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st sst s rs r r t r s ts st


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SLIDE 1

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥s

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SLIDE 6

▼♦t✐✈❛t✐♦♥s

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■ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ✭s②♠♠❡tr②✱ ♣♦s✳ ❞❡☞♥✐t❡✱

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■ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♠❡♠♦r② ❞❡♣❡♥❞ ✈❡r② ♠✉❝❤ ♦♥ t❤❡

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SLIDE 13

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

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✸ ①✶ ✰ ✷ ①✷ ❂ ✺ ✷ ①✷ ✲ ✺ ①✸ ❂ ✶ ✷ ①✶ ✰ ✸ ①✸ ❂ ✵ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❆① ❂ ❜❀ ✇❤❡r❡ ❆ ❂ ✵ ❅ ✸ ✷ ✵ ✵ ✷ ✺ ✷ ✵ ✸ ✶ ❆✱ ① ❂ ✵ ❅ ①✶ ①✷ ①✸ ✶ ❆ ❀ ❛♥❞ ❜ ❂ ✵ ❅ ✺ ✶ ✵ ✶ ❆ ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐① ✿ ♦♥❧② ♥♦♥③❡r♦s ❛r❡ st♦r❡❞✳

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SLIDE 14

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐① ❄

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▼❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛ ✭◆❂✺✾✷✱ ◆❩❂✺✶✵✹✮ ❀ ❙tr✉❝t✉r❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❛ s✉❜♠❛r✐♥❡

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✶✹

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SLIDE 15

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss

❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❆① ❂ ❜ ❆ ✐s ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ✿

■ ❆ ✐s ❢❛❝t♦r✐③❡❞ ❛s ✿ ❆ ❂ ▲❯✱ ✇❤❡r❡

▲ ✐s ❛ ❧♦✇❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ ❯ ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐①✳

■ ❋♦r✇❛r❞✲❜❛❝❦✇❛r❞ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✿ ▲② ❂ ❜ t❤❡♥ ❯① ❂ ②

❆ ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✿

■ ❆ ❂ ▲❉▲❚ ♦r ▲▲❚ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✶✺

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SLIDE 16

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss

❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❆① ❂ ❜ ❆ ✐s ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ✿

■ ❆ ✐s ❢❛❝t♦r✐③❡❞ ❛s ✿ ❆ ❂ ▲❯✱ ✇❤❡r❡

▲ ✐s ❛ ❧♦✇❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ ❯ ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐①✳

■ ❋♦r✇❛r❞✲❜❛❝❦✇❛r❞ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✿ ▲② ❂ ❜ t❤❡♥ ❯① ❂ ②

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

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SLIDE 18

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

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■ ❈♦♠♣❧❡① ♠❛tr✐① ❛r✐s✐♥❣ ✐♥ ✷❉ ✶✻ ✂ ✶✵✻ ✱ ✶✺✵ ✂ ✶✵✻ ♥♦♥③❡r♦s ■ ❙t♦r❛❣❡ ✿ ✺ ●❇ ✭✶✷ ●❇ ✇✐t❤ t❤❡ ❢❛❝t♦rs ❄✮ ■ ❋❧♦♣s ✿ t❡♥s ♦❢ ❚❡r❛❋❧♦♣s

✸✲ ❚②♣✐❝❛❧ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✭▼❯▼P❙✮ ✿

■ P❈ ▲■◆❯❳ ✭P✹✱ ✷●❍③✮ ✿ ✶✳✵ ●❋❧♦♣s✴s ■ ❈r❛② ❚✸❊ ✭✺✶✷ ♣r♦❝s✮ ✿ ❙♣❡❡❞✲✉♣ ✙ ✶✼✵✱ P❡r❢✳ ✼✶ ●❋❧♦♣s✴s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✶✼

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SLIDE 19

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✷

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SLIDE 35

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ◆♦ ☞❧❧✲✐♥ ❖r❞❡r✐♥❣ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❤❛s ❛ str♦♥❣ ✐♠♣❛❝t ♦♥

■ t❤❡ ☞❧❧✲✐♥ ■ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✸

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SLIDE 36

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❚❛❜✳✿ ❇❡♥❡☞ts ♦❢ ❙♣❛rs✐t② ♦♥ ♠❛tr✐① ♦❢ ♦r❞❡r ✷✵✷✶ ✂ ✷✵✷✶ ✇✐t❤ ✼✸✺✸ ♥♦♥③❡r♦s✳ ✭❉♦♥❣❛rr❛ ❡t❛❧ ✾✶✮ ✳

