞❡r ✇❤❡♥ m ց ❜✉t s♦♠❡t✐♠❡s✱ ●❙■❙ ✐s ✐♥tr❛❝t❛❜❧❡ ∀m ✘ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ✭❝②❝❧❡s✮ ♦❢ G❄ ◆♦✦ ❆❧❧ str✉❝t✉r❡s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✭❙tr✉❝t✉r❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥✮ ✘ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❢❛♠✐❧② (g1, . . . , gm)❄ ◆♦✦ ❆❧♠♦st ❛❧❧ ✐♥st❛♥❝❡s ❛r❡ ❤❛r❞ ✭✇♦rst✲❝❛s❡ t♦ ❛✈❣ ❝❛s❡ r❡❞✳✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✻ ✴ ✸✾

❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸

• ▲❲❊

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✼ ✴ ✸✾

❉✉❛❧✐t②✳✳✳

❆ ❝❤❛r❛❝t❡r ♦❢ G ✐s ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ❢r♦♠ G t♦ t❤❡ t♦r✉s T = (R/Z, +) G ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ✐ts ❞✉❛❧ ❣r♦✉♣ ˆ G = {❝❤❛r❛❝t❡rs ♦❢ G}

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✽ ✴ ✸✾

❚❤❡ ▲❲❊ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❘❡❣❡✈✷✵✵✺✮

▲❡t (G, +) ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣✿ P✐❝❦ g1, . . . , gm ✉♥✐❢♦r♠❧② ❛t r❛♥❞♦♠ ❢r♦♠ G✳ P✐❝❦ ❛ r❛♥❞♦♠ ❝❤❛r❛❝t❡r ˆ s ✐♥ ˆ G ✳

• ♦❛❧✿ r❡❝♦✈❡r ˆ

s ❣✐✈❡♥ g1, . . . , gm ❛♥❞ ♥♦✐s② ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ ˆ s(g1), ..., ˆ s(gm)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦✐s❡ ✐s ●❛✉ss✐❛♥✳ ❬❘❡❣❡✈✵✺❪ ✉s❡❞ G = (Z/qZ)n ❧✐❦❡ ❬❆❥t❛✐✾✻❪ ❢♦r ❙■❙✳

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✶✾ ✴ ✸✾

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣

g1, . . . , gm = (1, 3, 6, ..., 24) r❛♥❞✳ ✐♥ Z25 s❡❝r❡t✿ ˆ s(a) = 2·a

25

mod 1✳

• ▲❲❊ s❛♠♣❧❡s
• ▲❲❊

❘❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧❡s ✐♥

❲✐t❤♦✉t t❤❡ s❡❝r❡t ✭ ❤❡r❡✮

❇♦t❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ❤❛r❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✵ ✴ ✸✾

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣

g1, . . . , gm = (1, 3, 6, ..., 24) r❛♥❞✳ ✐♥ Z25 s❡❝r❡t✿ ˆ s(a) = 2·a

25

mod 1✳

• ▲❲❊ s❛♠♣❧❡s f●▲❲❊(ˆ

s) ❘❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧❡s ✐♥

❲✐t❤♦✉t t❤❡ s❡❝r❡t ✭ ❤❡r❡✮

❇♦t❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ❤❛r❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✵ ✴ ✸✾

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣

g1, . . . , gm = (1, 3, 6, ..., 24) r❛♥❞✳ ✐♥ Z25 s❡❝r❡t✿ ˆ s(a) = 2·a

25

mod 1✳

• ▲❲❊ s❛♠♣❧❡s f●▲❲❊(ˆ

s) ❘❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧❡s ✐♥ T

❲✐t❤♦✉t t❤❡ s❡❝r❡t ✭ ❤❡r❡✮

❇♦t❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ❤❛r❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✵ ✴ ✸✾

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣

g1, . . . , gm = (1, 3, 6, ..., 24) r❛♥❞✳ ✐♥ Z25 s❡❝r❡t✿ ˆ s(a) = 2·a

25

mod 1✳

• ▲❲❊ s❛♠♣❧❡s f●▲❲❊(ˆ

s) ❘❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧❡s ✐♥ T

❲✐t❤♦✉t t❤❡ s❡❝r❡t ✭ˆ s = ˆ 2 ❤❡r❡✮

❇♦t❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ❤❛r❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✵ ✴ ✸✾

❚❤❡ ▲❲❊ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❣r♦✉♣s

P❛r❛♠❡t❡rs✿

P✐❝❦ g1, . . . , gm ✉♥✐❢♦r♠❧② ❛t r❛♥❞♦♠ ✐♥ ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G

