st sttr s - - PowerPoint PPT Presentation

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q =      ✈❡❧♦❝✐t② ✭s♦❧✐❞✴✢✉✐❞✮ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✭s♦❧✐❞✴✢✉✐❞✮ ♣r❡ss✉r❡ ✭✢✉✐❞✮ B, R =          ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✢✉✐❞✮ ❊❧❛st✐❝✐t② ❡q✉❛t✐♦♥s ✭s♦❧✐❞✮ ❙tr❡ss✴✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✭✐♥t❡r❢❛❝❡✮ ❋❧✉✐❞ ♠❡s❤ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳ ❉♦♥❡❛✱ ❏✳ ❡t ❛❧✳ ❊♥❝✳ ❈♦♠♣✳ ▼❡❝❤✳✱ ✷✵✵✹

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❈❛s❡ R❡ = ✽✵✱ K❇ = ✵.✵✶✺ ✭s❛♠❡ ❛s ✐♥ t❤❡ ✈✐❞❡♦✮✳ ▲❡t ✉s s♦❧✈❡ ✼ R(qb) = ✵

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❈❛s❡ R❡ = ✽✵✱ K❇ = ✵.✵✶✺ ✭s❛♠❡ ❛s ✐♥ t❤❡ ✈✐❞❡♦✮✳ ▲❡t ✉s s♦❧✈❡ ✼ R(qb) = ✵

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✼✳ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥t s♦❢t✇❛r❡ ❋r❡❡❋❡♠✰✰ ✭✇✇✇✳❢r❡❡❢❡♠✳♦r❣✮

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◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ B∂q ∂t (①) − R(q)(①) = ✵ ① ∈ Ω✵

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▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ B∂q ∂t (①) − R(q)(①) = ✵ ① ∈ Ω✵ ▲♦♥❣✲t❡r♠ ❛s②♠♣t♦t✐❝ st❛❜✐❧✐t② q(①, t) = qb(①) + ε q′(①, t) ε ≪ ✶

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✼ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ▼❡t❤♦❞s

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ B∂q ∂t (①) − R(q)(①) = ✵ ① ∈ Ω✵ ▲♦♥❣✲t❡r♠ ❛s②♠♣t♦t✐❝ st❛❜✐❧✐t② q(①, t) = qb(①) + ε ˆ q(①) ❡①♣(σt) ε ≪ ✶

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✼ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ▼❡t❤♦❞s

▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠ B∂q ∂t (①) − R(q)(①) = ✵ ① ∈ Ω✵ ▲♦♥❣✲t❡r♠ ❛s②♠♣t♦t✐❝ st❛❜✐❧✐t② q(①, t) = qb(①) + ε ˆ q(①) ❡①♣(σt) ε ≪ ✶ ▲✐♥❡❛r st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ → ❧♦♦❦ ❢♦r ✉♥st❛❜❧❡s ♠♦❞❡s (❘❡(σ > ✵), ˆ q) σ B ˆ q − ∂R ∂q

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❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

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s ✿ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✫ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✈❡❧♦❝✐t②

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❙♣❡❝tr✉♠ ✭R❡ = ✽✵✱ K❇ = ✵.✵✶✺✮ ✿

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• r♦✇t❤ r❛t❡ ✿ ❘❡(σ)

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✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

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❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡

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❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡

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❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♦❧✐❞ s✉❜✲♣r♦❜❧❡♠ ♦♥❧② ✭❧✐♥❡❛r✱ ❛✉❣♠❡♥t❡❞✮ ✿ σ B✛ ✵ ✵ Ba

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❆♥ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ✿ s♦❧✐❞ ♠♦❞❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

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ss ˆ

qa,(j)

s

− Aa

ss ˆ

qa,(j)

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❆♥ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ✿ s♦❧✐❞ ♠♦❞❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♦❧✐❞ s✉❜✲♣r♦❜❧❡♠ ♦♥❧② ✭r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠✮ ✿ (✐ωs,j)✷Bss ˆ q(j)

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− Ass ˆ q(j)

