st sst s rs - - PowerPoint PPT Presentation

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Pr♦❝❡❞✉r❡ ❚♦t❛❧ st♦r❛❣❡ ❋❧♦♣s ❚✐♠❡ ✭s❡❝✳✮ ♦♥ ❈❘❆❨ ❏✾✵ ❋✉❧❧ ❙②st✳ ✹✵✽✹ ❑✇♦r❞s ✺✺✵✸ ✂✶✵✻ ✸✹✳✺ ❙♣❛rs❡ ❙②st✳ ✼✶ ❑✇♦r❞s ✶✵✼✸✂✶✵✻ ✸✳✹ ❙♣❛rs❡ ❙②st✳ ❛♥❞ r❡♦r❞❡r✐♥❣ ✶✹ ❑✇♦r❞s ✹✷✂✶✵✸ ✵✳✾

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✹

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s

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■ ■t ♣❡♥❛❧✐③❡s t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❙✇✐t❝❤✐♥❣ t♦ ❞❡♥s❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♥♦t s♣❛rs❡ ❡♥♦✉❣❤

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

✸

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

✹

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✼

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✿ ❆ s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ♣✐✈♦ts ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ❆ s②♠♠❡tr✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ ❣r❛♣❤

• ✵ ❂ ✭❱ ✵❀ ❊✵✮

■ ❱❡rt✐❝❡s ❛r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❝♦❧✉♠♥s ✿ ❱ ✵ ❂ ❢✶❀ ✿✿✿❀ ♥❣ ■ ❊❞❣❡s ❊✵ ❛r❡ ❞❡☞♥❡❞ ❜② ✿ ✭✐❀ ❥✮ ✷ ❊✵ ✩ ❛✐❥ ✻❂ ✵ ■ ●✵ ✉♥❞✐r❡❝t❡❞ ✭s②♠♠❡tr② ♦❢ ❆✮ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✽

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❘❡♠❛r❦s ✿

■ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ❂ ❥❆❞❥●✵✭❥✮❥ ■ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ✑ r❡♥✉♠❜❡r✐♥❣ t❤❡ ❣r❛♣❤

3 4 2 5 1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Symmetric matrix Corresponding graph

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✽

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♠♦❞❡❧

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s ▲❡t ✈✐ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ✐♥❞❡① ✐✳ ●✵ ❂ ●✭❆✮✱ ✐ ❂ ✶✳ ❆t ❡❛❝❤ st❡♣ ❞❡❧❡t❡ ✈✐ ❛♥❞ ✐ts ✐♥❝✐❞❡♥t ❡❞❣❡s ❆❞❞ ❡❞❣❡s s♦ t❤❛t ✈❡rt✐❝❡s ✐♥ ❆❞❥✭✈✐✮ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❛❞❥❛❝❡♥t ✐♥

• ✐ ❂ ●✭❍✐✮✳
• ✐ ❛r❡ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s✳

4 3 2 1 6 5

1 2 3 4 5 6

H0 = G0 :

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✾

❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

4 3 2 1 6 5 G0 : 4 3 2 6 5 6 5 3 4 G2 : H2 =

3 4 5 6 4 5 6

H3 = 6 5 4 G1 : G3 :

1 2 3 4 5 6

H0 =

2 3 4 5 6

H1 =

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ●✰✭❆✮

▲❡t ❋ ❂ ▲ ✰ ▲❚ ❜❡ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ ●✭❋✮ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❆ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ●✰✭❆✮✳ ▲❡♠♠❛ ✭P❛rt❡r ✶✾✻✶✮ ✿ ✭✈✐❀ ✈❥✮ ✷ ●✰ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✭✈✐❀ ✈❥✮ ✷ ● ♦r ✾❦ ❁ ♠✐♥✭✐❀ ❥✮ s✉❝❤ t❤❛t ✭✈✐❀ ✈❦✮ ✷ ●✰ ❛♥❞ ✭✈❦❀ ✈❥✮ ✷ ●✰✳

