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❚❡❛❝❤✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✿ ❈♦❧❛ ●❡♥❡ P✉③③❧❡

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❚❡❛❝❤✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡

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❚❡❛❝❤✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡

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❚❡❛❝❤✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✿ ❙✐♠♣❧❡ ●❛♠❡

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SLIDE 67

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SLIDE 68

❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣

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t❡r♠s ✵ s(✵) s(s(✵)) s(s(s(✵))) ① s(s(①)) ✵ + ②

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SLIDE 69

❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣

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t❡r♠s ✵ s(✵) s(s(✵)) s(s(s(✵))) ① s(s(①)) ✵ + ②

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❋❛❝t

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SLIDE 70

❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣

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t❡r♠s ✵ s(✵) s(s(✵)) s(s(s(✵))) ① s(s(①)) ✵ + ②

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SLIDE 71

❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣

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t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ ✭❚❘❙✮ ✐s s❡t ♦❢ r❡✇r✐t❡ r✉❧❡s

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❊①❛♠♣❧❡

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❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s ✵✱ s✱ + ✳ ✳ ✳ ❛♥❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ①✱ ②✱ ③✱ ✳ ✳ ✳

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SLIDE 72

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SLIDE 75

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ■♥t❡r❡st

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SLIDE 76

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ■♥t❡r❡st

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SLIDE 77

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ■♥t❡r❡st

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SLIDE 78

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❋♦r♠❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❚❡❝❤♥♦❧♦❣✐❡s

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❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

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SLIDE 85

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SLIDE 86

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

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SLIDE 87

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

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SLIDE 88

❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥

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SLIDE 89

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SLIDE 90

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❚ ❚ ❚ ✷✿ ❚②r♦❧❡❛♥ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❚♦♦❧ ✷ ✐♥♣✉t✿ ❚❘❙ R ♦✉t♣✉t✿ ❨❊❙ ✰ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♣r♦♦❢✱ ♦r ◆❖ ✰ ❝♦✉♥t❡r❡①❛♠♣❧❡

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❊①❛♠♣❧❡ ✭❙✐❡✈❡ ♦❢ ❊r❛t♦st❤❡♥❡s✮

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SLIDE 91

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❚ ❚ ❚ ✷✿ ❚❡❝❤♥✐q✉❡s

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❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♣❛✐r ✭❉P✮ ❢r❛♠❡✇♦r❦

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♣r♦❣r❛♠s✿ ❈✱ ❧♦❣✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✐♥t❡❣❡r tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠s

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❤tt♣✿✴✴t❡r♠✐♥❛t✐♦♥✲♣♦rt❛❧✳♦r❣

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❘❡s❡❛r❝❤ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❇❛tt❧❡ ♦❢ ❍❡r❝✉❧❡s ❛♥❞ ❍②❞r❛ ✭✶✮

❍②❞r❛ ✐s ❛ tr❡❡✲s❤❛♣❡❞ ♠♦♥st❡r ✇❤✐❝❤ ❣r♦✇s ✇❤❡♥❡✈❡r ❍❡r❝✉❧❡s ❝❤♦♣s ♦✛ ❛ ❤❡❛❞✿ ■❢ t❤❡ ❝✉t✲♦✛ ❤❡❛❞ ❤❛s ❛ ❣r❛♥❞♣❛r❡♥t ✐♥ t❤❡ tr❡❡ t❤❡♥ t❤❡ ❜r❛♥❝❤ ❢r♦♠ t❤✐s ❣r❛♥❞♣❛r❡♥t ♠✉❧t✐♣❧✐❡s✳ ❍②❞r❛ ❣❡ts ♠♦r❡ ❛♥❞ ♠♦r❡ ❛♥❣r②✿ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♣✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❤❡❛❞s ❛❧r❡❛❞② ❝✉t ♦✛✳ ❲✐❧❧ ❍②❞r❛ ❡✈❡r ❞✐❡✱ s✉❝❤ t❤❛t ❍❡r❝✉❧❡s ✇✐♥s❄

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SLIDE 94

❘❡s❡❛r❝❤ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❇❛tt❧❡ ♦❢ ❍❡r❝✉❧❡s ❛♥❞ ❍②❞r❛ ✭✷✮

