st t st rrs - - PowerPoint PPT Presentation

▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s ❛♥❞ t❤r❡s❤♦❧❞❡❞ ▲❛ss♦ ❢♦r ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r r❡❣r❡ss✐♦♥

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦

❋❛❝✉❧t② ♦❢ ❆♣♣❧✐❡❞ ■♥❢♦♠❛t✐❝s ❛♥❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❲❛rs❛✇ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▲✐❢❡ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❙●●❲✮

❇➛❞❧❡✇♦ ✶✳✶✷✳✷✵✶✻

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❖✉t❧✐♥❡ ▲✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❙✉❜❣❛✉ss✐❛♥ ❡rr♦rs❀ ❚✇♦ st❡♣s s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❚▲❙❉❀ ❙t❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡❀ ❚❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡❀ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②✳

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

▲✐♥❡❛r ▼♦❞❡❧

Y = Xβ + ε✱ (ǫi) ✐✳✐✳❞✳✱ E(ǫ✶) = ✵✱ Var(ǫ✶) = σ✷✱ ǫ✶ ✐s ❙✉❜❣❛✉ss✐❛♥ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t σ > ✵ ✐✳❡✳ E(exp(uǫ✶)) ≤ exp(σ✷u✷/✷) ❢♦r ❛❧❧ u ∈ R X ✲❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠❛tr✐① ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n ① p❀ β ∈ Rp❀ p = p(n) ❃ ❃ n❀ ❲❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② s♣❛rs❡ ♠♦❞❡❧s ✭✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ βi ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ✵✮ ❛♥❞ ♠❛tr✐① X s❛t✐s✜❡s s♦♠❡ r❡❣✉❧❛r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

▲❡❛st ❆❜s♦❧✉t❡ ❙❤r✐♥❦❛❣❡ ❛♥❞ ❙❝r❡❡♥✐♥❣ ❖♣❡r❛t♦r ✭▲❆❙❙❖✮

▲❆❙❙❖

• βL = argminβ∈Rp ✶

✷n Y − Xβ ✷ ✷ +λn β ✶

• ❢♦r s♦♠❡ λn ❃✵

❚❤r❡s❤♦❧❞❡❞ ▲❆❙❙❖ ✭❚▲✮

• βTL,j =

βL,j✶

• βL,j
• ≥ δn
• ❢♦r j = ✶, ..., p

❢♦r s♦♠❡ t❤r❡s❤♦❧❞ δn ❃✵❀

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙♣❛rs❡ ▼♦❞❡❧

❙♣❛rs❡ ▼♦❞❡❧ I✵ = {j : βj = ✵} , I✶ = {j : βj = ✵} |I✵| = p✵ < n p✵ ✲✐s ❝♦♥st❛♥t✱ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ n

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❚✇♦ st❡♣s s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❚▲❙❉

❆t t❤❡ ✜rst st❡♣ (TL) ✇❡ ❝❤♦♦s❡ ❛ s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s S✶ =

• ✶ ≤ j ≤ p :
• βL,j
• ≥ δn
• ❆t t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣ ✇❡ ✉s❡ ❛ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ (SD)

♦❢ ♠✉❧t✐t❡st✐♥❣ (h✵) ❍i✿ βi = ✵ ✈s✳ H

′

i ✿ βi = ✵ ❞❧❛ i ∈ S✶

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙t❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡

❉❡✜♥❡ ♣✲✈❛❧✉❡ ❢♦r ❤②♣♦t❤❡s✐s t❡st✐♥❣ Hi ✈❡rs✉s H

′

i ❛s

πi = ✷ (✶ − Φ(|ti|)) ❢♦r i ∈ S✶✱ ✇❤❡r❡ Φ ✐s t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ N (✵, ✶) . ❚❡st ❙t❛t✐st✐❝s ti = βols,i/se

• βols,i
• ✱ ✇❤❡r❡
• βols =
• XS

′

✶XS ✶

−✶ XS

′

✶Y

se

• βols,i
• =
• σ√mi,i

✐❢ σ ✐s ❦♥♦✇♥ ❙√mi,i ✐❢ σ ✉♥❦♥♦✇♥ S ✲s♦♠❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ❡st✐♠❛t♦r ♦❢ σ ❛♥❞

