tPss s - - PowerPoint PPT Presentation

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❖♥ ❛ ▼✉❧t✐✲P❤②s✐❝s ❈♦✉♣❧✐♥❣ ▼❡❝❤❛♥✐s♠✳

❚❤❡ ✸r❞ ◆❛❥♠❛♥ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❙♣❡❝tr❛❧ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r ❖♣❡r❛t♦rs ❛♥❞ ▼❛tr✐❝❡s

❘❛✐♥❡r P✐❝❛r❞

❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❚❯ ❉r❡s❞❡♥✱ ●❡r♠❛♥②

❇✐♦❣r❛❞ ✷✵✶✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②

❚❤❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② ❊q✉❛t✐♦♥s✳

• ❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠ ♦❢ ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② Pr♦❜❧❡♠s✿

∂✵❱ +❆❯ = ❢ ♦♥ R, ❱ = M ❯. ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② ❊q✉❛t✐♦♥✿ (∂✵M +❆)❯ = ❢ . ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✿ ❉♦❡s t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r (∂✵M +❆)−✶ ❡①✐st ❛s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ♦♥ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡❄ ❲❤✐❝❤ ✏s✉✐t❛❜❧❡✑ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡❄

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❚❤❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② ❊q✉❛t✐♦♥s✳

• ❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠ ♦❢ ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② Pr♦❜❧❡♠s✿

∂✵❱ +❆❯ = ❢ ♦♥ R, ❱ = M ❯. ❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② ❊q✉❛t✐♦♥✿ (∂✵M +❆)❯ = ❢ . ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✿ ❉♦❡s t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r (∂✵M +❆)−✶ ❡①✐st ❛s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ♦♥ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡❄ ❲❤✐❝❤ ✏s✉✐t❛❜❧❡✑ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡❄

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❊①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ✇❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥ t → ❡①♣(−ρ t)✱ ρ ∈ R✱ ❣❡♥❡r❛t❡s ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ ▲✷✲s♣❛❝❡ ❍ρ,✵ (R,C) ❜② ❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❛❝❡ ˚ ❈∞ (R,C) ♦❢ s♠♦♦t❤ ❝♦♠♣❧❡①✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝♦♠♣❛❝t s✉♣♣♦rt ✇✳r✳t✳ ·|·ρ,✵ ✭♥♦r♠✿ |·|ρ,✵✮ (ϕ,ψ) →

• R ϕ (t)ψ (t) ❡①♣(−✷ρt)❞t.

❚✐♠❡✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ∂✵ ❛s ❛ ❝❧♦s❡❞ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,C) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ˚ ❈∞ (R,C) ⊆ ❍ρ,✵ (R,C) → ❍ρ,✵ (R,C), ϕ → ϕ′.

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❚✐♠❡✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ∂✵ ✐s ❛ ♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,C) ∂✵ = Re∂✵ +iIm∂✵ = ✶ ✷ (∂✵ +∂ ∗

✵)+i ✶

✷i (∂✵ −∂ ∗

✵)

✇✐t❤ Re∂✵✱ Im∂✵ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ ❝♦♠♠✉t✐♥❣ r❡s♦❧✈❡♥ts✿ Re∂✵ = ρ. ❋♦r ρ ∈ R\{✵}✿ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② ♦❢ ∂✵✱ ✐✳❡✳ ✵ ∈ ρ (∂✵) ✭r❡s♦❧✈❡♥t s❡t✮✿ σ (∂✵) = iR+ρ ✭s♣❡❝tr✉♠✮✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❚✐♠❡✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ∂✵ ✐s ❛ ♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,C) ∂✵ = Re∂✵ +iIm∂✵ = ✶ ✷ (∂✵ +∂ ∗

✵)+i ✶

✷i (∂✵ −∂ ∗

✵)

✇✐t❤ Re∂✵✱ Im∂✵ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ ❝♦♠♠✉t✐♥❣ r❡s♦❧✈❡♥ts✿ Re∂✵ = ρ. ❋♦r ρ ∈ R\{✵}✿ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② ♦❢ ∂✵✱ ✐✳❡✳ ✵ ∈ ρ (∂✵) ✭r❡s♦❧✈❡♥t s❡t✮✿ σ (∂✵) = iR+ρ ✭s♣❡❝tr✉♠✮✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❋♦✉r✐❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠✿ ✉♥✐t❛r② ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ˚ ❈∞ (R,C) ⊆ ❍ρ,✵ (R,C) → ❍✵,✵ (R,C) = ▲✷ (R,C) ϕ → Lρϕ ✇✐t❤ Lρϕ (①) = ✶ √ ✷π

• R ❡①♣(−i① t) ❡①♣(−ρ t) ϕ (t) ❞t, ① ∈ R.

