sts st r r - - PowerPoint PPT Presentation

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• ✐✈❡ A t♦ ❇♦❜ ✭t❤❡ ✐t❡♠ ✇❤♦s❡ r❛t✐♦ ✐s ❝❧♦s❡st t♦ ✶✮

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• ✐✈❡ A t♦ ❇♦❜ ✭t❤❡ ✐t❡♠ ✇❤♦s❡ r❛t✐♦ ✐s ❝❧♦s❡st t♦ ✶✮

■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ A ✺ ✵ B ✻✺ ✵ C ✵ ✺✵ ❚♦t❛❧ ✼✵ ✺✵

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• ✐✈❡ A t♦ ❇♦❜ ✭t❤❡ ✐t❡♠ ✇❤♦s❡ r❛t✐♦ ✐s ❝❧♦s❡st t♦ ✶✮

■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ A ✵ ✹ B ✻✺ ✵ C ✵ ✺✵ ❚♦t❛❧ ✻✺ ✺✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ ❛r❡ ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤r❡❡ ❣♦♦❞s✿ A, B✱ ❛♥❞ C✳ ❙t❡♣ ✸✳ ❊q✉✐t❛❜✐❧✐t② ❛❞❥✉st♠❡♥t✿ ❙t✐❧❧ ♥♦t ❡q✉❛❧✱ s♦ ❣✐✈❡ ✭s♦♠❡ ♦❢✮ B t♦ ❇♦❜✿ 65p = 100 − 46p✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ A ✵ ✹ B ✻✺ ✵ C ✵ ✺✵ ❚♦t❛❧ ✻✺ ✺✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ ❛r❡ ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤r❡❡ ❣♦♦❞s✿ A, B✱ ❛♥❞ C✳ ❙t❡♣ ✸✳ ❊q✉✐t❛❜✐❧✐t② ❛❞❥✉st♠❡♥t✿ ②✐❡❧❞✐♥❣ p = 100/111 = 0.9009 ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ A ✵ ✹ B ✻✺ ✵ C ✵ ✺✵ ❚♦t❛❧ ✻✺ ✺✹

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ ❛r❡ ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤r❡❡ ❣♦♦❞s✿ A, B✱ ❛♥❞ C✳ ❙t❡♣ ✸✳ ❊q✉✐t❛❜✐❧✐t② ❛❞❥✉st♠❡♥t✿ ②✐❡❧❞✐♥❣ p = 100/111 = 0.9009 ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ A ✵ ✹ B ✺✽✳✺✺✾ ✹✳✺✺✾ C ✵ ✺✵ ❚♦t❛❧ ✺✽✳✺✺✾ ✺✽✳✺✺✾

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳ ❆ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ❣♦♦❞s ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs a1, . . . , an ✇❤♦s❡ s✉♠ ✐s ✶✵✵✳ ▲❡t α, α′, α′′, . . . ❞❡♥♦t❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❆♥♥ ❛♥❞ β, β′, β′′, . . . ❞❡♥♦t❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❇♦❜✳

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳ ❆♥ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ n r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✵ ❛♥❞ ✶ ✭✐♥❝❧✉s✐✈❡✮✳ ❆♥ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ σ = s1, . . . , sn ✐s ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❋♦r ❡❛❝❤ i = 1, . . . , n✱ si ✐s t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ Gi ❣✐✈❡♥ t♦ ❆♥♥✳ ❚❤✉s ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ ❣♦♦❞s✱ t❤❡♥ 1, 0.5, 0 ♠❡❛♥s✱ ✏●✐✈❡ ❛❧❧ ♦❢ ✐t❡♠ ✶ ❛♥❞ ❤❛❧❢ ♦❢ ✐t❡♠ ✷ t♦ ❆♥♥ ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢ ✐t❡♠ ✸ ❛♥❞ ❤❛❧❢ ♦❢ ✐t❡♠ ✷ t♦ ❇♦❜✳✧

