space complexity of 2 dimensional approximate range
play

Space Complexity of 2-Dimensional Approximate Range Counting Zhewei - PowerPoint PPT Presentation

Space Complexity of 2-Dimensional Approximate Range Counting Zhewei Wei and Ke Yi Problem and Results Problem Definition


  1. Combinatorial Discrepancy • ������ ����� ( � , R ) ���� �� ������ �������� χ : � → { − � , + � } � � � χ ( � ∩ � )= χ ( � ); � ∈ � ∩ � � disc( � , R )=min � ∈ R | χ ( � ∩ � ) | ; χ max disc( � , R )=max | � | = � disc( � , R ) . � � • ����������� � (log � . � � ) �������������� ����������� Ω(log � ) ������������

  2. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � �

  3. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � .

  4. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) .

  5. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) . • �������������������������� Θ (log � ) ���������������

  6. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �

  7. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �

  8. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �

  9. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • Θ ( � ε log log � ε ) �������������� ������ ����� ����� ���������� ������

  10. (Weak) Epsilon Net � � � �

  11. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �

  12. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �

  13. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �

  14. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • � ( � ε log log � ε ) �������

  15. Upper Bound

  16. Data Structure

  17. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  18. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  19. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  20. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  21. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  22. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ≥ � ε � ≥ ε �

  23. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � � ≥ � ε � � � ≥ ε � �

  24. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � � ≥ ε � �

  25. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  26. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  27. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  28. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � �������������������������

  29. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε �

  30. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε � ������� ε � = ε ⇒ � ( � ε � log log � ε � log � ε � log � ) ����� ε log �

  31. Lower Bound

  32. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � �

  33. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � �

  34. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max

  35. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = − � �� � ∈ � � .

  36. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = � − � �� � ∈ � � . || � ∩ � � | − | � ∩ � � || ≥ � log �

  37. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � �

  38. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • �����������������

  39. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������

  40. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� �

  41. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ����������

  42. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ���������� � � ( � � ) �����������

  43. Binary Nets • ���������������������� ����������������������������������

  44. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • �������������������������

  45. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) �

  46. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � �

  47. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • �������������������������������

  48. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  49. Canonical Cells ����� � ����� � ����� � ����� � � = �

  50. Binary Nets � � � � = ��

  51. Binary Nets � � � � = ��

  52. Binary Nets � � � � = ��

  53. Binary Nets � � � � = ��

  54. Binary Nets � � � � = ��

  55. Binary Nets � � � � = ��

  56. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  57. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � � log � �������������������� � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  58. Number of Binary Nets � � � � �

  59. Number of Binary Nets � � � � �

  60. Number of Binary Nets � � � � �

  61. Number of Binary Nets � � � � �

  62. Number of Binary Nets � � � � �

  63. Number of Binary Nets � � � � �

  64. Number of Binary Nets � � � � �

  65. Number of Binary Nets � � � � �

Download Presentation
Download Policy: The content available on the website is offered to you 'AS IS' for your personal information and use only. It cannot be commercialized, licensed, or distributed on other websites without prior consent from the author. To download a presentation, simply click this link. If you encounter any difficulties during the download process, it's possible that the publisher has removed the file from their server.

Recommend


More recommend