t t rt t - - PowerPoint PPT Presentation

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• (❛❜❜)✽/✸

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• (❛❜❜)✶✶/✸

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• (❛❜❜)✶✶/✸

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• (❛❜❜)✶✶/✸

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ❜ ≥ ✷✱ ♠ ≥ ✶ ❜❡ ✐♥t❡❣❡rs✱ Σ ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ♦❢ ♠ ❧❡tt❡rs✱ σ : Σ → Σ ❛ ❝②❝❧✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❛♥❞ µ : Σ∗ → Σ∗ t❤❡ ♠♦r♣❤✐s♠ ❣✐✈❡♥ ❜② µ(α) = σ✵(α)σ✶(α)σ✷(α) · · · σ❜−✶(α). ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t✱ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ✇✐t❤ ¯ α ∈ Σ✱ ✐s t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ✇♦r❞ ❣✐✈❡♥ ❜② t = µω(¯ α)✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❲✐t❤ Σ = {❛, ❜}✱ σ : ❛ → ❜ → ❛ ❛♥❞ ¯ α = ❛✱ ✇❡ ❣❡t µ(❛) = ❛❜✱ µ(❜) = ❜❛ ❛♥❞ t = µω(❛) = ❛❜❜❛❜❛❛❜❜❛❛❜❛❜❜❛ · · · ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ ♠✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

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❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

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❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❘❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❜,♠ ❢r♦♠ t

❊①❛♠♣❧❡ ❲✐t❤ Σ = Z♠ σ(✐) = (✐ + ✶) ♠♦❞ ♠ ¯ α = ✵, t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡♠❛r❦ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ♥✲t❤ ❧❡tt❡r ♦❢ t ✐s σs❜(♥)(✵) = s❜(♥) ♠♦❞ ♠, ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ✇♦r❞ t❜,♠ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❆❧❧♦✉❝❤❡ ❛♥❞ ❙❤❛❧❧✐t ❬✷✵✵✵❪✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✺✱ ♠ = ✸✱ Σ = {△, ♦, ♥} ❛♥❞ σ : △ → ♦ → ♥ → △✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : △ → △♦♥△♦ ♦ → ♦♥△♦♥ ♥ → ♥△♦♥△ ❇② ✜①✐♥❣ ¯ α = ♦✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t♣ = µω(♦) = ♦

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✺✱ ♠ = ✸✱ Σ = {△, ♦, ♥} ❛♥❞ σ : △ → ♦ → ♥ → △✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : △ → △♦♥△♦ ♦ → ♦♥△♦♥ ♥ → ♥△♦♥△ ❇② ✜①✐♥❣ ¯ α = ♦✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t♣ = µω(♦) = ♦♥△♦♥

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✺✱ ♠ = ✸✱ Σ = {△, ♦, ♥} ❛♥❞ σ : △ → ♦ → ♥ → △✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : △ → △♦♥△♦ ♦ → ♦♥△♦♥ ♥ → ♥△♦♥△ ❇② ✜①✐♥❣ ¯ α = ♦✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t♣ = µω(♦) = ♦♥△♦♥♥△♦♥△△♦♥△♦♦♥△♦♥ · · · .

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✼✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✼✱ ♠ = ✸✱ Σ = {✵, ✶, ✷} ❛♥❞ σ : ✵ → ✶ → ✷ → ✵✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : ✵ → ✵✶✷✵✶✷✵ ✶ → ✶✷✵✶✷✵✶ ✷ → ✷✵✶✷✵✶✷ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✜①♣♦✐♥t t = µω(✵) = ✵ ✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵ ✵✶✷ ▲❡♠♠❛ ❬▼♦rt♦♥ ❛♥❞ ▼♦✉r❛♥t✱ ✶✾✾✶❪ t ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♠ ❜ ✶ ✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✼✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✼✱ ♠ = ✸✱ Σ = {✵, ✶, ✷} ❛♥❞ σ : ✵ → ✶ → ✷ → ✵✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : ✵ → ✵✶✷✵✶✷✵ ✶ → ✶✷✵✶✷✵✶ ✷ → ✷✵✶✷✵✶✷ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✜①♣♦✐♥t t = µω(✵) = ✵✶✷✵✶✷✵ ✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵ ✵✶✷ ▲❡♠♠❛ ❬▼♦rt♦♥ ❛♥❞ ▼♦✉r❛♥t✱ ✶✾✾✶❪ t ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♠ ❜ ✶ ✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✼✱ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✼✱ ♠ = ✸✱ Σ = {✵, ✶, ✷} ❛♥❞ σ : ✵ → ✶ → ✷ → ✵✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : ✵ → ✵✶✷✵✶✷✵ ✶ → ✶✷✵✶✷✵✶ ✷ → ✷✵✶✷✵✶✷ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✜①♣♦✐♥t t = µω(✵) = ✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵ · · · ✵✶✷ ▲❡♠♠❛ ❬▼♦rt♦♥ ❛♥❞ ▼♦✉r❛♥t✱ ✶✾✾✶❪ t ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♠ ❜ ✶ ✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