Pr♦❝❡❞✉r❡ ❚♦t❛❧ st♦r❛❣❡ ❋❧♦♣s ❚✐♠❡ ✭s❡❝✳✮ ♦♥ ❈❘❆❨ ❏✾✵ ❋✉❧❧ ❙②st✳ ✹✵✽✹ ❑✇♦r❞s ✺✺✵✸ ✂✶✵✻ ✸✹✳✺ ❙♣❛rs❡ ❙②st✳ ✼✶ ❑✇♦r❞s ✶✵✼✸✂✶✵✻ ✸✳✹ ❙♣❛rs❡ ❙②st✳ ❛♥❞ r❡♦r❞❡r✐♥❣ ✶✹ ❑✇♦r❞s ✹✷✂✶✵✸ ✵✳✾

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✹

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SLIDE 37

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❊✍❝✐❡♥t ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s♣❛rs❡ s♦❧✈❡rs

■♥❞✐r❡❝t ❛❞❞r❡ss✐♥❣ ✐s ♦❢t❡♥ ✉s❡❞ ✐♥ s♣❛rs❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✿ ❡✳❣✳ s♣❛rs❡ ❙❆❳P❨ ❞♦ ✐ ❂ ✶✱ ♠ ❆✭ ✐♥❞✭✐✮ ✮ ❂ ❆✭ ✐♥❞✭✐✮ ✮ ✰ ❛❧♣❤❛ ✯ ✇✭ ✐ ✮ ❡♥❞❞♦ ❊✈❡♥ ✐❢ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡rs ♣r♦✈✐❞❡ ❤❛r❞✇❛r❡ ❢♦r ✐♠♣r♦✈✐♥❣ ✐♥❞✐r❡❝t ❛❞❞r❡ss✐♥❣

■ ■t ♣❡♥❛❧✐③❡s t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❙✇✐t❝❤✐♥❣ t♦ ❞❡♥s❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♥♦t s♣❛rs❡ ❡♥♦✉❣❤

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✺

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SLIDE 38

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❊☛❡❝t ♦❢ s✇✐t❝❤ t♦ ❞❡♥s❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s

▼❛tr✐① ❢r♦♠ ✺✲♣♦✐♥t ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦♥ ❛ ✺✵ ✂ ✺✵ ❣r✐❞ ✭❉♦♥❣❛rr❛ ❡t❛❧ ✾✶✮ ❉❡♥s✐t② ❢♦r ❖r❞❡r ♦❢ ▼✐❧❧✐♦♥s ❚✐♠❡ s✇✐t❝❤ t♦ ❢✉❧❧ ❝♦❞❡ ❢✉❧❧ ♠❛tr✐① ♦❢ ✌♦♣s ✭s❡❝✳✮ ◆♦ s✇✐t❝❤ ✵ ✼ ✷✶✳✽ ✶✳✵✵ ✼✹ ✼ ✷✶✳✹ ✵✳✽✵ ✶✾✵ ✽ ✶✺✳✵ ✵✳✻✵ ✷✸✺ ✶✶ ✶✷✳✺ ✵✳✹✵ ✸✵✺ ✷✶ ✾✳✵ ✵✳✷✵ ✹✷✷ ✺✵ ✺✳✺ ✵✳✶✵ ✺✸✶ ✶✵✵ ✸✳✼ ✵✳✵✵✺ ✶✹✷✵ ✶✾✵✽ ✻✳✶ ❙♣❛rs❡ str✉❝t✉r❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✐❢ ❞❡♥s✐t② ❁ ✶✵✪✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✻

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SLIDE 39

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✼

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SLIDE 40

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ✿ ❆ s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ♣✐✈♦ts ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ❆ s②♠♠❡tr✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ ❣r❛♣❤

  • ✵ ❂ ✭❱ ✵❀ ❊✵✮

■ ❱❡rt✐❝❡s ❛r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❝♦❧✉♠♥s ✿ ❱ ✵ ❂ ❢✶❀ ✿✿✿❀ ♥❣ ■ ❊❞❣❡s ❊✵ ❛r❡ ❞❡☞♥❡❞ ❜② ✿ ✭✐❀ ❥✮ ✷ ❊✵ ✩ ❛✐❥ ✻❂ ✵ ■ ●✵ ✉♥❞✐r❡❝t❡❞ ✭s②♠♠❡tr② ♦❢ ❆✮ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✽

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SLIDE 41

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❘❡♠❛r❦s ✿

■ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ❂ ❥❆❞❥●✵✭❥✮❥ ■ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ✑ r❡♥✉♠❜❡r✐♥❣ t❤❡ ❣r❛♣❤

3 4 2 5 1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Symmetric matrix Corresponding graph

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✽

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SLIDE 42

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♠♦❞❡❧

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s ▲❡t ✈✐ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ✐♥❞❡① ✐✳ ●✵ ❂ ●✭❆✮✱ ✐ ❂ ✶✳ ❆t ❡❛❝❤ st❡♣ ❞❡❧❡t❡ ✈✐ ❛♥❞ ✐ts ✐♥❝✐❞❡♥t ❡❞❣❡s ❆❞❞ ❡❞❣❡s s♦ t❤❛t ✈❡rt✐❝❡s ✐♥ ❆❞❥✭✈✐✮ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❛❞❥❛❝❡♥t ✐♥