✐s s♣❡❝tr❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r Im∂✵✿ Im∂✵ = L −✶

ρ ♠✵ Lρ,

∂✵ = L −✶

ρ

(i♠✵ +ρ) Lρ. ❍❡r❡ ♠✵ ✐s t❤❡ s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✲❜②✲❛r❣✉♠❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ▲✷ (R,C)✿ (♠✵ϕ)(①) = ①ϕ (①) ❢♦r ① ∈ R ❛♥❞ ϕ ∈ ˚ ❈∞ (R,C)✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❚❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ∂✵ t♦ t❤❡ ❳✲✈❛❧✉❡❞ ❝❛s❡✱ ❳ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✱ ✐♥❤❡r✐ts t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t②✿ ∂✵ ✐s st✐❧❧ ❛ ♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,❳) ρ = Re∂✵. ❲✐t❤ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❋♦✉r✐❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ Lρ : ❍ρ,✵ (R,❳) → ▲✷ (R,❳) ✇❡ st✐❧❧ ❣❡t ∂✵ = L −✶

ρ

(i♠✵ +ρ) Lρ.

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❚❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ∂✵ t♦ t❤❡ ❳✲✈❛❧✉❡❞ ❝❛s❡✱ ❳ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✱ ✐♥❤❡r✐ts t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t②✿ ∂✵ ✐s st✐❧❧ ❛ ♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,❳) ρ = Re∂✵. ❲✐t❤ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❋♦✉r✐❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ Lρ : ❍ρ,✵ (R,❳) → ▲✷ (R,❳) ✇❡ st✐❧❧ ❣❡t ∂✵ = L −✶

ρ

(i♠✵ +ρ) Lρ.

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❚❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❛ ◆♦r♠❛❧ ❖♣❡r❛t♦r

❚❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ∂✵ t♦ t❤❡ ❳✲✈❛❧✉❡❞ ❝❛s❡✱ ❳ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✱ ✐♥❤❡r✐ts t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t②✿ ∂✵ ✐s st✐❧❧ ❛ ♥♦r♠❛❧ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❍ρ,✵ (R,❳) ρ = Re∂✵. ❲✐t❤ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❋♦✉r✐❡r✲▲❛♣❧❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠ Lρ : ❍ρ,✵ (R,❳) → ▲✷ (R,❳) ✇❡ st✐❧❧ ❣❡t ∂✵ = L −✶

ρ

(i♠✵ +ρ) Lρ.

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▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❛t ∂ −✶

✵

= L −✶

ρ

✶ i♠✵ +ρ Lρ, ❛♥❞ s♦

◆

∑

❦=✵

▼❦∂ −❦

✵

= L −✶

ρ ◆

∑

❦=✵

▼❦ ✶ (i♠✵ +ρ)❦ Lρ ✇✐t❤ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ▼❦ ♦♥ ❳ ❛s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❦ = ✵,...,◆✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❢♦r ρ ∈ ]✵,∞[

• ∂ −✶

✵

• = ✶

ρ ❛♥❞

• ∂ −✶

✵ ϕ

• (①) =

①

−∞ ϕ (t) ❞t

❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ˚ ❈∞ (R) ❛♥❞ ① ∈ R✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❛t ∂ −✶

✵

= L −✶

ρ

✶ i♠✵ +ρ Lρ, ❛♥❞ s♦

◆

∑

❦=✵

▼❦∂ −❦

✵

= L −✶

ρ ◆

∑

❦=✵

▼❦ ✶ (i♠✵ +ρ)❦ Lρ ✇✐t❤ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ▼❦ ♦♥ ❳ ❛s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❦ = ✵,...,◆✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❢♦r ρ ∈ ]✵,∞[

• ∂ −✶

✵

• = ✶

ρ ❛♥❞

• ∂ −✶

✵ ϕ

• (①) =

①

−∞ ϕ (t) ❞t

❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ˚ ❈∞ (R) ❛♥❞ ① ∈ R✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦r✿ M = ▼

• ∂ −✶

✵

• .