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t G1, . . . , Gn ✐s ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ❣♦♦❞s✳ VA(α, σ) = n

i=1 aisi ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❆♥♥

r❡❝❡✐✈❡s✳ VB(β, σ) = n

i=1 bi(1 − si) ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❇♦❜

r❡❝❡✐✈❡s✳ ❚❤✉s AW ❝❛♥ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ♣❛✐rs ♦❢ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s t♦ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s✿ AW(α, β) = σ ✐❢ σ ✐s t❤❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ AW ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

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❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ AW(α, β) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ AW(α, β) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❘❡♥❛♠❡ t❤❡ ❣♦♦❞s s♦ t❤❛t a1/b1 ≥ a2/b2 ≥ · · · ar/br ≥ 1 > ar+1/br+1 ≥ · · · an/bn

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ AW(α, β) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❘❡♥❛♠❡ t❤❡ ❣♦♦❞s s♦ t❤❛t a1/b1 ≥ a2/b2 ≥ · · · ar/br ≥ 1 > ar+1/br+1 ≥ · · · an/bn ✶✳ ●✐✈❡ ❛❧❧ t❤❡ ❣♦♦❞s G1, . . . , Gr t♦ ❆♥♥ ❛♥❞ Gr+1, . . . , Gn t♦ ❇♦❜✳ ▲❡t X, Y ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts r❡❝❡✐✈❡❞ ❜② ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❆ss✉♠❡ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② t❤❛t X ≥ Y ✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ AW(α, β) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❘❡♥❛♠❡ t❤❡ ❣♦♦❞s s♦ t❤❛t a1/b1 ≥ a2/b2 ≥ · · · ar/br ≥ 1 > ar+1/br+1 ≥ · · · an/bn ✶✳ ●✐✈❡ ❛❧❧ t❤❡ ❣♦♦❞s G1, . . . , Gr t♦ ❆♥♥ ❛♥❞ Gr+1, . . . , Gn t♦ ❇♦❜✳ ▲❡t X, Y ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts r❡❝❡✐✈❡❞ ❜② ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❆ss✉♠❡ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② t❤❛t X ≥ Y ✳ ✷✳ ■❢ X = Y ✱ t❤❡♥ st♦♣✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ tr❛♥s❢❡r ❛ ♣♦rt✐♦♥ ♦❢ Gr ❢r♦♠ ❆♥♥ t♦ ❇♦❜ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s X = Y ✳ ■❢ ❡q✉✐t❛❜✐❧✐t② ✐s ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❡✈❡♥ ✇✐t❤ ❛❧❧ ♦❢ Gr ❣♦✐♥❣ t♦ ❇♦❜✱ tr❛♥s❢❡r Gr−1, Gr−2, . . . , G1 ✐♥ t❤❛t ♦r❞❡r t♦ ❇♦❜ ✉♥t✐❧ ❡q✉✐t❛❜✐❧✐t② ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❋❛✐r♥❡ss ❈♦♥❞✐t✐♦♥s

• Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ✐❢ ❜♦t❤ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡❝❡✐✈❡ ❛t ❧❡❛st ✺✵✪ ♦❢

t❤❡✐r ✈❛❧✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 siai ≥ 50 ❛♥❞

n

i=1(1 − si)bi ≥ 50

• ❊♥✈②✲❋r❡❡ ✐❢ ♥♦ ♣❛rt② ✐s ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ❣✐✈❡ ✉♣ ✐ts ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥

❡①❝❤❛♥❣❡ ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r✬s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 s1ai ≥ n i=1(1 − si)ai ❛♥❞ n i=1(1 − si)bi ≥ n i=1 sibi✳

• ❊q✉✐t❛❜❧❡ ✐❢ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❛t ✐s n

i=1 siai = n i=1(1 − si)bi

• ❊✣❝✐❡♥t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s str✐❝t❧② ❜❡tt❡r

❢♦r ♦♥❡ ♣❛rt② ✇✐t❤♦✉t ❜❡✐♥❣ ✇♦rs❡ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt②✳ ❚❤❛t ✐s ❢♦r ❡❛❝❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ σ′ = s′