♣r♦❝❡ss ✐s ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❜② ❚❘❙ R✿

  • (x) → •((x))
  • ((x)) → (•(•(x)))
  • (x) → x

(◦(x)) → ◦((x))

  • (❝✶(x, y)) → ❝✶(x, ❍(x, y))

❍(✵, x) → ◦(x)

  • (❍(❍(✵, y), z)) → ❝✶(y, z)

❝✷(x, y, z) → ◦(❍(y, z))

  • (❍(❍(❍(✵, x), y), z)) → ❝✷(x, y, z)

❝✶(y, z) → ◦(z)

  • (❝✷(x, y, z)) → ❝✷(x, ❍(x, y), z)

▲♦♥❣✲❙t❛♥❞✐♥❣ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠

s❤♦✇ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧②

❚ ❚ ❚ ✷ ❚♦✉③❡t✱ ❊♥❝♦❞✐♥❣ t❤❡ ❍②❞r❛ ❇❛tt❧❡ ❛s ❛ ❘❡✇r✐t❡ ❙②st❡♠✱ ✶✾✾✽✳

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SLIDE 95

❘❡s❡❛r❝❤ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❇❛tt❧❡ ♦❢ ❍❡r❝✉❧❡s ❛♥❞ ❍②❞r❛ ✭✷✮

♣r♦❝❡ss ✐s ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❜② ❚❘❙ R✿

  • (x) → •((x))
  • ((x)) → (•(•(x)))
  • (x) → x

(◦(x)) → ◦((x))

  • (❝✶(x, y)) → ❝✶(x, ❍(x, y))

❍(✵, x) → ◦(x)

  • (❍(❍(✵, y), z)) → ❝✶(y, z)

❝✷(x, y, z) → ◦(❍(y, z))

  • (❍(❍(❍(✵, x), y), z)) → ❝✷(x, y, z)

❝✶(y, z) → ◦(z)

  • (❝✷(x, y, z)) → ❝✷(x, ❍(x, y), z)

▲♦♥❣✲❙t❛♥❞✐♥❣ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠

s❤♦✇ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ R ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧②

❚ ❚ ❚ ✷

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SLIDE 96

❘❡s❡❛r❝❤ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❇❛tt❧❡ ♦❢ ❍❡r❝✉❧❡s ❛♥❞ ❍②❞r❛ ✭✷✮

♣r♦❝❡ss ✐s ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❜② ❚❘❙ R✿

  • (x) → •((x))
  • ((x)) → (•(•(x)))
  • (x) → x

(◦(x)) → ◦((x))

  • (❝✶(x, y)) → ❝✶(x, ❍(x, y))

❍(✵, x) → ◦(x)

  • (❍(❍(✵, y), z)) → ❝✶(y, z)

❝✷(x, y, z) → ◦(❍(y, z))

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❍(✵, x) → ◦(x)

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❝✷(x, y, z) → ◦(❍(y, z))

  • (❍(❍(❍(✵, x), y), z)) → ❝✷(x, y, z)

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SLIDE 103

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SLIDE 104

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SLIDE 105

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SLIDE 109

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SLIDE 110

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SLIDE 111

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❊①❛♠♣❧❡ ✭❙✐❡✈❡ ♦❢ ❊r❛t♦st❤❡♥❡s✮

♣r✐♠❡s → s✐❡✈❡(❢r♦♠(s(s(✵)))) s✐❡✈❡(✵ : y) → s✐❡✈❡(y) ❢r♦♠(x) → x : ❢r♦♠(s(x)) s✐❡✈❡(s(x) : y) → s(x) : s✐❡✈❡(✜❧t❡r(x, y, x)) ❤❞(x : y) → x ✜❧t❡r(✵, y : z, w) → ✵ : ✜❧t❡r(w, z, w) t❧(x : y) → y ✜❧t❡r(s(x), y : z, w) → y : ✜❧t❡r(x, z, w)

