Some aspects of the Fisher-KPP equation and the branching Brownian - - PowerPoint PPT Presentation

Some aspects of the Fisher-KPP equation and the branching Brownian motion

Éric Brunet November the 3rd, 2016, Paris Examiners

• M. Jean Bérard

(Université de Strasbourg) M. Victor Dotsenko (UPMC)

• M. Giulio Biroli

(CEA Saclay)

• M. Robi Peschanski (CEA Saclay)
• M. Bernard Derrida (Collège de France)
• M. Zhan Shi

(UPMC)

Reviewers

• M. Jean Bérard

(Université de Strasbourg)

• M. Oskar Hallatschek (University of California, Berkeley)
• M. Robi Peschanski

(CEA Saclay)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 1 / 1

Outline

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 2 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 3 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

In mean-field reaction-diffusion system (chemistry) A and B diffuse A + B → 2A

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 3 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

In mean-field reaction-diffusion system (chemistry) A and B diffuse A + B → 2A For a very large concentration h(x,t) = (proportion of A around x at time t) =

x h 1

follows Fisher-KPP

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 3 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

In mean-field reaction-diffusion system (chemistry) A and B diffuse A + B → 2A For a very large concentration h(x,t) = (proportion of A around x at time t) =

x h 1

follows Fisher-KPP Also the mean-field of an evolutionary problem A and B diffuse A reproduces faster than B population size constant

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 3 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

For a step initial condition, h(x,t) as a function of x.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 4 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

For a step initial condition, h(x,t) as a function of x. Convergence to a travelling wave: h(µt + z,t) → ω(z), µt t → 2

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 4 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

For a step initial condition, h(x,t) and h(x,t)ex−µt as a function of x.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 5 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

For a step initial condition, h(x,t) and h(x,t)ex−µt as a function of x. Scaling regime: h(µt + z,t)ez ≈ Aze− z2

4t ,

h(µt + z,t) → ω(z) with ω(z) ∼ Aze−z, µt = 2t − 3

2 lnt + Cste + o(1)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 5 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Compare h(x,t) and h(x,t) with initial conditions 1 1 + ex and 1 + .001ex/2 1 + ex

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 6 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Compare h(x,t) and h(x,t) with initial conditions 1 1 + ex and 1 + .001ex/2 1 + ex Not the same velocity, not the same travelling wave

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 6 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1. Sublinear corrections depend also only on how h0 decays at infinity If ∫ dx h0(x)xex < ∞ µt = 2t − 3

2 lnt + C + o(1)

If γ = 1 and α > −2 µt = 2t + α−1

2 lnt + C + o(1)

If γ < 1 µt = vt + α

γ lnt + C + o(1)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1. Sublinear corrections depend also only on how h0 decays at infinity If ∫ dx h0(x)xex < ∞ µt = 2t − 3

2 lnt + C + o(1)

If γ = 1 and α > −2 µt = 2t + α−1

2 lnt + C + o(1)

If γ < 1 µt = vt + α

γ lnt + C + o(1)

Fisher-KPP is diffusion, linear growth and saturation

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1. Sublinear corrections depend also only on how h0 decays at infinity If ∫ dx h0(x)xex < ∞ µt = 2t − 3

2 lnt + C + o(1)

If γ = 1 and α > −2 µt = 2t + α−1

2 lnt + C + o(1)

If γ < 1 µt = vt + α

γ lnt + C + o(1)

Fisher-KPP is diffusion, linear growth and saturation

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1. Sublinear corrections depend also only on how h0 decays at infinity If ∫ dx h0(x)xex < ∞ µt = 2t − 3

2 lnt + C + o(1)

If γ = 1 and α > −2 µt = 2t + α−1

2 lnt + C + o(1)

If γ < 1 µt = vt + α

γ lnt + C + o(1)

Fisher-KPP is diffusion, linear growth and saturation

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2

Converges to a travelling wave, moving at velocity v: h(µt + z,t) → ωv(z), µt t → v Velocity v depends only on how h0 decays at infinity h0(x) ∼ Axαe−γx ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v = 2 if γ ≥ 1, v = γ + 1

γ > 2

if γ < 1. Sublinear corrections depend also only on how h0 decays at infinity If ∫ dx h0(x)xex < ∞ µt = 2t − 3

2 lnt + C + o(1)

If γ = 1 and α > −2 µt = 2t + α−1

2 lnt + C + o(1)

If γ < 1 µt = vt + α

γ lnt + C + o(1)

Fisher-KPP is diffusion, linear growth and saturation The nature of the saturation term is not important

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 7 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

h(x,t + 1) = min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)].

