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SLIDE 1

▼❛t❤✷✸✻ ❉✐s❝r❡t❡ ▼❛t❤s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

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SLIDE 2

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SLIDE 3

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❚❤❡♦r❡♠ ■❢ ♣ ✐s ♣r✐♠❡✱ t❤❡♥ φ(♣) = ♣ − ✶ Pr♦♦❢✳ ▲❡t ♣ ❜❡ ♣r✐♠❡ ❚❤❡♥ ♣ ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ t♦ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡rs ✶, ✷, . . . , ♣ − ✶

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SLIDE 4

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❚❤❡♦r❡♠ ■❢ ♣ ❛♥❞ q ❛r❡ ♣r✐♠❡✱ t❤❡♥ φ(♣q) = (♣ − ✶)(q − ✶)

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SLIDE 5

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Pr♦♦❢✳ ▲❡t ♣ ❛♥❞ q ❜❡ ♣r✐♠❡ ❚❤❡ ♦♥❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs ♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ♥ ≤ ♣q ❛♥❞ ❣❝❞(♥, ♣q) > ✶ ❛r❡ t❤♦s❡ ✐♥ t❤❡ s❡t ❙ = {♣, ✷♣, . . . , (q − ✶)♣, q♣} ∪ {q, ✷q, . . . , (♣ − ✶)q, ♣q} ❚❤❡ t✇♦ s❡ts t❤❛t ❝♦♠♣r✐s❡ t❤✐s ✉♥✐♦♥ ❤❛✈❡ ♦♥❧② ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✱ ♣q✱ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♣ + q − ✶ s✉❝❤ ✐♥t❡❣❡rs ♥ ❚❤✉s✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs ♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ♥ ≤ ♣q ❛♥❞ ❣❝❞(♥, ♣q) = ✶ ✐s ♣q − (♣ + q − ✶) = (♣ − ✶)(q − ✶)

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SLIDE 6

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡♦r❡♠ ■❢ ♣ ✐s ♣r✐♠❡ ❛♥❞ ❦ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r✱ t❤❡♥ φ(♣❦) = ♣❦(✶ − ✶ ♣) Pr♦♦❢✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣❦ ✐♥t❡❣❡rs ✐♥ ❙ = {✶, ✷, . . . , ♣❦} ❚❤❡ ♦♥❧② ✐♥t❡❣❡rs ✐♥ ❙ t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ t♦ ♣❦ ❛r❡ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣✿ ♣, ✷♣, ✸♣, . . . , ♣❦−✷♣, ♣❦−✶♣ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♣❦−✶ s✉❝❤ ♠✉❧t✐♣❧❡s ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t φ(♣❦) = ♣❦ − ♣❦−✶ = ♣❦(✶ − ✶

♣)

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SLIDE 7

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❊①❛♠♣❧❡ φ(✸✷) = φ(✷✺) = ✷✺(✶ − ✶ ✷) = ✶✻ ❆❧s♦✱ φ(✷✼) = φ(✸✸) = ✸✸ − ✸✷ = ✶✽

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SLIDE 8

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❡② ▲❡♠♠❛✮ ❋♦r ❦ ≥ ✶✱ ❧❡t ♣✶, . . . , ♣❦ ❜❡ ❞✐st✐♥❝t ♣r✐♠❡s ❛♥❞ ❧❡t ♥ ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r t❤❛t ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② ♣✐ ❢♦r ❛❧❧ ✐ = ✶, . . . , ❦✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ♣✐✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦✱ ✐s ♥ − ♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮

▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 9

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ♣r♦❝❡❡❞ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ ❦ ▲❡t ❦ = ✶ ❚❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣✶ ❛r❡ ♣✶, ✷♣✶, ✸♣✶, . . . , ♥ ♣✶

  • ♣✶

❍❡♥❝❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣✶ ✐s ♥ ♣✶ = ♥ − ♥

  • ✶ − ✶

♣✶

  • = ♥ − ♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ❚❤✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡s t❤❡ ❜❛s❡ ❝❛s❡

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SLIDE 10

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❦ ≥ ✷ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t ✐s tr✉❡ ❢♦r ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs t❤❛t ❛r❡ ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② ❦ − ✶ ❞✐st✐♥❝t ♣r✐♠❡s ▲❡t ♥ ❜❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r t❤❛t ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② ❦ ❞✐st✐♥❝t ♣r✐♠❡s✱ ♣✶, ♣✷, . . . , ♣❦ ❲❡ ✇✐s❤ t♦ ❝♦✉♥t t❤❡ s❡t ❙ ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ♣✐✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ ❚♦ ❞♦ t❤✐s ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❘✉❧❡

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SLIDE 11

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ▲❡t ❳ ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ♣✐✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ − ✶ ▲❡t ❨ ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣❦ ❜✉t ♥♦t ♦❢ ♣✐ ❢♦r ❛♥② ✐ ✇❤❡r❡ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ − ✶ ❇② t❤❡ ❆❞❞✐t✐♦♥ ❘✉❧❡✱ |❙| = |❳| + |❨ | ❇② t❤❡ ✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ |❳| = ♥ − ♥