5 1 6 2 3 4

+

G (A) = G(F) F = L + L

T 1 2 3 4 5 6

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❆ ☞rst ❞❡☞♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡

❆ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ● ✐s ❛ s✉❜❣r❛♣❤ ❚ ♦❢ ● s✉❝❤ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣❛t❤ ✐♥ ● ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ ✐♥ ❚✳ ▲❡t ❆ ❜❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♣♦s✐t✐✈❡✲❞❡☞♥✐t❡ ♠❛tr✐① ❆ ❂ ▲▲❚ ✐ts ❈❤♦❧❡s❦② ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ●✰✭❆✮ ✐ts ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ✭❣r❛♣❤ ♦❢ ❋ ❂ ▲ ✰ ▲❚✮✳

❉❡☞♥✐t✐♦♥

❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ♦❢ ❆ ✐s ❛ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ●✰✭❆✮ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ P❆❘❊◆❚❬❥❪ ❂ ♠✐♥❢✐ ❃ ❥❥❧✐❥ ✻❂ ✵❣✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✷

• r❛♣❤ str✉❝t✉r❡s

+

G (A) = G(F)

a

h i d e j b f c g j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 h 8 d 4 e 5 b 2 f 6 c 3

a

1 i 9 g 7 j 10

a b c d e f g h i j

entries in T(A) fill−in entries

F = A =

a b c d e f g h i j a b c d e f g h i j

entries in T(A) fill−in entries

F = A =

a b c d e f g h i j

G(A) T(A)

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡

❆♥♦t❤❡r ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ❛❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ▲ ✿

✶

❈♦❧✉♠♥ ✐ ❃ ❥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ✐☛ ❧✐❥ ✻❂ ✵

✷

❯s❡ ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ t♦ ❡①♣r❡ss t❤✐s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝②

✸

❙✐♠♣❧✐❢② r❡❞✉♥❞❛♥t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ✭tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❣r❛♣❤ t❤❡♦r②✮

❚❤❡ tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❣✐✈❡s t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ str✉❝t✉r❡

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✹

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❉✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ✐ts tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥

h 8 d 4 e 5 b 2 f 6 c 3

a

1 i 9 g 7 j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 j 10

T(A) Directed filled graph Transitive reduction

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✺

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

✸

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

✹

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✻

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s✴♦✉t❧✐♥❡

❘❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❛♥❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✿ ✭❧♦❝❛❧ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✮✳

■ ■♥❝r❡❛s❡ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✭✇✐❞❡ tr❡❡✮ ■ ❉❡❝r❡❛s❡ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ✭❞❡❡♣ tr❡❡✮

❊q✉✐✈❛❧❡♥t ♦r❞❡r✐♥❣s ✿ ✭❚r❛✈❡rs❡ tr❡❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ✇♦r❦✐♥❣ ♠❡♠♦r②✮ ❘❡♦r❞❡r ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s t♦ s♣❡❝✐❛❧ ❢♦r♠s ✿

■ ❜❧♦❝❦ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐① ✿ ■ ✇✐t❤ ✭❧❛r❣❡✮ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✭♠❛①✐♠✉♠

tr❛♥s✈❡rs❛❧✮✳

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✽

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

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❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✾

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

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• ❧♦❜❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✿ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♣❡r♠✉t❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❛

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■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♦❝❝✉r ✇✐t❤✐♥ t❤❛t str✉❝t✉r❡ ■ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✭❜❧♦❝❦ tr✐❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐①✮ ■ ◆❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ✭❭❜❧♦❝❦ ❜♦r❞❡r❡❞✧ ♠❛tr✐①✮✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✵

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5 3 4 6 1 2

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

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• ♦❛❧ ✿ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♣r♦☞❧❡✴❜❛♥❞✇✐❞t❤ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①