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

h(x,t + 1) = min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)].

γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172...

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

h(x,t + 1) = min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)].

γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172... If ∫ dx h0(x)xeγcx < ∞, then µt = vct −

3 2γc lnt + C + o(1)

If h0(x) ∼ e−γx and γ < γc, then v = v(γ) > vc

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

h(x,t + 1) = min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)].

γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172... If ∫ dx h0(x)xeγcx < ∞, then µt = vct −

3 2γc lnt + C + o(1)

If h0(x) ∼ e−γx and γ < γc, then v = v(γ) > vc v(γ) = γ + 1

γ ,

v(γ) = 1

γ ln[2eγ−1 γ ],

γ v γc vc

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h − h42,

h(x,t + 1) = min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)].

γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172... If ∫ dx h0(x)xeγcx < ∞, then µt = vct −

3 2γc lnt + C + o(1)

If h0(x) ∼ e−γx and γ < γc, then v = v(γ) > vc v(γ) = γ + 1

γ ,

v(γ) = 1

γ ln[2eγ−1 γ ],

γ v γc vc

To find v(γ):

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h////

− h42, h(x,t + 1) = //// min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)/

]. γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172... If ∫ dx h0(x)xeγcx < ∞, then µt = vct −

3 2γc lnt + C + o(1)

If h0(x) ∼ e−γx and γ < γc, then v = v(γ) > vc v(γ) = γ + 1

γ ,

v(γ) = 1

γ ln[2eγ−1 γ ],

γ v γc vc

To find v(γ): linearise

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The Fisher-KPP equation — Universality

∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion, linear growth (h = 0 is unstable), saturation (h = 1 is stable). ∂th = ∂2

xh + h////

− h42, h(x,t + 1) = //// min[1,2∫

1 0 dǫh(x − ǫ,t)/

]. γc = 1, vc = 2, γc = 5.26208..., vc = 0.815172... If ∫ dx h0(x)xeγcx < ∞, then µt = vct −

3 2γc lnt + C + o(1)

If h0(x) ∼ e−γx and γ < γc, then v = v(γ) > vc v(γ) = γ + 1

γ ,

v(γ) = 1

γ ln[2eγ−1 γ ],

γ v γc vc

To find v(γ): linearise h(x,t) ∝ e−γ(x−vt)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 8 / 1

The branching Brownian motion

Diffusion, A → 2A , no saturation.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 9 / 1

The branching Brownian motion

Diffusion, A → 2A , no saturation.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 9 / 1

The branching Brownian motion

Diffusion, A → 2A , no saturation. On average: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ et particles et × e− x2

4t

√ 4πt dx particles in dx

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 9 / 1

The branching Brownian motion

Diffusion, A → 2A , no saturation. On average: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ et particles et × e− x2

4t

√ 4πt dx particles in dx

Expected density is 1 at position 2t − 1 2 lnt + C + o(1).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 9 / 1

The branching Brownian motion

Diffusion, A → 2A , no saturation. On average: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ et particles et × e− x2

4t

√ 4πt dx particles in dx

Expected density is 1 at position 2t − 1 2 lnt + C + o(1). Rightmost particle is actually around 2t − 3 2 lnt + O(1).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 9 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x]. ✶

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

1 − h(x,t + dt) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ P[Rt+dt < x] =

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

1 − h(x,t + dt) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ P[Rt+dt < x] = (1 − dt) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt η √ dt

+dt ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

1 − h(x,t + dt) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ P[Rt+dt < x] = (1 − dt)⟨1 − h(x − η √ dt,t)⟩ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt η √ dt

+dt ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

1 − h(x,t + dt) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ P[Rt+dt < x] = (1 − dt)⟨1 − h(x − η √ dt,t)⟩ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt η √ dt

+dt(1 − h(x,t))

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

dt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

h(x,t) = 1 − ⟨ ∏

all the particles u at time t

[1 − φ(x −

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

McKean’s relation

Introduce: h(x,t) = P[

The position of the rightmost at time t

↓ Rt ≥ x].

h follows the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = ✶{x≤0} = (

1 0)

h(x,t) = 1 − ⟨ ∏

all the particles u at time t

[1 − φ(x −

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩

This h follows also the Fisher-KPP equation

∂th = ∂2

xh + h − h2,

h0(x) = φ(x)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 10 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

The BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth The BBM Diffusion and growth

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant The BBM Diffusion and growth

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A A stochastic process: microscopic description.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A A stochastic process: microscopic description.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . )

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . ) Are related through McKean’s relation

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

Fisher-KPP and BBM

The Fisher-KPP equation: ∂th = ∂2

xh + h − h2

Diffusion and growth with saturation A + B → 2A

• r

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A

1+ǫ

• → 2A

B

1

• → 2B

with population maintained constant A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . ) Are related through McKean’s relation Exhibit universal behaviour

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 11 / 1

My contribution

Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation Precise position of the Fisher-KPP front Description of the rightmost particles in a BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 12 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-KPP equation and BBM: diffusion and growth

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics?