  • ✐ ❂ ●✭❍✐✮✳
  • ✐ ❛r❡ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s✳

4 3 2 1 6 5

1 2 3 4 5 6

H0 = G0 :

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✾

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SLIDE 43

❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s

4 3 2 1 6 5 G0 : 4 3 2 6 5 6 5 3 4 G2 : H2 =

3 4 5 6 4 5 6

H3 = 6 5 4 G1 : G3 :

1 2 3 4 5 6

H0 =

2 3 4 5 6

H1 =

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SLIDE 44

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ●✰✭❆✮

▲❡t ❋ ❂ ▲ ✰ ▲❚ ❜❡ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ ●✭❋✮ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❆ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ●✰✭❆✮✳ ▲❡♠♠❛ ✭P❛rt❡r ✶✾✻✶✮ ✿ ✭✈✐❀ ✈❥✮ ✷ ●✰ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✭✈✐❀ ✈❥✮ ✷ ● ♦r ✾❦ ❁ ♠✐♥✭✐❀ ❥✮ s✉❝❤ t❤❛t ✭✈✐❀ ✈❦✮ ✷ ●✰ ❛♥❞ ✭✈❦❀ ✈❥✮ ✷ ●✰✳

5 1 6 2 3 4

+

G (A) = G(F) F = L + L

T 1 2 3 4 5 6

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✶

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SLIDE 45

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❆ ☞rst ❞❡☞♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡

❆ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ● ✐s ❛ s✉❜❣r❛♣❤ ❚ ♦❢ ● s✉❝❤ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣❛t❤ ✐♥ ● ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ ✐♥ ❚✳ ▲❡t ❆ ❜❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♣♦s✐t✐✈❡✲❞❡☞♥✐t❡ ♠❛tr✐① ❆ ❂ ▲▲❚ ✐ts ❈❤♦❧❡s❦② ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ●✰✭❆✮ ✐ts ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ✭❣r❛♣❤ ♦❢ ❋ ❂ ▲ ✰ ▲❚✮✳

❉❡☞♥✐t✐♦♥

❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ♦❢ ❆ ✐s ❛ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ●✰✭❆✮ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ P❆❘❊◆❚❬❥❪ ❂ ♠✐♥❢✐ ❃ ❥❥❧✐❥ ✻❂ ✵❣✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✷

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SLIDE 46
  • r❛♣❤ str✉❝t✉r❡s

+

G (A) = G(F)

a

h i d e j b f c g j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 h 8 d 4 e 5 b 2 f 6 c 3

a

1 i 9 g 7 j 10

a b c d e f g h i j

entries in T(A) fill−in entries

F = A =

a b c d e f g h i j a b c d e f g h i j

entries in T(A) fill−in entries

F = A =

a b c d e f g h i j

G(A) T(A)

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SLIDE 47

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡

❆♥♦t❤❡r ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ❛❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ▲ ✿

❈♦❧✉♠♥ ✐ ❃ ❥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ✐☛ ❧✐❥ ✻❂ ✵

❯s❡ ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ t♦ ❡①♣r❡ss t❤✐s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝②

❙✐♠♣❧✐❢② r❡❞✉♥❞❛♥t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ✭tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❣r❛♣❤ t❤❡♦r②✮

❚❤❡ tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❣✐✈❡s t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ str✉❝t✉r❡

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✹

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SLIDE 48

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❉✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ✐ts tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥

h 8 d 4 e 5 b 2 f 6 c 3

a

1 i 9 g 7 j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 j 10 d 4 i 9 e 5 b 2

a

1 c 3 g 7 h 8 f 6 j 10

T(A) Directed filled graph Transitive reduction

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✺

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SLIDE 49

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✻

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SLIDE 50

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✼

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SLIDE 51

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s✴♦✉t❧✐♥❡

❘❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❛♥❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✿ ✭❧♦❝❛❧ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✮✳

■ ■♥❝r❡❛s❡ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✭✇✐❞❡ tr❡❡✮ ■ ❉❡❝r❡❛s❡ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ✭❞❡❡♣ tr❡❡✮

❊q✉✐✈❛❧❡♥t ♦r❞❡r✐♥❣s ✿ ✭❚r❛✈❡rs❡ tr❡❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ✇♦r❦✐♥❣ ♠❡♠♦r②✮ ❘❡♦r❞❡r ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s t♦ s♣❡❝✐❛❧ ❢♦r♠s ✿

■ ❜❧♦❝❦ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐① ✿ ■ ✇✐t❤ ✭❧❛r❣❡✮ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✭♠❛①✐♠✉♠

tr❛♥s✈❡rs❛❧✮✳

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✽

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SLIDE 52

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✾

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SLIDE 53

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❚❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ ☞❧❧✲✐♥ ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

