[PDF] - THE WORK OF C.T.C.WALL IN TOPOLOGY ANDREW RANICKI 90+ pap PDF Document

SLIDE 1

THE WORK OF C.T.C.WALL IN TOPOLOGY

ANDREW RANICKI

90+

pap ers, 2+ b

ks
T
pics

covered: cob

rdism

groups, Steenro d algeb ra, homological algeb ra, manifolds

f

dimensions 3,4,≥ 5, quadratic fo rms, niteness

bstruction,

emb eddings, bundles, P

inca

r

e

complexes, surgery

bstruction

theo ry , homology

f

groups, 2-dimensional complexes, top

logical

space fo rm p roblem, computations

f K
and L
groups, . . .
MR

57Q12 W all niteness

bstruction

fo r CW-complexes

MR

57R67 Surgery

bstructions,

W all groups 1

SLIDE 2 W all's manifold classications 1. All manifolds at

nce

{ cob

rdism

(1959-1961) 2. One manifold at a time { dieomo rphism (1962-1966) 3. Within a homotop y t yp e { surgery (1967-1977) 2

SLIDE 3 Cob

rdism
A

cob

rdism

b et w een closed m

dimensional

manifolds M, N is an (m + 1)-dimensional manifold W with b

unda

ry ∂W = M ∪ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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M W N

m

= ab elian group

f

cob

rdism

classes

f
riented

closed m

dimensional

manifolds, addition b y disjoint union

∗

=

∞

m

=0 m

riented

cob

rdism

ring , multiplication b y ca rtesian p ro duct. 3

SLIDE 4 Computation

f
riented

cob

rdism
Thom:

exp ressed ∗ as homotop y groups, computed ∗ ⊗ Q { no

dd-p

rima ry to rsion (Milno r).

W

all: Determination

f

the cob

rdism

ring Annals

f

Mathematics 72, 292{311 (1960)

Calculation
f

2-p rima ry to rsion.

Theo

rem (W all) Tw

riented

manifolds a re cob

rdant

if and

nly

if they have the same Stiefel and P

ntrjagin

numb ers { ultimate achievement

f

pioneering phase

f

cob

rdism

theo ry . 4

SLIDE 5 Handles and surgery

Given m
manifold M

and Sr × Dm−r ⊂ M dene elementa ry cob

rdism

(W ; M, N ) b y attaching an (r + 1)-handle to M × I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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M M × I Dr

+1 × Dm−r

N W

= M × I ∪ Dr +1 × Dm−r

N

= (M\Sr × Dm−r ) ∪ Dr +1 × Sm−r− 1 manifold

btained

from M b y surgery

n

Sr × Dm−r ⊂ M

Handles

a re the building blo cks

f

manifolds { need surgeries to attach handles 5

SLIDE 6 Structure

f

manifolds

Every

cob

rdism

(W ; M, N ) is a union

f

elementa ry cob

rdisms.
h
cob
rdism

= cob

rdism

(W ; M, N ) with

M ⊂ W

, N ⊂ W homotop y equivalences

h
cob
rdism

theo rem (Smale): every simply- connected h

cob
rdism

with dim (W ) ≥ 6 is dieomo rphic to M × (I ; {0}, {1}) { needs Whitney trick fo r removing double p

ints

in dimensions > 4 { s

cob
rdism

theo rem is non-simply- connected version π 1 (W ) = {1} { p

ssible

rea rrangements

f

handles governed b y algeb raic K

theo

ry (Whitehead to rsion) 6

SLIDE 7 Intersection fo rm

M

=

riented

2n-dimensional manifold.

Intersection

fo rm : (−)n

symmetric

pairing

Hn

(M ) × Hn (M ) → Z

Isomo

rphism class

f

fo rm is an

riented

homotop y inva riant.

Signature

dened fo r even n, an

riented

cob

rdism

inva riant.

The

b

unda

ry

f

an (n − 1)-connected 2n- dimensional manifold M with unimo dula r intersection fo rm is a homotop y sphere

∂M

=

2n−

1 , with a p

tentially

exotic dierential structure fo r n ≥ 4 (Milno r). 7

SLIDE 8 Classication

f

highly-connected manifolds

W

all: Classication

f

(n− 1)-connected 2n-manifolds Annals

f

Mathematics 75, 163{189 (1962)

Theo

rem (W all) F

r n ≥

3 the dieomo rphism classes

f

dierentiable (n − 1)- connected 2n-manifolds with b

unda

ry an exotic sphere = the isomo rphism classes

f Z
valued

(−)n

symmetric

fo rms with a quadratic renement in πn (BSO (n))

Classication
f

handleb

dies

b y homotop y theo ry , subsequently generalized to

ther

cases: { W all: Classication p roblems in dierential top

logy

I{VI T

p
logy

, Inventiones Math. (1963{1967) 8

SLIDE 9 4-manifolds

Simply-connected

4-manifolds a re homotop y equivalent if and

nly

if intersection fo rms a re isomo rphic (Milno r).

W

all: On simply-connected 4-manifolds Journal LMS 39, 141{149 (1964)

Theo

rem (W all) Simply-connected 4-manifolds a re h

cob
rdant

if and

nly

if intersection fo rms a re isomo rphic.

