st t t r t - - PowerPoint PPT Presentation
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❞♦❡s ✧❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✧ ♠❡❛♥s❄ Y = 〈β,X〉R +ε = βX +ε, ❙❈❆▲❆❘ ▼❯▲❚■❱❆❘■❆❚❊ ❋❯◆❈❚■❖◆❆▲
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
▲❡✐t♠♦t✐❢✿ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t t❡st
❞♦❡s ✧❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✧ ♠❡❛♥s❄ Y = 〈β,X〉R +ε = βX +ε, ❙❈❆▲❆❘ Y = 〈β,X〉Rd +ε = β
TX +ε,
▼❯▲❚■❱❆❘■❆❚❊ ❋❯◆❈❚■❖◆❆▲
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
▲❡✐t♠♦t✐❢✿ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t t❡st
❞♦❡s ✧❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥✧ ♠❡❛♥s❄ Y = 〈β,X〉R +ε = βX +ε, ❙❈❆▲❆❘ Y = 〈β,X〉Rd +ε = β
TX +ε,
▼❯▲❚■❱❆❘■❆❚❊ Y = 〈β,X 〉H +ε =
❋❯◆❈❚■❖◆❆▲
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈♦♥t❡①t✿ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ s❝❛❧❛r r❡s♣♦♥s❡ ✭❋▲▼❙❘✮ ❨ = ♠β(X )+ε =
X (s)β(s)ds +ε,
Y ,ε ∈ R, X , β ∈ H.
❈❛r❞♦t ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✾✮ ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡ ❋P❈ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ✭❋P❈❘✮✳ Pr❡❞❛ ❛♥❞ ❙❛♣♦rt❛ ✭✷✵✵✺✮ ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ P❛rt✐❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ✭❋P▲❙❘✮✳ ❬❇❡rr❡♥❞❡r♦ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✽❪ r❡♣❧❛❝❡❞ ❡♥t✐r❡ ♣❛t❤s ❜② r❡❧❡✈❛♥t ✐♥st❛♥ts✳ ❬❋❡❜r❡r♦✲❇❛♥❞❡ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✶✽❪ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❛ ❋▲▼❙❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✇❤❡♥ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ r❡s♣♦♥s❡s ❛r❡ ♠✐ss✐♥❣ ❛t r❛♥❞♦♠✳
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡s♣♦♥s❡ ✭❋▲▼❋❘✮
Y (t) = ♠β(X )+E(t), Y ,E ∈ H✷, X ∈ H✶, β ❜✐✈❛r✐❛t❡ ❦❡r♥❡❧
♠β(X ) =
❘❛♠s❛② ❛♥❞ ❙✐❧✈❡r♠❛♥ ✭✷✵✵✺✮ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛♥ ❖▲❙ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❈r❛♠❜❡s ❛♥❞ ▼❛s ✭✷✵✶✸✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❑❛r❤✉♥❡♥✕▲♦❡✈❡ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ✇❛s ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ❍❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✳
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❥❡❝t❡❞ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳
♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❛♥ ✉♥✐q✉❡❧② r❛♥❞♦♠❧② ♣r♦❥❡❝t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦✈❛r✐❛t❡✱ ♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❛ ❧❡ss ♣♦✇❡r❢✉❧ ❜✉t ♠♦r❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t t❡st✳
✐♥❣ ❛t r❛♥❞♦♠✱ ❤❛✈❡ r❡❝❡♥t❧② ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② P✳ ●❛❧❡❛♥♦✱ ▼✳ ❋❡❜r❡r♦✲ ❇❛♥❞❡✱ ❲✳ ●♦♥③á❧❡③✲▼❛♥t❡✐❣❛ ❛♥❞ ❊✳ ●❛r❝í❛ P♦rt✉❣✉és ✭t♦ ❛♣♣❡❛r✮✳
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✇❡ ✇❛♥t t♦ ❛ss❡s ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳✳✳
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Y ✱ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❛ss❡s
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▼❛✐♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s
❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✭❧✐♥❡❛r✐t②✮ H✵ : E[Y |X ] ∈ M =
b
a
X (s)β(s,t)ds,
✐♥❣ ❛ ❧✐♥❡❛r❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❧❡❛st sq✉❛r❡s ❡st✐♠❛t♦r ❞r✐✈❡♥ ❜② ▲❆❙❙❖✳
t❡st ♣r♦♣♦s❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡s♣♦♥s❡s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss♦rs✳
❞✐✛❡r❡♥t ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✿ ♥♦ ❡✛❡❝ts✱ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❋▲▼❋❘✳
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
▼❛✐♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s
❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✭❧✐♥❡❛r✐t②✮ H✵ : E[Y |X ] ∈ M =
