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SLIDE 1

❋❧✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ✢❡①✐❜❧❡ s♣❧✐tt❡r ♣❧❛t❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ P❤❉ st✉❞❡♥t ❛t ❖◆❊❘❆ ✭▼❡✉❞♦♥✱ ❋r❛♥❝❡✮

❊✉r♦♣❡❡❛♥ ❘❡s❡❛r❝❤ ●r❛♥t ✭❊❘❈✮ ❢✉♥❞✐♥❣ ❆❞✈✐s♦r ✿ ❖❧✐✈✐❡r ▼❆❘◗❯❊❚ ✭❖◆❊❘❆✮

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❋❧✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ✜❡❧❞s✳✳✳

❈✐✈✐❧ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❖✛s❤♦r❡ ✐♥❞✉str② ❲✐♥❞ ❡♥❡r❣② ❆❡r♦s♣❛❝❡ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣

✳✳✳t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✈✐❜r❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞s ❞✉❡ t♦ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐s ♦❢t❡♥ ❝r✉❝✐❛❧✳

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚♦ ✜♥❞ ✈✐❜r❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞s✱ ❛ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s s✉✣❝✐❡♥t ✿ ❲✐t❤ r❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧s ✭❉♦✇❡❧❧✱ ❈❧❛r❦ ❡t ❈♦① ✷✵✵✹ ❀ ❊❧♦② ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✽✮ ❖♥❧② ❢❡✇ st✉❞✐❡s ✇✐t❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ✰ ❡❧❛st✐❝✐t② ✿

◮ ✓ tr❛♥s♣✐r❛t✐♦♥ ✔ ✭❋❡r♥á♥❞❡③ ❡t ▲❡ ❚❛❧❧❡❝ ✷✵✵✸✮ ◮ ✓ ❢✉❧❧ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ✔ ✭P❡❞r❛❣❧✐♦ ✷✵✶✺✮ ❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✷ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❈♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✭▲❡❡ ❡t ❨♦✉ ✷✵✶✸✮ ✿

  • U∞

D L P❧❛t❡ ❧❡♥❣t❤ L/D = ✷✱ t❤✐❝❦♥❡ss E/D = ✵.✵✻ ❉❡♥s✐t② r❛t✐♦ ρs♦❧✐❞/ρ✢✉✐❞ = ✽✹.✼ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r R❡ = U∞D/ν = ✶✵✵ ❱❛r②✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r ✿ ♣❧❛t❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss ✭r✐❣✐❞✐t②✮ K❇ ▼♦❞❡❧ ✿ ✐♥❝♦♠♣r❡ss✐❜❧❡ ✢♦✇ ✰ ❡❧❛st✐❝✐t② ✭❙❛✐♥t✲❱❡♥❛♥t ❑✐r❝❤❤♦✛✮

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✸ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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❖✉t❧✐♥❡

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❆♥ ✉♥st❡❛❞② s✐♠✉❧❛t✐♦♥

❈♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ♦❢ ▲❡❡ ✫ ❨♦✉✱ K❇ = ✵.✵✷ ✿

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✹ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

−✷ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✶✷ ✶✹ −✷ ✵ ✷

✈❡❧♦❝✐t② ♠❛❣♥✐t✉❞❡

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◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❯♥st❡❛❞② s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ❡✛❡❝t ♦❢ K❇

❘❡s✉❧ts ❢r♦♠ ▲❡❡ ❡t ❨♦✉ ✷✵✶✸ ✭❉◆❙✮ ✿ ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✇❛❦❡ ✫ s②♠♠❡tr✐❝ str✉❝t✉r❡ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥s ❢♦r ❛❧❧ ❝❛s❡s✱ ❛♥❞

✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵ ✵.✵ ✵.✷ ✵.✹

P❧❛t❡ ♠❛①✳ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✈s K❇

❚❤r❡s❤♦❧❞ ❛t K❇ ∼ ✵.✵✺✳ K❇ < ✵.✵✺ ✿ ❤✐❣❤ str✉❝t✉r❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡ K❇ > ✵.✵✺ ✿ s♠❛❧❧ str✉❝t✉r❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✺ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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❖✉t❧✐♥❡