  • ❧♦❜❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✿ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♣❡r♠✉t❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❛

❣✐✈❡♥ ♣❛tt❡r♥

■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♦❝❝✉r ✇✐t❤✐♥ t❤❛t str✉❝t✉r❡ ■ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✭❜❧♦❝❦ tr✐❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐①✮ ■ ◆❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ✭❭❜❧♦❝❦ ❜♦r❞❡r❡❞✧ ♠❛tr✐①✮✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✵

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SLIDE 54

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ✿ ❆t ❡❛❝❤ st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✱ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✐✈♦t t❤❛t ✐s ❧✐❦❡❧② t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ☞❧❧✲✐♥✳

■ ▼❡t❤♦❞ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✇❛② ♣✐✈♦ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞✳ ■ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✭❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐①✮✳ ■ ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✭❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s✮✳

❍②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ✿ ❖♥❝❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♣❡r♠✉t❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ str✉❝t✉r❡✱ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ❛r❡ ✉s❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦s✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✵

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SLIDE 55

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛♥❞ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① ✿

❆ ❂ ✷ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✹ ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ✸ ✼ ✼ ✼ ✼ ✼ ✼ ✺

❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❣r❛♣❤ ✐s

5 3 4 6 1 2

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✶

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❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

  • ♦❛❧ ✿ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♣r♦☞❧❡✴❜❛♥❞✇✐❞t❤ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①

✭t❤❡ ☞❧❧ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ❜❛♥❞ str✉❝t✉r❡✮ ▲❡✈❡❧ s❡ts ✭s✉❝❤ ❛s ❇r❡❛❞t❤ ❋✐rst ❙❡❛r❝❤✮ ❛r❡ ❜✉✐❧t ❢r♦♠ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✭♣r✐♦r✐t② t♦ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r✮ ❲❡ ❣❡t ✿ ❙✶ ❂ ❢✷❣❀ ❙✷ ❂ ❢✶❣❀ ❙✸ ❂ ❢✹❀ ✺❣❀ ❙✹ ❂ ❢✸❀ ✻❣ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✷✱ ✶✱ ✹✱ ✺✱ ✸✱ ✻✳ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿

❆ ❂ 2 6 6 6 6 6 6 4 ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① 3 7 7 7 7 7 7 5

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✷

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SLIDE 57

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡

❚❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✐s t❤❡ r❡✈❡rs❡ ♦❢ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✐✳❡✳ ♦♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢✻❀ ✸❀ ✺❀ ✹❀ ✶❀ ✷❣ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿

❆ ❂ 2 6 6 6 6 6 6 4 ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① 3 7 7 7 7 7 7 5

▼♦r❡ ❡✍❝✐❡♥t t❤❛♥ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛t r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❡♥✈❡❧♦♣ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✸

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SLIDE 58

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛

❍❛r✇❡❧❧✲❇♦❡✐♥❣ ♠❛tr✐① ✿ ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛✱ str✉❝t✉r❛❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ♦♥ ❛ s✉❜♠❛r✐♥❡✳ ◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✺✽✷✵✷ ❖r✐❣✐♥❛❧ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♠❛tr✐①

100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 5104 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 58202

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

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SLIDE 59

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛

◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✶✻✾✷✹ P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♣❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ✭❘❈▼✮

100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 5104 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 nz = 16924

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

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SLIDE 60

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

◆❡st❡❞ ❉✐ss❡❝t✐♦♥

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❣r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣✳

  • r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣

P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐①

(1) (5) (4) (2) S1 S2 S3

S1 1 2 3 4

S2 S3 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✺

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SLIDE 61

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s t♦ r❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

▲❡t ●✭❆✮ ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ♠❛tr✐① ❆ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ♦r❞❡r ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✳ ▲❡t ▼❡tr✐❝ s✉❝❤ t❤❛t ▼❡tr✐❝✭✈✐✮ ❁ ▼❡tr✐❝✭✈❥✮ ✐♠♣❧✐❡s ✈✐ ✐s ❛ ❜❡tt❡r t❤❛♥ ✈❥

  • ❡♥❡r✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▲♦♦♣ ✉♥t✐❧ ❛❧❧ ♥♦❞❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❙t❡♣✶ ✿ s❡❧❡❝t ❝✉rr❡♥t ♥♦❞❡ ♣ ✭s♦ ❝❛❧❧❡❞ ♣✐✈♦t✮ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ♠❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡✱ ❙t❡♣✷ ✿ ✉♣❞❛t❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✱ ❙t❡♣✸ ✿ ✉♣❞❛t❡ ▼❡tr✐❝✭✈❥✮ ❢♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲s❡❧❡❝t❡❞ ♥♦❞❡s ✈❥✳ ❙t❡♣✸ s❤♦✉❧❞ ♦♥❧② ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♥♦❞❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ▼❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡ ♠✐❣❤t ❤❛✈❡ ❝❤❛♥❣❡❞✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✻