b
a
X (s)β(s,t)ds,
✐♥❣ ❛ ❧✐♥❡❛r❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❧❡❛st sq✉❛r❡s ❡st✐♠❛t♦r ❞r✐✈❡♥ ❜② ▲❆❙❙❖✳
t❡st ♣r♦♣♦s❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡s♣♦♥s❡s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss♦rs✳
❞✐✛❡r❡♥t ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✿ ♥♦ ❡✛❡❝ts✱ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❋▲▼❋❘✳
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
▼❛✐♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s
❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✭❧✐♥❡❛r✐t②✮ H✵ : E[Y |X ] ∈ M =
b
a
X (s)β(s,t)ds,
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❞✐✛❡r❡♥t ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✿ ♥♦ ❡✛❡❝ts✱ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❋▲▼❋❘✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
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▼❛✐♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s
❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✭❧✐♥❡❛r✐t②✮ H✵ : E[Y |X ] ∈ M =
b
a
X (s)β(s,t)ds,
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t❡st ♣r♦♣♦s❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡s♣♦♥s❡s✱ ❡✐t❤❡r s❝❛❧❛r ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss♦rs✳
❞✐✛❡r❡♥t ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✿ ♥♦ ❡✛❡❝ts✱ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❋▲▼❋❘✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s
✐♥ H✶ = L✷([a,b]) ❛♥❞ H✷ = L✷([c,d])✳ ❙❡❡ ❇❡♥❛t✐❛ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✼✮ ❛❜♦✉t ❋▲▼❋❘ ✐♥ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s✳
Y = m(X )+E, E[E |X ] = ✵,
m(X ) = E[Y |X ] =
b
a
K (s,t,X (s))ds
♠β(X ) =
❜
❛
β(s,t)X (s)❞s, d
c
b
a
β✷(s,t)dsdt < ∞
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❖♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s✿ ✇❛✈❡❧❡ts✱ ❋♦✉r✐❡r ❜❛s❡s✱ ❇✕s♣❧✐♥❡s✱ ❡t❝ ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ♠♦st ❡✛❡❝t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ s✉♠♠❛r✐③✐♥❣✿ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❈♦♠♣♦♥❡♥ts ✭❋P❈✮ ❜❛s❡s✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐✈❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ P❛rt✐❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❋P▲❙✮ ❜❛s❡s✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣ ✐s ♥♦t tr✐✈✐❛❧ ❛♥❞ ✐t r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❖♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s✿ ✇❛✈❡❧❡ts✱ ❋♦✉r✐❡r ❜❛s❡s✱ ❇✕s♣❧✐♥❡s✱ ❡t❝ ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ♠♦st ❡✛❡❝t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ s✉♠♠❛r✐③✐♥❣✿ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❈♦♠♣♦♥❡♥ts ✭❋P❈✮ ❜❛s❡s✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐✈❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ P❛rt✐❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❋P▲❙✮ ❜❛s❡s✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣ ✐s ♥♦t tr✐✈✐❛❧ ❛♥❞ ✐t r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥✳
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❖♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s✿ ✇❛✈❡❧❡ts✱ ❋♦✉r✐❡r ❜❛s❡s✱ ❇✕s♣❧✐♥❡s✱ ❡t❝ ❋✐①❡❞ ❜❛s❡s ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ♠♦st ❡✛❡❝t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ s✉♠♠❛r✐③✐♥❣✿ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❈♦♠♣♦♥❡♥ts ✭❋P❈✮ ❜❛s❡s✳ ▼❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐✈❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ P❛rt✐❛❧ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❋P▲❙✮ ❜❛s❡s✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣ ✐s ♥♦t tr✐✈✐❛❧ ❛♥❞ ✐t r❡♠❛✐♥s ♦♣❡♥✳
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❋▲▼❋❘ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s
∞
❥=✶
∞
❦=✶
Xi =
∞