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❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✼✱ ♠ = ✸✱ Σ = {✵, ✶, ✷} ❛♥❞ σ : ✵ → ✶ → ✷ → ✵✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : ✵ → ✵✶✷✵✶✷✵ ✶ → ✶✷✵✶✷✵✶ ✷ → ✷✵✶✷✵✶✷ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✜①♣♦✐♥t t = µω(✵) = ✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵ · · · = (✵✶✷)ω ▲❡♠♠❛ ❬▼♦rt♦♥ ❛♥❞ ▼♦✉r❛♥t✱ ✶✾✾✶❪ t ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♠ ❜ ✶ ✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

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❊①❛♠♣❧❡ ▲❡t ❜ = ✼✱ ♠ = ✸✱ Σ = {✵, ✶, ✷} ❛♥❞ σ : ✵ → ✶ → ✷ → ✵✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦r♣❤✐s♠ µ : ✵ → ✵✶✷✵✶✷✵ ✶ → ✶✷✵✶✷✵✶ ✷ → ✷✵✶✷✵✶✷ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✜①♣♦✐♥t t = µω(✵) = ✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵✶✷✵ · · · = (✵✶✷)ω ▲❡♠♠❛ ❬▼♦rt♦♥ ❛♥❞ ▼♦✉r❛♥t✱ ✶✾✾✶❪ t ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♠ | (❜ − ✶)✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❚❤❡♦r❡♠ ✿ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t

❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t ✐s ❛♣❡r✐♦❞✐❝✱ ✐✳❡✳ ♠ ∤ ❜ − ✶✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❊(t) =

• ✷❜/♠

✐❢ ❜ > ♠ ✷ ✐❢ ❜ ≤ ♠

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❚❤❡♦r❡♠ ✿ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s

❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❙♣

①,② = {s ∈ N+ | ♣ = s① + t②, t ∈ Z}

t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ♣r♦❣r❡ss✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ♣✱ ① ❛♥❞ ②✳ ❚❤❡♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤r❡❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡ts ✿ ❆ ❦❜q ❜ ❦ ❜ ❦ ❛♥❞ q ❙♠

❜ ✶ ♠

❇◆ ❦❜q ◆ ❦ ❜ ❦ ❛♥❞ q ❙◆

❜ ✶ ♠

❈ ✽ ❇✶ ✸ ✽ ❇✶ ✼

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❚❤❡♦r❡♠ ✿ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s

❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❙♣

①,② = {s ∈ N+ | ♣ = s① + t②, t ∈ Z}

t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ♣r♦❣r❡ss✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ♣✱ ① ❛♥❞ ②✳ ❚❤❡♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤r❡❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡ts ✿ ❆ =

• ❦❜q − ❜ | ❦ ∈ N+, ❜ ∤ ❦ ❛♥❞ q ∈ ❙♠

❜−✶,♠

• ,

❇◆ =

• ❦❜q − ◆ | ❦ ∈ N+, ❜ ∤ ❦ ❛♥❞ q ∈ ❙◆

❜−✶,♠

• ,

❈ = (✽ · ❇✶ + ✸) ∪ (✽ · ❇✶ + ✼).

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❚❤❡♦r❡♠ ✿ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s

❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t ✐s ❛♣❡r✐♦❞✐❝✱ ✐✳❡✳ ♠ ∤ ❜ − ✶✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❈r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ◆❜✐ s✉❝❤ t❤❛t ❜ ∤ ◆ ♦❝❝✉r ✐♥ t ❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡t ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥s    ❜✐❆ ✐❢ ❜ > ♠✱ ❜✐❇◆ ✐❢ ❜ ≤ ♠ ❛♥❞ (❜, ♠) = (✷, ✷)✱ ❜✐(❇✶ ∪ ❈) ✐❢ ❜ = ♠ = ✷✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺ ❛♥❞ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t❤❛t ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ Σ = {△, ♦, ♥} t♣ = ♦♥△♦♥♥△♦♥△△♦♥△♦♦♥△♦♥ · · · . ❋r♦♠ t❤❡ ✜rst ❚❤❡♦r❡♠✱ ❊(t♣) = ✷❜