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SLIDE 62

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥

❆t st❡♣ ❦ ♦❢ ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✿

A k L U

■ r❦

✐ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ r♦✇ ✐ ♦❢ ❆❦

■ ❝❦

❥ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ♦❢ ❆❦

■ ❛❦❦ ♠✉st ❜❡ ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤ ❛♥❞ s❤♦✉❧❞ ♠✐♥✐♠✐③❡

✭r❦

✐ ✶✮ ✂ ✭❝❦ ❥ ✶✮

✽✐❀ ❥ ❃ ❦

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ ❞✐❛❣♦♥❛❧❧② ❞♦♠✐♥❛♥t ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✼

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SLIDE 63

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❙t❡♣ ✶ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ✈❡rt❡① t❤❛t ♣♦ss❡ss❡s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥ ●✵✳

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

1 4 3

5

6

8 9 10

2 7

(a) Sparse symmetric matrix (b) Elimination graph

❚❤❡ ♥♦❞❡✴✈❛r✐❛❜❧❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐s ✶ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✽

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SLIDE 64

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

◆♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤

■ ▲❡t ●❦ ❂ ✭❱ ❦❀ ❊❦✮✱ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❜✉✐❧t ❛t st❡♣ ❦✳ ■ ●❦ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❆❦ ❛❢t❡r ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❦ ♣✐✈♦ts✳ ■ ●❦ ✐s ♥♦♥✲♦r✐❡♥t❡❞ ✭❆❦ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✮ ■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐♥ ❆❦ ✑ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s ✐♥ t❤❡ ❣r❛♣❤✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✾

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SLIDE 65

■❧❧✉str❛t✐♦♥

❙t❡♣ ✶ ✿ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♣✐✈♦t ✶

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 3

5

6

8 9 10

2 7 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

7 4 3

5

6

8 9 10

2 1

(a) Elimination graph (b) Factors and active submatrix

Initial nonzeros Fill−in Nonzeros in factors

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SLIDE 66

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❙t❡♣ ❦ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ♥♦❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs

  • ❦ ✐s ❜✉✐❧t ❢r♦♠ ●❦✶ ❜② s✉♣♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ♣✐✈♦t ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s

❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ☞❧❧✲✐♥✳

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✶

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SLIDE 67

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✭❝♦♥t✬❞✮

  • r❛♣❤s ●✶❀ ●✷❀ ●✸ ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❞✉❝❡❞ ♠❛tr✐❝❡s✳

e 7 4 3

5

6

8 9 10

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 3

5

6

8 9 10

7

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

4

5

6

8 9 10

7

(a) Elimination graphs (b) Factors and active submatrices

Original nonzero Fill−in Original nonzero modified Nonzeros in factors ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✷

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SLIDE 68

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

▼✐♥✐♠✉♠ ❉❡❣r❡❡ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♠✐♥✐♠✐③❡ ☞❧❧✲✐♥ ✦ ✦ ✦

1 2 3 4 6 7 8 9 5

4 3 1 2 6 7 9 8 5 4 3 1 2 6 7 9 8 Consider the following matrix Remark: Using initial ordering No fill−in Corresponding elimination graph Step 1 of Minimum Degree: Select pivot 5 (minimum degree = 2) Updated graph Add (4,6) i.e. fill−in ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✸

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SLIDE 69

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ r❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✹

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SLIDE 70

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s

❊①❛♠♣❧❡ ✭✶✮ ♦❢ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤

❚♦♣✲❞♦✇♥ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❜♦tt♦♠✲✉♣ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ✿ ❆♣♣❧② ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ✭◆❉✮ ♦♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤ ❇♦tt♦♠✲✉♣ ✿ ▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝ ♦♥ ❡❛❝❤ s✉❜❣r❛♣❤

  • ❡♥❡r❛❧❧② ❜❡tt❡r ❢♦r ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ✐rr❡❣✉❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛♥

■ ♣✉r❡ ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ■ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✺

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SLIDE 71

✭✶ ❝♦♥t✮ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤

  • r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣

P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐①

(1) MD MD MD MD (5) (4) (2) S1 S2 S3

S1 1 2 3 4

S2 S3

❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤

1 2 S2 3 4 S3 MD ND S1

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SLIDE 72

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✼

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SLIDE 73

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❆▼❉ ❉❡❡♣ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ♦♥ t♦♣ ❆▼❋ ❱❡r② ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✽

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SLIDE 74

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s P❖❘❉ ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❙❈❖❚❈❍ ❱❡r② ✇✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ▼❊❚■❙ ❲✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧❡r ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ✭t❤❛♥ ❙❈❖❚❈❍✮