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✴❊✉❧❡r✐❛♥

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✴❊✉❧❡r✐❛♥

❱❡❧♦❝✐t② ✉✱ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ξ✱ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❞♦♠❛✐♥ Ω✱ ♠♦✈✐♥❣ ❞♦♠❛✐♥ Ω(t) ❚❤❡ ❣♦✈❡r♥✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❛♠❡ s♣❛❝❡ ✿ B❋ ∂✉ ∂t − R❋(✉, p) = ✵ ① ∈ Ω❢(t) ❋❧✉✐❞ ✲ ❊✉❧❡r✐❛♥ ∂✷ξ ∂t✷ − R❙(ξ) = ✵ ❳ ∈ Ωs ❙♦❧✐❞ ✲ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ R■(✉, p)(①) + R■(ξ)(❳) = ✵ ■♥t❡r❢❛❝❡ ✲ ❇♦t❤ ✦ ❍♦✇ t♦ ❝♦♣❡ ✇✐t❤ ♠♦✈✐♥❣ ❞♦♠❛✐♥s ❄

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✻ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

ξ ✉ Ωs Ω❢

t

Ωs

t

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▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✴❊✉❧❡r✐❛♥

❆r❜✐tr❛r② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❊✉❧❡r✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✭❉♦♥❡❛ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✹✮

❱❡❧♦❝✐t② ✉✱ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ξ✱ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❞♦♠❛✐♥ Ω✱ ♠♦✈✐♥❣ ❞♦♠❛✐♥ Ωt ■❞❡❛ ✿ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❡①t❡♥s✐♦♥ ♠❛♣ E ✐♥ t❤❡ ✢✉✐❞ r❡❣✐♦♥ → ❞❡♣❡♥❞❛♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ✜①❡❞ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❳ ① = ❳ + ξ(❳, t) ■♥ t❤❡ s♦❧✐❞ ✭❡❧❛st✐❝✐t②✮ ① = E(❳, t) ■♥ t❤❡ ✢✉✐❞ ✭❡①t❡♥s✐♦♥✮ ❊①t❡♥s✐♦♥ ✭✢✉✐❞ ♠❡s❤✮ ❡q✉❛t✐♦♥ ✿ −R❊(ξ|Ω❢ , ξ|Ωs)(❳) = ✵ ✐♥ Ω❢

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✼ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

ξ ✉ Ω❢ Ωs

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▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✴❊✉❧❡r✐❛♥

❈♦✉♣❧❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❞♦♠❛✐♥

❙②st❡♠ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ✜①❡❞ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✿ ˜ B❋ ∂✉ ∂t − ˜ R❋(✉, p, ξ) = ✵ Ω❢ ✭❋❧✉✐❞✮ − R❊(ξ) = ✵ Ω❢ ✭❊①t❡♥s✐♦♥✮ ∂✷ξ ∂t✷ − R❙(ξ) = ✵ Ωs ✭❙♦❧✐❞✮ − ˜ R■(✉, p, ξ) = ✵ Ωs ∩ Ω❢ ✭■♥t❡r❢❛❝❡✮ ▼♦r❡ ❝♦♠♣❛❝t ✇❛② ✇✐t❤ q(①, t) = [✉, p, ξ|Ω❢ , ξ|Ωs , ∂t ξ|Ωs] B∂q ∂t − R(q) = ✵ Ω = Ω❢ ∪ Ωs ❍❡r❡ Ω ✭r❡❢✳ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✮ ✐s t❤❡ r✐❣✐❞ s♦❧✐❞ ✰ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✢✉✐❞ ❞♦♠❛✐♥

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✽ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 12