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SLIDE 112

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SLIDE 113

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SLIDE 114

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◮

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SLIDE 115

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SLIDE 116

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SLIDE 117

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SLIDE 118

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SLIDE 119

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SLIDE 120

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SLIDE 121

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SLIDE 122

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SLIDE 123

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SLIDE 124

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SLIDE 125

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SLIDE 126

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SLIDE 127

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SLIDE 128

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SLIDE 129

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SLIDE 130

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SLIDE 131

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SLIDE 132

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SLIDE 133

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SLIDE 134

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SLIDE 139

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦❧♦♥②✿ ✷✵ ✶✽ ✶✻ ✺✷ ✷ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹

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SLIDE 140

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + + → + + → + ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦❧♦♥②✿ ✷✵ ✶✽ ✶✻ ✺✷ ✷ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹

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SLIDE 141

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + x + y ≈ y + x + → + (x + y) + z ≈ x + (y + z) + → + ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦❧♦♥②✿ ✷✵ ✶✽ ✶✻ ✺✷ ✷ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹

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SLIDE 142

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + x + y ≈ y + x + → + (x + y) + z ≈ x + (y + z) + → + + + → + + ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦❧♦♥②✿ ✷✵ ✶✽ ✶✻ ✺✷ ✷ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹ ✺✹

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SLIDE 143

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + x + y ≈ y + x + → + (x + y) + z ≈ x + (y + z) + → + + + → + +

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SLIDE 144

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + x + y ≈ y + x + → + (x + y) + z ≈ x + (y + z) + → + + + → + +

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SLIDE 145

❊①❛♠♣❧❡ ✭❈❤❛♠❡❧❡♦♥ P✉③③❧❡✮

❆ ❝♦❧♦♥② ♦❢ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✷✵ r❡❞✱ ✶✽ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ✶✻ ❣r❡❡♥ ❛♥✐♠❛❧s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r t✇♦ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦❧♦r ♠❡❡t✱ ❜♦t❤ ❝❤❛♥❣❡ t♦ t❤❡ t❤✐r❞ ❝♦❧♦r✳ ■s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t ❛❧❧ ✺✹ ❝❤❛♠❡❧❡♦♥s ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❧♦r❄ ♠æ❞♠❛① ♣r♦❞✉❝❡s ❚❘❙ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭♠♦❞✉❧♦ ❆❈✮✿ + → + x + y ≈ y + x + → + (x + y) + z ≈ x + (y + z) + → + + + → + +

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SLIDE 146

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

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E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 147

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

✵ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ ❡q✉❛t✐♦♥s E t♦ ✐♥♣✉t ❡q✉❛❧✐t✐❡s E✵ ✶ ❣✉❡ss t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 148

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

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E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 149

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 150

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

✵ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ ❡q✉❛t✐♦♥s E t♦ ✐♥♣✉t ❡q✉❛❧✐t✐❡s E✵ ✶ ❣✉❡ss t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ❢r♦♠ E ✷ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r ❣r♦✉♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✸ ❛❞❞ s♦♠❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❛✐rs

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 151

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE

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Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

✵ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ ❡q✉❛t✐♦♥s E t♦ ✐♥♣✉t ❡q✉❛❧✐t✐❡s E✵ ✶ ❣✉❡ss t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ❢r♦♠ E ✷ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r ❣r♦✉♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✸ ❛❞❞ s♦♠❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❛✐rs SE ⊆ ❈P(R ∪ E)

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 152

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE

♥♦ E ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥❧②✮

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❛♥❞ ❈P ✱ r❡♣❡❛t ❢r♦♠

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♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 153

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

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E := E ∪ SE I := I ∪ SI

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Pr♦❝❡❞✉r❡ ✭✇✐t❤ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✮

✵ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s (E, I) t♦ ✐♥♣✉t (E✵, {s ≈ t}) ✶ ❣✉❡ss t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ❢r♦♠ E ✷ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r ❣r♦✉♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♦r ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❥♦✐♥❛❜❧❡ ✸ ❛❞❞ s♦♠❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣❛✐rs SE ⊆ ❈P(R ∪ E) ❛♥❞ SI ⊆ ❈P(R ∪ E, I)✱

r❡♣❡❛t ❢r♦♠

✶

♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 154

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE I := I ∪ SI

♥♦ (E, I) ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

❘❡♠❛r❦

♠❛①✐♠❛❧ ♦r❞❡r❡❞ ❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✢✐❝t✲❞r✐✈❡♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 155