✭t❤❡ ☞❧❧ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ❜❛♥❞ str✉❝t✉r❡✮ ▲❡✈❡❧ s❡ts ✭s✉❝❤ ❛s ❇r❡❛❞t❤ ❋✐rst ❙❡❛r❝❤✮ ❛r❡ ❜✉✐❧t ❢r♦♠ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✭♣r✐♦r✐t② t♦ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r✮ ❲❡ ❣❡t ✿ ❙✶ ❂ ❢✷❣❀ ❙✷ ❂ ❢✶❣❀ ❙✸ ❂ ❢✹❀ ✺❣❀ ❙✹ ❂ ❢✸❀ ✻❣ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✷✱ ✶✱ ✹✱ ✺✱ ✸✱ ✻✳ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿

❆ ❂ 2 6 6 6 6 6 6 4 ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① 3 7 7 7 7 7 7 5

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡

❚❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✐s t❤❡ r❡✈❡rs❡ ♦❢ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✐✳❡✳ ♦♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢✻❀ ✸❀ ✺❀ ✹❀ ✶❀ ✷❣ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿

❆ ❂ 2 6 6 6 6 6 6 4 ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① 3 7 7 7 7 7 7 5

▼♦r❡ ❡✍❝✐❡♥t t❤❛♥ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛t r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❡♥✈❡❧♦♣ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✸

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛

❍❛r✇❡❧❧✲❇♦❡✐♥❣ ♠❛tr✐① ✿ ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛✱ str✉❝t✉r❛❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ♦♥ ❛ s✉❜♠❛r✐♥❡✳ ◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✺✽✷✵✷ ❖r✐❣✐♥❛❧ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♠❛tr✐①

100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 5104 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 58202

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛

◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✶✻✾✷✹ P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♣❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ✭❘❈▼✮

100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 5104 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 16924

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

◆❡st❡❞ ❉✐ss❡❝t✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❣r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣✳

• r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣

P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐①

(1) (5) (4) (2) S1 S2 S3

S1 1 2 3 4

S2 S3 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✺

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s t♦ r❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

▲❡t ●✭❆✮ ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ♠❛tr✐① ❆ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ♦r❞❡r ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✳ ▲❡t ▼❡tr✐❝ s✉❝❤ t❤❛t ▼❡tr✐❝✭✈✐✮ ❁ ▼❡tr✐❝✭✈❥✮ ✐♠♣❧✐❡s ✈✐ ✐s ❛ ❜❡tt❡r t❤❛♥ ✈❥

• ❡♥❡r✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▲♦♦♣ ✉♥t✐❧ ❛❧❧ ♥♦❞❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❙t❡♣✶ ✿ s❡❧❡❝t ❝✉rr❡♥t ♥♦❞❡ ♣ ✭s♦ ❝❛❧❧❡❞ ♣✐✈♦t✮ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ♠❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡✱ ❙t❡♣✷ ✿ ✉♣❞❛t❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✱ ❙t❡♣✸ ✿ ✉♣❞❛t❡ ▼❡tr✐❝✭✈❥✮ ❢♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲s❡❧❡❝t❡❞ ♥♦❞❡s ✈❥✳ ❙t❡♣✸ s❤♦✉❧❞ ♦♥❧② ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♥♦❞❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ▼❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡ ♠✐❣❤t ❤❛✈❡ ❝❤❛♥❣❡❞✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✻

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥

❆t st❡♣ ❦ ♦❢ ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✿

A k L U

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✐ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ r♦✇ ✐ ♦❢ ❆❦

■ ❝❦

❥ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ♦❢ ❆❦

■ ❛❦❦ ♠✉st ❜❡ ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤ ❛♥❞ s❤♦✉❧❞ ♠✐♥✐♠✐③❡

✭r❦

✐ ✶✮ ✂ ✭❝❦ ❥ ✶✮

✽✐❀ ❥ ❃ ❦

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ ❞✐❛❣♦♥❛❧❧② ❞♦♠✐♥❛♥t ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❙t❡♣ ✶ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ✈❡rt❡① t❤❛t ♣♦ss❡ss❡s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥ ●✵✳

