tr r rt Prt - - PowerPoint PPT Presentation

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Nov 13, 2022 425 likes •1.44k views

trt t t tr ts r tr r rt Prt

SLIDE 1

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

▼❛tr♦✐❞ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❑❡r♥❡❧✐③❛t✐♦♥

P❛rt ✸✿ ■rr❡❧❡✈❛♥t ✈❡rt❡① r✉❧❡s ❛♥❞ ❝❛♣t✉r✐♥❣ ❛❧❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❙❛❦❡t ❙❛✉r❛❜❤ ✶ ❙t❡❢❛♥ ❑r❛ts❝❤ ✷ ▼❛❣♥✉s ❲❛❤❧strö♠ ✸

✶❇❡r❣❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❛♥❞ ■▼❙❝ ❈❤❡♥♥❛✐ ✷❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❇❡r❧✐♥ ✸❘♦②❛❧ ❍♦❧❧♦✇❛②✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▲♦♥❞♦♥

❲♦r❑❡r ✷✵✶✸✱ ❲❛rs❛✇

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SLIDE 2

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❖✉t❧✐♥❡

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✷

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❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡✿ ❞✲❍✐tt✐♥❣ ❙❡t ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t✱ r❡✈✐s✐t❡❞ ❈♦✈❡r✐♥❣ ●r❛♣❤ ❈✉ts

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❙✉♠♠❛r②

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SLIDE 3

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▼❛tr♦✐❞s

❆ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , I)✱ I ⊆ ✷❱ ✱ ✐s ❛♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ s②st❡♠ ✇✐t❤ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s❡ts I s❛t✐s❢②✐♥❣✿

✶ ❚❤❡ ❡♠♣t② s❡t ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✷ ❆ s✉❜s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s❡t ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✸ ❆✉❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt②✿ ■❢ ❆, ❇ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ |❇| > |❆|✱

t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s s♦♠❡ ❜ ∈ ❇ − ❆ s✉❝❤ t❤❛t ❆ + ❜ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❘❛♥❦ r(❳)✿ ❙✐③❡ ♦❢ ❧❛r❣❡st ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✉❜s❡t ♦❢ ❳

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SLIDE 4

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❊①❛♠♣❧❡s

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡s✿

✶ ●r❛♣❤✐❝ ♠❛tr♦✐❞s✿ ▲❡t ● = (❱ , ❊) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤✳

▼ = (❊, I)✱ I ❝♦♥t❛✐♥s ❝②❝❧❡✲❢r❡❡ ❡❞❣❡ s❡ts ❘❛♥❦✿ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ♠✐♥✉s ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

✷ ▲✐♥❡❛r ♠❛tr♦✐❞s ▼ = (❱ , I)✿

❱ ✐s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ✈❡❝t♦rs ✐♥ F❞ ❢♦r s♦♠❡ ✜❡❧❞ F ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❝♦♥❝❡♣t ✐s ❧✐♥❡❛r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❘❛♥❦✿ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

❘❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ♠❛tr♦✐❞✿ ❈❛♥ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛s s❡t ♦❢ ✈❡❝t♦rs✳

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SLIDE 5

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r❛♣❤ ❝✉t ♠❛tr♦✐❞s✿ ●❛♠♠♦✐❞s

▲❡t ● = (❱ , ❊) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ✭♣♦ss✐❜❧② ❞✐r❡❝t❡❞✮✳ ❙❛② t❤❛t ❚ ⊆ ❱ ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❙ ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ |❚| ✈❡rt❡①✲❞✐s❥♦✐♥t ♣❛t❤s ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✭✇✐t❤ ❞✐st✐♥❝t ❡♥❞♣♦✐♥ts✮✳ ❚❤❡ ❣❛♠♠♦✐❞ (●, ❙) ❞❡✜♥❡❞ ❜② ● ❛♥❞ ❙ ✐s ▼ = (❱ , I) ✇❤❡r❡✿ I ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ s❡ts ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❙ ❚❤❡ r❛♥❦ r(❳) ❡q✉❛❧s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ (❙, ❳)✲❝✉t ❙ ❳