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SLIDE 75

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

■♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐♥ t❤❡ tr❡❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ t❛s❦ t❤❛t ✿ ✲ ❝♦♥s✉♠❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❤✐❧❞r❡♥✱ ✲ ♣r♦❞✉❝❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛✱ t❤❛t ✐s ♣❛ss❡❞ t♦ t❤❡ ♣❛r❡♥t ♥♦❞❡✳ ❲✐❞❡ tr❡❡

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❉❡❡♣ tr❡❡

■ ▲❡ss ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ■ ❙♠❛❧❧❡r ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✵

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SLIDE 76

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a b a b c d f e g h c d e f g h i i Best (abcdefghi) Worst (hfdbacegi)

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M2 M3 M(parent) M1

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❤tt♣ ✿✴✴✇✇✇✳❡♥s❡❡✐❤t✳❢r✴❛♣♦✴▼❯▼P❙

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✼

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✶ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ Pr❡♣r♦❝❡ss✐♥❣

✎ Pr❡♣r♦❝❡ss✐♥❣ ✭♠❛①✳ tr❛♥s✈❡rs❛❧✱ s❝❛❧✐♥❣✮ ✎ ❋✐❧❧✲✐♥ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ ❆ ✰ ❆❚ ✎ P❛rt✐❛❧ st❛t✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣ ✭❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡✮

✷ ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥

✎ ▼✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ ✭❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ♦❢ ❆ ✰ ❆❚ ✮ ❙tr✉❝t✭▲✮ ❂ ❙tr✉❝t✭❯✮ ✎ P❛rt✐❛❧ t❤r❡s❤♦❧❞ ♣✐✈♦t✐♥❣ ✎ ◆♦❞❡ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠

✲ P❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ ✭✶❉ ❋r♦♥t ✲ ✷❉ ❘♦♦t✮ ✲ ❉②♥❛♠✐❝ ❞✐str✐❜✉t❡❞ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣

✸ ❙♦❧✉t✐♦♥ st❡♣ ❛♥❞ ✐t❡r❛t✐✈❡ r❡☞♥❡♠❡♥t

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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P0 P0 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME : STATIC 2D static decomposition

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✵

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P0 P1 P0 P0 P1 P3 P2 P1 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P3 P0 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME : STATIC P2 : DYNAMIC 2D static decomposition

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✵

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P0 P1 P0 P0 P1 P3 P2 P1 P3 P2 P0 P1 P3 P0 P1 P0 P0 P3 P0 P2 P2 P0 P2 P2 P3 P0 P0 P0 P1 P3 P3 SUBTREES TIME P0 P3 P2 : STATIC P2 1D pipelined factorization : DYNAMIC P3 and P0 chosen by P2 at runtime 2D static decomposition

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✵

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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Process 0 5 5 5 5 4 4 5 108 5 5 5 5 5 5 5 Facto_L1 4 5 Process 1 108 4 4 108 5 108 5 5 5 5 5 5 5 Facto_L1 4 Process 2 108 4 4 108 5 5 5 5 5 5 5 5 108 5 108 5 Process 3 5 5 5 4 108 5 5 4108 5 5 5 5 5 5 4 108 5 5 Process 4 4 108 5 5 4 5 5 5 5 5 5 108 5 108 5 Process 5 4 4 4 5 5 4 108 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 Process 6 4 4 108 108 5 108 5 5 5 5 5 5 5 108 5 5 Process 7 108 4 4 108 2 2 2 2 2 2 2 2 4 108 5 5 L 9.0s 8.95s 8.9s Process 0 Process 1 80 80 80 80 80 80 80 80 Process 2 80 80 80 80 80 80 80 80 80 Process 3 Process 4 Process 5 80 80 80 80 80 80 80 80 80 Process 6 80 80 80 80 80 80 80 80 80 Process 7 9.32s 9.3s 9.28s

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✶

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

❈✉rr❡♥t✴r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦

P❛r❛❧❧❡❧ ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙♦❧✈❡rs

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■♠♣r♦✈❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥ ♣❤❛s❡

■ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥ st❡♣s ✇✐t❤ s❛♠❡ ♠❛tr✐① ■ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❝♦♥t❡①t ■ P❤❉ ▼✐❧❛ ❙❧❛✈♦✈❛✱ ❈❊❘❋❆❈❙

Pr♦✈✐❞❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❡①t❡r♥❛❧ s♦❧✈❡rs

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❙♦❢t✇❛r❡✴❡♥❣✐♥❡❡r ✇♦r❦

■ ❆✉r✓

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  • r✐❞ ❚▲❙❊ ♣r♦❥❡❝t ✿

■ ❛ ✇❡❜ ❡①♣❡rt✐s❡ s✐t❡ ❢♦r s♣❛rs❡ ❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛ ■ ♣r♦❥❡❝t ❝♦♦r❞✐♥❛t♦r ✿ ❊◆❙❊❊■❍❚✲■❘■❚ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✷