■t ✐s ▼

• ∂ −✶

✵

• := L −✶

ρ

▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Lρ,

✇❤❡r❡ ▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Φ :=
• ω → ▼
• ✶

iω +ρ

• Φ(ω)
• ❢♦r Φ ∈ ˚

❈∞ (R,❳)✳ ❍❡r❡ (▼ (③))③∈❇C(r,r) ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❍ ✇✐t❤ r ≥ ✶

✷ρ > ✵✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ▼

• ∂ −✶

✵

• ✇✐❧❧

❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▼ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦r✿ M = ▼

• ∂ −✶

✵

• .

■t ✐s ▼

• ∂ −✶

✵

• := L −✶

ρ

▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Lρ,

✇❤❡r❡ ▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Φ :=
• ω → ▼
• ✶

iω +ρ

• Φ(ω)
• ❢♦r Φ ∈ ˚

❈∞ (R,❳)✳ ❍❡r❡ (▼ (③))③∈❇C(r,r) ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❍ ✇✐t❤ r ≥ ✶

✷ρ > ✵✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ▼

• ∂ −✶

✵

• ✇✐❧❧

❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▼ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦r✿ M = ▼

• ∂ −✶

✵

• .

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• ∂ −✶

✵

• := L −✶

ρ

▼

• ✶

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• Lρ,

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• ✶

i♠✵ +ρ

• Φ :=
• ω → ▼
• ✶

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• Φ(ω)
• ❢♦r Φ ∈ ˚

❈∞ (R,❳)✳ ❍❡r❡ (▼ (③))③∈❇C(r,r) ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❍ ✇✐t❤ r ≥ ✶

✷ρ > ✵✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ▼

• ∂ −✶

✵

• ✇✐❧❧

❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▼ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦rs ❛s ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❚✐♠❡ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡

▼❛t❡r✐❛❧ ▲❛✇ ❖♣❡r❛t♦r✿ M = ▼

• ∂ −✶

✵

• .

■t ✐s ▼

• ∂ −✶

✵

• := L −✶

ρ

▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Lρ,

✇❤❡r❡ ▼

• ✶

i♠✵ +ρ

• Φ :=
• ω → ▼
• ✶

iω +ρ

• Φ(ω)
• ❢♦r Φ ∈ ˚

❈∞ (R,❳)✳ ❍❡r❡ (▼ (③))③∈❇C(r,r) ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❍ ✇✐t❤ r ≥ ✶

✷ρ > ✵✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ▼

• ∂ −✶

✵

• ✇✐❧❧

❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ▼ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r②

❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❍ρ,✵(R,❍)

❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② Pr♦❜❧❡♠✿ ∂✵▼

• ∂ −✶

✵

• +❆
• ❯ = ❋

❲❤❡♥ ✐s

• ∂✵▼
• ∂ −✶

✵

• +❆
• ✭❛♥❞ ✐ts ❛❞❥♦✐♥t✮ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡

✐♥ ❍ρ,✵ (R,❍) ✭❢♦r ❛❧❧ s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡ ρ ∈ ]✵,∞[✮❄ ❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✭❊✮✿ ❆ s❦❡✇✲s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t ✐♥ ❍ ✭❧✐❢t❡❞ t♦ ❍ρ,✵ (R,❍)✮✱ ▼ (③) = ▼✵ +③

• ▼✶ +▼(✷) (③)
• ✱ ▼(✷) ❛ ❝❛✉s❛❧ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇

❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✈❛❧✉❡s ✐♥ ▲(❍,❍)✮✱ ❡✳❣✳ ❛♥❛❧②t✐❝ ❛t ✵✱ ❧✐♠s✉♣ρ→∞

• ▼(✷) (i · +ρ)
• = ✵✱

▼✵ ≥ ✵ s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t✱ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♦♥ ✐ts r❛♥❣❡✱ Re ▼✶ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♦♥ t❤❡ ♥✉❧❧ s♣❛❝❡ ♦❢ ▼✵✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r②

❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❍ρ,✵(R,❍)

❊✈♦❧✉t✐♦♥❛r② Pr♦❜❧❡♠✿ ∂✵▼

• ∂ −✶

✵

• +❆
• ❯ = ❋

❲❤❡♥ ✐s

• ∂✵▼
• ∂ −✶

✵

• +❆
• ✭❛♥❞ ✐ts ❛❞❥♦✐♥t✮ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡

✐♥ ❍ρ,✵ (R,❍) ✭❢♦r ❛❧❧ s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡ ρ ∈ ]✵,∞[✮❄ ❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✭❊✮✿ ❆ s❦❡✇✲s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t ✐♥ ❍ ✭❧✐❢t❡❞ t♦ ❍ρ,✵ (R,❍)✮✱ ▼ (③) = ▼✵ +③