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

1 4 3

5

6

8 9 10

2 7

(a) Sparse symmetric matrix (b) Elimination graph

❚❤❡ ♥♦❞❡✴✈❛r✐❛❜❧❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐s ✶ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✽

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

◆♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤

■ ▲❡t ●❦ ❂ ✭❱ ❦❀ ❊❦✮✱ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❜✉✐❧t ❛t st❡♣ ❦✳ ■ ●❦ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❆❦ ❛❢t❡r ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❦ ♣✐✈♦ts✳ ■ ●❦ ✐s ♥♦♥✲♦r✐❡♥t❡❞ ✭❆❦ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✮ ■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐♥ ❆❦ ✑ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s ✐♥ t❤❡ ❣r❛♣❤✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✾

■❧❧✉str❛t✐♦♥

❙t❡♣ ✶ ✿ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♣✐✈♦t ✶

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 3

5

6

8 9 10

2 7 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

7 4 3

5

6

8 9 10

2 1

(a) Elimination graph (b) Factors and active submatrix

Initial nonzeros Fill−in Nonzeros in factors

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❙t❡♣ ❦ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ♥♦❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs

• ❦ ✐s ❜✉✐❧t ❢r♦♠ ●❦✶ ❜② s✉♣♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ♣✐✈♦t ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s

❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ☞❧❧✲✐♥✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✭❝♦♥t✬❞✮

• r❛♣❤s ●✶❀ ●✷❀ ●✸ ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❞✉❝❡❞ ♠❛tr✐❝❡s✳

e 7 4 3

5

6

8 9 10

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 3

5

6

8 9 10

7

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

4

5

6

8 9 10

7

(a) Elimination graphs (b) Factors and active submatrices

Original nonzero Fill−in Original nonzero modified Nonzeros in factors ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❉❡❣r❡❡ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♠✐♥✐♠✐③❡ ☞❧❧✲✐♥ ✦ ✦ ✦

1 2 3 4 6 7 8 9 5

4 3 1 2 6 7 9 8 5 4 3 1 2 6 7 9 8 Consider the following matrix Remark: Using initial ordering No fill−in Corresponding elimination graph Step 1 of Minimum Degree: Select pivot 5 (minimum degree = 2) Updated graph Add (4,6) i.e. fill−in ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✸

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ r❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❊①❛♠♣❧❡ ✭✶✮ ♦❢ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤

❚♦♣✲❞♦✇♥ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❜♦tt♦♠✲✉♣ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ✿ ❆♣♣❧② ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ✭◆❉✮ ♦♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤ ❇♦tt♦♠✲✉♣ ✿ ▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝ ♦♥ ❡❛❝❤ s✉❜❣r❛♣❤

• ❡♥❡r❛❧❧② ❜❡tt❡r ❢♦r ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ✐rr❡❣✉❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛♥

■ ♣✉r❡ ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ■ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✺

✭✶ ❝♦♥t✮ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤

• r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣

P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐①

(1) MD MD MD MD (5) (4) (2) S1 S2 S3

S1 1 2 3 4

S2 S3

❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤

1 2 S2 3 4 S3 MD ND S1

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

✸

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

✹

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❆▼❉ ❉❡❡♣ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ♦♥ t♦♣ ❆▼❋ ❱❡r② ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✽

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s P❖❘❉ ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❙❈❖❚❈❍ ❱❡r② ✇✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ▼❊❚■❙ ❲✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧❡r ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ✭t❤❛♥ ❙❈❖❚❈❍✮

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

■♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐♥ t❤❡ tr❡❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ t❛s❦ t❤❛t ✿ ✲ ❝♦♥s✉♠❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❤✐❧❞r❡♥✱ ✲ ♣r♦❞✉❝❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛✱ t❤❛t ✐s ♣❛ss❡❞ t♦ t❤❡ ♣❛r❡♥t ♥♦❞❡✳ ❲✐❞❡ tr❡❡