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❆♥ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ✿ s♦❧✐❞ ♠♦❞❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♦❧✐❞ s✉❜✲♣r♦❜❧❡♠ ♦♥❧② ✭r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠✮ ✿ (✐ωs,j)✷Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ❋r❡❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♠♦❞❡s ˆ q(j)

s

✿ ˆ q(✶)

s

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✳✳✳ ˆ q(N)

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❆♥ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧ ✿ s♦❧✐❞ ♠♦❞❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♦❧✐❞ s✉❜✲♣r♦❜❧❡♠ ♦♥❧② ✭r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠✮ ✿ (✐ωs,j)✷Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ❋r❡❡ ✈✐❜r❛t✐♦♥ ♠♦❞❡s ˆ q(j)

s

✿ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

✳✳✳ ˆ q(N)

s

❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ → ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❜❛s✐s ✭❝♦❡✣❝✐❡♥ts yj✮ ˆ qs =

N

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yj ˆ q(j)

s

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

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✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✷✾✵ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✾✼% y✷/(y✶ + y✷) = ✸%

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✷✹✵ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✾✻% y✷/(y✶ + y✷) = ✹%

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✶✺✵ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✾✹% y✷/(y✶ + y✷) = ✻%

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✵✸✵ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✼✺% y✷/(y✶ + y✷) = ✷✺%

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✵✶✹ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✻✻% y✷/(y✶ + y✷) = ✸✹%

❲❤❡♥

❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡s✉❧ts

❊✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❜❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇ ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

y✶ y✷

❙t❡❛❞② ♠♦❞❡ s❤❛♣❡✱ R❡ = ✽✵ K❇ = ✵.✵✵✶✹ Pr♦❥❡❝t✐♦♥s ✿ y✶/(y✶ + y✷) = ✻✻% y✷/(y✶ + y✷) = ✸✹%

❲❤❡♥ K❇ ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s♦❧✐❞ t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦❞❡ ✐♥❝r❡❛s❡s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✷ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ B✛ ✵ ✵ σBss ˆ q❢ ˆ qs

• −

A✛ A❢s As❢ Ass ˆ q❢ ˆ qs

• = ✵

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ B✛ ˆ q❢ − A✛ ˆ q❢ − A❢s ˆ qs = ✵ σ✷ Bss ˆ qs − As❢ ˆ q❢ − Ass ˆ qs = ✵

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs = As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs (a)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a) ❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ✿ (✐ωs,j)✷ Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a) ❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ✿ (✐ωs,j)✷ Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ˆ qs =

• j

ˆ q(j)

s yj

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a) ❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ✿ (✐ωs,j)✷ Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s → ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ ✭❛✮

• ˆ

q(i)

s

· (σ✷ Bss − Ass) ˆ q(i)

s

• yi =
• j
• ˆ

q(i)

s

· As❢ (σB✛ − A✛)−✶A❢s ˆ q(j)

s

• yj

∀i

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a) ❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ✿ (✐ωs,j)✷ Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s → ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ ✭❛✮

• σ✷ + ω✷

s,j

• yi =
• j

ˆ q(i)

s

· As❢ (σB✛ − A✛)−✶A❢s ˆ q(j)

s

ˆ q(i)

s

· Bss ˆ q(i)

s

yj ∀i

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✿ σ✷ Bss ˆ qs − Ass ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ s♦❧✐❞ ❡q✉❛t✐♦♥

= As❢ (σ B✛ − A✛)−✶A❢s ˆ qs

• ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞

(a) ❋r❡❡ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡s ✿ (✐ωs,j)✷ Bss ˆ q(j)

s

− Ass ˆ q(j)

s

= ✵ ˆ q(✶)

s

ˆ q(✷)

s

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s → ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ ✭❛✮

• σ✷ + ω✷

s,j

• yi
• ♠♦❞❛❧ s♦❧✐❞ ❡q♥✳

=

• j

Kij(σ) yj

• ♠♦❞❛❧ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞s

∀i (a′)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✸ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,j

• yi =
• j

Kij(σ) yj i, j = ✶

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) ≃ K✶✶,✵ + K✶✶,✶ σ + K✶✶,✷ σ✷ + ...