• XS

′

✶XS ✶

−✶ = (mi,j)i,j∈S✶

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙t❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡

▲❡t s✶ = |S✶| ❲❡ ❤❛✈❡ ♣✲✈❛❧✉❡s ♦r❞❡r❡❞ π(✶) ≤ ... ≤ π(s✶) ❛♥❞ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s H(✶) ≤ ... ≤ H(s✶) α✶ ≤ ... ≤ αs✶ ✲s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥ts ✭♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ n✮ ■❢ π(✶) > α✶✱ t❤❡♥ ✇❡ ❞♦ ♥♦t r❡❥❡❝t ❛♥② ❤②♣♦t❤❡s✐s Hi❀ (h✶) ♦t❤❡r✇✐s❡ ✐❢ π(✶) ≤ α✶, ..., π(r) ≤ αr t❤❡♥✱ ✇❡ r❡❥❡❝t H(✶), ..., H(r)✱ ✇❤❡r❡ r ✐s t❤❡ ❧❛r❣❡st ♥✉♠❜❡r s❛t✐s❢②✐♥❣ (h✶) .

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❙❉ ♣r♦❝❡❞✉r❡s ❛) Holm αj =

qn s✶+✶−j

❜) UHolm αj =

([γj]+✶)qn s✶+[γj]+✶−j ❞❧❛ ✵ ≤ γ ≤ ✶

❝) BH αj = jqn

s✶

❞) Bonferroni αj = qn

s✶ ❢♦r s♦♠❡ qn → ✵

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r αi ❢♦r st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝✳

(A✶) αs✶ → ✵ ❛s n → ∞ (A✷) (✶/n) ❧♦❣(✶/α✶) → ✵ ❛s n → ∞ ❘❡♠❛r❦✳ ❋♦r qn = ✶/ (n ❧♦❣(n)) t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (A✶) − (A✷) ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞.

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡❣✉❧❛r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

❘❡❣✉❧❛r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❛ ♠❛tr✐① X (B✶) xj ✷ /√n = ✶ ❢♦r j = ✶, ..., p✱ ✇❤❡r❡ xj ✲❥t❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ ♠❛tr✐① X (B✷) let ✈I ✶ = {vi : i ∈ I✶}✱ vI ✵ = {vi : i ∈ I✵}❀ C (I✵; ✸) = {v ∈ Rp : vI ✶ ✶≤ ✸ vI ✵ ✶}❀ ❢♦r s♦♠❡ γ > ✵ t❤❡ ❜❡❧♦✇ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s s❛t✐s✜❡❞ (✶/n) v

′X ′Xv ≥ γ v ✷

✷ ❢♦r ❡✈❡r② v ∈ C (I✵; ✸)

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡❣✉❧❛r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

r❡❣✉❧❛r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❡st✐♠❛t♦rs (B✸) ♠✐♥j∈I✵ |βj| ≥ C✶λn ❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t C✶ > ✵ (B✹) ❈✷λn ≤ δn ≤ λn (C✶ − ✸/γ) ❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t C✷ > ✵ (B✺) λn = Cλ

• ❧♦❣(p)/n ❢♦r Cλ = ✷σ✳

❝♦♥s✐st❡♥❝② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r S (C) ❙ →P σ ❛s n → ∞

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❚❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡

❈♦♥s✐st❡♥❝② ❚❤❡♦r❡♠ ❆♥② ❚▲❙❉ ♣r♦❝❡❞✉r❡ s❛t②s❢②✐♥❣✿ (A✶) − (A✷) , (B✶) − (B✺) ✐❢ σ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛♥❞ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② (C) ✐❢ σ ✐s ✉♥❦♥♦✇♥✱ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ❢♦r s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❆ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✐❢ P

• I = I✵
• → ✶ ❛s n → ∞✱

✇❤❡r❡ I ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤♦s❡♥ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❆✉①✐❧❧✐❛r② r❡s✉❧ts