■ ●♦♦❞ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ■ ▼❛♥② t❡♠♣♦r❛r② ❜❧♦❝❦s t♦ st♦r❡ ■ ▲❛r❣❡ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡

❉❡❡♣ tr❡❡

■ ▲❡ss ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ■ ❙♠❛❧❧❡r ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✵

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❙❝❤❡❞✉❧✐♥❣ t❛s❦s ✐♥ t❤❡ tr❡❡ ✭tr❡❡ tr❛✈❡rs❛❧✮

❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✿ ♣❛r❡♥ts ❛r❡ ♣r♦❝❡ss❡❞ ❛s s♦♦♥ ❛s ❛❧❧ ❝❤✐❧❞r❡♥ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ✭♣♦st♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮

• ✐✈❡♥ ❛ tr❡❡✱ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ tr❡❡ tr❛✈❡rs❛❧✳

a b a b c d f e g h c d e f g h i i Best (abcdefghi) Worst (hfdbacegi)

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

▼❡♠♦r②✲♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ s❝❤❡❞✉❧❡s

▼✐ ✿ ♠❡♠♦r② ♣❡❛❦ ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡ s✉❜tr❡❡ r♦♦t❡❞ ❛t ✐✱ t❡♠♣✐ ✿ t❡♠♣♦r❛r② ♠❡♠♦r② ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ♥♦❞❡ ✐✱ ♠ ✿ ♠❡♠♦r② ❢♦r st♦r✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❡♥t✳

M2 M3 M(parent) M1

temp3 temp2 temp1

▼♣❛r❡♥t ❂ ♠❛①✭

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♠❛①

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▼❡♠♦r②✲♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ s❝❤❡❞✉❧❡s

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✐❂✶ ②❥✮ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡

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P0 P0 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME : STATIC 2D static decomposition

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P0 P1 P0 P0 P1 P3 P2 P1 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P3 P0 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME : STATIC P2 : DYNAMIC 2D static decomposition

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P0 P1 P0 P0 P1 P3 P2 P1 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P3 P0 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME P0 P3 P2 : STATIC P2 1D pipelined factorization : DYNAMIC P3 and P0 chosen by P2 at runtime 2D static decomposition

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Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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❖❜❥❡❝t✐❢s

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▼✓ ❡t❤♦❞❡ ♠✉❧t✐❢r♦♥t❛❧❡

▼✓ ❡t❤♦❞❡ ♠✉❧t✐❢r♦♥t❛❧❡ ✭❉✉☛✱ ❘❡✐❞✬✽✸✮

3 5 4 2 1 1 2 3 4 5 3 5 4 2 1 1 2 3 4 5

A=

Non Zéro Zéro Remplissage

L+U−I

Remplissage

▼✓ ❡♠♦✐r❡ ❞✐✈✐s✓ ❡❡ ❡♥ ❞❡✉① ♣❛rt✐❡s ✿ ♠✓ ❡♠♦✐r❡ ❛❝t✐✈❡ ❀ ❢❛❝t❡✉rs✳

contribution) Pile Matrice frontale courante Zone facteur (blocs de Mémoire active

3 2 4 5 1

1 5 4 2 3 3 4 4 5 5

Facteur Bloc de contribution

L U L U L U L U U

❆r❜r❡ ❞✬❛ss❡♠❜❧❛❣❡

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✺

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

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✸

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

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■ ❋r❡❡ ❢❛❝t♦rs ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ■ ❖♥❧② ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ✭❢❛❝t♦rs ❛r❡ ❧♦st✮

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■ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❢❛❝t♦rs ■ t❤❡ ♣❡❛❦ ♦❢ ❛❝t✐✈❡ ♠❡♠♦r② ■ t❤❡ ♣❡❛❦ ♦❢ t♦t❛❧ ♠❡♠♦r② ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✼