❛♠♠♦✐❞s ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡✳

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SLIDE 6

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❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❛♠♠♦✐❞s

❛♠♠♦✐❞✱ ✜①❡❞✲s♦✉r❝❡ ❢♦r♠

▲❡t ● = (❱ , ❊) ❛♥❞ ❙, ❚ ⊆ ❱ ✳ ❚❤❡ ❣❛♠♠♦✐❞ ✇✐t❤ ❙ ❛s s♦✉r❝❡s ❛♥❞ ❚ ❛s ♣♦t❡♥t✐❛❧ s✐♥❦s ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡ |❙| · |❚| · ❖(♠✐♥(|❚|, |❙| ❧♦❣ |❚|) + ❧♦❣ |❱ | + ❧♦❣(✶/ε)) ✐♥ r❛♥❞♦♠✐s❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ε✳

❛♠♠♦✐❞✱ ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r♠

▲❡t ● = (❱ , ❊) ❛♥❞ ❳ ⊆ ❱ ✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❣❛♠♠♦✐❞ ✇❤✐❝❤ ❢♦r ❡✈❡r② ♣❛rt✐t✐♦♥ ❳ = ❆ ∪ ❇ ∪ ❈ ∪ ❉ ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ❆✲❇ ♠✐♥✲❝✉t ✐♥

\ ❉✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡

❖(|❳|✷ · (|❳| + ❧♦❣ |❱ | + ❧♦❣(✶/ε))) ✐♥ r❛♥❞♦♠✐s❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ε✳

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SLIDE 7

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❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❛♠♠♦✐❞s

❛♠♠♦✐❞✱ ✜①❡❞✲s♦✉r❝❡ ❢♦r♠

▲❡t ● = (❱ , ❊) ❛♥❞ ❙, ❚ ⊆ ❱ ✳ ❚❤❡ ❣❛♠♠♦✐❞ ✇✐t❤ ❙ ❛s s♦✉r❝❡s ❛♥❞ ❚ ❛s ♣♦t❡♥t✐❛❧ s✐♥❦s ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡ |❙| · |❚| · ❖(♠✐♥(|❚|, |❙| ❧♦❣ |❚|) + ❧♦❣ |❱ | + ❧♦❣(✶/ε)) ✐♥ r❛♥❞♦♠✐s❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ε✳

❛♠♠♦✐❞✱ ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r♠

▲❡t ● = (❱ , ❊) ❛♥❞ ❳ ⊆ ❱ ✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❣❛♠♠♦✐❞ ✇❤✐❝❤ ❢♦r ❡✈❡r② ♣❛rt✐t✐♦♥ ❳ = ❆ ∪ ❇ ∪ ❈ ∪ ❉ ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ❆✲❇ ♠✐♥✲❝✉t ✐♥

\ ❉✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ s♣❛❝❡

❖(|❳|✷ · (|❳| + ❧♦❣ |❱ | + ❧♦❣(✶/ε))) ✐♥ r❛♥❞♦♠✐s❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ε✳

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SLIDE 8

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts

❘❡❝❛❧❧ ♠❛tr♦✐❞ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐s✳ ▼❛tr♦✐❞ ❜❛s✐s ▲❡t ▼ = (❱ , I) ❜❡ ❛ ♠❛tr♦✐❞✱ ❛♥❞ ❇ ❛ ❜❛s✐s ♦❢ ▼✳ ❋♦r ❛♥② ❳ ∈ I✱ ❳ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② s♦♠❡ ✈ ∈ ❱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❳ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② s♦♠❡ ✈ ∈ ❇✳ ✈ ❡①t❡♥❞s ❳✿ ✈ / ∈ ❳ ❛♥❞ (❳ + ✈) ∈ I✳ ❙♣❡❝✳ ❣❛♠♠♦✐❞ (●, ❙)✿