▲❡♠♠❛ ✶ ▲❡t (B✷) , (B✹) , (B✺) ❜❡ s❛t✐s✜❡❞. ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② r > ✵ ❛t ❧❡❛st ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ✷ ❡①♣(− ✶

✷ (r − ✷) ❧♦❣(p))✱ ✇❡ ❤❛✈❡ |S✶| ≤ p✵

• ✶ + C✸/γ✷

❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t C✸ > ✵✳ ▲❡♠♠❛ ✷ ▲❡t (B✷) , (B✸) , (B✺) ❜❡ s❛t✐s✜❡❞. ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② r > ✵ ❛t ❧❡❛st ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − ✷ ❡①♣(− ✶

✷ (r − ✷) ❧♦❣(p))✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I✵ ⊂ S✶✳

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙❦❡t❝❤ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❆ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✐❢ P (V ≥ ✶) → ✵ ❛♥❞ P (R = p✵) → ✵ ❛s n → ∞✱ ✇❤❡r❡ V ✲t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❧s❡ r❡❥❡❝t❡❞ ♣r❡❞♦❝t♦rs✱ R ✲t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛❧❧ r❡❥❡❝t❡❞ ♣r❡❞✐❝t♦rs ✉s✐♥❣ ❚▲❙❉ ♣r♦❝❡❞✉r❡✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✷ ✐t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t P

• V ≥ ✶
• → ✵ ❛♥❞ P
• R = p✵
• → ✵✱ ✇❤❡r❡

V ✲t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❧s❡ r❡❥❡❝t❡❞ ♣r❡❞✐❝t♦rs✱ R ✲t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛❧❧ r❡❥❡❝t❡❞ ♣r❡❞✐❝t♦rs ✉s✐♥❣ t❤❡ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ (h✵) − (h✶) .

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙❦❡t❝❤ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❇② ▲❡♠♠❛ ✶ ✐t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ s❤♦✇ (p. Furmanczyk, ✷✵✶✻) (i) P(πi ≤ αs✶) → ✵ ❢♦r i ∈ I✶ (ii) ♠❛①j∈I✵ (✶ − Fj (α✶)) ∈ ✵ ❛s n → ∞✱ ✇❤❡r❡ Fj ✲❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ♣✲✈❛❧✉❡ πj ❢♦r j ∈ I✵✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (i) − (ii) ❛r❡ ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (A✶) , (A✷) , (C) .

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❚❤❡ ♠❛tr✐① X ✐s ✜①❡❞ ❢♦r ❛❧❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ Np (✵, Id) ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❙✐♠✉❧❛t❡❞ ♠♦❞❡❧s (M✶) ❨❂p✵

j=✶ ✷Xj + ǫ

(M✷) ❨❂✶✳✸❳✶ + X✷ + ✶.✹X✸ + ✶.✺X✹ + ǫ (M✸) ❨❂✶✳✸❳✶+✶.✸X✷+X✸+X✹+✶.✹X✺+✶.✹X✻+✶.✺X✼+✶.✺X✽+ǫ✱ ✇❤❡r❡ ǫ ∼ N (✵, ✶)

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s

■♥ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✇❡ s❡t δn =

• ❧♦❣(p)/n ❛♥❞

λn = ✷

• ❧♦❣(p)/n ∗ seq(✶✵, ✵.✵✺, by = −✵.✵✺) ❢♦r ❝r♦ss✲✈❛❧✐❞❛t✐♦♥

❢♦r ▲❛ss♦✳ ✶✵✵✵ ▼❈ r❡♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ (M✶) − (M✸) ✇❡r❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t✳ ❲❡ ✉s❡❞ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r ❚▲❙❉✭❍♦❧♠✱ ❯❍♦❧♠✱ ❇♦♥❢✳✱ ❇❍✮ ❛♥❞ ❢♦r ❝♦♠❛♣❛r✐s✐♦♥ ❚▲✱ ❙❈❆❉✳ ❙❈❆❉ ✭❙♠♦♦t❤❧② ❈❧✐♣♣❡❞ ❆❜s♦❧✉t❡ ❉❡✈✐❛t✐♦♥ ✲ ❋❛♥ ❛♥❞ ▲✐ ✭✷✵✵✶✮ ✮