1, . . . , s′ n ✐❢ n i=1 ais′ i > n i=1 aisi✱

t❤❡♥ n

i=1(1 − s′ i)bi < n i=1(1 − si)bi✳ ✭❙✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❇♦❜✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❋❛✐r♥❡ss ❈♦♥❞✐t✐♦♥s

• Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ✐❢ ❜♦t❤ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡❝❡✐✈❡ ❛t ❧❡❛st ✺✵✪ ♦❢

t❤❡✐r ✈❛❧✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 siai ≥ 50 ❛♥❞

n

i=1(1 − si)bi ≥ 50

• ❊♥✈②✲❋r❡❡ ✐❢ ♥♦ ♣❛rt② ✐s ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ❣✐✈❡ ✉♣ ✐ts ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥

❡①❝❤❛♥❣❡ ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r✬s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 s1ai ≥ n i=1(1 − si)ai ❛♥❞ n i=1(1 − si)bi ≥ n i=1 sibi✳

• ❊q✉✐t❛❜❧❡ ✐❢ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❛t ✐s n

i=1 siai = n i=1(1 − si)bi

• ❊✣❝✐❡♥t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s str✐❝t❧② ❜❡tt❡r

❢♦r ♦♥❡ ♣❛rt② ✇✐t❤♦✉t ❜❡✐♥❣ ✇♦rs❡ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt②✳ ❚❤❛t ✐s ❢♦r ❡❛❝❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ σ′ = s′

1, . . . , s′ n ✐❢ n i=1 ais′ i > n i=1 aisi✱

t❤❡♥ n

i=1(1 − s′ i)bi < n i=1(1 − si)bi✳ ✭❙✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❇♦❜✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❋❛✐r♥❡ss ❈♦♥❞✐t✐♦♥s

• Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ✐❢ ❜♦t❤ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡❝❡✐✈❡ ❛t ❧❡❛st ✺✵✪ ♦❢

t❤❡✐r ✈❛❧✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 siai ≥ 50 ❛♥❞

n

i=1(1 − si)bi ≥ 50

• ❊♥✈②✲❋r❡❡ ✐❢ ♥♦ ♣❛rt② ✐s ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ❣✐✈❡ ✉♣ ✐ts ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥

❡①❝❤❛♥❣❡ ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r✬s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 s1ai ≥ n i=1(1 − si)ai ❛♥❞ n i=1(1 − si)bi ≥ n i=1 sibi✳

• ❊q✉✐t❛❜❧❡ ✐❢ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❛t ✐s n

i=1 siai = n i=1(1 − si)bi

• ❊✣❝✐❡♥t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s str✐❝t❧② ❜❡tt❡r

❢♦r ♦♥❡ ♣❛rt② ✇✐t❤♦✉t ❜❡✐♥❣ ✇♦rs❡ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt②✳ ❚❤❛t ✐s ❢♦r ❡❛❝❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ σ′ = s′

1, . . . , s′ n ✐❢ n i=1 ais′ i > n i=1 aisi✱

t❤❡♥ n

i=1(1 − s′ i)bi < n i=1(1 − si)bi✳ ✭❙✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❇♦❜✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❋❛✐r♥❡ss ❈♦♥❞✐t✐♦♥s

• Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ✐❢ ❜♦t❤ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ r❡❝❡✐✈❡ ❛t ❧❡❛st ✺✵✪ ♦❢

t❤❡✐r ✈❛❧✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 siai ≥ 50 ❛♥❞

n

i=1(1 − si)bi ≥ 50

• ❊♥✈②✲❋r❡❡ ✐❢ ♥♦ ♣❛rt② ✐s ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ❣✐✈❡ ✉♣ ✐ts ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥

❡①❝❤❛♥❣❡ ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r✬s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ n

i=1 s1ai ≥ n i=1(1 − si)ai ❛♥❞ n i=1(1 − si)bi ≥ n i=1 sibi✳

• ❊q✉✐t❛❜❧❡ ✐❢ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❛t ✐s n

i=1 siai = n i=1(1 − si)bi

• ❊✣❝✐❡♥t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s str✐❝t❧② ❜❡tt❡r

❢♦r ♦♥❡ ♣❛rt② ✇✐t❤♦✉t ❜❡✐♥❣ ✇♦rs❡ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt②✳ ❚❤❛t ✐s ❢♦r ❡❛❝❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ σ′ = s′

1, . . . , s′ n ✐❢ n i=1 ais′ i > n i=1 aisi✱

t❤❡♥ n

i=1(1 − s′ i)bi < n i=1(1 − si)bi✳ ✭❙✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❇♦❜✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❊❛s② ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

• ❋♦r t✇♦✲♣❛rt② ❞✐s♣✉t❡s✱ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧✐t② ❛♥❞ ❡♥✈②✲❢r❡❡♥❡ss ❛r❡

❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳

• AW ♦♥❧② ♣r♦❞✉❝❡s ❡q✉✐t❛❜❧❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ✭❡q✉✐t❛❜✐❧✐t② ✐s

❡ss❡♥t✐❛❧❧② ❜✉✐❧t ✐♥ t♦ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡✮✳

• AW ♣r♦❞✉❝❡s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s σ t❤❛t ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt②✿

t❤❡r❡ ✐s ❛t ♠♦st ♦♥❡ i s✉❝❤ t❤❛t 0 ≤ σi ≤ 1 ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ j = i✱ σj ∈ {0, 1}✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ✐s ❋❛✐r ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇r❛♠s ❛♥❞ ❚❛②❧♦r✮ AW ♣r♦❞✉❝❡s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❡✣❝✐❡♥t✱ ❡q✉✐t❛❜❧❡ ❛♥❞ ❡♥✈②✲❢r❡❡ ✭✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s✮

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙♦♠❡ ◗✉❡st✐♦♥s

• ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ❛❣❡♥ts❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙♦♠❡ ◗✉❡st✐♦♥s

• ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ❛❣❡♥ts❄
• ❈❛♥ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥t✉✐t✐♦♥s❄

✕ ■s AW ❛ ✧❝♦♥t✐♥✉♦✉s✧ ❢✉♥❝t✐♦♥❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙♦♠❡ ◗✉❡st✐♦♥s

• ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ❛❣❡♥ts❄
• ❈❛♥ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥t✉✐t✐♦♥s❄

✕ ■s AW ❛ ✧❝♦♥t✐♥✉♦✉s✧ ❢✉♥❝t✐♦♥❄

• ❈❛♥ ❛♥ ❛❣❡♥t ❜❡♥❡✜t ❜② ♠❛❦✐♥❣ ✉s❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡

♦t❤❡r ❛❣❡♥t✬s ✈❛❧✉❛t✐♦♥❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙♦♠❡ ◗✉❡st✐♦♥s

• ❈❛♥ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ❛❣❡♥ts❄
• ❈❛♥ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥t✉✐t✐♦♥s❄

✕ ■s AW ❛ ✧❝♦♥t✐♥✉♦✉s✧ ❢✉♥❝t✐♦♥❄

• ❈❛♥ ❛♥ ❛❣❡♥t ❜❡♥❡✜t ❜② ♠❛❦✐♥❣ ✉s❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡

♦t❤❡r ❛❣❡♥t✬s ✈❛❧✉❛t✐♦♥❄

• ❚❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❧✐♥❡❛r✱ ✇❤❛t

❛❜♦✉t ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

▼♦r❡ ❚❤❛♥ ❚✇♦ ❆❣❡♥ts ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ✇❛s ❣✐✈❡♥ ❜② t✇♦ ❉✉t❝❤ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝✐❛♥s ❏✳ ❍✳ ❘❡✐❥♥✐❡rs❡ ❛♥❞ ❏✳ ❆✳ ▼✳ P♦tt❡rs✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ ❈❛r♦❧ ❳ ✹✵ ✸✵ ✸✵ ❨ ✺✵ ✹✵ ✸✵ ❩ ✶✵ ✸✵ ✹✵ ❚❤❡ ♦♥❧② ❡✣❝✐❡♥t ❛♥❞ ❡q✉✐t❛❜❧❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ❣✐✈❡ X t♦ ❆♥♥✱ Y t♦ ❇♦❜✱ ❛♥❞ Z t♦ ❈❛r♦❧✳ ■t ✐s ♥♦t ❡♥✈②✲❢r❡❡✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