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) = K✶✶,✵

≃✸.✼

+ K✶✶,✶

✶✵−✹

σ + K✶✶,✷

✶✵−✼

σ✷ + ...

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) ≃ K✶✶,✵ = ✸.✼✶

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) ≃ K✶✶,✵ = ✸.✼✶ ❚❤❡♥ ✐♥ (a′) ✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡ ❞✷Y✶ ❞t✷ +

• ω✷

s,✶ − K✶✶,✵

• Y✶ = ✵

| Y✶ = y✶eσt (a′′)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) ≃ K✶✶,✵ = ✸.✼✶ ❚❤❡♥ ✐♥ (a′) ✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡ ❞✷Y✶ ❞t✷ +

• ω✷

s,✶ − K✶✶,✵

• ❝❛♥ ❜❡ ❁ ✵ ✦

Y✶ = ✵ | Y✶ = y✶eσt (a′′)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❊①❛♠♣❧❡ ✿ ♦♥❡✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▼♦❞❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ✿

• σ✷ + ω✷

s,✶

• y✶ = K✶✶(σ) y✶

(a′) ❆s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r σ ≃ ✵✱ K✶✶(σ) ≃ K✶✶,✵ = ✸.✼✶ ❚❤❡♥ ✐♥ (a′) ✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡ ❞✷Y✶ ❞t✷ +

• ω✷

s,✶ − K✶✶,✵

• ❝❛♥ ❜❡ ❁ ✵ ✦

Y✶ = ✵ | Y✶ = y✶eσt (a′′) ❚❤❡ ✢✉✐❞ ❧♦❛❞ ✭❢❛❝t♦r K✶✶,✵✮ ❛❝ts ❛s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❛❞❞❡❞ st✐✛♥❡ss → ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥st❛❜✐❧✐t②✳

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✹ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡s✉❧ts

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✺ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡s✉❧ts

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

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s,✶ − K✶✶,✵ < ✵

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡s✉❧ts

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✵ ✷ ✹ ✻ ✽ ·✶✵−✷ ❇❡♥❞✐♥❣ st✐✛♥❡ss K❇

• r♦✇t❤ r❛t❡ ❘❡(σ)

❯♥st❛❜❧❡ r❡❣✐♦♥✱ r❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ♠♦❞❡ ✶ ❛♥❞ ♠♦❞❡ ✷

• ω✷

s,✶ − K✶✶,✵

ω✷

s,✷ − K✷✷,✵

• − K✶✷,✵ K✷✶,✵ < ✵

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✺ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡ ✐♥ (K❇, R❡) ♣❧❛♥❡

◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✺✵ ✶✵✵ ✶✺✵ ✷✵✵ ✷✺✵

✉♥st❛❜❧❡

❙t✐✛♥❡ss K❇ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r R❡

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✻ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

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◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡ ✐♥ (K❇, R❡) ♣❧❛♥❡

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✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✺✵ ✶✵✵ ✶✺✵ ✷✵✵ ✷✺✵

✉♥st❛❜❧❡

❙t✐✛♥❡ss K❇ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r R❡

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡ ✐♥ (K❇, R❡) ♣❧❛♥❡

◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡ ✈s✳ t✇♦✲♠♦❞❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✺✵ ✶✵✵ ✶✺✵ ✷✵✵ ✷✺✵

✉♥st❛❜❧❡

❙t✐✛♥❡ss K❇ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r R❡

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◆❡✉tr❛❧ ❝✉r✈❡ ✐♥ (K❇, R❡) ♣❧❛♥❡

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✶✵−✸ ✶✵−✷ ✶✵−✶ ✺✵ ✶✵✵ ✶✺✵ ✷✵✵ ✷✺✵

✉♥st❛❜❧❡

❙t✐✛♥❡ss K❇ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r R❡

• ♦♦❞ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✿ t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✐s ✈❛❧✐❞❛t❡❞✳