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation Add saturation to the BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Add saturation to the BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, Add saturation to the BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Add saturation to the BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate. Universal behaviour

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

Fisher-K

↑

deterministic (mean-field), with saturation PP equation and B stochastic, without saturation

↓

BM: diffusion and growth What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Discretize space; put N particles per site. h(x,t) = 1

N [ number of A at site x and time t ],

Particles in neighbouring sites can exchange positions, A + B → 2A within one site. Other approach: ∂th = ∂2

xh + h − h2 +

√

h−h2 N η(x,t)

Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate. Universal behaviour

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 13 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Equation with cut-off

h(x,t + ǫ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(x,t) + ǫ(“∂2

xh” + h − h2)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Equation with cut-off

h(x,t + ǫ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(x,t) + ǫ(“∂2

xh” + h − h2)

if this is bigger than 1/N

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Equation with cut-off

h(x,t + ǫ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(x,t) + ǫ(“∂2

xh” + h − h2)

if this is bigger than 1/N

• therwise

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Equation with cut-off

h(x,t + ǫ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(x,t) + ǫ(“∂2

xh” + h − h2)

if this is bigger than 1/N

• therwise

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off

h(x,t) = 1

N ( number of A at site x and time t )

• ⇒

in particular, if h < 1 N , then h = 0.

Equation with cut-off

h(x,t + ǫ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(x,t) + ǫ(“∂2

xh” + h − h2)

if this is bigger than 1/N

• therwise

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 14 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ). Without cut-off ωvc(z) ∼ Aze−γcz v = v(γc) = vc.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ). Without cut-off ωvc(z) ∼ Aze−γcz v = v(γc) = vc. With cut-off ωv(z) ∼ A L

π sin(πz L )e−γcz

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ). Without cut-off ωvc(z) ∼ Aze−γcz v = v(γc) = vc. With cut-off ωv(z) ∼ A L

π sin(πz L )e−γcz

v = v(γc ± i π

L)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ). Without cut-off ωvc(z) ∼ Aze−γcz v = v(γc) = vc. With cut-off ωv(z) ∼ A L

π sin(πz L )e−γcz

v = v(γc ± i π

L) ≃ vc − π2v′′(γc) 2L2

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity

Comparing h(x,t), h(x,t)ex−µt, h(N=108)

cut-off (x,t)ex−µt and h(N=1010) cut-off

(x,t)ex−µt Recall that h(µt + z,t) → ωv(z), and that ωv(z) ≋ e−γz with v = v(γ). Without cut-off ωvc(z) ∼ Aze−γcz v = v(γc) = vc. With cut-off ωv(z) ∼ A L

π sin(πz L )e−γcz

v = v(γc ± i π

L) ≃ vc − π2v′′(γc) 2L2

L = ln N

γc

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 15 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic...

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz The cut-off theory works (a sine shape)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs The fluctuation rises quickly

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs The fluctuation rises quickly The fluctuation relaxes slowly

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic... h(µt + z,t) and h(µt + z,t)eγcz The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L3 time) The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L2)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic...

Fisher-KPP with noise

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ) The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L3 time) The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L2)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic...

Fisher-KPP with noise

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ) D ∶= lim

t→∞

Variance(µt) t ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L3 time) The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L2)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

Noisy Fisher-KPP equations

The cut-off theory

h(µt + z,t)eγcz ∼ AL π sin(πz L ), v ≈ vc − π2v′′(γc) 2L2 , L = lnN γc Fully deterministic...

Fisher-KPP with noise

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ) D ∶= lim

t→∞

Variance(µt) t ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L3 time) The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L2)

BBM with saturation

Every ∝ L3 time, one particle jumps far ahead in a time of order 1. Its descendants replace a fraction of the population in a time of order L2.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 16 / 1

My contribution

Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ), D ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

, L = lnN γc . Dynamics are dominated by rare events every L3 units of time. In N-BBM, coalescence time is of order L3. Limiting genealogical tree can be obtained.