• β = argminβ∈Rp Y − Xβ ✷

✷ /n + p i=✶ Jλ (|βi|)

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❙❈❆❉

❚❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢♦r a = ✸.✼ Jλ (θ) =      λ |θ| ❢♦r |θ| ≤ λ −

• θ✷ − ✷aλ |θ| + λ✷

/ (✷ (a − ✶)) ❢♦r λ < |θ| ≤ aλ (a + ✶) λ✷/✷ ❢♦r |θ| > aλ ❢♦r ▲❆❙❙❖ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② Jλ (θ) = λ |θ|

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡s✉❧ts ❢♦r ▼✶ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

p=✺✵✵ p✵=✺ p=✺✵✵ p✵=✶✵ p=✺✵✵ p✵=✷✵ p=✶✵✵✵ p✵=✷✵ p=✷✵✵✵ p✵=✺ p=✷✵✵✵ p✵=✶✵

❇♦♥❢ ✾✽✼ ✾✽✻ ✾✽✸ ✾✽✵ ✾✾✺ ✾✾✵ ❍♦❧♠ ✾✽✵ ✾✻✺ ✾✵✹ ✾✵✹ ✾✾✹ ✾✼✾ ❯❍♦❧♠❴✵✳✵✶ ✾✽✵ ✾✻✺ ✾✵✹ ✾✵✹ ✾✾✹ ✾✼✾ ❯❍♦❧♠❴✵✳✶ ✾✽✵ ✾✻✹ ✽✾✺ ✽✾✾ ✾✾✹ ✾✼✾ ❯❍♦❧♠❴✵✳✺ ✾✽✵ ✾✻✹ ✽✾✵ ✽✾✺ ✾✾✹ ✾✼✾ ❯❍♦❧♠❴✵✳✾ ✾✽✵ ✾✻✺ ✽✾✵ ✽✾✺ ✾✾✹ ✾✼✾ ❇❍ ✾✽✵ ✾✻✸ ✽✽✵ ✽✽✾ ✾✾✹ ✾✼✽ ❙❈❆❉ ✶✸ ✷✻ ✹✸ ✸✸ ✸ ✻ ❚▲ ✾✼✹ ✾✸✵ ✺✽✾ ✺✼✸ ✾✾✹ ✾✻✵ ❚❛❜❧❡ ✶✳ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ tr✉❡ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥ ✶✵✵✵ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r n = ✷✵✵✳

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡s✉❧ts ❢♦r ▼✷ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

p=✺✵✵ n=✶✵✵ p=✺✵✵ n=✷✵✵ p=✶✵✵✵ n=✶✵✵ p=✶✵✵✵ n=✷✵✵ p=✷✵✵✵ n=✶✵✵ p=✷✵✵✵ n=✷✵✵

❇♦♥❢

✾✾✶ ✾✾✸ ✾✾✺ ✾✾✷ ✾✾✼ ✾✾✼

❍♦❧♠

✾✽✾ ✾✾✵ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❯❍♦❧♠❴✵✳✵✶

✾✽✾ ✾✾✵ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❯❍♦❧♠❴✵✳✶

✾✽✾ ✾✾✵ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❯❍♦❧♠❴✵✳✺

✾✽✾ ✾✾✵ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❯❍♦❧♠❴✵✳✾

✾✽✾ ✾✾✵ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❇❍

✾✽✽ ✾✽✽ ✾✾✹ ✾✾✶ ✾✾✼ ✾✾✻

❙❈❆❉

✸✽ ✶✹ ✸✸ ✼ ✶✼ ✼

❚▲

✾✽✻ ✾✽✺ ✾✾✸ ✾✾✶ ✾✾✻ ✾✾✺

❚❛❜❧❡ ✷✳ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ tr✉❡ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥ ✶✵✵✵ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡s✉❧ts ❢♦r ▼✸ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