▲❡t P✉s❤(❳, ❙) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ ♣✉s❤✐♥❣ ❳ t♦✇❛r❞s ❙ ✭❝r❡❛t✐♥❣ ❝❧♦s❡st s❡t✮✳ ❚❤❡♥ ✈ ❡①t❡♥❞s ❳ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✭❳ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞✮ ✈ r❡❛❝❤❛❜❧❡ ❢r♦♠ ❙ ✐♥ ● \ P✉s❤(❳, ❙)✳

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts✿ ❊①t❡♥❞ t❤❡ ❛❜♦✈❡ t♦ t✉♣❧❡s t = (✈✶, . . . , ✈s) ❡①t❡♥❞✐♥❣ ❳✳

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SLIDE 9

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts✱ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❊①t❡♥❞s ▲❡t ▼ = (❱ , I) ❜❡ ❛ ♠❛tr♦✐❞✱ ❳ ∈ I✱ ❛♥❞ t ❛♥❞ s✲t✉♣❧❡ ❢r♦♠ ❱ ✭✐✳❡✳✱ t ∈ ❱

✮✳ ❲❡ s❛② t❤❛t t ❡①t❡♥❞s ❳ ✐❢ ❳ ∩ t = ∅ ❛♥❞

❳ ∪ t ∈ I✳ ❊①❛♠♣❧❡s✿ ❋r❡❡ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , ✷❱ )✿ t ❡①t❡♥❞s ❳ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❳ ∩ t = ∅ ✭❝❢✳ ❞✲❍✐tt✐♥❣ ❙❡t✮✳ ❉✐s❥♦✐♥t s✉♠ ▼ = ▼✶ + . . . + ▼s ❛♥❞ t ∈ ❱ (✶) × . . . × ❱ (s)✿ ❚❡sts ✭t(✶) ❡①t❡♥❞s ❳(✶)✮ ❆◆❉ ✳ ✳ ✳ ❆◆❉ ✭t(s) ❡①t❡♥❞s ❳(s)✮

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SLIDE 10

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts ❧❡♠♠❛

▲♦✈ás③ ✼✼✱ ▼❛r① ✵✻ ▲❡t ▼ = (❱ , I) ❜❡ ❛ ❧✐♥❡❛r❧② r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ♠❛tr♦✐❞✱ T ⊆ ❱

❛ s❡t

♦❢ s✲t✉♣❧❡s ♦❢ ❱ ✱ ❛♥❞ ❦ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r✳ ■♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ s❡t T ′ ⊆ T t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts T ✱ ✇✐t❤ |T ′| = ❖(❦s)✳ T ′ r❡♣r❡s❡♥ts T ✿ ❋♦r ❛♥② ❳ ∈ I✱ s♦♠❡ t ∈ T ❡①t❡♥❞s ❳ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ s♦♠❡ t ∈ T ′ ❡①t❡♥❞s ❳✳ ❈❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ✏❜❛s✐s ♦❢ s✲t✉♣❧❡s✑✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❜♦t❤ ▼ ❛♥❞ T ❝❛♥ ❜❡ ✏❞❡s✐❣♥❡❞✑✳

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SLIDE 11

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❯s✐♥❣ t❤❡ ❧❡♠♠❛

❈❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣✿

✶ ❨♦✉ s❡❧❡❝t ❛ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , I)✱ ❛ s❡t ♦❢ t✉♣❧❡s T ⊆

❱

✱ ❛♥

✐♥t❡❣❡r ❦✳

✷ ▲♦✈ás③ ❛♥❞ ▼❛r① ❣✐✈❡ ②♦✉ ❛ s❡t T ′ ⊆ T ✇✐t❤ ❖(❦s) t✉♣❧❡s✳

❋♦r❣❡t t❤❡ r❡st ♦❢ T ✳

✸ ❨♦✉r ❛❞✈❡rs❛r② ❣✐✈❡s ②♦✉ ❛ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡ s❡t ❳ ✭❳ ⊆ ❱ ✱ |❳| ≤ ❦✮✿

