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SLIDE 1

❊♥❝♦❞✐♥❣ ◗✉❛♥t✐✜❡❞ ❈❙Ps ❛s ◗✉❛♥t✐✜❡❞ ❇♦♦❧❡❛♥ ❋♦r♠✉❧❛❡ ■❛♥ P✳ ●❡♥t✱ P❡t❡r ◆✐❣❤t✐♥❣❛❧❡ ❛♥❞ ❆♥❞r❡✇ ❘♦✇❧❡②

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SLIDE 2

❋✐♥✐t❡ ❞♦♠❛✐♥ ❝♦♥str❛✐♥t s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❈❙P✮

  • ❱❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ ❛ ✜♥✐t❡ ❞♦♠❛✐♥

✕ ❡✳❣✳ A ∈ {2, 3}, B ∈ {1, 2, 4}

  • ❈♦♥str❛✐♥ts ♣❧❛❝❡❞ ♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s

✕ A = B✱ A + B = 4

  • ❆ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛ ✈❛❧✐❞ ❛ss✐❣♥♠❡♥t t♦ ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s

✕ A = 3✱ B = 1

  • ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

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SLIDE 3

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ q✉❛♥t✐✜❡rs ✭◗❈❙P✮

  • ❊①✐st❡♥t✐❛❧ ✭∃✮ ❛♥❞ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✭∀✮ q✉❛♥t✐✜❡rs
  • A ∈ {2, 3}, B ∈ {1, 2, 4}✱ ∃A∃B✱ A = B✱ A + B = 4
  • ∀A∃B✱ A + B = 4

✕ ❙♦❧✉t✐♦♥ tr❡❡ ✭str❛t❡❣②✮

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SLIDE 4

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ q✉❛♥t✐✜❡rs ✭◗❈❙P✮

  • ◗✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦r❞❡r ✐s s✐❣♥✐✜❝❛♥t

✕ ∀A∃B✱ A + B = 4 ✕ ∃B∀A✱ A + B = 4

  • P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✕ P❙P❆❈❊ ❛❧❣♦r✐t❤♠ tr❛✈❡rs❡s s♦❧✉t✐♦♥ tr❡❡

  • ❊①♣♦♥❡♥t✐❛❧ s♣❛❝❡ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ s♦❧✉t✐♦♥

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SLIDE 5

❚❤❡ ❣❛♠❡ ♦❢ ◗❈❙P

  • ◗❈❙P ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❛ ❣❛♠❡
  • P❧❛②❡rs ❛r❡ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ✉♥✐✈❡rs❛❧
  • ❙♦♠❡ ❣❛♠❡s ♠❛♣ ✐♥t♦ ◗❈❙P

✕ ❈♦♥♥❡❝t✲✹ ✭●❡♥t ❛♥❞ ❘♦✇❧❡②✮ ✕ ❆ ✈❛r✐❛♥t ♦❢ ●♦ ✭▲✐❝❤t❡♥st❡✐♥ ❛♥❞ ❙✐♣s❡r✮ ✕ ❖t❤❡❧❧♦ ✭■✇❛t❛ ❛♥❞ ❑❛s❛✐✮

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SLIDE 6

◆♦✉❣❤ts ❛♥❞ ❝r♦ss❡s

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SLIDE 7

❲❤② ❝♦♥s✐❞❡r ◗❈❙P❄

  • ◆❛t✉r❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❙P
  • Pr♦❜❧❡♠ s♦❧✈✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②

✕ ❯♥❝❡rt❛✐♥ ❞❛t❛ ❛t s♦❧✉t✐♦♥ t✐♠❡ ❡✳❣✳ ❞❡❧✐✈❡r② t✐♠❡ ✶✵ ❛♠±✶ ❤♦✉r ∗ ✭▼✐♥✐♠❛❧✮ ❈♦✈❡r✐♥❣ s❡t ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ✭❨♦r❦❡✲❙♠✐t❤ ❛♥❞ ●❡r✈❡t✮ ✕ ❯♥❝❡rt❛✐♥t② r❡s♦❧✈❡❞ ❞✉r✐♥❣ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢ ♣❧❛♥ ∗ ●❛♠❡ ❛❣❛✐♥st t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t

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SLIDE 8

◗✉❛♥t✐✜❡❞ ❇♦♦❧❡❛♥ ❋♦r♠✉❧❛❡ ✭◗❇❋✮

  • ❙✉❜s❡t ♦❢ ◗❈❙P ✭❛❧s♦ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡✮
  • ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❝♦♥❥✉♥❝t✐✈❡ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ◗❇❋ ✐♥ ♣r❡♥❡① ❢♦r♠

∀a, b∃c, (a ∨ ¬c) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ ¬c)

  • ❯♥✐t ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ r✉❧❡s s✐♠✐❧❛r t♦ ❙❆❚ ✖ s❧✐❣❤t❧② str♦♥❣❡r

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SLIDE 9

❲❤② ❡♥❝♦❞❡❄

  • ◗❇❋ ✐s t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♦❢ r❡❝❡♥t r❡s❡❛r❝❤

✕ ❇❛s✐❝ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❉❛✈✐s P✉t♥❛♠ ▲♦❣❡♠❛♥♥ ▲♦✈❡❧❛♥❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✕ ❈♦♥✢✐❝t ❛♥❞ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✐r❡❝t❡❞ ❜❛❝❦❥✉♠♣✐♥❣ ✭●✉✐♥❝❤✐❣❧✐❛✱ ◆❛r✐③✲ ③❛♥♦ ❛♥❞ ❚❛❝❝❤❡❧❧❛✮ ✕ ❊✣❝✐❡♥t ✇❛t❝❤❡❞ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡s ✭●❡♥t✱ ●✉✐♥❝❤✐❣❧✐❛✱ ◆❛r✐③③❛♥♦✱ ❘♦✇❧❡② ❛♥❞ ❚❛❝❝❤❡❧❧❛✮