❚❤❡ ●▲❲❊ ❢✉♥❝t✐♦♥

f●▲❲❊ : ˆ G → Tm ˆ s → (ˆ s(gi), . . . , ˆ s(gm)) + ♥♦✐s❡

Pr♦♣❡rt✐❡s

❖♥❡ ✇❛②✳ ■♥✈❡rt✐♥❣ f●▲❲❊ ✐s t❤❡ ●▲❲❊ ♣r♦❜❧❡♠

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✶ ✴ ✸✾

❲♦rst✲❝❛s❡ t♦ ❛✈❡r❛❣❡ ❝❛s❡ r❡❞✉❝t✐♦♥

❬❘❡❣❡✈✵✺❪✿ ■❢ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡✣❝✐❡♥t❧② s♦❧✈❡ ▲❲❊ ❢♦r G = (Z/qZ)n ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡✱ t❤❡♥ ♦♥❡ ❝❛♥ q✉❛♥t✉♠✲❡✣❝✐❡♥t❧② ✜♥❞ s❤♦rt ✈❡❝t♦rs ✐♥ ❡✈❡r② n✲❞✐♠ ❧❛tt✐❝❡✳ ❬●■◆❳✶✻❪✿ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛♥② ✜♥✐t❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ G✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t #G ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡✳

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✷ ✴ ✸✾

❙❡❝t✐♦♥ ✸ ▲❛tt✐❝❡ ❈r②♣t♦❣r❛♣❤②

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✸ ✴ ✸✾

▲❛tt✐❝❡✲❜❛s❡❞ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤②

❚✇♦ ❚②♣❡s ♦❢ ❚❡❝❤♥✐q✉❡s

❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ✉s✐♥❣ tr❛♣❞♦♦rs✱ ✐✳❡✳ s❡❝r❡t s❤♦rt ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ❧❛tt✐❝❡✳ ❙✐♠✐❧❛r✐t✐❡s ✇✐t❤ ❘❙❆✴❘❛❜✐♥ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤②✳ ❈r②♣t♦❣r❛♣❤② ✇✐t❤♦✉t tr❛♣❞♦♦rs✳ ❙✐♠✐❧❛r✐t✐❡s ✇✐t❤ ❉✐✣❡✲❍❡❧❧♠❛♥♥✲❜❛s❡❞ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤②✳

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✹ ✴ ✸✾

❘❡♠❡♠❜❡r ❘❙❆

❖♥❡✲✇❛② ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡♥ m → me ✐s ❛ tr❛♣❞♦♦r ♦♥❡✲✇❛② ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦✈❡r (Z/NZ)∗✳

❚r❛♣❞♦♦r

d = e−1 mod φ(N) ✐s ❛ tr❛♣❞♦♦r✳ ❱❡r② ❡①♣❡♥s✐✈❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❢r♦♠ (N, e)✱ ❜✉t ♦♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐t✱ ✐♥✈❡rs✐♦♥ c → cd ✐s ❡❛s② ✭✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ ❜✉✐❧❞ t❤❡ tr❛♣❞♦♦r ✜rst✦✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✺ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r ❢♦r ▲❛tt✐❝❡s

❖♥❡ ✇❛② ❢✉♥❝t✐♦♥s

f●❙■❙✿ s❤♦rt (x1 . . . , xm) → xigi f●▲❲❊✿ ❝❤❛r❛❝t❡r ˆ s → (ˆ s(g1), . . . , ˆ s(gm)) + ♥♦✐s❡

❚r❛♣❞♦♦r

❇✉t ✐❢ ✇❡ ❣❡t ❛♥② s❤♦rt ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❙■❙ ❧❛tt✐❝❡ (g1, . . . , gm)⊥✱ ❜♦t❤ ❜❡❝♦♠❡ ❡❛s② t♦ ✐♥✈❡rt✳ s❡❡✿ ❬●●❍✾✼❪✱ ❬▼✐❝❝✵✶❪✱ ❬◆❚❘❯✾✻❪✱ ❬●P❱✵✽❪✱ ❬▼P✶✷❪✱ ❬❈●●■✶✻❪✳✳✳ ✭❆❣❛✐♥✱ ♦♥❡ ✇♦✉❧❞ ❜✉✐❧❞ t❤❡ tr❛♣❞♦♦r ✜rst✦✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✻ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob ga ∈ G G = g a ∈ Zq

• f order q

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob ga ∈ G G = g a ∈ Zq

• f order q

gb ∈ G b ∈ Zq

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob ga ∈ G G = g a ∈ Zq

• f order q

gb ∈ G b ∈ Zq gab ∈ G gab ∈ G ???!!

