St ( p ) str tr P - - PowerPoint PPT Presentation

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

St(p)

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋✐① µ ❜❡ ❛♥ A✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts✳ ❚❤❡♥ St(p) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ a s✉❝❤ t❤❛t ap(x) ∩ p(x) ✐s ♥♦t ✐♥ µ✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ a ✐s ✐♥ St(p) ✐❢ t❤❡r❡ ✐s b | = p s✉❝❤ t❤❛t tp(b/Aa) ✐s µ✲❧❛r❣❡ ❛♥❞ ab | = p✳ ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

St(p)

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❋✐① µ ❜❡ ❛♥ A✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts✳ ❚❤❡♥ St(p) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ a s✉❝❤ t❤❛t ap(x) ∩ p(x) ✐s ♥♦t ✐♥ µ✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ a ✐s ✐♥ St(p) ✐❢ t❤❡r❡ ✐s b | = p s✉❝❤ t❤❛t tp(b/Aa) ✐s µ✲❧❛r❣❡ ❛♥❞ ab | = p✳ Stab(p) ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② St(p)✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❙✶ Pr♦♣❡rt②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ A✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt② ✐❢ ❣✐✈❡♥ ❛♥② φ(x, a✵) ❛♥❞ φ(x, a✶)✱ ❢♦r a✵ ❛♥❞ a✶ st❛rt✐♥❣ ❛♥ ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡✱ ✐❢ φ(x, a✵) ∧ φ(x, a✶) ✐s ✐♥ µ t❤❡♥ s♦ ✐s φ(x, a✵)✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❆♥② ❢♦r♠✉❧❛ t❤❛t ❞✐✈✐❞❡s ✭♦r ❢♦r❦s✮ ♦✈❡r ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛♥② ✶✲❆✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❙✶ Pr♦♣❡rt②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ A✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt② ✐❢ ❣✐✈❡♥ ❛♥② φ(x, a✵) ❛♥❞ φ(x, a✶)✱ ❢♦r a✵ ❛♥❞ a✶ st❛rt✐♥❣ ❛♥ ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡✱ ✐❢ φ(x, a✵) ∧ φ(x, a✶) ✐s ✐♥ µ t❤❡♥ s♦ ✐s φ(x, a✵)✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❆♥② ❢♦r♠✉❧❛ t❤❛t ❞✐✈✐❞❡s ✭♦r ❢♦r❦s✮ ♦✈❡r A ♠✉st ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛♥② S✶✲❆✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❈❧❛✐♠ ▲❡t p ❜❡ ❛ t②♣❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt②✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② t②♣❡ q t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R(a, b) ⇐ ⇒ p(x)a−✶ ∩ q(x)b−✶ ✐s µ✲✇✐❞❡, ✇❤❡r❡ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ❛ t②♣❡ ✇✐t❤ ✐ts r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♠♦♥st❡r ♠♦❞❡❧✱ ✐s ❛ st❛❜❧❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦t✳ ▲❡t ✲✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♣r♦✈✐♥❣ ✐t ✐s ♥♦t st❛❜❧❡✳ ❙♦

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❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❈❧❛✐♠ ▲❡t p ❜❡ ❛ t②♣❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt②✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② t②♣❡ q t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R(a, b) ⇐ ⇒ p(x)a−✶ ∩ q(x)b−✶ ✐s µ✲✇✐❞❡, ✇❤❡r❡ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ❛ t②♣❡ ✇✐t❤ ✐ts r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♠♦♥st❡r ♠♦❞❡❧✱ ✐s ❛ st❛❜❧❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✳

• ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦t✳ ▲❡t (ai, bi)i∈ω A✲✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡

♣r♦✈✐♥❣ ✐t ✐s ♥♦t st❛❜❧❡✳ ❙♦

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✳ ❇✉t t❤❡♥

✶ ✶ ✐s ✇✐❞❡✱ ❜✉t ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✐s ♥♦t✱ ❛

❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❈❧❛✐♠ ▲❡t p ❜❡ ❛ t②♣❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt②✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② t②♣❡ q t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R(a, b) ⇐ ⇒ p(x)a−✶ ∩ q(x)b−✶ ✐s µ✲✇✐❞❡, ✇❤❡r❡ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ❛ t②♣❡ ✇✐t❤ ✐ts r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♠♦♥st❡r ♠♦❞❡❧✱ ✐s ❛ st❛❜❧❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✳

• ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦t✳ ▲❡t (ai, bi)i∈ω A✲✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡

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• ❙♦ p(x)a−✶

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❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

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❈❧❛✐♠ ▲❡t p ❜❡ ❛ t②♣❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t µ ❤❛s t❤❡ ❙✶ ♣r♦♣❡rt②✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② t②♣❡ q t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R(a, b) ⇐ ⇒ p(x)a−✶ ∩ q(x)b−✶ ✐s µ✲✇✐❞❡, ✇❤❡r❡ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ❛ t②♣❡ ✇✐t❤ ✐ts r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♠♦♥st❡r ♠♦❞❡❧✱ ✐s ❛ st❛❜❧❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✳

• ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦t✳ ▲❡t (ai, bi)i∈ω A✲✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡

♣r♦✈✐♥❣ ✐t ✐s ♥♦t st❛❜❧❡✳

• ❙♦ p(x)a−✶

i

∩ q(x)b−✶

j

✐s ✇✐❞❡ ✐✛ i ≤ j✳

• ❇✉t t❤❡♥ p(x)a−✶

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✐s ♥♦t✱ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t µ ❜❡ ♠❡❞✐✉♠ ✐♥ p, q✳ ❚❤❡♥ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R(g, h) ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✏gp ∩ hq ✐s ✇✐❞❡✧ ✐s ❛ st❛❜❧❡ r❡❧❛t✐♦♥✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❋❛❝t ✭❍r✉s❤♦✈s❦✐✮ ▲❡t p, q ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ t②♣❡s ♦✈❡r ❛ ♠♦❞❡❧ M ❛♥❞ ❧❡t R(x, y) ❜❡ ❛ st❛❜❧❡ M✲✐♥✈❛r✐❛♥t r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ p(x) × q(y)✳ ❚❤❡♥ t❤❡ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ R(a, b) ✐s ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❛❧❧ a | = p(x) ❛♥❞ b | = q(y) ❛s ❧♦♥❣ ❛s ❡✐t❤❡r tp(a/Mb) ♦r tp(b/Ma) ❞♦❡s ♥♦t ❢♦r❦ ♦✈❡r M✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

▲❡♠♠❛ ❆ss✉♠❡ t❤❛t µ ❙✶ ✐♥ p✱ r✱ ❛♥❞ p−✶r ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡♠ ❛r❡ µ✲✇✐❞❡❀ ▲❡t (a, b) | = p ×nf p✳ ❚❤❡♥ ba−✶ ∈ St(r)✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ s✉❝❤ t❤❛t ✐s ✇✐❞❡ ❢♦r ❛❧❧ ✳ ❇✉t

✶

❛r❡ ✇✐❞❡ ❛♥❞ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥

✶

✇❤✐❝❤ ✐s ❙✶✱ s♦

✶ ✵ ✶ ✶

✐s ✇✐❞❡✳ ❇② st❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✶ ✶

✐s ✇✐❞❡✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

▲❡♠♠❛ ❆ss✉♠❡ t❤❛t µ ❙✶ ✐♥ p✱ r✱ ❛♥❞ p−✶r ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡♠ ❛r❡ µ✲✇✐❞❡❀ ▲❡t (a, b) | = p ×nf p✳ ❚❤❡♥ ba−✶ ∈ St(r)✳ Pr♦♦❢✳

• ▲❡t (ai)i<ω ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ p s✉❝❤ t❤❛t

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✐s ✇✐❞❡✳ ❇② st❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✶ ✶

✐s ✇✐❞❡✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

▲❡♠♠❛ ❆ss✉♠❡ t❤❛t µ ❙✶ ✐♥ p✱ r✱ ❛♥❞ p−✶r ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡♠ ❛r❡ µ✲✇✐❞❡❀ ▲❡t (a, b) | = p ×nf p✳ ❚❤❡♥ ba−✶ ∈ St(r)✳ Pr♦♦❢✳

• ▲❡t (ai)i<ω ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ p s✉❝❤ t❤❛t

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• ❇② st❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ a−✶r ∩ b−✶r ✐s ✇✐❞❡✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ M✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐❞❡❛❧ ♦♥ G✳ ▲❡t p ∈ SG(M) ❜❡ ✇✐❞❡✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t µ ✐s ❙✶ ♦♥ (pp−✶)✷ ❛♥❞ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ✭❧❡❢t ❛♥❞✮ r✐❣❤t ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♥ Stab(p) = St(p)✷ = (pp−✶)✷ ✐s ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞✱ ✇✐❞❡ t②♣❡✲❞❡✜♥❛❜❧❡ ❣r♦✉♣ ♦♥ ✇❤✐❝❤ µ ✐s ❙✶✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❇❛❝❦ t♦ ♦✉r str✉❝t✉r❡

• ❲❡ ❤❛✈❡ a, a′✱ b, b′ ❛♥❞ c, c′ ❛s ✐♥ ❛♥② ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✜❡❧❞✳

❆ss✉♠❡ G ✐s ❛♠❡♥❛❜❧❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ❛ ◆❚P✷ t❤❡♦r②✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❙✶ ✐❞❡❛❧

• ✭◆❚P✷ ❆♠❡♥❛❜❧❡✮ ❉❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✇❤✐❝❤ ❞♦♥✬t ❡①t❡♥❞ t♦

❇✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡s ❢♦r♠ ❛♥ ❙✶ ✐❞❡❛❧ µG✳

• ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ a, b s❛t✐❢② ❛ ❜✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡ p(x)✳
• P✉❧❧ ❜❛❝❦ µG t♦ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧ µ ♦♥ G × H ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❜❡ s❡ts t❤❛t

♣r♦❥❡❝t ✐♥ G t♦ ❛ s❡t ✐♥ µG✳

• µ ✇✐❧❧ ❜❡ ❙✶ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ G × H t❤❛t ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ✜❜❡rs