Precise position of the Fisher-KPP front Description of the rightmost particles in a BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 17 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Conjecture (Our contribution)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x2eγcx < ∞

+

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front

∂th = ∂2

xh + h − h2,

initial condition h0, µt is the position: h(µt,t) = 1

2.

Theorem (Bramson 1983)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste + o(1) for large t if and only if ∫ dx h0(x)x eγcx < ∞

Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ???

+ ⋯

• ???

Conjecture (Our contribution)

µt = vct − 3 2γc lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x eγcx < ∞

− 3 √ 2π γ5

cv′′(γc)t− 1

2

ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x2eγcx < ∞

+ K lnt t + O(1 t ) ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

iff ∫dx h0(x)x3eγcx < ∞

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 18 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Theorems

h0(x) = O(x−2−ǫe−x)

• ⇒

µt = 2t − 3

2 lnt + cste + o(1)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Theorems

h0(x) = O(x−2−ǫe−x) ∫ dx h0(x)x ex < ∞

• ⇒

µt = 2t − 3

2 lnt + cste + o(1)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Theorems

h0(x) = O(x−2−ǫe−x) ∫ dx h0(x)x ex < ∞

• ⇒

µt = 2t − 3

2 lnt + cste + o(1)

The convergence h(µt + z,t) → ˜ ω(z) is the fastest for

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — first approach

New model

Choose any µt ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂th = ∂2

xh + h

if x > µt h(µt,t) = 0 if µt grows too fast, h(µt + z,t) → 0 if µt grows too slowly, h(µt + z,t) → ∞ if µt grows just right, h(µt + z,t) → ˜ ω(z)

Theorems

h0(x) = O(x−2−ǫe−x) ∫ dx h0(x)x ex < ∞

• ⇒

µt = 2t − 3

2 lnt + cste + o(1)

The convergence h(µt + z,t) → ˜ ω(z) is the fastest for µt = 2t−3 2 lnt+cste− ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3√π t−1/2 + ⋯ if h0(x) = O(x−3−ǫe−x) bt1+ α

2 + ⋯

if h0(x) ∼ Axαe−x, −3 ≤ α < −2

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 19 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1.

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

Fisher-KPP: ∂th = ∂2

xh + h − h2,

h(µt,t) = 1

2,

h(µt + z,t) → ω(z).

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ + cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ

without the Ebert/van Saarloos term in tn, there would be a ǫ2 ln ǫ term here

↓

+ cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ

without the Ebert/van Saarloos term in tn, there would be a ǫ2 ln ǫ term here

↓

+ cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯ α = −2.9 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ + kǫ1.9 + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ

without the Ebert/van Saarloos term in tn, there would be a ǫ2 ln ǫ term here

↓

+ cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯ α = −2.9 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ + k

the leading correction in tn must first take care of this term

↓

ǫ1.9 + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ

without the Ebert/van Saarloos term in tn, there would be a ǫ2 ln ǫ term here

↓

+ cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯ α = −2.9 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ + k

the leading correction in tn must first take care of this term

↓

ǫ1.9 + ⋯ α = −2 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + kǫlnǫ + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

Precise position of the Fisher-KPP front — second approach

New model — on the lattice

∂th(n,t) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(n,t) + h(n − 1,t) if h(n,t) < 1, if h(n,t) = 1. tn = [when h(n,t) reaches 1 ]

Main result

Assuming h0(0) = 0 and h0(n) ↘

Ψ(λ) ∶= ∑

n≥1

h0(n)eλn = 1 eλ + 1[2 ∑

n≥1

eλ[n−v(λ)tn] − eλ]

with v(λ) = eλ+1

λ

Assume h0(n) ∼ Anαe−γcn We compute Ψ(γc−ǫ) ≋ ∑

n

Anαe−ǫn α = −3.1 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ

without the Ebert/van Saarloos term in tn, there would be a ǫ2 ln ǫ term here

↓

+ cǫ2 + kǫ2.1 + ⋯ α = −2.9 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + bǫ + k

the leading correction in tn must first take care of this term

↓

ǫ1.9 + ⋯ α = −2 ∶ Ψ(γc − ǫ) = a + k

Bramson’s − 3

2γc ln t needs to be

modified to take care of that

↓

ǫlnǫ + ⋯

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 20 / 1

My contribution

Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ), D ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

, L = lnN γc . Dynamics are dominated by rare events every L3 units of time. In N-BBM, coalescence time is of order L3. Limiting genealogical tree can be obtained.

Precise position of the Fisher-KPP front

µt = 2t − 3 2 lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ∫ dx h0(x)xex < ∞

− ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 3√π t−1/2 + ⋯ if ∫ dx h0(x)x2ex < ∞, bt1+ α

2 + ⋯

if h0(x) ∼ Axαe−x, −3 ≤ α < −2.