  • ❚❛❦❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ❢❛st ◗❇❋ s♦❧✈❡rs ❢♦r ◗❈❙P

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SLIDE 10

❉✐r❡❝t ❡♥❝♦❞✐♥❣

  • ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❜✐♥❛r② ◗❈❙P ❢♦r t❤✐s ✇♦r❦
  • ❊♥❝♦❞❡ ❈❙P ✈❛r✐❛❜❧❡ v ✇✐t❤ ❙❆❚ ✈❛r✐❛❜❧❡s xv

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  • ❆t✲❧❡❛st✲♦♥❡ ❝❧❛✉s❡ (d

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  • ❈♦♥✢✐❝t ❝❧❛✉s❡s (¬xv

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✶✵

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SLIDE 11
  • ❧♦❜❛❧ ❆❝❝❡♣t❛❜✐❧✐t② ❊♥❝♦❞✐♥❣ ❢♦r ◗❈❙P
  • ❈♦♥s✐❞❡r❛❜❧② ♠♦r❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞ t❤❛♥ ❞✐r❡❝t ❡♥❝♦❞✐♥❣
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  • ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ tr✉❡ ❢♦r s♦♠❡ ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❛ss✐❣♥✲

♠❡♥ts ✖ ✇❤❡r❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❛❦❡ = 1 ✈❛❧✉❡s

  • ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❧✐t❡r❛❧ z ✐♥ ♠♦st ❝❧❛✉s❡s
  • ❈♦♥✢✐❝t ❝❧❛✉s❡s (¬xv

i ∨ ¬xw j ∨ z)

  • Pr❡✈❡♥ts ✉♥✐t ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ✉♥t✐❧ ✐♥♥❡r♠♦st ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s s❡t

✶✶

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SLIDE 12

▲♦❝❛❧ ❆❝❝❡♣t❛❜✐❧✐t② ❊♥❝♦❞✐♥❣ ✭r❡✜♥❡♠❡♥t ♦❢ ❛❜♦✈❡✮

  • ▲♦❝❛❧ zu ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ s❡t ❡❛r❧✐❡r t❤❛♥ z ❛♥❞ ❛❧❧♦✇ ✉♥✐t ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥
  • . . . ∀xv

i . . . ∀xw j . . . (¬xv i ∨ ¬xw j ∨ zw)

  • . . . ∀xu

h . . . ∃xv i . . . ∃xw j . . . (¬xv i ∨ ¬xw j ∨ zu)

  • ❙✐♠✉❧❛t❡s ❢♦r✇❛r❞ ❝❤❡❝❦✐♥❣ ✭▼❛♠♦✉❧✐s ❛♥❞ ❙t❡r❣✐♦✉✮
  • ▲❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❛ss✐❣♥♠❡♥ts

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SLIDE 13

❆❞❛♣t❡❞ ▲♦❣ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ✭❢✉rt❤❡r r❡✜♥❡♠❡♥t✮

  • ❯♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❤❛s O(2d) ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❛s✲

s✐❣♥♠❡♥ts ✖ ▲♦❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❤❛s O(d) ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❛ss✐❣♥♠❡♥ts

  • Pr♦✈❡♥ ❝♦rr❡❝t
  • ❈❤❛♥♥❡❧ ❧♦❣ ❡♥❝♦❞✐♥❣ t♦ ✉♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣

(zu ∨ xv

1 ∨ bv 2 ∨ bv 1 ∨ bv 0)

(zu ∨ xv

2 ∨ bv 2 ∨ bv 1 ∨ ¬bv 0)

(zu ∨ xv

3 ∨ bv 2 ∨ ¬bv 1 ∨ bv 0)

(zu ∨ xv

4 ∨ bv 2 ∨ ¬bv 1 ∨ ¬bv 0)

(zu ∨ xv

5 ∨ ¬bv 2 ∨ bv 1 ∨ bv 0)

  • ❖♥❡✲✇❛② ❝❤❛♥♥❡❧❧✐♥❣ ♣r❡s❡r✈❡s ♣✉r❡ ❧✐t❡r❛❧ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

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SLIDE 14

❉✐r❡❝t s♦❧✉t✐♦♥ ✈s✳ ❡♥❝♦❞✐♥❣

✶✹

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SLIDE 15

❋❧❛✇s ✐♥ ◗❈❙Ps

  • ❙♦♠❡ ✐♥st❛♥❝❡s tr✐✈✐❛❧❧② ❢❛❧s❡
  • ❯♥✐✈❡rs❛❧s u1 . . . u7 ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❡①✐st❡♥t✐❛❧ e
  • ❊❛❝❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ e ❝♦♥✢✐❝ts ✇✐t❤ s♦♠❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ s♦♠❡ ui
  • ❆rt✐✜❝✐❛❧❧② s❤✐❢ts ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥
  • ❘❡❝❡♥t ✇♦r❦ ♦♥ ❝♦♥tr♦❧❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s

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SLIDE 16

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

  • ❊♥❝♦❞✐♥❣ ♦✉t♣❡r❢♦r♠s ❞✐r❡❝t s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥ s♦♠❡ ♣r♦❜❧❡♠s

✕ ❙♦♠❡t✐♠❡s ❜② ♦r❞❡rs ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡

  • ▲♦✇ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡✛♦rt
  • ❙✉♣♣♦rt ❡♥❝♦❞✐♥❣ r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥
  • ●♦♦❞ ❜❡♥❝❤♠❛r❦ ♣r♦❜❧❡♠s r❡q✉✐r❡❞

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SLIDE 17

❚❤❛♥❦ ②♦✉

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