✐♥ H✳ ✭◆❚P✷✮ ■❢ ✇✐t❤ ✐s t②♣❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡ ❛♥❞ ✲✇✐❞❡✱ t❤❡♥ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♠✉st ♣r♦❥❡❝t ✐♥t♦ ❛ s❡t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣

✵✵✳

■s ❙✶ ♦♥

✶ ✷❄

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❙✶ ✐❞❡❛❧

• ✭◆❚P✷ ❆♠❡♥❛❜❧❡✮ ❉❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✇❤✐❝❤ ❞♦♥✬t ❡①t❡♥❞ t♦

❇✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡s ❢♦r♠ ❛♥ ❙✶ ✐❞❡❛❧ µG✳

• ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ a, b s❛t✐❢② ❛ ❜✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡ p(x)✳
• P✉❧❧ ❜❛❝❦ µG t♦ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧ µ ♦♥ G × H ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❜❡ s❡ts t❤❛t

♣r♦❥❡❝t ✐♥ G t♦ ❛ s❡t ✐♥ µG✳

• µ ✇✐❧❧ ❜❡ ❙✶ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ G × H t❤❛t ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ✜❜❡rs

✐♥ H✳

• ✭◆❚P✷✮ ■❢ Stab(p) ✇✐t❤ p := tp(b, b′/M) ✐s t②♣❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡

❛♥❞ µ✲✇✐❞❡✱ t❤❡♥ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ G × H ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♠✉st ♣r♦❥❡❝t ✐♥t♦ ❛ s❡t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ G ✵✵✳ ■s ❙✶ ♦♥

✶ ✷❄

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡ ❙✶ ✐❞❡❛❧

• ✭◆❚P✷ ❆♠❡♥❛❜❧❡✮ ❉❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✇❤✐❝❤ ❞♦♥✬t ❡①t❡♥❞ t♦

❇✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡s ❢♦r♠ ❛♥ ❙✶ ✐❞❡❛❧ µG✳

• ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡ a, b s❛t✐❢② ❛ ❜✐✲❢✲❣❡♥❡r✐❝ t②♣❡ p(x)✳
• P✉❧❧ ❜❛❝❦ µG t♦ ❛♥❞ ✐❞❡❛❧ µ ♦♥ G × H ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❜❡ s❡ts t❤❛t

♣r♦❥❡❝t ✐♥ G t♦ ❛ s❡t ✐♥ µG✳

• µ ✇✐❧❧ ❜❡ ❙✶ ♦♥ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ G × H t❤❛t ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ✜❜❡rs

✐♥ H✳

• ✭◆❚P✷✮ ■❢ Stab(p) ✇✐t❤ p := tp(b, b′/M) ✐s t②♣❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡

❛♥❞ µ✲✇✐❞❡✱ t❤❡♥ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ G × H ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♠✉st ♣r♦❥❡❝t ✐♥t♦ ❛ s❡t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ G ✵✵✳ ■s µ ❙✶ ♦♥ (pp−✶)✷❄

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

• ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧✳
• ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ ✇❤✐❝❤ µ ✐s ✭❙✶✮ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ✐❞❡❛❧ λ′✳

❲❡ ❝❛♥ tr② ❛♥❞ r❡str✐❝t t❤✐s t♦ ❛ s✉❜✲✐❞❡❛❧ ✳ ❘❡♣❧❛❝✐♥❣ ✐♥ t❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ❛❧❧ ✐♥st❛♥❝❡s ♦❢ ✏✐s ❙✶ ✐♥ ✑ ✇✐t❤ ✏❙♦♠❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡t ♦❢ ✐s ✐♥ ✑✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤✐s ✏ ✲♠❡❞✐✉♠✑ ♦r ✏♠❡❞✐✉♠✑✳

❚❤❡ st❛❜✐❧✐③❡r t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ◆❚P✷ t❤❡♦r✐❡s✳ ❆❧❢ ❖♥s❤✉✉s ❙t✭♣✮ ❚❤❡ ❙t❛❜✐❧✐③❡r ❚❤❡♦r❡♠

• ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧✳
• ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ ✇❤✐❝❤ µ ✐s ✭❙✶✮ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ✐❞❡❛❧ λ′✳
• ❲❡ ❝❛♥ tr② ❛♥❞ r❡str✐❝t t❤✐s λ′ t♦ ❛ s✉❜✲✐❞❡❛❧ λ✳ ❘❡♣❧❛❝✐♥❣ ✐♥

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• ▲❡t µ ❜❡ ❛♥ ✐❞❡❛❧✳
• ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❞❡✜♥❛❜❧❡ s❡ts ✐♥ ✇❤✐❝❤ µ ✐s ✭❙✶✮ ❞❡✜♥❡s ❛♥ ✐❞❡❛❧ λ′✳
• ❲❡ ❝❛♥ tr② ❛♥❞ r❡str✐❝t t❤✐s λ′ t♦ ❛ s✉❜✲✐❞❡❛❧ λ✳ ❘❡♣❧❛❝✐♥❣ ✐♥

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