• ❡♦♠❡tr✐❝ ■♥t✉✐t✐♦♥s

❲❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✇♦r❦✐♥❣ ✐♥ Rk ❢♦r k ≥ 1✳ ❆♥ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r x ∈ Rk ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❛❧ ❧❡ss t❤❛♥ ♦r ❡q✉❛❧ t♦ ✶✳ ❚❤✉s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ✐s ❛ ❤②♣❡r❝✉❜❡ ✐♥ Rk✳ ▲❡t Ck = { x | ∀i 0 ≤ xi ≤ 1} ❜❡ t❤✐s ❤②♣❡r❝✉❜❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k✳ ❆ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r P ∈ Rk ✇❤❡r❡ k

i=1 Pi = 100✳

▲❡t · ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❞♦t ♣r♦❞✉❝t✱ t❤❛t ✐s x · P = k

i=1 xiPi ✭t❤❡ t♦t❛❧

♣♦✐♥ts r❡❝❡✐✈❡❞ ❜② ❆♥♥✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

• ❡♦♠❡tr✐❝ ■♥t✉✐t✐♦♥s

▲❡t P ❛♥❞ Q ❜❡ t✇♦ ✜①❡❞ ✈❡❝t♦rs ✭❆♥♥✬s ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇♦❜✬s ✈❛❧✉❛t✐♦♥✮✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ H

P , Q ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥

• x ·

P = ( 1 − x) · Q ❋♦r ❛ ✜①❡❞ P ❛♥❞ Q✱ ✇❛♥t✐♥❣ ❡✣❝❡♥❝②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❢♦r t❤❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s x t❤❛t ♠❛①✐♠✐③❡ x · P ✭s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✮

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

• ❡♦♠❡tr✐❝ ■♥t✉✐t✐♦♥s

▲❡t I = Ck ∩ H

P , Q✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f : I → R ❜② f(

x) = x · P✳ ■t ✐s ♥♦t ❤❛r❞ t♦ s❡❡ t❤❛t f ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ♦♥ I = Ck ∩ H

P , Q ✭❍❡✐♥❡✲❇♦r❡❧✮✳

▲❡t M = { x | f( x) = m} = ∅✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦✐♥t ♦❢ M ✇❤✐❝❤ ❧✐❡s ♦♥ ❛♥ ❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❤②♣❡r❝✉❜❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t AW ♣r♦❞✉❝❡s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ❡①❝❡♣t ♣♦ss✐❜❧② ♦♥❡✱ ❛r❡ ❡✐t❤❡r ✶ ♦r ✵ ✐s ♥♦ ❛❝❝✐❞❡♥t✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

■s AW ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

■s AW ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❄ ❨❡s ❛♥❞ ◆♦ ✭❞❡♣❡♥❞s ✇❤❛t ✐s ♠❡❛♥t ❜② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

■s AW ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❄ ❨❡s ❛♥❞ ◆♦ ✭❞❡♣❡♥❞s ✇❤❛t ✐s ♠❡❛♥t ❜② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✳ ❨❡s✿ ❙♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ♣r♦❞✉❝❡s s♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❡ ❛❣❡♥t r❡❝❡✐✈❡s✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