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❇❛s❡ st❛t❡

❇❛s❡ st❛t❡ ✭K❇ = ✵.✵✹✹✮

❇❛s❡ st❛t❡ qb(①) ✿ R(qb) = ✵ ✰ s②♠♠❡tr②✴①✲❛①✐s✳

−✶ ✵ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ −✶ ✵ ✶

✉ ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♠♣♦♥❡♥t

−✽ · ✶✵−✷ ✵ ✵.✺ ✶ ✶.✶✽

✵.✺ ✶ ✶.✺ ✷ ✷.✺

s♦❧✐❞ ❛①✐❛❧ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✿ s♠❛❧❧ ❝♦♠♣r❡ss✐♦♥

−✶ ✵ ·✶✵−✺ ❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✾ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 13

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

❙t❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠

■♥ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ → ❞♦♠❛✐♥ ♠♦t✐♦♥ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ♦♣❡r❛t♦rs → str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥✳ ▲♦♦❦✐♥❣ ❢♦r ♥♦r♠❛❧ ♠♦❞❡s ˆ q(①) ❡①♣(λ + ✐ω)t ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✿ ∂R ∂q

  • qb

ˆ q = (λ + ✐ω)Bˆ q ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ ❋r❡❡❋❡♠✰✰ ✇✐t❤ ❛♥ ❡①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥✳

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✵ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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❖✉t❧✐♥❡

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ♣r♦❜❧❡♠

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹ ❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ r✐❣✐❞✐t② ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✷

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹

K❇ = ✵.✵✹✹ ✕ s♣❡❝tr❛

❈❛s❡ ♦❢ ▲❡❡ ❡t ❨♦✉ ✷✵✶✸ ✭K❇ = ✵.✵✹✹✮ ✿

−✵.✶✺ −✵.✶✵ −✵.✵✺ ✵.✵✵ ✵.✵✺ ✵.✵ ✵.✺ ✵.✽ ✶.✵ ✶.✹ ✶.✺

λ ω ❚✇♦ ✉♥st❛❜❧❡ ♠♦❞❡s ✭ ✵✮ ❤❡r❡ ✿ ✓ ✇❛❦❡ ✔ ♠♦❞❡ ✿ ❧♦❝❛t❡❞ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ ❤②❞r♦✳ ✇❛❦❡ ♠♦❞❡ ✓ s♦❧✐❞ ✔ ♠♦❞❡ ✿ ❧♦❝❛t❡❞ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ s♦❧✐❞ ❢r❡❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♠♦❞❡

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✶ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 16

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹

K❇ = ✵.✵✹✹ ✕ s♣❡❝tr❛

❈❛s❡ ♦❢ ▲❡❡ ❡t ❨♦✉ ✷✵✶✸ ✭K❇ = ✵.✵✹✹✮ ✿

−✵.✶✺ −✵.✶✵ −✵.✵✺ ✵.✵✵ ✵.✵✺ ✵.✵ ✵.✺ ✵.✽ ✶.✵ ✶.✹ ✶.✺

✇❛❦❡ ♠♦❞❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡

λ ω

❉❡❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡s ✿ ✢✉✐❞ ❉❡❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡s ✿ s♦❧✐❞

❚✇♦ ✉♥st❛❜❧❡ ♠♦❞❡s ✭λ > ✵✮ ❤❡r❡ ✿ ✓ ✇❛❦❡ ✔ ♠♦❞❡ ✿ ❧♦❝❛t❡❞ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ ❤②❞r♦✳ ✇❛❦❡ ♠♦❞❡ ✓ s♦❧✐❞ ✔ ♠♦❞❡ ✿ ❧♦❝❛t❡❞ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ s♦❧✐❞ ❢r❡❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♠♦❞❡

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✶ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 17

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹

K❇ = ✵.✵✹✹ ✕ ✇❛❦❡ ♠♦❞❡

str✉❝t✉r❡s ❧♦❝❛t❡❞ ♠♦st❧② ✐♥ t❤❡ ✇❛❦❡ r❡❣✐♦♥ s❛♠❡ s❤❛♣❡ ❛s t❤❡ K❇ → ∞ ✭r✐❣✐❞ ♣❧❛t❡✮ ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ♠♦❞❡

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✷ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