p=✺✵✵ n=✶✵✵ p=✺✵✵ n=✷✵✵ p=✶✵✵✵ n=✶✵✵ p=✶✵✵✵ n=✷✵✵ p=✷✵✵✵ n=✶✵✵ p=✷✵✵✵ n=✷✵✵

❇♦♥❢

✾✼✼ ✾✽✽ ✾✼✹ ✾✾✷ ✾✽✹ ✾✾✵

❍♦❧♠

✾✷✾ ✾✼✷ ✾✺✶ ✾✽✾ ✾✻✹ ✾✽✼

❯❍♦❧♠❴✵✳✵✶

✾✷✾ ✾✼✷ ✾✺✶ ✾✽✾ ✾✻✹ ✾✽✼

❯❍♦❧♠❴✵✳✶

✾✷✾ ✾✼✷ ✾✺✶ ✾✽✾ ✾✻✹ ✾✽✼

❯❍♦❧♠❴✵✳✺

✾✷✾ ✾✼✷ ✾✺✶ ✾✽✾ ✾✻✸ ✾✽✼

❯❍♦❧♠❴✵✳✾

✾✷✾ ✾✼✷ ✾✺✵ ✾✽✾ ✾✻✸ ✾✽✼

❇❍

✾✷✹ ✾✼✵ ✾✹✺ ✾✽✾ ✾✻✵ ✾✽✼

❙❈❆❉

✻✽ ✶✺ ✹✸ ✶✵ ✸✵ ✹

❚▲

✽✸✸ ✾✺✼ ✽✽✾ ✾✽✼ ✽✾✼ ✾✽✺ ❚❛❜❧❡ ✸✳ ❋r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ tr✉❡ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥ ✶✵✵✵ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r

❑♦♥r❛❞ ❋✉r♠❛➠❝③②❦ ▼♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❇❡♥❥❛♠✐♥✐✱ ❨✳✱ ▲✐✉✱ ❲✳ ✭✶✾✾✾✮✳ ❆ st❡♣✲❞♦✇♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❤②♣♦t❤❡s❡s t❡st✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t❤❛t ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ ❢❛❧s❡ ❞✐s❝♦✈❡r② r❛t❡ ✉♥❞❡r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ❏✳ ❙t❛t✐st✳ P❧❛♥♥✳ ■♥❢❡r✳ ✽✷✱ ✶✻✸✲✶✼✵✳ ❇✉♥❡❛✱ ❋✳✱ ❲❡❣❦❛♠♣✱ ▼✳❍✳✱ ❆✉❣✉st❡✱ ❆✳ ✭✷✵✵✻✮✳ ❈♦♥s✐st❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✐♥ ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss✐♦♥ ✈✐❛ ♠✉❧t✐♣❧❡ t❡st✐♥❣✳ ❏✳ ❙t❛t✐st✳ P❧❛♥♥✳ ■♥❢❡r✳ ✶✸✻✱ ✶✷✱ ✹✸✹✾✲✹✸✻✹✳ ❋❛♥✱ ❏✳❛♥❞ ▲✐✱ ❘✳ ✭✷✵✵✶✮✳ ❱❛r✐❛❜❧❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ✈✐❛ ♥♦♥❝♦♥❝❛✈❡ ♣❡♥❛❧✐③❡❞ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❛♥❞ ✐ts ♦r❛❝❧❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❏✳ ❆♠❡r✳ ❙t❛t✐st✳ ❆ss♦❝✳ ✾✻✱ ✶✸✹✽✕✶✸✻✵✳ ❋r✐❡❞♠❛♥✱ ❏✳✱ ❍❛st✐❡✱ ❚✳✱ ❙✐♠♦♥✱ ◆✳ ❛♥❞ ❚✐❜s❤✐r❛♥✐✱ ❘✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❣❧♠♥❡t✿ ▲❛ss♦ ❛♥❞ ❡❧❛st✐❝✲♥❡t r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧s✳ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ✈❡rs✐♦♥ ✷✳✵✳ ❋✉r♠❛➠❝③②❦✱ ❑✳ ✭✷✵✶✹✮✳ ❙❡❧❡❝t✐♦♥ ✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧s ✈✐❛ s♦♠❡ st❡♣❞♦✇♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡s✳ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ✭❲❛rs❛✇✮ ✹✶✱ ✽✶✲✾✷✳

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