■s AW ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❄ ❨❡s ❛♥❞ ◆♦ ✭❞❡♣❡♥❞s ✇❤❛t ✐s ♠❡❛♥t ❜② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✳ ❨❡s✿ ❙♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ♣r♦❞✉❝❡s s♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❡ ❛❣❡♥t r❡❝❡✐✈❡s✳ ◆♦✿ ❙♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❞r❛st✐❝❛❧❧② ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐t❡♠s ❛ss✐❣♥❡❞ t♦ ❛♥ ❛❣❡♥t ❜② AW✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

■s AW ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❄ ❨❡s ❛♥❞ ◆♦ ✭❞❡♣❡♥❞s ✇❤❛t ✐s ♠❡❛♥t ❜② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✳ ❨❡s✿ ❙♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ♣r♦❞✉❝❡s s♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❡ ❛❣❡♥t r❡❝❡✐✈❡s✳ ◆♦✿ ❙♠❛❧❧ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts✬ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❞r❛st✐❝❛❧❧② ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐t❡♠s ❛ss✐❣♥❡❞ t♦ ❛♥ ❛❣❡♥t ❜② AW✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ G1 25 + ε/2 25 − ε/2 G2 25 + ε/2 25 − ε/2 G3 25 − ε/2 25 + ε/2 G4 25 − ε/2 25 + ε/2 ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ G1 25 − ε/2 25 + ε/2 G2 25 − ε/2 25 + ε/2 G3 25 + ε/2 25 − ε/2 G4 25 + ε/2 25 − ε/2

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣ ❈❛♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡✐r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❜② ♠✐sr❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡✐r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣ ❈❛♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡✐r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❜② ♠✐sr❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡✐r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s❄ ❨❡s

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣ ❈❛♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡✐r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❜② ♠✐sr❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡✐r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s❄ ❨❡s ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❤✐❧❡ ❤♦♥❡st② ♠❛② ♥♦t ❛❧✇❛②s ❜❡ t❤❡ ❜❡st ♣♦❧✐❝② ✐t ✐s t❤❡ ♦♥❧② s❛❢❡ ♦♥❡✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ♦♥❧② ♦♥❡ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ✺✵✪✳ ❙❡❡ ❙❛❢❡ ✈♦t❡s✱ s✐♥❝❡r❡ ✈♦t❡s✱ ❛♥❞ str❛t❡❣✐③✐♥❣ ❬PP❪ ❢♦r ♠♦r❡ ♦♥ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❛ ✏s❛❢❡✑ str❛t❡❣②✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ ▼❛t✐ss❡ ✼✺ ✷✺ P✐❝❛ss♦ ✷✺ ✼✺ ❆♥♥ ✇✐❧❧ ❣❡t t❤❡ ▼❛t✐ss❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ✇✐❧❧ ❣❡t t❤❡ P✐❝❛ss♦ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ❣❡ts ✼✺ ♦❢ ❤✐s ♦r ❤❡r ♣♦✐♥ts✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❆♥♥ ❦♥♦✇s ❇♦❜✬s ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s✱ ❜✉t ❇♦❜ ❞♦❡s ♥♦t ❦♥♦✇ ❆♥♥✬s✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✼✺ ✷✺ P ✷✺ ✼✺ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✷✻ ✷✺ P ✼✹ ✼✺ ❙♦ ❆♥♥ ✇✐❧❧ ❣❡t M ♣❧✉s ❛ ♣♦rt✐♦♥ ♦❢ P✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❆♥♥✬s ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱ s❤❡ r❡❝❡✐✈❡s ✺✵ ♣♦✐♥ts ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❆♥♥✬s ❛❝t✉❛❧ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱ s❤❡ r❡❝❡✐✈❡s 75 + 0.33 ∗ 25 = 83.33 ♣♦✐♥ts✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣✿ ❆ ❚❤❡♦r❡♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇r❛♠s ❛♥❞ ❚❛②❧♦r✮ ❆ss✉♠❡ t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❣♦♦❞s✱ G1 ❛♥❞ G2✱ ❛❧❧ tr✉❡ ❛♥❞ ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ✐♥t❡❣❡rs✱ ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ ❇♦❜✬s ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ G1 ✐s x✱ ✇❤❡r❡ x ≥ 50✳ ❆ss✉♠❡ ❆♥♥✬s tr✉❡ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ G1 ✐s ❜✳ ❚❤❡♥ ❤❡r ♦♣t✐♠❛❧ ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ G1 ✐s✿        x + 1 ✐❢ b > x x ✐❢ b = x x − 1 ✐❢ b < x