✏■s t❤❡r❡ ❛ t✉♣❧❡ t ∈ T t❤❛t ❡①t❡♥❞s ❳❄✑

✹ ❨♦✉ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❧♦♦❦ ❛t t✉♣❧❡s t ∈ T ′ t♦ ❛♥s✇❡r✳ ✶✵✴✹✽

SLIDE 12

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❯s✐♥❣ t❤❡ ❧❡♠♠❛

❈❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣✿

✶ ❨♦✉ s❡❧❡❝t ❛ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , I)✱ ❛ s❡t ♦❢ t✉♣❧❡s T ⊆

❱

✱ ❛♥

✐♥t❡❣❡r ❦✳

✷ ▲♦✈ás③ ❛♥❞ ▼❛r① ❣✐✈❡ ②♦✉ ❛ s❡t T ′ ⊆ T ✇✐t❤ ❖(❦s) t✉♣❧❡s✳

❋♦r❣❡t t❤❡ r❡st ♦❢ T ✳

✸ ❨♦✉r ❛❞✈❡rs❛r② ❣✐✈❡s ②♦✉ ❛ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡ s❡t ❳ ✭❳ ⊆ ❱ ✱ |❳| ≤ ❦✮✿

✏■s t❤❡r❡ ❛ t✉♣❧❡ t ∈ T t❤❛t ❡①t❡♥❞s ❳❄✑

✹ ❨♦✉ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❧♦♦❦ ❛t t✉♣❧❡s t ∈ T ′ t♦ ❛♥s✇❡r✳ ✶✵✴✹✽

SLIDE 13

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❯s✐♥❣ t❤❡ ❧❡♠♠❛

❈❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣✿

✶ ❨♦✉ s❡❧❡❝t ❛ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , I)✱ ❛ s❡t ♦❢ t✉♣❧❡s T ⊆

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✱ ❛♥

✐♥t❡❣❡r ❦✳

✷ ▲♦✈ás③ ❛♥❞ ▼❛r① ❣✐✈❡ ②♦✉ ❛ s❡t T ′ ⊆ T ✇✐t❤ ❖(❦s) t✉♣❧❡s✳

❋♦r❣❡t t❤❡ r❡st ♦❢ T ✳

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✏■s t❤❡r❡ ❛ t✉♣❧❡ t ∈ T t❤❛t ❡①t❡♥❞s ❳❄✑

✹ ❨♦✉ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❧♦♦❦ ❛t t✉♣❧❡s t ∈ T ′ t♦ ❛♥s✇❡r✳ ✶✵✴✹✽

SLIDE 14

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❯s✐♥❣ t❤❡ ❧❡♠♠❛

❈❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❝♦❞✐♥❣✿

✶ ❨♦✉ s❡❧❡❝t ❛ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = (❱ , I)✱ ❛ s❡t ♦❢ t✉♣❧❡s T ⊆

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✱ ❛♥

✐♥t❡❣❡r ❦✳

✷ ▲♦✈ás③ ❛♥❞ ▼❛r① ❣✐✈❡ ②♦✉ ❛ s❡t T ′ ⊆ T ✇✐t❤ ❖(❦s) t✉♣❧❡s✳

❋♦r❣❡t t❤❡ r❡st ♦❢ T ✳

✸ ❨♦✉r ❛❞✈❡rs❛r② ❣✐✈❡s ②♦✉ ❛ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡ s❡t ❳ ✭❳ ⊆ ❱ ✱ |❳| ≤ ❦✮✿

✏■s t❤❡r❡ ❛ t✉♣❧❡ t ∈ T t❤❛t ❡①t❡♥❞s ❳❄✑

✹ ❨♦✉ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❧♦♦❦ ❛t t✉♣❧❡s t ∈ T ′ t♦ ❛♥s✇❡r✳ ✶✵✴✹✽