−✷ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✶✷ ✶✹ −✷ ✵ ✷

✇❛❦❡ ♠♦❞❡ ♣r❡ss✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ω = ✵.✽✵

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❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹

K❇ = ✵.✵✹✹ ✕ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡

str✉❝t✉r❡s ✐♥ t❤❡ ✇❛❦❡ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ ♥❡❛r t❤❡ s♦❧✐❞ s❤❛♣❡ ♦❢ ❛ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛t❡ ❜❡♥❞✐♥❣ ♠♦❞❡ ✭t✇♦ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♥♦❞❡s✮

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✸ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

−✷ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✶✷ ✶✹ −✷ ✵ ✷

❙♦❧✐❞ ♠♦❞❡✱ ♣r❡ss✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ω = ✶.✸✼

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❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✹✹

K❇ = ✵.✵✹✹ ✕ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❉◆❙

▼♦❞❡ s❤❛♣❡ ✿ ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✇❛❦❡ ✭❉◆❙✮✱ ❛♥❞ ❋✐❣✉r❡ ✿ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ ♣❧❛t❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❢r♦♠ ▲❡❡ ❡t ❨♦✉ ✷✵✶✸ ✕ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛t❡ ❜❡♥❞✐♥❣ ♠♦❞❡ ❋r❡q✉❡♥❝② ✿ ω ❉◆❙ ✶✳✶✸ ❙♦❧✐❞ ♠♦❞❡ ✶✳✸✼ ❲❛❦❡ ♠♦❞❡ ✵✳✼✾ ⇒ ◆♦♥✲❧✐♥❡❛r❧②✱ t❤❡ t✇♦ ♠♦❞❡s ❛r❡ ♣r❡s❡♥t

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✹ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 20

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ r✐❣✐❞✐t②

❊✛❡❝t ♦❢ K❇ ✕ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ ✉♥st❛❜❧❡ ♠♦❞❡s

✵.✵✷ ✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵ ✵.✵✵ ✵.✵✷ ✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵

Pr❡✈✐♦✉s ❝❛s❡

K❇ λ

✇❛❦❡ ♠♦❞❡s s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s st❛t✐♦♥❛r② ♠♦❞❡s

❚❤❡ ✇❛❦❡ ♠♦❞❡ ✐s ❛❧✇❛②s ✉♥st❛❜❧❡ ❚❤❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡ ✐s ✉♥st❛❜❧❡ ❢♦r K❇ ∈ [✵.✵✶✺, ✵.✵✹✼] ❆ st❛t✐♦♥❛r② ♠♦❞❡ ✭ω = ✵✮ ❛♣♣❡❛rs ❢♦r K❇ < ✵.✵✹

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✺ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 21

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ r✐❣✐❞✐t②

❊✛❡❝t ♦❢ K❇ ✕ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❉◆❙

❆❧✇❛②s ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❉◆❙✱ ❛♥❞

✵.✵✺ ✵.✵✵ ✵.✵✷ ✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵

K❇ λ

✵.✵✵ ✵.✷✵ ✵.✹✵

P❧❛t❡ t✐♣ ❞✐s♣✳ ✭❉◆❙✮ K❇ < ✵.✵✺ ✿ s♦❧✐❞ ✰ ✢✉✐❞ ♠♦❞❡ → ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ✰ str✉❝t✉r❡ ❞✐s♣✳ K❇ > ✵.✵✺ ✿ ✢✉✐❞ ♠♦❞❡ ♦♥❧② → ✈♦rt❡① s❤❡❞❞✐♥❣ ♦♥❧② ⇒ ●♦♦❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ ❜✐❢✉r❝❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✕ ♦t❤❡r t❤✐♥❣s ❛r❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ✦

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✻ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 22

❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✷

K❇ = ✵.✵✷ ✕ st❛t✐♦♥❛r② ♠♦❞❡

✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✶✷ −✷ ✵ ✷

♣r❡ss✉r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✭r❡❛❧ ♣❛rt✮✱ ω = ✵ ♥♦ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✿ ω = ✵ s❤❛♣❡ ♦❢ ❛ ✜rst ♣❧❛t❡ ❜❡♥❞✐♥❣ ♠♦❞❡ ✭♦♥❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♥♦❞❡✮