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡

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Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

❘❡❝♦✉rs ❛✉① ❞✐sq✉❡s

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

❘❡❝♦✉rs ❛✉① ❞✐sq✉❡s

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡

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▲✐♠✐t❡s ❛❝t✉❡❧❧❡s

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Disque Mémoire nécessaire

Mémoire physique

❘❡❝♦✉rs ❛✉① ❞✐sq✉❡s

❖❜❥❡❝t✐❢s

✶ ▼❛①✐♠✐s❡r

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❞✬❊✴❙

▲✐❜❡rt✓ ❡s ✿

◗✉♦✐ ✓ ❡❝r✐r❡ ◗✉❛♥❞ ❈♦♠♠❡♥t ✳ ✳ ✳

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SLIDE 104

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▼✓ ❡t❤♦❞❡ ♠✉❧t✐❢r♦♥t❛❧❡

▼✓ ❡t❤♦❞❡ ♠✉❧t✐❢r♦♥t❛❧❡ ✭❉✉☛✱ ❘❡✐❞✬✽✸✮

3 5 4 2 1 1 2 3 4 5 3 5 4 2 1 1 2 3 4 5

A=

Non Zéro Zéro Remplissage

L+U−I

Remplissage

▼✓ ❡♠♦✐r❡ ❞✐✈✐s✓ ❡❡ ❡♥ ❞❡✉① ♣❛rt✐❡s ✿ ♠✓ ❡♠♦✐r❡ ❛❝t✐✈❡ ❀ ❢❛❝t❡✉rs✳

contribution) Pile Matrice frontale courante Zone facteur (blocs de Mémoire active

3 2 4 5 1

1 5 4 2 3 3 4 4 5 5

Facteur Bloc de contribution

L U L U L U L U U

❆r❜r❡ ❞✬❛ss❡♠❜❧❛❣❡

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✺

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SLIDE 105

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡

❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✻

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SLIDE 106

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞②

▼❯▼P❙ ✿ ▼✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ P❛r❛❧❧❡❧ ❙♦❧✈❡r ❢♦r ❜♦t❤ ▲❯ ❛♥❞ ▲❉▲❚ ✳ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✿

■ ❋r❡❡ ❢❛❝t♦rs ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ■ ❖♥❧② ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ✭❢❛❝t♦rs ❛r❡ ❧♦st✮

❙❡❧❡❝t❡❞ ✈❛❧✉❡s ✿ t❤❡ ❜✐❣❣❡r ♦✈❡r ❛❧❧ ♣r♦❝❡ss♦rs ❢♦r ✿

■ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❢❛❝t♦rs ■ t❤❡ ♣❡❛❦ ♦❢ ❛❝t✐✈❡ ♠❡♠♦r② ■ t❤❡ ♣❡❛❦ ♦❢ t♦t❛❧ ♠❡♠♦r② ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✼

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❚②♣✐❝❛❧ ▼❡♠♦r② ❇❡❤❛✈✐♦✉r

❚②♣✐❝❛❧ ♠❡♠♦r② ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✭❆❯❉■❑❲ ✶ ♠❛tr✐①✱ ▼❊❚■❙✮

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 10 20 30 40 50 60 Memory peak Nb processors Active memory Factors zone Total memory

✭❛✮ ▼❡♠♦r②

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10 20 30 40 50 60 70 Maximum peak of active memory / maximum peak of total memory (ratio) Number of processors AUDIKW_1 CONESHL_MOD CONESHL2 CONV3D ULTRASOUND80

✭❜✮ ❆❝t✐✈❡ ♠❡♠♦r② ✴ t♦t❛❧ ♠❡♠♦r②

❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡

❋✐rst st❡♣ ✿ st♦r❡ ❢❛❝t♦rs ♦♥ ❞✐s❦ ✭✇❡❧❧ ❛❞❛♣t❡❞ ❢♦r ❢❡✇ ♣r♦❝❡ss♦rs✮ ❙❡❝♦♥❞ st❡♣ ✿ st❛❝❦ s❤♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ✭❧❛r❣❡r ♣r♦❜❧❡♠s ♦r ♠❛♥② ♣r♦❝❡ss♦rs✮

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs

P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s

  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

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❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠

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SLIDE 112

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts

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SLIDE 113

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

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  • ❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✾✹

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SLIDE 114

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❈♦♠♣❛r❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ■❈ ❛♥❞ ❖❖❈ str❛t❡❣✐❡s ✭✇❤❡♥ ❡♥♦✉❣❤

♠❡♠♦r② ❢♦r ❜♦t❤✮

■ s②♥❝❤r♦♥♦✉s ■✴❖ ■ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s ■✴❖ ✇✐t❤ ❛ ❜✉☛❡r ■ ✐♥✲❝♦r❡