SLIDE 15

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❖❞❞ ❈②❝❧❡ ❚r❛♥s✈❡rs❛❧

Pr♦❜❧❡♠✿ ❖❈❚

✐✈❡♥ ❛ ❣r❛♣❤ ● = (❱ , ❊)✱ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❦✱ ✜♥❞ ❛ s❡t ❳ ⊆ ❱

✇✐t❤ |❳| ≤ ❦ s✉❝❤ t❤❛t ● \ ❳ ✐s ❜✐♣❛rt✐t❡✳

✶ ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❖❈❚✿ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❣✐✈❡♥ s♦❧✉t✐♦♥ ❳ ′ ✭❜✉t

|❳ ′| > ❦✮❀ ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ✈✐❛ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

✷ ❘❡❡❞✱ ❙♠✐t❤ ❛♥❞ ❱❡tt❛✿ ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❖❈❚ r❡❞✉❝❡s

✭❡ss❡♥t✐❛❧❧②✮ t♦ ✜♥❞✐♥❣ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❳ ′ = ❆ ∪ ❇ ✇✐t❤ ❛ s♠❛❧❧ ✈❡rt❡① ❝✉t ❢r♦♠ ❆ t♦ ❇

✸ ❚❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ❞✐r❡❝t❧② ✐♥t♦ ❛ ♠❛tr✐①

r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❛ ❣❛♠♠♦✐❞

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SLIDE 16

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❆❧♠♦st ✷✲❙❆❚

Pr♦❜❧❡♠✿ ❆❧♠♦st ✷✲❙❆❚

✐✈❡♥ ❛ ✷✲❈◆❋ ❋ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❦✱ ❞❡❧❡t❡ ❛t ♠♦st ❦ ❝❧❛✉s❡s t♦

♠❛❦❡ ❋ s❛t✐s✜❛❜❧❡

✶ ❈♦♠♣r❡ss✐♦♥ ❆❧♠♦st ✷✲❙❆❚ r❡❞✉❝❡s t♦ ❉✐❣r❛♣❤ P❛✐r ❈✉t✿

✐✈❡♥ ❞✐❣r❛♣❤ ❉ = (❱ , ❆)✱ ♣❛✐rs P ⊆

❱

✷

✱ s♦✉r❝❡ ✈❡rt❡① s✿

❙❡♣❛r❛t❡ ❛❧❧ ♣❛✐rs P ❢r♦♠ s

✷ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts s❡r✈❡ ✉s ❖(❦✷) ♣❛✐rs P′ ⊆ P ✇❤✐❝❤ ❢✉❧❧②

❞❡✜♥❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

✸ ❊♥❝♦❞❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥t♦ ❣❛♠♠♦✐❞ ♦♥ ❙ = {s(✶), . . . , s(❦ + ✶)}

❛♥❞ s✐♥❦ s❡t ❚ = P′

✶✷✴✹✽

SLIDE 17

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ✇✐t❤ ❉❡❧❡t❛❜❧❡ ❚❡r♠✐♥❛❧s

Pr♦❜❧❡♠✿ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ✇✐t❤ ❉❡❧❡t❛❜❧❡ ❚❡r♠✐♥❛❧s ✭❉❚▼❲❈✮

✐✈❡♥ ● = (❱ , ❊)✱ ❚ ⊆ ❱ ✱ ❦✿ ❙❡♣❛r❛t❡ ❛❧❧ t❡r♠✐♥❛❧s ✐♥ ❚ ❢r♦♠

❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❜② ❞❡❧❡t✐♥❣ ❛t ♠♦st ❦ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✭✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❚✮✳

✶ ▲P r❡❞✉❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s |❚| ≤ ✷❦ ✷ ❍❛♥❞✲❝r❛❢t❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡t s❡t✉♣ t❡❧❧s ②♦✉ ✇❤❛t ✈❡rt✐❝❡s t♦