Theo

rem (W all) h

cob
rdant

simply-connected 4-manifolds M, N a re stably dieomo rphic

M

# #

k

S

2 × S 2

∼

= N # #

k

S

2 × S 2 fo r some k ≥ 0. # = connected sum 9

SLIDE 10

CW

complexes

X

space, f : Sr → X map

X ∪f Dr

+1 = space

btained

from X b y attaching an (r + 1)-cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X Dr

+1

CW

complex = space

btained

from ∅ b y attaching cells

When

is a space homotop y equivalent to a nite CW complex? 10

SLIDE 11 Finite domination

A

space X is nitely dominated if it is a homotop y retract

f

a nite CW complex

K

, i.e. if there exist maps f : X → K , g :

K → X

and a homotop y gf ≃ 1 : X → X .

Is

a nitely dominated space homotop y equivalent to a nite CW complex?

Every

compact ANR , e.g. a top

logical

manifold, is nitely dominated (Bo rsuk).

A

nite group π with cohomology

f

p erio d

q

acts freely

n

an innite CW complex

Y

homotop y equivalent to Sq− 1 , with Y/π nitely dominated (Sw an). 11

SLIDE 12 Finiteness

bstruction
W

all: Finiteness conditions fo r CW

complexes

Annals

f

Mathematics 81, 56{89 (1965)

W

all niteness

bstruction

[X ] ∈

K

(Z [π 1 (X )])

f

nitely dominated space X { fundamental algeb raic inva riant

f

non- compact top

logy

.

Theo

rem (W all) X is homotop y equivalent to nite CW complex if and

nly

if [X ] =

Many

applications to top

logy
f

manifolds { Sieb enmann end

bstruction

fo r closing tame ends

f
p

en manifolds { T

p
logically

stratied sets 12

SLIDE 13 The surgery metho d

Standa

rd metho d fo r classifying manifolds within a homotop y t yp e.

An m
dimensional

manifold M has P

inca

r

e

dualit y Hm−∗ (M ) ∼ = H∗ (M ).

Is

a space X with m

dimensional

P

inca

r

e

dualit y Hm−∗ (X ) ∼ = H∗ (X ) homotop y equivalent to an m

dimensional

manifold?

Is

a homotop y equivalence

f

manifolds homotopic to a dieomo rphism? { relative version

f

p revious question

F
rmulation

b y Bro wder, Novik

v,

Sullivan in terms

f

no rmal maps (f, b ) : M → X from manifolds to P

inca

r

e

dualit y spaces, with f degree 1 and b a bundle map. 13

SLIDE 14 W all surgery theo ry

W

all: Surgery

n

compact manifolds LMS Monograph 1, Academic Press (1970) { the surgeon's bible { algeb raic L

groups L∗

(Z [π ])

f

group ring

Z

[π ] = quadratic algeb raic K

groups

{ surgery

bstruction
f

no rmal map (f, b ) :

M → X σ∗

(f, b ) ∈ Lm (Z [π 1 (X )])

Theo

rem (W all) F

r m ≥

5 an m

dimensional

P

inca

r

e

dualit y space X is homotop y equivalent to an m

dimensional

manifold if and

nly

if there exists a no rmal map (f, b ) :

M → X

with σ∗ (f, b ) = 0. 14

SLIDE 15 Prop erties

f

W all groups Lm (Z [π ])

Quadratic

fo rms

ver Z

[π ] fo r m even

Automo

rphisms

f

fo rms fo r m

dd
Govern

existence and eects

f

surgeries

n m
dimensional

manifolds with fundamental group π

Computations

fo r nite π using algeb ra { W all: Classication

f

Hermitian F

rms

I{VI, (Comp

sitio

Math., Inventiones Math., Annals

f

Maths. 1970{1976)

Computations

fo r innite π using top

logy
Many

, many applications to b

th

algeb ra and top

logy

15

SLIDE 16 The top

logical

space fo rm p roblem

W

all: The top

logical

space-fo rm p roblem, pp 319-351 in T

p
logy
f

manifolds, Ma rkham, 1970

W

all: F ree actions

f

nite groups

n

spheres, pp 115-124 in Pro c Symp in Pure Math 32, AMS 1978

+3

further pap ers (with Madsen and Thomas)

Complete

classication

f

nite groups π which have a free top

logical

action

n Sm

fo r m ≥ 5, using: { group cohomology { homotop y theo ry { algeb raic K

and L
theo

ry

f Z

[π ]. 16

SLIDE 17

PL

structures

n

to ri

W

all: On homotop y to ri and the annulus theo rem Bulletin LMS 1, 95{97 (1969)

Uses

geometric computation

f L∗

(Z [Zm ]) to classify PL manifolds homotop y equivalent to m

to

rus T m fo r m ≥ 5

Applied

b y Kirb y to p rove the annulus theo rem fo r m ≥ 5: if Dm ⊂ int (Dm ) is an emb edding then Dm\int(Dm ) is homeomo rphic to Sm− 1 × I

Crucial

ingredient

f

Kirb y-Sieb enmann handleb

dy

theo ry

f

top

logical

manifolds

f

dimension ≥ 5

No

w kno w as much ab

ut

top

logical

manifolds as ab

ut

dierentiable manifolds. 17