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE I := I ∪ SI

♥♦ (E, I) ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

❈r✐t✐❝❛❧ ❆s♣❡❝ts

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❲✐♥❦❧❡r✱ ❆ ●r♦✉♥❞ ❏♦✐♥❛❜✐❧✐t② ❈r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥✱ ✷✵✶✼✳

♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 156

▼❛①✐♠❛❧ ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥

R ⊆ E ∪ E−✶ s✉❝❝❡ss❄

R

E := E ∪ SE I := I ∪ SI

♥♦ (E, I) ②❡s ❙❆❚✴❯◆❙❆❚

❈r✐t✐❝❛❧ ❆s♣❡❝ts

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✉s❡ ♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r t♦ ✜♥❞ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ s♦♠❡ ❣♦❛❧✱ ❡✳❣✳ t♦ ♦r✐❡♥t ❛s ♠❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥s ❛s ♣♦ss✐❜❧❡

◮

❝❤❡❝❦✐♥❣ ❣r♦✉♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡✿ ♦✈❡r❛♣♣r♦①✐♠❛t❡

❲✐♥❦❧❡r✱ ❆ ●r♦✉♥❞ ❏♦✐♥❛❜✐❧✐t② ❈r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❖r❞❡r❡❞ ❈♦♠♣❧❡t✐♦♥✱ ✷✵✶✼✳

♠❛①❙❆❚ s♦❧✈❡r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡

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SLIDE 157

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✜♥❞✐♥❣ R ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s

❋✐♥❞✐♥❣ ❘❡✇r✐t❡ ❙②st❡♠s

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✉s❡ ❙▼❚ ❡♥❝♦❞✐♥❣s ♦❢ ♦r❞❡rs✿ ▲P❖ ❛♥❞ ❑❇❖✱ ❧✐♥❡❛r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ♠❛①❙▼❚ ✉s❡s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❛✮ ♠❛①✐♠✐③❡ ✲r❡❞✉❝✐❜❧❡ s✉❜s❡t ♦❢ ✭❜✮ ♠❛①✐♠✐③❡ ✭❝✮ ♠❛①✐♠✐③❡ ❣r♦✉♥❞✲❥♦✐♥❛❜❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✭❞✮ ♠✐♥✐♠✐③❡ ❈P

✷✼

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SLIDE 158

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✜♥❞✐♥❣ R ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s

❋✐♥❞✐♥❣ ❘❡✇r✐t❡ ❙②st❡♠s

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◮

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SLIDE 159

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✜♥❞✐♥❣ R s✉❝❝❡ss ❝❤❡❝❦s ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s

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♥❛rr♦✇✐♥❣ ❢♦r ❣r♦✉♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ s②st❡♠s

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❣r♦✉♥❞ ❝♦♥✢✉❡♥❝❡ ❝r✐t❡r✐❛ ❬▼❛rt✐♥◆✐♣❦♦✇✾✵❪✱ ❬❲✶✼❪ ✭❙❆❚ ♣r♦❜❧❡♠✮

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SLIDE 160

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✜♥❞✐♥❣ R ✜❧t❡r s✉❝❝❡ss ❝❤❡❝❦s ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s

❆✈♦✐❞✐♥❣ t❤❡ ❇❧♦✇✉♣

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✜❧t❡r ♦✉t ❡q✉❛t✐♦♥s ❦♥♦✇♥ t♦ ❜❡ ❣r♦✉♥❞ ❥♦✐♥❛❜❧❡ ❬❆❍▲✵✸❪

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SLIDE 161

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

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SLIDE 162

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✜♥❞✐♥❣ R ✜❧t❡r ✐♥❞❡①✐♥❣ s✉❝❝❡ss ❝❤❡❝❦s ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s r❡st❛rts

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❞♦ r❡st❛rts ❦❡❡♣✐♥❣ s♠❛❧❧ ❧❡♠♠❛s ✇❤❡♥ st❛t❡ ✐s st✉❝❦