❦❡❡♣

✶✸✴✹✽

SLIDE 18

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ Pr♦❜❧❡♠s

✶✹✴✹✽

SLIDE 19

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t

▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ■♥♣✉t✿ ●r❛♣❤ ● = (❱ , ❊)✱ t❡r♠✐♥❛❧s ❚ ⊆ ❱ ✱ ✐♥t❡❣❡r ❦ Pr♦❜❧❡♠✿ ❋✐♥❞ ❛ s❡t ❳ ♦❢ ❛t ♠♦st ❦ ✈❡rt✐❝❡s ✭❡①❝❧✉❞✐♥❣ ❚✮ s✉❝❤ t❤❛t ♥♦ t✇♦ t❡r♠✐♥❛❧s t✐, t❥ ∈ ❚ ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✐♥ ● \ ❳✳ ❳ t✶ t✷ t✸ t✹

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SLIDE 20

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✶ ■❢ ❳ + ✈′ ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❚ − t ❢♦r ❡✈❡r② t ∈ ❚✱ t❤❡♥ ✈ ✐s st❛❜❧❡ ✐♥

❳ ✭♦♥❡ ♦❢ ❛t ♠♦st ❦ s✉❝❤ ❝❤♦✐❝❡s✮✳

✷ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ✈ ✐s ❛♥ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ✈❡rt❡①✳

❚❤❡ s❡t✉♣✿ ▼❛✐♥ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = ▼✶ + . . . + ▼s ▼❛tr♦✐❞ ▼✐ ❂ ❣❛♠♠♦✐❞ ♦❢ (●, ◆(❚ − t✐))✱ t✐ ∈ ❚ ❚✉♣❧❡s t(✈) = {✈′(✶), . . . , ✈′(s)}❀ T = {t(✈) : ✈ ∈ ❱ } ❙✐♥❝❡ ♦♥❧② t✉♣❧❡s t(✈) ❢♦r st❛❜❧❡ ✈ ∈ ❳ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ ❳(✶) + . . . + ❳(s)✱ t❤❡ st❛❜❧❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❳ ♠✉st ♦❝❝✉r ✐♥ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡t ♦✉t♣✉t✳

✷✹✴✹✽

SLIDE 41

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❚❤❡ ♣❛②♦✛

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ▲❡t ❳ ❜❡ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♠✉❧t✐✇❛② ❝✉t✳

✶ ■❢ ❳ + ✈′ ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❚ − t ❢♦r ❡✈❡r② t ∈ ❚✱ t❤❡♥ ✈ ✐s st❛❜❧❡ ✐♥

❳ ✭♦♥❡ ♦❢ ❛t ♠♦st ❦ s✉❝❤ ❝❤♦✐❝❡s✮✳

✷ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ✈ ✐s ❛♥ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ✈❡rt❡①✳

❚❤❡ s❡t✉♣✿ ▼❛✐♥ ♠❛tr♦✐❞ ▼ = ▼✶ + . . . + ▼s ▼❛tr♦✐❞ ▼✐ ❂ ❣❛♠♠♦✐❞ ♦❢ (●, ◆(❚ − t✐))✱ t✐ ∈ ❚ ❚✉♣❧❡s t(✈) = {✈′(✶), . . . , ✈′(s)}❀ T = {t(✈) : ✈ ∈ ❱ } ❙✐♥❝❡ ♦♥❧② t✉♣❧❡s t(✈) ❢♦r st❛❜❧❡ ✈ ∈ ❳ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ ❳(✶) + . . . + ❳(s)✱ t❤❡ st❛❜❧❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❳ ♠✉st ♦❝❝✉r ✐♥ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡t ♦✉t♣✉t✳

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SLIDE 42

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SLIDE 43

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SLIDE 44

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SLIDE 45

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SLIDE 46

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✷✼✴✹✽

SLIDE 47

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SLIDE 48

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✷

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SLIDE 49

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▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❢♦r ❯♥❦♥♦✇♥ P❛rt✐t✐♦♥

▲❡t V′ = (❱ ′

✶, . . . , ❱ ′ ♣) ❜❡ ❛ ♠❛①✐♠❛❧❧② ❝♦❛rs❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ V✳