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❋❧✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❘❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲✐♥❡❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞✴s♦❧✐❞ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ❝❛♥ ♣r❡❞✐❝t ✇❡❧❧ t❤❡ ✐♥st❛❜✐❧✐t② t❤r❡s❤♦❧❞s✱ ❚❤❡ st❛t✐❝ ✢✉✐❞✴s♦❧✐❞ ❜✐❢✉r❝❛t✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ✐s ❛ s♦❧✐❞ st✐✛♥❡ss ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✢✉✐❞ ❛❞❞❡❞ st✐✛♥❡ss✳ ❚❤❛♥❦ ②♦✉ ✕ ◗✉❡st✐♦♥s

❏❡❛♥✲▲♦✉ P❋■❙❚❊❘ ✶✼ ✴ ✶✼ ❊❚❈✶✻✱ ❙t♦❝❦❤♦❧♠

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ P❛r❛♠❡t❡rs

◆♦♥✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✿ R❡ = DU∞ ν , K❇ = EH✸ ✶✷ρf U✷

∞L✸ ,

Mρ = ρs/ρf ■♥ t❤✐s st✉❞② ✿ H/L ∼ ✶% R❡ ∼ ✶✵✵ K❇ ∼ ✶✵−✸ − ✶ Mρ = ✶ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ r❡❛❧ ✇♦r❧❞ ✭❡✳❣✳ ✐♥ ❛ ✇❛t❡r ❝❤❛♥❡❧✮ ✿ D ∼ ✶ ♠♠✱ U∞ ∼ ✵.✶ ♠/s✱ E ∼ ✶ − ✶✵✵ ▼P❛ ✭r✉❜❜❡r✮ → ❍❛❡♠♦❞②♥❛♠✐❝s✱ s♠❛❧❧ ✇❛t❡r✲s✇✐♠♠❡rs✱✳✳✳

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥

❉♦♠❛✐♥ x/D ∈ [−✷✵, ✺✵]✱ y/D ∈ [−✷✵, ✷✵] ❋✐♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts P✷ ❢♦r ✈❡❧♦❝✐t②✴❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t✱ P✶ ❢♦r t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ♠❡s❤ ✇✐t❤ ∼ ✸✵❦ ❡❧❡♠❡♥ts → ✷✵✵❦ ❞✳♦✳❢✳ ✐♥ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ❆▲❊ s②st❡♠

▲♦❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✾

❏ ∂✉ ∂t + ∇✉Φ

• ✉ − ∂ξ

∂t

• − ∇ · Σf = ✵,

✢✉✐❞ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✳ ∇✉ : Φ❚ = ✵, ✢✉✐❞ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✳ ∇✷ξ = ✵, ❡①t❡♥s✐♦♥ ❡q✳ Mρ ∂✷ξ ∂t✷ − ∇ · Σs = ✵ s♦❧✐❞ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✳

❈♦♥st✐t✉t✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s

Σf =

• −p■ +

✶ R❡ ✶ ❏

• ∇✉Φ + Φ❚∇✉❚

Φ❚, ✈✐s❝♦✉s ✢✉✐❞ Σs = λ tr

• ❋❚❋ − ■
• ■ + ✷µ
• ❋❚❋ − ■
• ❙❛✐♥t✲❱❡♥❛♥t ❑✐r❝❤❤♦✛ s♦❧✐❞

■♥t❡r❢❛❝❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✿ str❡ss✱ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♥t✐♥✉✐t②✳

✾✳ Φ = ❏ ❋−✶✱ ❋ = ■ + ∇ξ✱ ❏ = ❞❡t ❋ ✭❣❡♦♠❡tr✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs✮

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❙t❛t✐♦♥❛r② s♦❧✈❡r

Pr♦❜❧❡♠ ✿ ❙♦❧✈❡ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ✿ R(q) = ✵. ❆♣♣r♦❛❝❤ ✿ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ → s♦❧✈❡ s✉❝❝❡ss✐✈❡❧② ❧✐♥❡❛r s②st❡♠s ✿ ∂R ∂q