xi,jΨj, xi,j = 〈Xi,Ψj〉H✶,
Yi =
∞
yi,kΦk, yi,k = 〈Yi,Φk〉H✷
X (p)
i
=
p
xi,jΨj,
Ψ = (〈Ψj, Ψl〉H✶)j,l=✶,...,p , Y (q)
i
=
q
yi,kΦk
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✵ ✴ ✺✺
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❋▲▼❋❘ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s
X (p)
i
=
p
xi,jΨj,
Ψ = (〈Ψj, Ψl〉H✶)j,l=✶,...,p , Y (q)
i
=
q
yi,kΦk
〈〈·,⋆〉〉: H✶ ×(H✶ ⊗H✷) − → H✷, 〈〈X ,β〉〉 = 〈X ,βt〉H✶, βt := β(·,t)
〈〈X (p),β(p,q)〉〉 = p
xjΨj,
p
q
blkΨl ⊗Φk
p
p
q
blkxj〈Ψj,Ψl〉H✶Φk
❨q = ❳pΨ❇p,q +❊q, ❨q = (yi,k)k=✶,...,q
i=✶,...,n ,
❳p = (xi,j)j=✶,...,p
i=✶,...,n
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❋▲▼❋❘ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s
X (p)
i
=
p
xi,jΨj,
Ψ = (〈Ψj, Ψl〉H✶)j,l=✶,...,p , Y (q)
i
=
q
yi,kΦk
〈〈·,⋆〉〉: H✶ ×(H✶ ⊗H✷) − → H✷, 〈〈X ,β〉〉 = 〈X ,βt〉H✶, βt := β(·,t)
〈〈X (p),β(p,q)〉〉 = p
xjΨj,
p
q
blkΨl ⊗Φk
p
p
q
blkxj〈Ψj,Ψl〉H✶Φk
❨q = ❳pΨ❇p,q +❊q, ❨q = (yi,k)k=✶,...,q
i=✶,...,n ,
❳p = (xi,j)j=✶,...,p
i=✶,...,n
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
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X (p)
i
=
p
xi,jΨj,
Ψ = (〈Ψj, Ψl〉H✶)j,l=✶,...,p , Y (q)
i
=
q
yi,kΦk
〈〈·,⋆〉〉: H✶ ×(H✶ ⊗H✷) − → H✷, 〈〈X ,β〉〉 = 〈X ,βt〉H✶, βt := β(·,t)
〈〈X (p),β(p,q)〉〉 = p
xjΨj,
p
q
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p
p
q
blkxj〈Ψj,Ψl〉H✶Φk
❨q = ❳pΨ❇p,q +❊q, ❨q = (yi,k)k=✶,...,q
i=✶,...,n ,
❳p = (xi,j)j=✶,...,p
i=✶,...,n
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
i=✶✱ ❘❛♠s❛② ❛♥❞ ❙✐❧✈❡r♠❛♥ ✭✶✾✾✼✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♥ ❡①✲
t❡♥❞❡❞ ❖r❞✐♥❛r② ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❖▲❙ ♦r ❋P❈❘✮ ❡st✐♠❛t♦r
=
−✶(❳pΨ)T ❨q,
❇p,q = ❍❨q (❨q)i,k
=
yi,k, (❳p)i,j = xi,j, (❇p,q)j,k = bj,k, ❍ ❤❛t ♠❛tr✐①
❊①t❡♥❞✐♥❣ t❤❡ P❈❱ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✭s❡❡ Pr❡❞❛ ❛♥❞ ❙❛♣♦rt❛ ✭✷✵✵✺✮✮ P❈❱ ✐♥ ❋▲▼❋❘ ❝♦♥t❡①t ②✐❡❧❞s t♦ ❛♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠✳ ❊①t❡♥❞✐♥❣ t❤❡ ●❈❱ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭s❡❡ ❈❛r❞♦t ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✸✮✮
✐♥ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✷ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
i=✶✱ ❘❛♠s❛② ❛♥❞ ❙✐❧✈❡r♠❛♥ ✭✶✾✾✼✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♥ ❡①✲
t❡♥❞❡❞ ❖r❞✐♥❛r② ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❖▲❙ ♦r ❋P❈❘✮ ❡st✐♠❛t♦r
=
−✶(❳pΨ)T ❨q,
❇p,q = ❍❨q (❨q)i,k
=
yi,k, (❳p)i,j = xi,j, (❇p,q)j,k = bj,k, ❍ ❤❛t ♠❛tr✐①
❊①t❡♥❞✐♥❣ t❤❡ P❈❱ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✭s❡❡ Pr❡❞❛ ❛♥❞ ❙❛♣♦rt❛ ✭✷✵✵✺✮✮ P❈❱ ✐♥ ❋▲▼❋❘ ❝♦♥t❡①t ②✐❡❧❞s t♦ ❛♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠✳ ❊①t❡♥❞✐♥❣ t❤❡ ●❈❱ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭s❡❡ ❈❛r❞♦t ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✸✮✮
✐♥ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✷ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
i=✶✱ ❘❛♠s❛② ❛♥❞ ❙✐❧✈❡r♠❛♥ ✭✶✾✾✼✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♥ ❡①✲
t❡♥❞❡❞ ❖r❞✐♥❛r② ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ✭❖▲❙ ♦r ❋P❈❘✮ ❡st✐♠❛t♦r
=
−✶(❳pΨ)T ❨q,
❇p,q = ❍❨q (❨q)i,k
=
yi,k, (❳p)i,j = xi,j, (❇p,q)j,k = bj,k, ❍ ❤❛t ♠❛tr✐①
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✐♥ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✷ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
=
−✶(❳pΨ)T ❨q,
❇p,q = ❍❨q ❍
=
❳pΨ
−✶(❳pΨ)T ,
❍ ❤❛t ♠❛tr✐①
✐♠✉♠ ✪ ♦❢ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ {X }i=✶,...,n ❛♥❞ {Y }i=✶,...,n✳ ❆♥ ❤❛t ♠❛tr✐① ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞✳ ▲❛r❣❡ ❛♥❞ ✭r❡s♣❡❝t t♦ ✮ ❧❡❛❞ t♦ ❛♥ ✐❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❙❡❧❡❝t✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❢♦r ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ✱ ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡② ❛r❡ t❤❡ ❜❡st ♦♥❡s ❢♦r ♣r❡❞✐❝t✐♥❣✿ ♥✉❧❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ❇ ♠❛② ❜❡ ❜❡✐♥❣ ❡st✐♠❛t❡❞ ✭♦✈❡r✜tt✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✸ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