▲❡t P = V′ ∩ ❚ = (❚✶, . . . , ❚♣) ❜❡ t❤❡ ✐♠♣❧✐❡❞ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ t❡r♠✐♥❛❧s✳ ❚❤❡♥✿ ❆♥② ♦♣t✐♠❛❧ ▼❲❈ ❢♦r P ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♠✉❧t✐❝✉t✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ♣

✷

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❚❤✉s ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ❆t ♠♦st ✷s t❡r♠✐♥❛❧s ❚ = {❛✶, ❜✶, . . . , ❛s, ❜s} ✭✉♥❞❡❧❡t❛❜❧❡✮✳ ❆♥ ✉♥❦♥♦✇♥ ♣❛rt✐t✐♦♥ P = {❚✶, . . . , ❚♣} ♦❢ ❚✱ ♣ = ❖(√s) ❚❛s❦✿ ❑❡r♥❡❧✐③❡✱ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♠✉❧t✐✇❛② ❝✉t ❢♦r P

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SLIDE 50

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SLIDE 51

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SLIDE 52

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SLIDE 53

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❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ❳ ❜❡ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♠✉❧t✐✇❛② ❝✉t ♦❢ P✳

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✸✵✴✹✽

SLIDE 54

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✸✵✴✹✽

SLIDE 55

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SLIDE 62

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SLIDE 63

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SLIDE 85

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SLIDE 86

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SLIDE 87

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SLIDE 88

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SLIDE 89

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SLIDE 90

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SLIDE 91

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Pr♦♦❢ r❡✈✐❡✇

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SLIDE 92

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✐✈❡♥ ❳ = ❳(✶) ∪ (❙ \ ❆) ∪ ❳(✷) ∪ (❚ \ ❇)✱ ♦♥❧② ✈❡rt✐❝❡s

❡ss❡♥t✐❛❧ t♦ t❤❡ ❆✲❇✲❝✉t ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ ❳ ✭✇✐t❤ t(✈)✮✳ ❚❛❦❡ ❝✉t(❙, ❚) ❝♦♣✐❡s ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts✱ ❡❛❝❤ ♦❢ s✐③❡ ❖(|❙| · |❚|)✱ t♦ ❝♦✈❡r ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ ❝✉ts✳

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SLIDE 93

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❈✉t✲❝♦✈❡r✐♥❣ s❡t✱ ✜♥❛❧

▲❡t ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ❉ = (❱ , ❆) ❜❡ ❣✐✈❡♥✳ ❚❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts s❡t✉♣ ✐s ✈❡r② ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s✿ ▼❛tr♦✐❞ ▼ = ▼✶ + ▼✷✱ ✇❤❡r❡ ▼✶ =❣❛♠♠♦✐❞ (❉, ❙) ❛♥❞ ▼✷ =❣❛♠♠♦✐❞ (← − ❉ , ❚)✳ ❚✉♣❧❡s t(✈) = {✈′(✶), ✈′(✷)}❀ T = {t(✈) : ✈ ∈ ❱ }

✐✈❡♥ ❳ = ❳(✶) ∪ (❙ \ ❆) ∪ ❳(✷) ∪ (❚ \ ❇)✱ ♦♥❧② ✈❡rt✐❝❡s

❡ss❡♥t✐❛❧ t♦ t❤❡ ❆✲❇✲❝✉t ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ ❳ ✭✇✐t❤ t(✈)✮✳ ❚❛❦❡ ❝✉t(❙, ❚) ❝♦♣✐❡s ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ s❡ts✱ ❡❛❝❤ ♦❢ s✐③❡ ❖(|❙| · |❚|)✱ t♦ ❝♦✈❡r ❛❧❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ ❝✉ts✳

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SLIDE 94

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼✉❧t✐✇❛② ❈✉t ❈❛♣t✉r✐♥❣ ❆❧❧ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

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SLIDE 95

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❑❡r♥❡❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s

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SLIDE 96

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SLIDE 97

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