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✼ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❈❛s❡ K❇ = ✵.✵✷

K❇ = ✵.✵✷ ✕ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❉◆❙

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧❛t✐♦♥✱ K❇ = ✵.✵✷ ✿

✵.✵✷✵.✵✹✵.✵✻✵.✵✽✵.✶✵ ✵.✵✵ ✵.✵✷ ✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵ ✸ ✉♥st❛❜❧❡ ♠♦❞❡s

K❇ λ ⇒ ❆ t❤r❡❡ ♠♦❞❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r❧②

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✽ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

−✷ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✶✷ ✶✹ −✷ ✵ ✷

✈❡❧♦❝✐t② ♠❛❣♥✐t✉❞❡✱ K❇ = ✵.✵✷

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SLIDE 24

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✫ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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SLIDE 25

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ✕ ◗✉❡st✐♦♥s

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SLIDE 26

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❉♦♥❡❛✱ ❏✳ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✹✮✳ ✓ ❆r❜✐tr❛r② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✲❊✉❧❡r✐❛♥ ▼❡t❤♦❞s ✔✳ ■♥ ✿ ❊♥❝②❝❧♦♣❡❞✐❛ ♦❢ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ▼❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❞♦✐ ✿ ✶✵✳✶✵✵✷✴✵✹✼✵✵✾✶✸✺✺✳❡❝♠✵✵✾✳ ✉r❧ ✿ ❤tt♣✿✴✴❞①✳❞♦✐✳♦r❣✴✶✵✳✶✵✵✷✴✵✹✼✵✵✾✶✸✺✺✳❡❝♠✵✵✾✳ ❉♦✇❡❧❧✱ ❊❛r❧ ❍✱ ❘♦❜❡rt ❈❧❛r❦✱ ❉❛✈✐❞ ❈♦① ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✹✮✳ ❆ ♠♦❞❡r♥ ❝♦✉rs❡ ✐♥ ❛❡r♦❡❧❛st✐❝✐t②✳ ❚✳ ✸✳ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❊❧♦②✱ ❈❤r✐st♦♣❤❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✽✮✳ ✓ ❆❡r♦❡❧❛st✐❝ ✐♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❝❛♥t✐❧❡✈❡r❡❞ ✢❡①✐❜❧❡ ♣❧❛t❡s ✐♥ ✉♥✐❢♦r♠ ✢♦✇ ✔✳ ■♥ ✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋❧✉✐❞ ▼❡❝❤❛♥✐❝s ✻✶✶✱ ♣✳ ✾✼✕✶✵✻✳ ❋❡r♥á♥❞❡③✱ ▼✳ ➪✳ ❡t P✳ ▲❡ ❚❛❧❧❡❝ ✭✷✵✵✸✮✳ ✓ ▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ ✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ tr❛♥s♣✐r❛t✐♦♥✳ P❛rt ■ ✿ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ✔✳ ■♥ ✿ ❈♦♠♣✉t❡r ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ❛♣♣❧✐❡❞ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❛♥❞ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ✶✾✷✱ ♣✳ ✹✽✵✺✕✹✽✸✺✳ ▲❡❡✱ ❏✐♥♠♦ ❡t ❉♦♥❣❤②✉♥ ❨♦✉ ✭✷✵✶✸✮✳ ✓ ❙t✉❞② ♦❢ ✈♦rt❡①✲s❤❡❞❞✐♥❣✲✐♥❞✉❝❡❞ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ✢❡①✐❜❧❡ s♣❧✐tt❡r ♣❧❛t❡ ❜❡❤✐♥❞ ❛ ❝②❧✐♥❞❡r ✔✳ ■♥ ✿ P❤②s✐❝s ♦❢ ❋❧✉✐❞s ✷✺✱ ♣✳ ✶✶✵✽✶✶✳ P❡❞r❛❣❧✐♦✱ ❙t❡❢❛♥♦ ✭✷✵✶✺✮✳ ✓ ▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ ❋❙■ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❧❛r❣❡ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥ts ✔✳ ■♥ ✿