=
−✶(❳pΨ)T ❨q,
❇p,q = ❍❨q ❍
=
❳pΨ
−✶(❳pΨ)T ,
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✐♠✉♠ ✪ ♦❢ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ {X }i=✶,...,n ❛♥❞ {Y }i=✶,...,n✳
▲❛r❣❡ ❛♥❞ ✭r❡s♣❡❝t t♦ ✮ ❧❡❛❞ t♦ ❛♥ ✐❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❙❡❧❡❝t✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❢♦r ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ✱ ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡② ❛r❡ t❤❡ ❜❡st ♦♥❡s ❢♦r ♣r❡❞✐❝t✐♥❣✿ ♥✉❧❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ❇ ♠❛② ❜❡ ❜❡✐♥❣ ❡st✐♠❛t❡❞ ✭♦✈❡r✜tt✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✮✳
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❳pΨ
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❍ ❤❛t ♠❛tr✐①
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p,q = argmin ❇p,q
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λ
p,q = argmin ❇p,q
✷
▲✶ ✭α = ✶✮ s❤r✐♥❦s t❤❡ ❧❡ss ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❡❛t✉r❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ③❡r♦✱ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❢❡❛t✉r❡ s❡❧❡❝t✐♦♥✿ p∗ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞✳ ❆♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❤❛t ♠❛tr✐① ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦r ▲✶ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❋P❈❘ ❛♥❞ ▲✷ ✭α = ✵✮ ❡st✐♠❛t♦rs ♣r♦✈✐❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❤❛t ♠❛tr✐❝❡s✳ ❊①♣❧❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡ t❤r❡s❤♦❧❞s ❛r❡ ❥✉st ✜①❡❞ ❢♦r s❡❧❡❝t✐♥❣ p ❛♥❞ q✿ ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ❛r✐s❡ ❢♦r ❜♦t❤ ❡st✐♠❛t♦rs✳
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p,q = argmin ❇p,q
✷
▲✶ ✭α = ✶✮ s❤r✐♥❦s t❤❡ ❧❡ss ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❡❛t✉r❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ③❡r♦✱ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❢❡❛t✉r❡ s❡❧❡❝t✐♦♥✿ p∗ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞✳ ❆♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❤❛t ♠❛tr✐① ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦r ▲✶ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❋P❈❘ ❛♥❞ ▲✷ ✭α = ✵✮ ❡st✐♠❛t♦rs ♣r♦✈✐❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❤❛t ♠❛tr✐❝❡s✳ ❊①♣❧❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡ t❤r❡s❤♦❧❞s ❛r❡ ❥✉st ✜①❡❞ ❢♦r s❡❧❡❝t✐♥❣ p ❛♥❞ q✿ ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ❛r✐s❡ ❢♦r ❜♦t❤ ❡st✐♠❛t♦rs✳
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♣r♦✈✐❞✐♥❣ ✉s t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞✳
♦♥❧② ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ r♦✇s ♦❢ ❇p,q✮ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts p∗ ♣r❡✈✐♦✉s❧② s❡❧❡❝t❡❞✿ ♦✈❡r✜tt✐♥❣ ✐s ❛✈♦✐❞❡❞✳
❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞✳
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♣r♦✈✐❞✐♥❣ ✉s t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞✳
♦♥❧② ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ r♦✇s ♦❢ ❇p,q✮ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts p∗ ♣r❡✈✐♦✉s❧② s❡❧❡❝t❡❞✿ ♦✈❡r✜tt✐♥❣ ✐s ❛✈♦✐❞❡❞✳
❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞✳
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♣r♦✈✐❞✐♥❣ ✉s t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞✳
♦♥❧② ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ r♦✇s ♦❢ ❇p,q✮ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts p∗ ♣r❡✈✐♦✉s❧② s❡❧❡❝t❡❞✿ ♦✈❡r✜tt✐♥❣ ✐s ❛✈♦✐❞❡❞✳
❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞✳
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
❨q = ❳pΨ❇p,q, s✳t✳ ❆❇p,q = ✵