♠ = ✶✵ ✸ ✳

❋r♦♠ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ ❙✸

✺ ✶ ✸

✸ ✻ ✾ ✶✷ ✶✺ ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥s ❆ ✶✷✵ ✷✹✺ ✸✼✵ ✹✾✺ ✼✹✺ ❛t ✇❤✐❝❤ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ✸ ♦❝❝✉r✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺ ❛♥❞ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ t❤❛t ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ Σ = {△, ♦, ♥} t♣ = ♦♥△♦♥♥△♦♥△△♦♥△♦♦♥△♦♥ · · · . ❋r♦♠ t❤❡ ✜rst ❚❤❡♦r❡♠✱ ❊(t♣) = ✷❜

♠ = ✶✵ ✸ ✳

❋r♦♠ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❚❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ ❙✸

✺−✶,✸ = {✸, ✻, ✾, ✶✷, ✶✺, . . .}

❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥s ❆ = {✶✷✵, ✷✹✺, ✸✼✵, ✹✾✺, ✼✹✺, . . .} ❛t ✇❤✐❝❤ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ✸ ♦❝❝✉r✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❜ = ✺ ❛♥❞ ♠ = ✸

❊①❛♠♣❧❡ ❍❡r❡ ❛r❡ t❤❡ ✜rst t✇♦ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦rs ♦❢ t♣✳ t♣ =

✵

↑

♦

✶

↑

♥

✷

↑

△

✸

↑

♦ ♥♥△ · · · ♦♥△

✶✷✵

↑

△ ♦♥△♦♥△♦♥△

• (△♦♥)✶✵/✸

△♦♥ · · · · · · ♥△♦

✷✹✺

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♦ ♥△♦♥△♦♥△♦

• (♦♥△)✶✵/✸

♦♥△ · · ·

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

▼♦r❡ r❡s✉❧ts

▲❡♠♠❛ ❚❤❡ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ ♠ ✭❜ = ♠ = ✷✮ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✇♦r❞ t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦r ✇ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ℓ > ❜ s✉❝❤ t❤❛t ❜ ∤ ℓ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ℓ = ✸✳ ■t ❤❛❞ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ♥♦t✐❝❡❞ t❤❛t ✿ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❬❇r❧❡❦✱ ✶✾✽✾❪ ❙q✉❛r❡ ❢❛❝t♦rs ✐♥ ♠ ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✐✮ ✵

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❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

▼♦r❡ r❡s✉❧ts

▲❡♠♠❛ ❚❤❡ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞ ♠ ✭❜ = ♠ = ✷✮ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✇♦r❞ t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦r ✇ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ℓ > ❜ s✉❝❤ t❤❛t ❜ ∤ ℓ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ℓ = ✸✳ ■t ❤❛❞ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ♥♦t✐❝❡❞ t❤❛t ✿ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❬❇r❧❡❦✱ ✶✾✽✾❪ ❙q✉❛r❡ ❢❛❝t♦rs ✐♥ ♠ ❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✐✮ [µ(✵)]✷ ♦r [µ(✶)]✷ ♦r ✭✐✐✮ [µ(✵✶✵)]✷ ♦r [µ(✶✵✶)]✷✱ ❛♥❞ ❤❛✈❡ ❧❡♥❣t❤ ❡✐t❤❡r ✷✐+✶ ♦r ✸ · ✷✐+✶✳

❆❧❡①❛♥❞r❡ ❇❧♦♥❞✐♥ ▼❛ssé ❛♥❞ ❙é❜❛st✐❡♥ ▲❛❜❜é ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❚❤✉❡✲▼♦rs❡ ✇♦r❞s

▼♦r❡ r❡s✉❧ts

❈♦r♦❧❧❛r② ■❢ ❜ ≤ ♠✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ❢❛❝t♦r ♦❢ t ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ℓ ✇✐t❤ ❜ ∤ ℓ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❣❝❞(❜ − ✶, ♠) | ℓ✳ ❚❤✐s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✿ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❬❆❧❧♦✉❝❤❡ ❛♥❞ ❙❤❛❧❧✐t✱ ✷✵✵✵❪ t ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧❡tt❡r ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❣❝❞ ❜ ✶ ♠ ✶✳

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