✷✼

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SLIDE 163

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✵ + x ≈ x (−x) + x ≈ ✵ x + (y + z) ≈ (x + y) + z x + y ≈ y + x x · (y · z) ≈ (x · y) · z (x + y) · z ≈ (x · z) + (y · z) ❛ · ✵ ≈ ✵

❁❝❡rt✐❢✐❝❛t✐♦♥Pr♦❜❧❡♠❃ ❁✐♥♣✉t❃ ❁♦r❞❡r❡❞❈♦♠♣❧❡t✐♦♥■♥♣✉t❃ ❁❡q✉❛t✐♦♥s❃ ❁r✉❧❡s❃ ✳✳✳❁✴r✉❧❡s❃ ❁✴❡q✉❛t✐♦♥s❃ ❁trs❃ ❁r✉❧❡s❃ ❁r✉❧❡❃ ❁❧❤s❃ ❁❢✉♥❛♣♣❃ ❁♥❛♠❡❃♠✉❧t❁✴♥❛♠❡❃✳✳✳❁❛r❣❃ ❁❢✉♥❛♣♣❃ ❁♥❛♠❡❃✐♥✈❁✴♥❛♠❡❃ ❁❛r❣❃ ❁✈❛r❃❨❁✴✈❛r❃ ❁✴❛r❣❃ ❁✴❢✉♥❛♣♣❃ ❁✴❛r❣❃ ❁✴❢✉♥❛♣♣❃ ❁✴❧❤s❃ ❁r❤s❃ ❁❢✉♥❛♣♣❃ ❁♥❛♠❡❃♠✉❧t❁✴♥❛♠❡❃ ❁❛r❣❃ ❁✈❛r❃❳❁✴✈❛r❃ ❁✴❛r❣❃ ❁❛r❣❃ ❁✈❛r❃❨❁✴✈❛r❃ ❁✴❛r❣❃ ❁✴❢✉♥❛♣♣❃ ❁✴r❤s❃ ❁✴r✉❧❡❃ ❁✴trs❃ ❁♣r♦♦❢❃ ❁♦r❞❡r❡❞❈♦♠♣❧❡t✐♦♥Pr♦♦❢❃ ❁✴♦r❞❡r❡❞❈♦♠♣❧❡t✐♦♥Pr♦♦❢❃ ❁✴♣r♦♦❢❃ ❁✴❝❡rt✐❢✐❝❛t✐♦♥Pr♦❜❧❡♠❃

✜♥❞✐♥❣ R ✜❧t❡r ✐♥❞❡①✐♥❣ s✉❝❝❡ss ❝❤❡❝❦s ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s r❡st❛rts

❈❡rt✐✜❛❜❧❡ Pr♦♦❢s

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s✉♣♣♦rt ❈P❋ ♦✉t♣✉t ❢♦r ✉♥s❛t✐s✜❛❜❧❡ ❛♥❞ s❛t✐s✜❛❜❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s

◮

✾✵✪ ♦❢ ♣r♦♦❢s ✈❛❧✐❞❛t❡❞ ❜② ■s❛❜❡❧❧❡✲❜❛s❡❞ ❝❡rt✐✜❡r ❈❡ ❚ ❆ ❬❙❚✶✺❪ ✭♥♦t ❛❧❧ ❣r♦✉♥❞ ❝♦♥✢✉❡♥❝❡ ❝r✐t❡r✐❛ ❛r❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② ❈❡ ❚ ❆ ②❡t✮

✷✼

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SLIDE 164

❆ ●❧✐♠♣s❡ ✐♥t♦ t❤❡ ●✉ts

✵ + x ≈ x (−x) + x ≈ ✵ x + (y + z) ≈ (x + y) + z x + y ≈ y + x x · (y · z) ≈ (x · y) · z (x + y) · z ≈ (x · z) + (y · z) ❛ · ✵ ≈ ✵

▲P❖ · > − > + > ✵ ✜♥❞✐♥❣ R ✜❧t❡r ✐♥❞❡①✐♥❣ s✉❝❝❡ss ❝❤❡❝❦s ❝❡rt✐✜❛❜❧❡ ♣r♦♦❢s r❡st❛rts ♦r❞❡r ❣❡♥❡r❛t✐♦♥

❖r❞❡r ●❡♥❡r❛t✐♦♥ ▼♦❞❡

◮

♦✉t♣✉t ✏❜❡st✑ ♦r❞❡r ❢♦✉♥❞ ❛❢t❡r s♦♠❡ ✐t❡r❛t✐♦♥s

✷✼

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SLIDE 165

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

R

O(nk) ?