⇒
❝ q = ❳pΨ
❇
❈ p,q = ❍❈❨q
❈ p,q =
−✶❆T ❉−✶❆
−✶❆T
❍❈ = ❳pΨ
−✶❆T ❉−✶❆
−✶(❳pΨ)T
✷✻ ✴ ✺✺
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❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
s♦ ❢❛r✱ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❤❛s ❜❡❡♥ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t✳
t✐♦♥❛❧ st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss❡s✱ ✇✐t❤ s❛♠♣❧❡ s✐③❡ n = ✸✺✵✱ ❜❡✐♥❣ [a,b] = [✵,✶] ❛♥❞ [c,d] = [✷,✸] t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✇❤❡r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ✈❛❧✉❡❞✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✼ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
j=✶ λjǫjΨj✱
ǫj ∼ N (✵,✶)✱ λj =
✶
π✷(j− ✶
✷)✷ , Ψj(s) =
j=✶j−✶.✷/✷UjΨj✱
Uj ∼ U (−
t✐♦♥❛❧ ❡rr♦r ✇❛s ❣✐✈❡♥ ❜② E(t) = ✺✵
j=✶j−✶.✶/✷ǫjΨj(t)✱ ✇✐t❤ ǫj ∼ N (✵,✶)✳
✵.✷ )✳
❝♦❡✣❝✐❡♥t γ✱ ✇❤❡r❡ ✐ts ✈❛r✐❛♥❝❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② σ✷
E = γ✷
✷θ = ✵.✶✺✵✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✽ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
❚❛❜❧❡ ✶✿ ❙✉♠♠❛r② ♦❢ s✐♠✉❧❛t❡❞ s❝❡♥❛r✐♦s✳
❙❝❡♥❛r✐♦ ❑❡r♥❡❧ β(s,t)
X (s) E(t)
❙✶ (s −a)✷ +(t −c)✷ ❈▼ ❇▼ ❙✷
βj,k = ✵, j,k = ✶,...,✽✱ ❛♥❞ βj,k = ✹(−✶)j+kj−✷.✺k−✸
■❑ ■❑ ❙✸ sin(✻πs)+cos(✻πt)
❖❯
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✷✾ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
❚❛❜❧❡ ✷✿ ❆✈❡r❛❣❡❞ L✷ ❡rr♦rs ✭✶✵✵ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✮ ❢♦r t❤❡ ❋P❈❘✱ ❋P❈❘✲▲✶✱ ❋P❈❘✲ ▲✷ ❛♥❞ ❋P❈❘✲▲✶✲❈ ❡st✐♠❛t♦rs✳
❙❈❊◆❆❘■❖❙ ❙✶ ❙✷ ❙✸ q − → ✸ ✶✵ ✸ ✶✵ ✸ ✶✵ ✈❛r✳ ❡①♣✳ ✾✾% > ✾✾% ✺✶% ✼✻% ✾✺% > ✾✾% ♣ = ✶✵ p∗ ✹ ✹ ✷ ✸ ✸ ✹ ✈❛r✳ ❡①♣✳ > ✾✾% ✻✵% ✾✵% ❋P❈❘ ✺.✺✻ ✺.✻✽ ✵.✺✹ ✵.✼✶ ✶.✵✸ ✶.✵✺ ❋P❈❘✲▲✶ ✵.✺✶ ✵.✺✵ ✵.✹✻ ✵.✹✽ ✵.✽✶ ✵.✽✷ ❋P❈❘✲▲✷ ✵✳✹✵ ✵✳✹✵ ✵.✸✽ ✵.✹✼ ✵.✼✹ ✵✳✼✹ ❋P❈❘✲▲✶✲❈ ✵.✺✶ ✵.✺✷ ✵✳✸✼ ✵✳✸✽ ✵✳✼✸ ✵✳✼✹ ♣ = ✻✵ p∗ ✹ ✹ ✽ ✽ ✼ ✺ ✈❛r✳ ❡①♣✳ > ✾✾% ✾✼% ✾✾% ❋P❈❘ ✺✺.✾✽ ✺✺.✾✶ ✸.✾✺ ✺.✸✹ ✶✽.✶✽ ✶✽.✻✵ ❋P❈❘✲▲✶ ✵.✺✶ ✵.✺✵ ✵.✹✻ ✵.✹✽ ✵.✽✶ ✵.✽✷ ❋P❈❘✲▲✷ ✵✳✹✵ ✵✳✹✵ ✵.✺✻ ✵.✺✼ ✵.✼✾ ✵.✽✵ ❋P❈❘✲▲✶✲❈ ✵.✺✸ ✵.✺✷ ✵✳✸✼ ✵✳✸✽ ✵✳✼✹ ✵✳✼✹
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✵ ✴ ✺✺
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤
❛♣♣r♦❛❝❤❡s ✐♥ t❤❡ s❝❡♥❛r✐♦s ✇✐t❤ ♠♦r❡ ✈❛r✐❛❜✐❧✐t② ✭s❝❡♥❛r✐♦s S✷ ❛♥❞ S✸✮✳ ❋P❈❘✲▲✷ s❡❡♠s t♦ ❜❡ t❤❡ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❡st✐♠❛t♦r ✐♥ S✶✳
q✉✐r❡❞ ❢♦r ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ ♠♦r❡ t❤❛♥ ✾✾% ✐♥ s❝❡♥❛r✐♦s S✶ ❛♥ S✷✮✱ ❛ ❝r✉❝✐❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✭p∗ = ✽ ❛s ♠❛①✐♠✉♠✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✶ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❖♠♥✐❜✉s t❡st
❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss♦rs ❛♥❞ r❡s♣♦♥s❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜② ❛ ❋▲▼❋❘✿ ❍✵ : ♠ = E[Y |X ] ∈ Mβ =
mβ(X ) = 〈〈X ,β〉〉
❍✶ :
P m ∈ Mβ
♥✉❧❧ ♦♣❡r❛t♦r✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛❧s♦ t❡st❡❞ ❥✉st r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ β ❜② ✐ts ❦♥♦✇♥ ✈❛❧✉❡✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✷ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
▼❛✐♥ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✿ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ❍✐❧❜❡rt✐❛♥ s♣❤❡r❡
❝♦✈❛r✐❛t❡ γ(p) ∈ Sp
H✶✱ ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ p✲s♣❤❡r❡✿
H✶
T
dγ(p) =
p
p gp
gp ❝♦♦r❞✳ ♦❢ γ(p)
❈❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s ❜② ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥ts ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿
✐✳
mβ(X ) = 〈〈X ,β〉〉✱ ∀X ∈ H✶✳
✐✐✳
E
✐✐✐✳
E
SH✶ = x ∈ H✶ : xH✶ = ✶ , γY ∈ SH✷ = x ∈ H✷ : xH✷ = ✶ ✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✸ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❲❡ ✇✐❧❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❍✵ ✭✐♥✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✮ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ✐ts ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ✐♥t♦ s✉✐t❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❘❡s✐❞✉❛❧ ▼❛r❦❡❞ ❡♠✲ ♣✐r✐❝❛❧ Pr♦❝❡ss ❜❛s❡❞ ♦♥ t✇♦✲s✐❞❡s Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✭❘▼P✷P✮✿