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ◆❡①t ✇❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡ |❨ |

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SLIDE 12

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣❦ ❛r❡ ♣❦, ✷♣❦, ✸♣❦, . . . , ♥ ♣❦

  • ♣❦

❍❡♥❝❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣❦ ✐s ♥/♣❦ ❋♦r ✶ ≤ ✐ < ❥ ≤ ❦ ✇❡ ❤❛✈❡ ❣❝❞(♣✐, ♣❥) = ✶ ❚❤✉s✱ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣❦ ✭t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣✐ ❢♦r ❛♥② ✐ ✇❤❡r❡ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ − ✶✮ ❛r❡ t❤♦s❡ ✇❤♦s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✭✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥/♣❦✮ ❛r❡ ♥♦t ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ♣✐ ❢♦r ❛♥② ✐ ✇❤❡r❡ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ − ✶

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SLIDE 13

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❇② t❤❡ ✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ s✐♥❝❡ ♥/♣❦ ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② ♣✐ ❢♦r ❛❧❧ ✐ = ✶, . . . , ❦ − ✶✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥/♣❦ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ♣✐✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ − ✶✱ ✐s ♥ ♣❦ − ♥ ♣❦

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ❇② t❤❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡ ❘✉❧❡✱

|❨ | = ♥ ♣❦ −

♣❦ − ♥ ♣❦

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • = ♥

♣❦

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  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮

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SLIDE 14

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❚❤✉s✱ |❙| = |❳| + |❨ | = ♥ − ♥

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • + ♥

♣❦

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • =

♥ −

❦−✶

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐ ✶ − ✶ ♣❦

  • =

♥ − ♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ❚❤✐s ❝♦♠♣❧❡t❡s t❤❡ ♣r♦♦❢

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SLIDE 15

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡♦r❡♠ ■❢ ♥ =

  • ✐=✶

♣❡✐

✐ ✱ ✇❤❡r❡ ♣✶, ♣✷, . . . , ♣❦ ❛r❡ ❞✐st✐♥❝t ♣r✐♠❡s ❛♥❞ ❡✶, ❡✷, . . . , ❡❦ ❛r❡

♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs✱ t❤❡♥ φ(♥) = ♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • .

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SLIDE 16

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♥♦t r❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ ✇✐t❤ ♥ ❛r❡ t❤♦s❡ ✐♥t❡❣❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ♥ t❤❛t ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡s ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣❡rs ♣✐✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ❦ ❇② t❤❡ ❑❡② ▲❡♠♠❛✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✉❝❤ ✐♥t❡❣❡rs ✐s ♥ − ♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • ❚❤❡ ❞❡s✐r❡❞ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡ ❘✉❧❡

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SLIDE 17

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❊①❛♠♣❧❡ φ(✻✵) = φ(✷✷ · ✸ · ✺) = ✻✵

  • ✶ − ✶

✷ ✶ − ✶ ✸ ✶ − ✶ ✺

  • = ✻✵ · ✶

✷ · ✷ ✸ · ✹ ✺ = ✶✻

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SLIDE 18

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❚❤❡♦r❡♠ ■❢ ♠ ❛♥❞ ♥ ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs ❛♥❞ ❣❝❞(♠, ♥) = ✶✱ t❤❡♥ φ(♠♥) = φ(♠)φ(♥)

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✶✽ ✴ ✸✺

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SLIDE 19

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ▲❡t ♠ = ❦

✐=✶ ♣❡✐ ✐

❛♥❞ ♥ = ❦′

✐=✶(♣′ ✐)❡′

✐ ✱ ✇❤❡r❡

♣✶, ♣✷, . . . , ♣❦, ♣′

✶, ♣′ ✷, . . . , ♣′ ❦′ ❛r❡ ❞✐st✐♥❝t ♣r✐♠❡s ✭s✐♥❝❡ ❣❝❞(♠, ♥) = ✶✮

❚❤❡♥ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✱ φ(♠♥) = ♠♥

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐ ❦′

  • ❥=✶
  • ✶ − ✶

♣′

  • = ♠

  • ✐=✶
  • ✶ − ✶

♣✐

  • · ♥

❦′

  • ❥=✶
  • ✶ − ✶

♣′

  • = φ(♠)φ(♥)

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✶✾ ✴ ✸✺

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SLIDE 20

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❊✉❧❡r φ✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦♥t✳✮

❊①❛♠♣❧❡ ❋r♦♠ ❛ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✱ φ(✸✷) = ✶✻ ❛♥❞ φ(✷✼) = ✶✽ ❚❤✉s✱ φ(✽✻✹) = φ(✸✷ · ✷✼) = φ(✸✷)φ(✷✼) = ✶✻ · ✶✽ = ✷✽✽