Description of the rightmost particles in a BBM

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 21 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) =

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

]

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

]

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z + δλ)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

McKean’s relation

h(x,t)=1−⟨ ∏

all the particles u at time t

[1−φ(x−

The position of particle u at time t

↓ Xu)]⟩, ∂th=∂2

xh+h−h2,

h0(x)=φ(x) For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z + δλ) ⟨λnt(µt+z)⟩ → 1 − ω(z + δλ)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z + δλ) ⟨λnt(µt+z)⟩ → 1 − ω(z + δλ)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z + δλ) ⟨λnt(µt+z)⟩ → 1 − ω(z + δλ) For 1 − φ(x) = (

1 λ −a λξ

), ⟨λnt(µt+z)ξnt(µt+z+a)⟩ → 1 − ω(z + δλ,ξ,a)

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

For 1 − φ(x) = (

1), h(x,t) = P[Rt ≥ x]

For 1−φ(x) = (

1 λ

), h(x,t) = 1−⟨λnt(x)⟩ nt(x) = [

Number of particles on the right of x

] µt − µt → δλ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z) h(µt + z,t) → ω(z + δλ) ⟨λnt(µt+z)⟩ → 1 − ω(z + δλ) For 1 − φ(x) = (

1 λ −a λξ

), ⟨λnt(µt+z)ξnt(µt+z+a)⟩ → 1 − ω(z + δλ,ξ,a) In a BBM, the distribution of particles around µt reaches a stationary measure which can easily be explored numerically

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 22 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure { + } A realisation of the stationary measure

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure { + } A realisation of the stationary measure { } Another realisation

• f the stationary

measure { } A third realisation

• f the stationary

measure

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure { + } A realisation of the stationary measure { } Another realisation

• f the stationary

measure { } A third realisation

• f the stationary

measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition The stationary measure is a randomly shifted σ-decorated exponential Poisson point process

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition The stationary measure is a randomly shifted σ-decorated exponential Poisson point process As t → ∞, around µt +

A global random shift, independent of time

↓

a Pick family leaders as a Poisson point process of density e−x

x µt + a

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition The stationary measure is a randomly shifted σ-decorated exponential Poisson point process As t → ∞, around µt +

A global random shift, independent of time

↓

a Pick family leaders as a Poisson point process of density e−x Decorate each leader with independent realisations of some measure σ

x µt + a

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the particles around µt reaches a stationary measure The stationary measure of the BBM is stable by superposition The stationary measure is a randomly shifted σ-decorated exponential Poisson point process As t → ∞, around µt +

A global random shift, independent of time

↓

a Pick family leaders as a Poisson point process of density e−x Decorate each leader with independent realisations of some measure σ Put back everything together

x µt + a

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 23 / 1

My contribution

Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ), D ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

, L = lnN γc . Dynamics are dominated by rare events every L3 units of time. In N-BBM, coalescence time is of order L3. Limiting genealogical tree can be obtained.

Precise position of the Fisher-KPP front

µt = 2t − 3 2 lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ∫ dx h0(x)xex < ∞

− ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 3√π t−1/2 + ⋯ if ∫ dx h0(x)x2ex < ∞, bt1+ α

2 + ⋯

if h0(x) ∼ Axαe−x, −3 ≤ α < −2.

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the rightmost particles relatively to µt does reach a stationary measure with an interesting structure which can be explored by solving numerically the Fisher-KPP equation

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 24 / 1

My contribution

Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation

v ≈ vc − π2v′′(γc) 2 ( 1 L2 − 6log L L3 ), D ≈ π4v′′(γc) 3γ2

cL3

, L = lnN γc . Dynamics are dominated by rare events every L3 units of time. In N-BBM, coalescence time is of order L3. Limiting genealogical tree can be obtained.

Precise position of the Fisher-KPP front

µt = 2t − 3 2 lnt + cste ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ

if ∫ dx h0(x)xex < ∞

− ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 3√π t−1/2 + ⋯ if ∫ dx h0(x)x2ex < ∞, bt1+ α

2 + ⋯

if h0(x) ∼ Axαe−x, −3 ≤ α < −2.

Description of the rightmost particles in a BBM

The distribution of the rightmost particles relatively to µt does reach a stationary measure with an interesting structure which can be explored by solving numerically the Fisher-KPP equation

Thank you!

Éric Brunet HDR defense November the 3rd, 2016, Paris 24 / 1