❆✈❛♥③✐♥✐✱ ▼♦s❡r✱ ❛♥❞ ❙❝❤❛♣❡r✱ ❚❝❚✿ ❚②r♦❧❡❛♥ ❈♦♠♣❧❡①✐t② ❚♦♦❧✱ ✷✵✶✻✳

✷✽

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SLIDE 166

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

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O(nk) ?

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

◮ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❤❡✐❣❤t

❞❤R(t) = max { n | ∃ u : t →n

R u }

❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝ ❞❤

✷✽

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SLIDE 167

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

R

O(nk) ?

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

◮ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❤❡✐❣❤t

❞❤R(t) = max { n | ∃ u : t →n

R u }

◮ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②

❞❝R(n) = max { ❞❤R(t) | |t| = n }

✷✽

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SLIDE 168

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

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O(nk) ?

❊①❛♠♣❧❡ [] @ xs → xs (x : xs) @ ys → x : (xs @ ys) ✢❛tt❡♥([]) → [] ✢❛tt❡♥(x : xs) → x @ ✢❛tt❡♥(xs)

✷✽

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SLIDE 169

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

R

O(n✷) ?

❊①❛♠♣❧❡ [] @ xs → xs (x : xs) @ ys → x : (xs @ ys) ✢❛tt❡♥([]) → [] ✢❛tt❡♥(x : xs) → x @ ✢❛tt❡♥(xs)

✷✽

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SLIDE 170

❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚ ❈ ❚ ✐♥♣✉t✿ t❡r♠ r❡✇r✐t❡ s②st❡♠ R ♦✉t♣✉t✿ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞❝R

R

O(n✷) ?

❊①❛♠♣❧❡ ✭❙✐❡✈❡ ♦❢ ❊r❛t♦st❤❡♥❡s✮

◮ s②st❡♠ ✐s ✐♥♥❡r♠♦st t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ ◮ ❝❛♥ ❛♥❛❧②③❡ ✐♥♥❡r♠♦st ❝♦♠♣❧❡①✐t②

❚❝❚

✷✽

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SLIDE 171

Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

Pr♦❚❡▼ t♦♦❧ t♦ ❝r❡❛t❡ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❢r♦♠ r❡✇r✐t❡ st❡♣s ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡♠ R

∗

− → A

✷✾

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SLIDE 172

Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

Pr♦❚❡▼ t♦♦❧ t♦ ❝r❡❛t❡ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❢r♦♠ r❡✇r✐t❡ st❡♣s ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡♠ R

∗

− → A Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

◮ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s ❛s t❡r♠s

❛❞♠✐t ❝♦♥❝✐s❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s

✷✾

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SLIDE 173

Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

Pr♦❚❡▼ t♦♦❧ t♦ ❝r❡❛t❡ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❢r♦♠ r❡✇r✐t❡ st❡♣s ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡♠ R

∗

− → A Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

◮ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s ❛s t❡r♠s ◮ ❛❞♠✐t ❝♦♥❝✐s❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s

✷✾

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SLIDE 174

Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

Pr♦❚❡▼ t♦♦❧ t♦ ❝r❡❛t❡ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❢r♦♠ r❡✇r✐t❡ st❡♣s ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡♠ R

∗

− → A Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

◮ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s ❛s t❡r♠s ◮ ❛❞♠✐t ❝♦♥❝✐s❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s

❆✉❣✉st ✷✽ ❅ ❈❆❉❊✿ Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❈❤r✐st✐♥❛ ❑♦❤❧ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❛♥❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ Pr♦❚❡▼

✷✾

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SLIDE 175

Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

Pr♦❚❡▼ t♦♦❧ t♦ ❝r❡❛t❡ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❢r♦♠ r❡✇r✐t❡ st❡♣s ❛♥❞ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡♠ R

∗

− → A Pr♦♦❢ ❚❡r♠s

◮ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s ❛s t❡r♠s ◮ ❛❞♠✐t ❝♦♥❝✐s❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ r❡✇r✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡s