• ▼✶ +▼(✷) (③)
• ✱ ▼(✷) ❛ ❝❛✉s❛❧ ♠❛t❡r✐❛❧ ❧❛✇

❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✈❛❧✉❡s ✐♥ ▲(❍,❍)✮✱ ❡✳❣✳ ❛♥❛❧②t✐❝ ❛t ✵✱ ❧✐♠s✉♣ρ→∞

• ▼(✷) (i · +ρ)
• = ✵✱

▼✵ ≥ ✵ s❡❧❢❛❞❥♦✐♥t✱ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♦♥ ✐ts r❛♥❣❡✱ Re ▼✶ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♦♥ t❤❡ ♥✉❧❧ s♣❛❝❡ ♦❢ ▼✵✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❙♦♠❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❙✉♠♠❛r② ❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r②

❚❤❡ ❇❛s✐❝ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▼ ❛♥❞ ❆ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✭❊✮✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡ ρ ∈ ]✵,∞[ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❢ ∈ ❍ρ,✵ (R,❍) t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❯ ∈ ❍ρ,✵ (R,❍) ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

• ∂✵▼
• ∂ −✶

✵

• +❆
• ❯ = ❢ .

❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r

• ∂✵▼
• ∂ −✶

✵

• +❆

−✶ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❝❛✉s❛❧ ♦♥ ❍ρ,✵ (R,❍)✳ ❈❛✉s❛❧❄ ❋♦r ❡✈❡r② ❛ ∈ R ✇❡ ❤❛✈❡✿ ■❢ ❋ ∈ ❍ρ,✵ (R, ❍) ✈❛♥✐s❤❡s ♦♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ]−∞, ❛]✱ t❤❡♥ s♦ ❞♦❡s

• ∂✵▼
• ∂ −✶

✵

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• 

           ❯✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❯♥       . Pr♦♣❡r ❝♦✉♣❧✐♥❣✿ ▼ ❝♦♥t❛✐♥s ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❧♦❝❦ ❡♥tr✐❡s ▼

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• ··· ··· ▼♥♥
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✵

• 

     .

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symσ

❍ ◗              

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• ▲✷,✷ (Ω)
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sym ✵ ✵

✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ κ               .

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▲✳ ❇✳ ❋❡❧s❡♥ ❛♥❞ ◆✳ ▼❛r❝✉✈✐t③✳ ❘❛❞✐❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❙❝❛tt❡r✐♥❣ ♦❢ ❲❛✈❡s ✭■❊❊❊ Pr❡ss ❙❡r✐❡s ♦♥ ❊❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ❲❛✈❡ ❚❤❡♦r②✮✳ ❲✐❧❡②✲■❊❊❊ Pr❡ss✱ ❏❛♥✉❛r② ✶✾✾✹✳ P✳ ◆❡✛✳ ❚❤❡ ❈♦ss❡r❛t ❝♦✉♣❧❡ ♠♦❞✉❧✉s ❢♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✐❞s ✐s ③❡r♦ ✈✐③ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ❈❛✉❝❤②✲str❡ss t❡♥s♦r ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳ ❩❆▼▼✱ ❩✳ ❆♥❣❡✇✳ ▼❛t❤✳ ▼❡❝❤✳✱ ✽✻✭✶✶✮✿✽✾✷✕✾✶✷✱ ✷✵✵✻✳ P❛tr✐③✐♦ ◆❡✛ ❛♥❞ ❑r③②s③t♦❢ ❈❤❡➟♠✐➠s❦✐✳ ■♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ ❡❧❛st✐❝✲♣❧❛st✐❝ ❈♦ss❡r❛t ♠✐❝r♦♣♦❧❛r t❤❡♦r②✳ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧ ❡①✐st❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ r❛t❡✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝❛s❡✳ Pr♦❝✳ ❘✳ ❙♦❝✳ ❊❞✐♥❜✳✱ ❙❡❝t✳ ❆✱ ▼❛t❤✳✱ ✶✸✺✭✺✮✿✶✵✶✼✕✶✵✸✾✱ ✷✵✵✺✳

❆♣♣❡♥❞✐① ▲✐t❡r❛t✉r❡

❘✳ P✐❝❛r❞ ❛♥❞ ❉✳ ▼❝●❤❡❡✳ P❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❆ ✉♥✐✜❡❞ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❇❡r❧✐♥✿ ❞❡ ●r✉②t❡r✱ ✷✵✶✶✳

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