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✵ ✴ ✸✺

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SLIDE 21

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❋❡r♠❛t✬s ▲✐tt❧❡ ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ❬❋❡r♠❛t❪ ■❢ ❛ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r ❛♥❞ ♣ ✐s ❛ ♣r✐♠❡ ♥✉♠❜❡r✱ t❤❡♥ ❛♣ ≡ ❛ (♠♦❞ ♣)

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✶ ✴ ✸✺

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SLIDE 22

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❋❡r♠❛t✬s ▲✐tt❧❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ♣r♦❝❡❡❞ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ■❢ ❛ = ✶✱ t❤❡♥ ❛♣ = ✶♣ = ✶ = ❛ ✭❛s r❡q✉✐r❡❞✮ ❆ss✉♠❡ t❤❡♥ t❤❛t ❢♦r s♦♠❡ ✐♥t❡❣❡r ❛ ≥ ✶✱ ✐t ✐s t❤❡ ❝❛s❡ t❤❛t ❛♣ ≡ ❛ (♠♦❞ ♣) ❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t (❛ + ✶)♣ ≡ ❛ + ✶ (♠♦❞ ♣)

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✷ ✴ ✸✺

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SLIDE 23

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❋❡r♠❛t✬s ▲✐tt❧❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❜✐♥♦♠✐❛❧ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ (❛ + ✶)♣✿ (❛ + ✶)♣ =

  • ✐=✵

♣ ✐

  • ❛✐ = ✶ + ♣❛ + · · · + ♣❛♣−✶ + ❛♣

❊✈❡r② t❡r♠✱ ❡①❝❡♣t t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st✱ ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② ♣ ❙♦ (❛ + ✶)♣ ≡ ❛♣ + ✶ (♠♦❞ ♣) ❇② t❤❡ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❍②♣♦t❤❡s✐s✱ ❛♣ ≡ ❛ (♠♦❞ ♣) ❋r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ (❛ + ✶)♣ ≡ ❛ + ✶ (♠♦❞ ♣)✱ ❛s r❡q✉✐r❡❞

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✸ ✴ ✸✺

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SLIDE 24

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❊✉❧❡r✬s ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ✭❊✉❧❡r✮ ▲❡t ❛, ♠ ❜❡ ✐♥t❡❣❡rs ✇✐t❤ ♠ ≥ ✷ ❛♥❞ ❣❝❞(❛, ♠) = ✶✳ ❚❤❡♥ ❛φ(♠) ≡ ✶ (♠♦❞ ♠)

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✹ ✴ ✸✺

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SLIDE 25

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❊✉❧❡r✬s ❚❤❡♦r❡♠ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ▲❡t s✶, s✷, . . . , sφ(♠) ❜❡ t❤❡ φ(♠) ✐♥t❡❣❡rs ✐♥ {✶, ✷, . . . , ♠ − ✶} t❤❛t ❛r❡ r❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ t♦ ♠ ❋♦r ❡❛❝❤ ✐ ✇✐t❤ ✶ ≤ ✐ ≤ φ(♠)✱ ❧❡t ❛s✐ = q✐♠ + r✐✱ ✇❤❡r❡ ✵ ≤ r✐ < ♠ ❲❡ ❝❧❛✐♠ t❤❛t {s✶, s✷, . . . , sφ(♠)} = {r✶, r✷, . . . , rφ(♠)}

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✺ ✴ ✸✺

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SLIDE 26

❚❤❡ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❋❡r♠❛t ❛♥❞ ❊✉❧❡r

❊✉❧❡r✬s ❚❤❡♦r❡♠ ✭❝♦♥t✳✮

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

❊❛❝❤ r✐ ✐s ✐♥ {✵, ✶, . . . , ♠ − ✶} ❛♥❞ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② φ(♠) ✐♥t❡❣❡rs ✭♥❛♠❡❧②✱ s✶, s✷, . . . , sφ(♠)✮ ✐♥ {✵, ✶, . . . , ♠ − ✶} t❤❛t ❛r❡ r❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ t♦ ♠

❍❡♥❝❡✱ ✐t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t✇♦ t❤✐♥❣s✿

❚❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡rs r✶, r✷, . . . , rφ(♠) ❛r❡ ❛❧❧ ❞✐st✐♥❝t✱ ❛♥❞✱

❚❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ✐✱ ❣❝❞(r✐, ♠) = ✶

■tt♠❛♥♥ ✭❯❑❩◆ P▼❇✮ ▼❛t❤✷✸✻ ✷✵✶✷ ✷✻ ✴ ✸✺

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SLIDE 27

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SLIDE 33

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SLIDE 34

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❆♥♦t❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✶✷ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥❣r✉❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❛① ≡ ❜ (♠♦❞ ♠) ✇❤❡r❡ ❣❝❞(❛, ♠) = ✶ ❙✐♥❝❡ ❛φ(♠) ≡ ✶ (♠♦❞ ♠) ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ① ≡ ❛φ(♠)① (♠♦❞ ♠) ≡ ❛φ(♠)−✶❛① (♠♦❞ ♠) ≡ ❛φ(♠)−✶❜ (♠♦❞ ♠)

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SLIDE 35

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