trst P r tt r - PowerPoint PPT Presentation

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❆ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦ ♦❢ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡s ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r 1 ✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ 2 ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② 2 1 ❙❛❛r❧❛♥❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② 2 ▼❛①✲P❧❛♥❝❦✲■♥st✐t✉t❡ ❢♦r ■♥❢♦r♠❛t✐❝s ❈❈❈ ✷✵✶✼ ✵✾✴✵✼✴✷✵✶✼ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✶ ❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✷ ❆ s✐♠♣❧❡ 1 2 ✲❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ■❞❡❛s ❢♦r ❜❡tt❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❙❡t✉♣ F ❜❡ ❛♥② ✜❡❧❞✱ n ∈ Z > 0 ✳ F n × n ✐s t❤❡ ✭✈❡❝t♦r✮ s♣❛❝❡ ♦❢ ❛❧❧ n × n ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ ❡♥tr✐❡s ✐♥ F ✳ ❋♦r ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s V , W ❯s❡ ♥♦t❛t✐♦♥ V ≤ W t♦ ❞❡♥♦t❡ t❤❛t V ✐s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ W ✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▼❛tr✐① s♣❛❝❡✮ ❆ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ B ≤ F n × n ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❙❡t✉♣ F ❜❡ ❛♥② ✜❡❧❞✱ n ∈ Z > 0 ✳ F n × n ✐s t❤❡ ✭✈❡❝t♦r✮ s♣❛❝❡ ♦❢ ❛❧❧ n × n ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ ❡♥tr✐❡s ✐♥ F ✳ ❋♦r ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s V , W ❯s❡ ♥♦t❛t✐♦♥ V ≤ W t♦ ❞❡♥♦t❡ t❤❛t V ✐s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ W ✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▼❛tr✐① s♣❛❝❡✮ ❆ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ B ≤ F n × n ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❙❡t✉♣ F ❜❡ ❛♥② ✜❡❧❞✱ n ∈ Z > 0 ✳ F n × n ✐s t❤❡ ✭✈❡❝t♦r✮ s♣❛❝❡ ♦❢ ❛❧❧ n × n ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ ❡♥tr✐❡s ✐♥ F ✳ ❋♦r ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s V , W ❯s❡ ♥♦t❛t✐♦♥ V ≤ W t♦ ❞❡♥♦t❡ t❤❛t V ✐s ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ W ✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▼❛tr✐① s♣❛❝❡✮ ❆ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ B ≤ F n × n ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ Pr♦❜❧❡♠ Pr♦❜❧❡♠ ●✐✈❡♥ ❛ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡ B ≤ F n × n ❛s ✐♥♣✉t✱ ❝♦♠♣✉t❡ ✐ts ✏r❛♥❦✑✳ B ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s ✐♥♣✉t ❜② ✐ts s❡t ♦❢ ❣❡♥❡r❛t♦rs✱ ✐✳❡✱ B = � B 1 , B 2 , . . . , B m � . ❚✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ r❛♥❦✳ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✳ ◆♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ Pr♦❜❧❡♠ Pr♦❜❧❡♠ ●✐✈❡♥ ❛ ♠❛tr✐① s♣❛❝❡ B ≤ F n × n ❛s ✐♥♣✉t✱ ❝♦♠♣✉t❡ ✐ts ✏r❛♥❦✑✳ B ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s ✐♥♣✉t ❜② ✐ts s❡t ♦❢ ❣❡♥❡r❛t♦rs✱ ✐✳❡✱ B = � B 1 , B 2 , . . . , B m � . ❚✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ r❛♥❦✳ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✳ ◆♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✮ B ≤ F n × n ❛♥② ♠❛tr✐① s♣❛❝❡✱ t❤❡♥ ❈♦♠♠✉t❛✐✈❡ r❛♥❦ ♦❢ B = rank ( B ) = max { rank ( B ) | B ∈ B} ✳ B ≤ F n × n ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❢✉❧❧✲r❛♥❦ ✐❢ rank ( B ) = n . ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r❛♥❦✮ B ≤ F n × n ❛♥② ♠❛tr✐① s♣❛❝❡✱ t❤❡♥ ❈♦♠♠✉t❛✐✈❡ r❛♥❦ ♦❢ B = rank ( B ) = max { rank ( B ) | B ∈ B} ✳ B ≤ F n × n ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❢✉❧❧✲r❛♥❦ ✐❢ rank ( B ) = n . ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❆ ❞✐✛❡r❡♥t ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ▼❛tr✐① s♣❛❝❡ B = � B 1 , B 2 , . . . , B m � ≤ F n × n ✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① B = x 1 B 1 + x 2 B 2 + . . . + x m B m ♦✈❡r t❤❡ ✜❡❧❞ F ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋❛❝t ■❢ | F | > n t❤❡♥ rank ( B ) = rank ( B ) ✳ ●✐✈❡s ❛ r❛♥❞♦♠✐③❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉s✐♥❣ ❙❝❤✇❛rt③✕❩✐♣♣❡❧ ❧❡♠♠❛✳ ❊✈❡♥ ❛♥ ❘◆❈ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦

❇❛s✐❝ Pr♦❜❧❡♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ▼❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ Pr❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ❆ ❞✐✛❡r❡♥t ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ▼❛tr✐① s♣❛❝❡ B = � B 1 , B 2 , . . . , B m � ≤ F n × n ✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① B = x 1 B 1 + x 2 B 2 + . . . + x m B m ♦✈❡r t❤❡ ✜❡❧❞ F ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋❛❝t ■❢ | F | > n t❤❡♥ rank ( B ) = rank ( B ) ✳ ●✐✈❡s ❛ r❛♥❞♦♠✐③❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉s✐♥❣ ❙❝❤✇❛rt③✕❩✐♣♣❡❧ ❧❡♠♠❛✳ ❊✈❡♥ ❛♥ ❘◆❈ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ▼❛r❦✉s ❇❧äs❡r✱ ●♦r❛✈ ❏✐♥❞❛❧ ❛♥❞ ❆♥✉r❛❣ P❛♥❞❡② ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ P❚❆❙ ❢♦r ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘❛♥❦