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob ga ∈ G G = g a ∈ Zq

• f order q

gb ∈ G b ∈ Zq gab ∈ G gab ∈ G ???!! A pairing e e(a, b) = gab that can be computed even if a or b is hidden by f A one-way function f f(a) = ga

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❚r❛♣❞♦♦r✲❧❡ss ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥♥

Alice Bob ga ∈ G G = g a ∈ Zq

• f order q

gb ∈ G b ∈ Zq gab ∈ G gab ∈ G ???!! A pairing e e(a, b) = gab that can be computed even if a or b is hidden by f A one-way function f f(a) = ga

❚❤✐s ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ ❊❧✲●❛♠❛❧ P❑ ❡♥❝r②♣t✐♦♥

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✼ ✴ ✸✾

❆❜str❛❝t✐♥❣ ❉❍

❧❡t e : e(a, b) = gab t❤✐s ♠❛♣ ✐s ❛ ♣❛✐r✐♥❣✱ ✐t ✐s ❜✐❧✐♥❡❛r ❢r♦♠ Zq × Zq → G✳ ❧❡t f : a → ga ❜❡ t❤❡ ❉▲ ♦♥❡✲✇❛② ❢✉♥❝t✐♦♥

❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

e(a, b) ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✉s✐♥❣ (f(a), b) ♦r (a, f(b)) ❡✈❡♥ ✐❢ a ♦r b ✐s ❤✐❞❞❡♥ ❜② f

❙❡❝✉r✐t②

❤❛r❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ (f(a), f(b), e(a, b)) ❢r♦♠ (f(a), f(b), r❛♥❞♦♠)

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✽ ✴ ✸✾

❉❍ ✇✐t❤ ❧❛tt✐❝❡s

❲❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣❄ ❲❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ♦♥❡✲✇❛② ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❤✐❞❡ ✐♥♣✉ts❄

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✷✾ ✴ ✸✾

❉❍ ✇✐t❤ ❧❛tt✐❝❡s

❚❤❡ P❛✐r✐♥❣ ✭❢♦r g1, . . . , gm ←$ G✮

ξ : ˆ G × Zm → T (ˆ s, x) → ˆ s m

• i=1

xigi

• ❡rr♦rs✴❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❦ ✐❢ xi ❛r❡ s♠❛❧❧✳

❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

▲❡t y = f❙■❙(x1, . . . , xm) = xigi ∈ G ❚❤❡♥✿ ξ(ˆ s, x) = ˆ s(y) ∈ T ▲❡t b = f▲❲❊(ˆ s) ≈ (ˆ s(g1), . . . , ˆ s(gm)) ∈ Tm ❚❤❡♥✿ ξ(ˆ s, x) ≈ x, b ∈ T

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✸✵ ✴ ✸✾

◆♦✐s② ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢r♦♠ ❧❛tt✐❝❡s

Alice Bob

✭♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ ❜② r♦✉♥❞✐♥❣✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✸✶ ✴ ✸✾

◆♦✐s② ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢r♦♠ ❧❛tt✐❝❡s

Alice Bob y = fGSIS(x) g1, . . . , gm ∈ G x ∈ Zm

✭♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ ❜② r♦✉♥❞✐♥❣✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✸✶ ✴ ✸✾

◆♦✐s② ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢r♦♠ ❧❛tt✐❝❡s

Alice Bob y = fGSIS(x) g1, . . . , gm ∈ G x ∈ Zm b = fGLWE(ˆ s) ˆ s ∈ ˆ G

✭♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ ❜② r♦✉♥❞✐♥❣✮

◆✐❝♦❧❛s ●❛♠❛✱ ▼❛❧✐❦❛ ■③❛❜❛❝❤❡♥❡✱ P❤♦♥❣ ◆❣✉②❡♥✱ ❳✐❛♥❣ ❳✐❡ ✭■♥♣❤❡r✱ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛r✐s ❙❛❝❧❛②✱ ❈❡❛✱ ■♥r✐❛✱ ❈◆❘❙✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦✱ ❍✉❛✇❡✐ ✮ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ▲❛tt✐❝❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥✿ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❲♦rst✲❈❛s❡ t♦ ❆✈❡r❛❣❡✲❈❛s❡ ❘❡❞✉❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❍♦♠♦♠♦r♣❤✐❝ ❈r②♣t♦s②st❡♠s ▼❛② ✶✵✱ ✷✵✶✻ ✸✶ ✴ ✸✾

◆♦✐s② ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢r♦♠ ❧❛tt✐❝❡s

Alice Bob y = fGSIS(x) g1, . . . , gm ∈ G x ∈ Zm b = fGLWE(ˆ s) ˆ s ∈ ˆ G ξ(ˆ s, x) ≈ x, b ξ(ˆ s, x) = ˆ s(y) ???!!

✭♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ ❜② r♦✉♥❞✐♥❣✮

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