❚✐♠❡ ❢♦r ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✿

100 200 300 400 500 600 700 800 20 40 60 80 100 120 140 Elapsed time for factorization step (seconds) Number of processors IC Asynchronous OOC Synchronous OOC

❋✐❣✳✿ ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ t✐♠❡ ✭♠❛tr✐① ❈❖◆❊❙❍▲ ▼❖❉✮

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SLIDE 115

❘❊❉ ✿ t✐♠❡ s②♥❝❤r♦♥♦✉s ✈❡rs✐♦♥

t✐♠❡ ✐♥✲❝♦r❡

  • ❘❊❊◆ ✿ t✐♠❡ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s ✈❡rs✐♦♥

t✐♠❡ ✐♥✲❝♦r❡

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❛✮ ❆❯❉■❑❲ ✶

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❜✮ ❈❖◆❊❙❍▲ ▼❖❉

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❝✮ ❈❖◆❱✸❉✻✹

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20 40 60 80 100 120 140 Ratio OOC / IC for factorization step Number of processors Asynchronous OOC / IC Synchronous OOC / IC

✭❞✮ ❯▲❚❘❆❙❖❯◆❉✽✵

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SLIDE 116

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

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■♠♣❛❝t ♦❢ ❧♦❝❛❧✐t②

■♥ s❡✈❡r❛❧ ❝❛s❡s✱ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ✈❡rs✐♦♥ ❛s ❣♦♦❞ ❛s ✐♥✲❝♦r❡ ✈❡rs✐♦♥ ✦ ❊①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ✿ ❜❡tt❡r ♠❡♠♦r② ❧♦❝❛❧✐t② ✭❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐① ❛❧✇❛②s ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❛r❡❛ ♦❢ ♠❡♠♦r②✮

■♠♣❛❝t ♦❢ ♣❧❛t❢♦r♠

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✾✼

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SLIDE 117

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ st❡♣

0.1 1 10 100 1000 20 40 60 80 100 120 140 Time for solution step (in seconds) Number of processors

  • ut-of-core

in-core

❙♦❧✉t✐♦♥ t✐♠❡ ❜❡❝♦♠❡s ❝r✐t✐❝❛❧

❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s ♣r❡❢❡t❝❤ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ♥❡❡❞❡❞ ❛✈♦✐❞ ■✴❖ ♦❢ s♠❛❧❧ ❣r❛♥✉❧❛r✐t② ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♠❡♠♦r② ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ✭♠✉❧t✐♣❧❡ ♦r ❝②❝❧✐❝ ✇♦r❦s♣❛❝❡s✮

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✾✽

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SLIDE 118

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

▲✐♠✐t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▼✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ ▼❡t❤♦❞ ❄

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❘♦t❤❜❡r❣ ❛♥❞ ❙❝❤r❡✐❜❡r ✭✶✾✾✾✮ ❀ ❘♦t❦✐♥ ❛♥❞ ❚♦❧❡❞♦ ✭✷✵✵✹✮ ✭s✇✐t❝❤ t♦✮ ❧❡❢t✲❧♦♦❦✐♥❣ t♦ ❛✈♦✐❞ ❧❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ♣♦ss✐❜❧② ♠♦r❡ ■✴❖ ✐♥ ♠✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ ✭✐❢ ❛❝t✐✈❡ ♠❡♠♦r② ✐s ❖❖❈✮

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❋r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦♥ s❡✈❡r❛❧ ♣r♦❝❡ss♦rs ▼✉❧t✐❢r♦♥t❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✿ ❡❛❝❤ ❞❛t❛ ✐s ✇r✐tt❡♥ ♦♥❝❡✱ r❡❛❞ ♦♥❝❡

  • ✉❡r♠♦✉❝❤❡✱ ▲✬❊①❝❡❧❧❡♥t ✬✵✺ ✿ ♣r❡✲❛❧❧♦❝❛t✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❡♥t ❝❛♥

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✾✾

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SLIDE 119

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❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ st❛❝❦ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t

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10 100 1000 10000 20 40 60 80 100 120 140 Memory peak (millions of reals) Number of processors Total memory Active memory Pessimistic scheme Intermediate scheme Optimistic scheme

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② r❡s✉❧ts ▼❛tr✐① ❆❯❉■ ❑❲ ✭▼❊❚■❙✮

❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✶✵✵

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SLIDE 120

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

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❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✶✵✶

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SLIDE 121

Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✿ ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

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❆❞❛♣t ❤②❜r✐❞ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s t♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ❈❛s❡s t❤❛t ❛❧♠♦st ☞t ✐♥ ♠❡♠♦r② ✿ tr② t♦ ❦❡❡♣ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦rs ✐♥✲❝♦r❡ ✭♣❛r❛❧❧❡❧✮ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ✭❛ss❡♠❜❧②✴❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✮ ♦❢ ❧❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s

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