✶
✶
✷ ✶ ✶ ✷
▼❛r❦s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②
✷
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s✮ ❛♥❞
t❤❡ ❥✉♠♣s ❞r✐✈❡♥ ❜②
✶
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡❣r❡ss♦rs✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ✐♥t♦ s✉✐t❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❘❡s✐❞✉❛❧ ▼❛r❦❡❞ ❡♠✲ ♣✐r✐❝❛❧ Pr♦❝❡ss ❜❛s❡❞ ♦♥ t✇♦✲s✐❞❡s Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✭❘▼P✷P✮✿
✶
✶
✷ ✶ ✶ ✷
▼❛r❦s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②
✷
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s✮ ❛♥❞
t❤❡ ❥✉♠♣s ❞r✐✈❡♥ ❜②
✶
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡❣r❡ss♦rs✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✹ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ✐♥t♦ s✉✐t❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳
✭✷✵✵✻✮ ♣r♦♣♦s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤✐s ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ❜② ❛ ♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✐❞✉❛❧ ♠❛r❦❡❞ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡ss✿ Rn (u,β) = ✶
n
n
u ∈ R, β ∈ Sd ❚❤✐s ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❘❡s✐❞✉❛❧ ▼❛r❦❡❞ ❡♠✲ ♣✐r✐❝❛❧ Pr♦❝❡ss ❜❛s❡❞ ♦♥ t✇♦✲s✐❞❡s Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✭❘▼P✷P✮✿
✶
✶
✷ ✶ ✶ ✷
▼❛r❦s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②
✷
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s✮ ❛♥❞
t❤❡ ❥✉♠♣s ❞r✐✈❡♥ ❜②
✶
✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡❣r❡ss♦rs✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✹ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ✐♥t♦ s✉✐t❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳
♣✐r✐❝❛❧ Pr♦❝❡ss ❜❛s❡❞ ♦♥ t✇♦✲s✐❞❡s Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✭❘▼P✷P✮✿
Rn (u,γX ,γY ) = ✶
n
n
〈 Ei,γY 〉H✷I
〈X ,γX 〉H✶≤u ,
u ∈ R, γX ∈ SH✶, γY ∈ SH✷
Ei,γY 〉H✷}n
i=✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s✮ ❛♥❞
t❤❡ ❥✉♠♣s ❞r✐✈❡♥ ❜② {〈Xi,γX 〉H✶}n
i=✶ ✭♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡❣r❡ss♦rs✮✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✹ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
Rn,p,q
X ,γ(q) Y
n
n
〈 E (q)
i
,γ(q)
Y 〉H✷I
〈X (p)
i
,γ(p)
X 〉H✶≤u
, γ(p)
X
∈ Sp
H✶, γ(q)
Y
∈ Sq
H✷
i
❛♥❞ γ(p)
X
r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♣✲tr✉♥❝❛t❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥s✱ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ①i,p ❛♥❞ ❣p✿ 〈X (♣)
✐
,γ(♣)
❳ 〉H✶ = ①❚ ✐,♣❣♣✱ i = ✶,...,n✳
i
✱
E (q)
i
✱ γ(q)
Y
❛♥❞ ❣q✿
〈 E (q)
✐
,γ(q)
Y 〉H✷ =
❊
❚ ✐,q❣q✱ ❜❡✐♥❣
❊i,q t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢
E (q)
i
✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✺ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
Rn,p,q
X ,γ(q) Y
n
n
〈 E (q)
i
,γ(q)
Y 〉H✷I
〈X (p)
i
,γ(p)
X 〉H✶≤u
, γ(p)
X
∈ Sp
H✶, γ(q)
Y
∈ Sq
H✷
i
❛♥❞ γ(p)
X
r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♣✲tr✉♥❝❛t❡❞ ❡①♣❛♥s✐♦♥s✱ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ①i,p ❛♥❞ ❣p✿ 〈X (♣)
✐
,γ(♣)
❳ 〉H✶ = ①❚ ✐,♣❣♣✱ i = ✶,...,n✳
i
✱
E (q)
i
✱ γ(q)
Y
❛♥❞ ❣q✿
〈 E (q)
✐
,γ(q)
Y 〉H✷ =
❊
❚ ✐,q❣q✱ ❜❡✐♥❣
❊i,q t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢
E (q)
i
✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
t❤❡ Pr♦❥❡❝t❡❞ ❈r❛♠ér✲✈♦♥ ▼✐s❡s ♥♦r♠ ✐♥ Π(p,q) = Sq
H✷ ×Sp H✶ ×R✿
P❈✈▼n,p,q =
n−✶
n
T i,q❣qI ①T
i,p❣p≤u
Fn,γ(p)
X
(du)ωX (dγ(p)
X )ωY (dγ(q) Y )
✇❤❡r❡ Fn,γ(p)
X (du) ✐s t❤❡ ❡❝❞❢ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ❞❛t❛✱ ❜❡✐♥❣ ωX ❛♥❞