• qk
• qk+✶ − qk

= −R(qk). ▼♦♥♦❧✐t❤✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✿ t❤❡ ✢✉✐❞✱ s♦❧✐❞ ❛♥❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r❡ s♦❧✈❡❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✳ ❊①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✿ ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ ∂R/∂q ✐s ❞♦♥❡ r❛t❤❡r t❤❛♥ ✜♥✐t❡✲❞✐✛❡r❡♥❝❡s → ❣❛✐♥ ✐♥ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❉✐r❡❝t s♦❧✈❡r ▼❯▼P❙ ❢♦r ❧✐♥❡❛r s②st❡♠s✳

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡ s♦❧✈❡r

Pr♦❜❧❡♠ ✿ ❙♦❧✈❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✿ σBˆ q − ∂R ∂q

• qb

ˆ q = ✵ ❯♥❦♥♦✇♥s ✭♦♥ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❞♦♠❛✐♥✮ ✐♥ q ✿ ✷×✈❡❧♦❝✐t② ✰ ✹×❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✰ ✹×❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ✈❡❧♦❝✐t② ✭✢✉✐❞✴s♦❧✐❞✱ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣✮ ✰ ✶×♣r❡ss✉r❡ ✰ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs → s②♠♠❡tr✐❝ B ♠❛tr✐①✳ Pr♦❝❡❞✉r❡s ✿ ❊①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ❙❤✐❢t✲❛♥❞✲✐♥✈❡rt ✫ ❆❘◆❖▲❉■ ♠❡t❤♦❞✱ ▼❯▼P❙ s♦❧✈❡r ❢♦r ▲❯ ♠❛tr✐① ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ❆❘P❆❈❑ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ✐♥ ❋r❡❡❋❡♠✰✰✳

❆♣♣❡♥❞✐① ✕ ❉◆❙

❆♣♣r♦❛❝❤ ✿ ❆▲❊ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥❢✳ ✰ ♠♦♥♦❧✐t❤✐❝ ✇❡❛❦ ❢♦r♠ ✶✵ ✿ + ◆♦ ♠❡s❤✲♠♦✈✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭❡①❝❡♣t ❢♦r ♣♦st✲tr❡❛t♠❡♥ts✮ + ◆♦ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛❞❞❡❞✲♠❛ss ❡✛❡❝t − ❙tr♦♥❣❧② ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r Pr♦❝❡❞✉r❡ ✿ ❆t ❡❛❝❤ t✐♠❡✲st❡♣ n t❤❡ ❢✉❧❧② ✐♠♣❧✐❝✐t ♣r♦❜❧❡♠ ∂q ∂t

• n+✶

+ R(qn+✶, qn, ...) = ✵ ✐s s♦❧✈❡❞ ✉s✐♥❣ ❋r❡❡❋❡♠✰✰✱ ✇✐t❤ ❛ ✭❡✈t❧✳ s❤✐❢t❡❞✮ ❈r❛♥❦✲◆✐❝❤♦❧s♦♥ t✐♠❡✲❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ✭✷♥❞ ♦r❞❡r✮✱ ❛ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✰ ❡①❛❝t ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✱ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❛tr✐① ❛ss❡♠❜❧② ✫ ▼❯▼P❙ ❞✐r❡❝t s♦❧✈❡r✳ ❱❛❧✐❞❛t❡❞ ❜② ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ♣♦♣✉❧❛r ❋❙■ ❜❡♥❝❤♠❛r❦s ✭❚✉r❡❦ ✫ ❍r♦♥✮ ✶✵✳ ❘✐❝❤t❡r✱ ❚✳ ❡t ❲✐❝❦✱ ❚✳ ❋✐♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❢♦r

✢✉✐❞✲str✉❝t✉r❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐♥ ❆▲❊ ❛♥❞ ❢✉❧❧② ❊✉✲ ❧❡r✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❈♦♠♣✳ ▼❡t❤✳ ✐♥ ❆♣♣❧✳ ▼❡❝❤✳ ❊♥❣✳✱ ✷✵✶✵