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SLIDE 27

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ♣❛r❛♠❡t❡rs

P❛r❛♠❡t❡rs R❡ = DU∞ ν , K❇ = EH✸ ✶✷ρf U✷

∞L✸ ,

Mρ = ρs/ρf ■♥ t❤✐s st✉❞② ✿ H/L ∼ ✶% R❡ ∼ ✶✵✵ K❇ ∼ ✶✵−✸ − ✶ Mρ ∼ ✶✵✵ − ✶ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ r❡❛❧ ✇♦r❧❞ ✭❡✳❣✳ ✐♥ ❛ ✇❛t❡r ❝❤❛♥❡❧✮ ✿ D ∼ ✶ ♠♠✱ U∞ ∼ ✵.✶ ♠/s✱ E ∼ ✵.✶ − ✶✵✵ ▼P❛ ✭r✉❜❜❡r✮ ❚♦ st❛② ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ R❡ ❛♥❞ K❇ r❛♥❣❡s ✇✐t❤ ❛ ❧❡ss r✐❞✐❝✉❧♦✉s s✐③❡ → ♣❧❛② ✇✐t❤ ♣❧❛t❡ t❤✐❝❦♥❡ss

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✽ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 28

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❆❜♦✉t t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝s

❈♦♠♠♦♥ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✿ ❋✐♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts P✷ ❢♦r ✈❡❧♦❝✐t②✴❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t✱ P✶ ❢♦r t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❉♦♠❛✐♥ x/D ∈ [−✷✵, ✺✵]✱ y/D ∈ [−✷✵, ✷✵] ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ♠❡s❤ ✇✐t❤ ∼ ✷✵ ✵✵✵ ❡❧❡♠❡♥ts → ✶✵✵ ✵✵✵ ❞✳♦✳❢✳ ✐♥ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ▼❡t❤♦❞✲s♣❡❝✐✜❝ ✿ ❉◆❙ ✿ ❋❙■✴❆▲❊ ♠♦❞✉❧❡ ♦❢ ❈♦♠s♦❧ ▼✉❧t✐♣❤②s✐❝s✱ ✷♥❞ ♦r❞❡r ✐♥ t✐♠❡ ❇❛s❡✢♦✇ ✿ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐♥ ❋r❡❡❋❡♠✰✰ ✇✐t❤ ❡①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❙t❛❜✐❧✐t② ✿ ❆❘P❆❈❑ ✫ s❤✐❢t✴✐♥✈❡rt ✐♥ ❋r❡❡❋❡♠✰✰ ✇✐t❤ ❡①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✾ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 29

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❊✛❡❝t ♦❢ K❇✱ ✉♥st❛❜❧❡ ♠♦❞❡s ❢r❡q✉❡♥❝②

✵.✵✷ ✵.✵✹ ✵.✵✻ ✵.✵✽ ✵.✶✵ ✵.✻✵ ✵.✽✵ ✶.✵✵ ✶.✷✵ ✶.✹✵

Pr❡✈✐♦✉s ❝❛s❡

K❇ ω

✷♥❞ s♦❧✐❞ ❢r❡❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ❢r❡q✳ ✇❛❦❡ ♠♦❞❡s s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s

s♦❧✐❞ ♠♦❞❡ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❝❧♦s❡ t♦ ❜❡❛♠ ♠♦❞❛❧ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ✇❛❦❡ ♠♦❞❡ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❛❧♠♦st ❝♦♥st❛♥t

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✾ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺

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SLIDE 30

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❊✛❡❝t ♦❢ K❇✱ ❢r❡q✉❡♥❝②✱ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤

✵.✵✺ ✵.✽✵ ✶.✵✵ ✶.✷✵ ✶.✹✵

K❇ ω

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❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✭❖◆❊❘❆✮ ✶✾ ✴ ✶✾ ❊❋▼❈ ❙❡✈✐❧❧❛✱ ✷✵✶✻ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✺