ωY ♠❡❛s✉r❡s ✐♥ t❤❡ ✜♥✐t❡ p− ❛♥❞ q− ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ s♣❤❡r❡s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✻ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
P❈✈▼n,p,q = ✶ n✷ ✷πp/✷+q/✷−✶ qΓ
p
✷
q
✷
Tr
T q ❆•
❊q
❊q =
i=✶,...,n
k=✶,...,q ❛r❡ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ r❡s✐❞✉❛❧s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❆•✳
✷
) ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛♥❞ ✐t ✐s ✜①❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ s❛♠♣❧❡✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② (❆•)✐,❝ =
♥
❆✐❝r✱ i,c = ✶,...,n✱
Aicr = A(∡)
icr
πp/✷−✶ Γ p
✷
,
A(∡)
icr =
✷π, ✐❢ i = c = r,
π,
✐❢ i = c, i = r ♦r c = r,
||①i,p−①r,p)||·||①c,p−①r,p||
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✼ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
P❈✈▼n,p,q = ✶ n✷ ✷πp/✷+q/✷−✶ qΓ
p
✷
q
✷
Tr
T q ❆•
❊q
❊q =
i=✶,...,n
k=✶,...,q ❛r❡ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ r❡s✐❞✉❛❧s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❆•✳
✷
) ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛♥❞ ✐t ✐s ✜①❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ s❛♠♣❧❡✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② (❆•)✐,❝ =
♥
❆✐❝r✱ i,c = ✶,...,n✱
Aicr = A(∡)
icr
πp/✷−✶ Γ p
✷
,
A(∡)
icr =
✷π, ✐❢ i = c = r,
π,
✐❢ i = c, i = r ♦r c = r,
||①i,p−①r,p)||·||①c,p−①r,p||
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❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❲✐❧❞ ❜♦♦tstr❛♣ r❡s❛♠♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡
P❈✈▼∗,b
n,p,q = ✶
n✷ ✷πp/✷+q/✷−✶ qΓ
p
✷
q
✷
Tr
∗,T
q
❆• ❊
∗
q
t❤❡ t❡st ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② P❈✈▼ P❈✈▼ ✳
∗ = ❨∗
q −
❨
∗
q = ❨∗ q −❍❈❨∗ q =
❨∗
q
❍❛t ♠❛tr✐① ❍❈ ♦❢ ♦✉r ❤②❜r✐❞ ❡st✐♠❛t♦r r❡♠❛✐♥s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ r❡♣❧✐❝❛t❡s✱ ✇✐t❤♦✉t ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✐t ❛❣❛✐♥ ❛♥❞ ❛❣❛✐♥✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✸✽ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
❲✐❧❞ ❜♦♦tstr❛♣ r❡s❛♠♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡
P❈✈▼∗,b
n,p,q = ✶
n✷ ✷πp/✷+q/✷−✶ qΓ
p
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q
✷
Tr
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q
❆• ❊
∗
q
t❤❡ t❡st ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② #{P❈✈▼n,p,q ≤ P❈✈▼∗,b
n,p,q}/B✳
∗ = ❨∗
q −
❨
∗
q = ❨∗ q −❍❈❨∗ q =
❨∗
q
t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ r❡♣❧✐❝❛t❡s✱ ✇✐t❤♦✉t ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✐t ❛❣❛✐♥ ❛♥❞ ❛❣❛✐♥✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
✶
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄ ❆♥t❡❝❡❞❡♥ts ❋❉❆ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞
✷
❆♥t❡❝❡❞❡♥ts
❋▲▼❋❘ ❡st✐♠❛t✐♦♥✿ ❛ ♥♦✈❡❧ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❈✈▼ st❛t✐st✐❝ t❡st
✸
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❘ ♣❛❝❦❛❣❡✿ ❣♦❢❢❞❛ ❆♥ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ✭❣♦❢❢❞❛ ♣❛❝❦❛❣❡✮ ✐s ❜❡✐♥❣ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞✿
❛♣♣r♦❛❝❤ ❢♦r ❢✉♥❝✲ t✐♦♥❛❧✴s❝❛❧❛r r❡s♣♦♥s❡ ❛♥❞ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥❛❧✴s❝❛❧❛r ♣r❡❞✐❝t♦r✳
❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣✲✐♥t❡♥s✐✈❡ ♣❛rts✳
❛♥❞ ❋P❈❘✲▲✶✲❈ ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞✳
t❤❡ t❡st ♦✉t♣✉ts✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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❘ ♣❛❝❦❛❣❡✿ ❣♦❢❢❞❛
❋✐❣✉r❡ ✶✿ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ●♦❋ t❡st ❢♦r ❋▲▼❋❘ ✉♥❞❡r ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❘ ♣❛❝❦❛❣❡✿ ❣♦❢❢❞❛
❋✐❣✉r❡ ✷✿ ●r❛♣❤✐❝❛❧ t♦♦❧s✳ ❖♥ ❧❡❢t✿ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜♦♦tstr❛♣ st❛t✐st✐❝s✳ ❖♥ r✐❣❤t✿ ❜❧❛❝❦ ❧✐♥❡ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t✐st✐❝s✱ ❣r❛② ❧✐♥❡s t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ st❛t✐st✐❝s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✹✷ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❘ ♣❛❝❦❛❣❡✿ ❣♦❢❢❞❛