❆✉❣✉st ✷✽ ❅ ❈❆❉❊✿ Pr❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❈❤r✐st✐♥❛ ❑♦❤❧ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦♦❢ t❡r♠s ❛♥❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ Pr♦❚❡▼

✷✾

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SLIDE 176

❖✉t❧✐♥❡

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡s ❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣ ❚♦♦❧s ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈❡rt✐✜❝❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

✸✵

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SLIDE 177

✇❤② tr✉st t❤❡s❡ t♦♦❧s❄

✸✶

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SLIDE 178

❚❤❡ ■s❛❋♦❘✴❈❡ ❚ ❆ ❋r❛♠❡✇♦r❦

❧✐t❡r❛t✉r❡ t♦♦❧ ■s❛❜❡❧❧❡✴❍❖▲ ■s❛❋♦❘ ❈❡ ❚ ❆ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❡❝❤♥✐q✉❡s ✐♥♣✉t s②st❡♠ ♣r♦♣❡rt② ❳▼▲ ❝❡rt✐✜❝❛t❡ t❤❡♦r❡♠s ♣r♦♦❢s ❝♦❞❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❛❝❝❡♣t r❡❥❡❝t

❚❤✐❡♠❛♥♥ ❛♥❞ ❙t❡r♥❛❣❡❧✱ ❈❡rt✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ Pr♦♦❢s ❯s✐♥❣ ❈❡❚❆✱ ✷✵✵✾✳

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SLIDE 179

❈❡rt✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❚♦♦❧ ❖✉t♣✉t✿ ❖✈❡r✈✐❡✇

◮

❚❚❚✷ st❛♥❞❛r❞ ❚❘❙✿ ✽✷✾ ❨❊❙ ✭✼✺✵ ✮ ✷✵✵ ◆❖ ✭✶✾✸ ✮ st❛♥❞❛r❞ ❙❘❙✿ ✼✸✸ ❨❊❙ ✭✻✼✵ ✮ ✹✸ ◆❖ ✭✷✹ ✮

◮

❈❙■ st❛♥❞❛r❞ ❚❘❙✿ ✹✷ ❨❊❙ ✭✷✽ ✮ ✸✸ ◆❖ ✭✷✸ ✮

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❚❈❚ ❚P❉❇✿ ✷✵✸ ❨❊❙ ✭✶✻✺ ✮

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❑❇❈❱ ❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ s②st❡♠s✿ ✽✾ ❨❊❙ ✭✽✾ ✮

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♠æ❞♠❛① ❚P❚P✿ ✶✶✷ ❙❆❚ ✭✻✾ ✮ ✻✷✶ ❯◆❙❆❚ ✭✻✶✷ ✮

❉❛t❛ t❛❦❡♥ ❢r♦♠ ❚❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦♥✢✉❡♥❝❡ ❈♦♠♣❡t✐t✐♦♥s ✷✵✶✾✱ ❬❆❙❚✶✺❪✱ ❬❲▼✶✽❪✱ ❬❙❲❩✶✺❪✳

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SLIDE 180

❖✉t❧✐♥❡

▼♦t✐✈❛t✐♥❣ ❊①❛♠♣❧❡s ❚❡r♠ ❘❡✇r✐t✐♥❣ ❚♦♦❧s ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈❡rt✐✜❝❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 181

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✉♠♠❛r②

◮

r❡✇r✐t❡ t♦♦❧s ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈✐♥❣ t❛s❦s

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❝❡rt✐✜❝❛t✐♦♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦✿ ■s❛❜❡❧❧❡ ❧✐❜r❛r② ■s❛❋♦❘ ❛♥❞ ♣r♦♦❢ ❝❤❡❝❦❡r ❈❡ ❚ ❆

t❡❛❝❤✐♥❣ t♦♦❧s st✉❞❡♥ts ♠♦t✐✈❛t❡s ✇r✐t❡ ❤❡❧♣

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SLIDE 182

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✉♠♠❛r②

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SLIDE 183

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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SLIDE 184

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✉♠♠❛r②

◮

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SLIDE 185

❆❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡♠❡♥ts

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