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs ❦♥♦✇ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✬s ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❜✉t ♥❡✐t❤❡r ❦♥♦✇s t❤❛t t❤❡ ♦t❤❡r ❦♥♦✇s t❤❡✐r ♦✇♥ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✼✺ ✷✺ P ✷✺ ✼✺ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✷✻ ✼✹ P ✼✹ ✷✻ ❊❛❝❤ ✇✐❧❧ ❣❡t ✼✹ ♦❢ ❤✐s ♦r ❤❡r ❛♥♥♦✉♥❝❡❞ ♣♦✐♥ts✱ ❜✉t ❡❛❝❤ ♦♥❡ ✐s r❡❛❧❧② ❣❡tt✐♥❣ ♦♥❧② ✷✺ ♦❢ ❤✐s ♦r ❤❡r tr✉❡ ♣♦✐♥ts✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

❙tr❛t❡❣✐③✐♥❣✿ ❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs ❦♥♦✇ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✬s ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❆♥♥ ❦♥♦✇s t❤❛t ❇♦❜ ❦♥♦✇s ❤❡r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❇♦❜ ❞♦❡s♥✬t ❦♥♦✇ t❤❛t ❆♥♥ ❦♥♦✇s✳ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✷✻ ✼✹ P ✼✹ ✷✻ ■t❡♠ ❆♥♥ ❇♦❜ M ✼✸ ✼✹ P ✷✼ ✷✻ ❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ❛s t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ✐♥❝r❡❛s❡s❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥s ■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❜♦t❤ ❆♥♥ ❛♥❞ ❇♦❜ ❤❛✈❡ ❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■❢ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❤❛✈❡✱ s❛② ❝♦♥❝❛✈❡ ♦r ❝♦♥✈❡①✱ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝❡ ❛♥ ♦✉t❝♦♠❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ❜❡tt❡r ❢♦r ❜♦t❤ ♣❛rt✐❡s t❤❛♥ t❤❡ ♦♥❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② AW❄

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥s ❚✇♦ ❢✉♥❝t✐♦♥s u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❜❡♥❡✜t ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐❢ ✶✳ u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✷✳ u1 ✐s ♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✭x < y ✐♠♣❧✐❡s u1(x) < u1(y)✮ ✸✳ u2 ✐s ❛♥t✐✲♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✭x < y ✐♠♣❧✐❡s u2(y) < u2(x)✮ ✹✳ u1(0) = u2(1) ❛♥❞ u1(1) = u2(0)

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

◆♦♥✲❧✐♥❡❛r ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥s ❚✇♦ ❢✉♥❝t✐♦♥s u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❜❡♥❡✜t ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐❢ ✶✳ u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✷✳ u1 ✐s ♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✭x < y ✐♠♣❧✐❡s u1(x) < u1(y)✮ ✸✳ u2 ✐s ❛♥t✐✲♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✭x < y ✐♠♣❧✐❡s u2(y) < u2(x)✮ ✹✳ u1(0) = u2(1) ❛♥❞ u1(1) = u2(0) ▲❡♠♠❛ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ❜❡♥❡✜t ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ ✐❢ u1 ❛♥❞ u2 ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✐♥t x0 s✉❝❤ t❤❛t u1(x0) = u2(x0) ❛♥❞ u1(x0) ≥ (u1(0) + u1(1))/2 ✭u2(x0) ≥ (u1(0) + u1(1))/2✮✳

❙♦♠❡ ◆❡✇ ❘❡s✉❧ts ♦♥ ❆❞❥✉st❡❞ ❲✐♥♥❡r ▼❆❘❆ ✷✵✵✺

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