❋✐❣✉r❡ ✸✿ ■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ●♦❋ t❡st ❢♦r ❋▲▼❋❘ ✉♥❞❡r ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❘ ♣❛❝❦❛❣❡✿ ❣♦❢❢❞❛
❋✐❣✉r❡ ✹✿ ●r❛♣❤✐❝❛❧ t♦♦❧s✳ ❖♥ ❧❡❢t✿ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜♦♦tstr❛♣ st❛t✐st✐❝s✳ ❖♥ r✐❣❤t✿ ❜❧❛❝❦ ❧✐♥❡ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ st❛t✐st✐❝s✱ ❣r❛② ❧✐♥❡s t❤❡ ❜♦♦tstr❛♣ st❛t✐st✐❝s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✹✹ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②✿ ♥✉❧❧ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s
❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✻✮ ❛r❡ ❝✉rr❡♥t❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❜✉t ♦♥❧② ❢♦r t❡st✐♥❣ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ♦❢ ♥♦ ❡✛❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❋▲▼❋❘ s❡t✉♣✳
❝r❡t✐③❡❞ ✐♥ ✼✶ ❡q✉✐s♣❛❝❡❞ ❣r✐❞ ♣♦✐♥ts✱ ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳
MC = ✻✵✵ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ r❡♣❧✐❝❛t❡s ❛r❡ ❛❞♦♣t❡❞
❋▲▼❋❘ ❛♥❞ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚✇♦ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ❢r♦♠ ❧✐♥❡❛r✐t② ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♦♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ s✐♥✉s♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✹✺ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②✿ ♥✉❧❧ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s
❚❛❜❧❡ ✸✿ ❙✉♠♠❛r② ♦❢ ♥✉❧❧ ❛♥❞ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❤②♣♦t❤❡s❡s✱ ❢♦r s❝❡♥❛r✐♦s S✶✱ S✷ ❛♥❞ S✸✳
◆❖❚❆❚■❖◆ ❉❊❙❈❘■P❚■❖◆ ▼❖❉❊▲ ❍✵ ◆♦ ❡✛❡❝ts
Y (t) = E(t)✱ ✇✐t❤ β✵ = ✵
❍✵,❋❘ ❋▲▼❋❘
Y (t) = 〈〈X ,β〉〉+E(t)
❍✵,❈ ❈♦♥❝✉rr❡♥t
Y (t) = β(t)X (a+(t −c))+E(t)
❍✶,◆▲.❙ ◆♦♥ ❧✐♥❡❛r✿ s✐♥
Y (t) = 〈〈X ,β〉〉+∆(X )(t)+E(t) ∆(X )(t) = (sin(✷πt)−cos(✷πt))X ✷
H✶
❍✶,◆▲.◗ ◆♦♥ ❧✐♥❡❛r✿ q✉❛❞r❛t✐❝
Y (t) = 〈〈X ,β〉〉+∆(X )(t)+E(t) ∆(X )(t) = X ✷
a+(t −c)∗ b−a
d−c
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✹✻ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②✿ ♥✉❧❧ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s
❚❛❜❧❡ ✹✿ ●♦❋ ♦♠♥✐❜✉s t❡st ✭❋P❈❘ ❡st✐♠❛t♦r✮✱ ❛t s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ ❧❡✈❡❧ α = ✵.✵✺✱ ❢♦r s❝❡♥❛r✐♦s S✶✱ S✷ ❛♥❞ S✸✳ Pr♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✐s r❡❥❡❝t❡❞✳ ❙❝❡♥❛r✐♦ ❙✶ ❙❝❡♥❛r✐♦ ❙✷ ❙❝❡♥❛r✐♦ ❙✸ ✺✵ ✷✺✵ ✺✵✵ ✺✵ ✷✺✵ ✺✵✵ ✺✵ ✷✺✵ ✺✵✵ ❍✵ ✵.✵✸✸ ✵.✵✹✽ ✵.✵✺✷ ✶.✵✵✵ ✵.✾✻✸ ✵.✶✾✼ ✵.✸✺✺ ✵.✶✺✷ ✵.✵✹✺ ❍✵,FR ✵.✵✺✵ ✵.✵✻✷ ✵.✵✹✽ ✶.✵✵✵ ✵.✾✺✵ ✵.✷✶✺ ✵.✸✷✺ ✵.✶✹✺ ✵.✵✺✶ ❍✵,C ✵.✸✷✽ ✵.✵✻✵ ✵.✵✹✽ ❍✶,NL.S ✵.✶✵✺ ✵.✽✷✽ ✶.✵✵✵ ✵.✾✵✺ ✶.✵✵✵ ✶.✵✵✵ ✵.✾✷✽ ✶.✵✵✵ ✶.✵✵✵ ❍✶,NL.Q ✵.✷✶✺ ✵.✽✻✼ ✶.✵✵✵ ✵.✾✶✵ ✶.✵✵✵ ✶.✵✵✵ ✵.✾✾✽ ✶.✵✵✵ ✶.✵✵✵
❏❛✈✐❡r ➪❧✈❛r❡③ ▲✐é❜❛♥❛
✹✼ ✴ ✺✺
❲❤❛t ❛❜♦✉t ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❉❛t❛❄
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❘❡❛❧✲❞❛t❛ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s
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100 200 300 5 10 20 30
Temperature: 1980−2009 (mean)
day ºC 100 200 300 2 4 6 8 10
Wind speed: 1980−2009 (mean)
day m/s 100 200 300 −6 −4 −2 2 4
log precipitation: 1980−2009 (mean)
day mm
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100 200 300 −30 −10 10
Temperature: 1960−1994 (mean)
days ºC 100 200 300 −1.0 0.0 1.0
Log Precipitation: 1960−1994 (mean)
days ºC
❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❉❛✐❧② t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ✭◦C✮ ❛✈❡r❛❣❡❞ ❢r♦♠ ✶✾✻✵ t♦ ✶✾✾✹ ❛♥❞ ❞❛✐❧② ♣r❡❝✐♣✐t❛✲
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H✷ = L✷([✵,✷✹])✱ ✇✐t❤ ✷✹ ❣r✐❞ ♣♦✐♥ts✳
−20 −10 10 20 30 40 50 5 10 15 20 25
Temperature: 2010−2014
Time = [Day−1, Current Day, Day+1] ºC 5 10 15 20 12 16 20 24
Electricity conssumption: 2010−2014
hours GW
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