❚②♣✐❝❛❧ ▼❡♠♦r② ❇❡❤❛✈✐♦✉r

❚②♣✐❝❛❧ ♠❡♠♦r② ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✭❆❯❉■❑❲ ✶ ♠❛tr✐①✱ ▼❊❚■❙✮

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 10 20 30 40 50 60 Memory peak Nb processors Active memory Factors zone Total memory

✭❛✮ ▼❡♠♦r②

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10 20 30 40 50 60 70 Maximum peak of active memory / maximum peak of total memory (ratio) Number of processors AUDIKW_1 CONESHL_MOD CONESHL2 CONV3D ULTRASOUND80

✭❜✮ ❆❝t✐✈❡ ♠❡♠♦r② ✴ t♦t❛❧ ♠❡♠♦r②

❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡

❋✐rst st❡♣ ✿ st♦r❡ ❢❛❝t♦rs ♦♥ ❞✐s❦ ✭✇❡❧❧ ❛❞❛♣t❡❞ ❢♦r ❢❡✇ ♣r♦❝❡ss♦rs✮ ❙❡❝♦♥❞ st❡♣ ✿ st❛❝❦ s❤♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ✭❧❛r❣❡r ♣r♦❜❧❡♠s ♦r ♠❛♥② ♣r♦❝❡ss♦rs✮

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

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• ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✾

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■ ❚❤r❡❛❞❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ✇✐t❤ ❜✉☛❡rs ■ ❙♦❧✉t✐♦♥ st❡♣ ✿ st✐❧❧ s②♥❝❤r♦♥♦✉s

Compute thread I/O thread

I/O Request I/O

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❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥t

▼❯▼P❙ ✿ ▼✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ P❛r❛❧❧❡❧ ❙♦❧✈❡r ❢♦r ❜♦t❤ ▲❯ ❛♥❞ ▲❉▲❚ ✳ ❚❡st ♣❧❛t❢♦r♠ ✿ ■❇▼ ♠❛❝❤✐♥❡ ❛t ■❉❘■❙ ✭❖rs❛②✱ ❋r❛♥❝❡✮ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ✹✲✇❛② ❛♥❞ ✸✷✲✇❛② P♦✇❡r✹✰ ♣r♦❝❡ss♦rs✳ ▼❡♠♦r② ❧✐♠✐ts ♣❡r ♣r♦❝❡ss♦r ✿ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♣r♦❝s ✶ ✷✲✶✻ ✶✼✲✻✹ ✻✺✲ ▼❛① ♠❡♠♦r② ✶✻ ●❇ ✹●❇ ✸✳✺●❇ ✶✳✸●❇ ❚❡st ♣r♦❜❧❡♠s ✿ ❧❛r❣❡ ♠❛tr✐❝❡s ✭❢r♦♠ P❆❘❆❙❖▲✱ ❙❆▼❚❊❈❍✱ ❈❊❆✴❈❊❙❚❆✱ ▼✳ ❙♦s♦♥❦✐♥❛✮✳

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❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s

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100 200 300 400 500 600 700 800 20 40 60 80 100 120 140 Elapsed time for factorization step (seconds) Number of processors IC Asynchronous OOC Synchronous OOC

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1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❛✮ ❆❯❉■❑❲ ✶

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❜✮ ❈❖◆❊❙❍▲ ▼❖❉

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❝✮ ❈❖◆❱✸❉✻✹

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❞✮ ❯▲❚❘❆❙❖❯◆❉✽✵

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

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0.1 1 10 100 1000 20 40 60 80 100 120 140 Time for solution step (in seconds) Number of processors

• ut-of-core

in-core

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10 100 1000 10000 20 40 60 80 100 120 140 Memory peak (millions of reals) Number of processors Total memory Active memory Pessimistic scheme Intermediate scheme Optimistic scheme

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

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