st sst s rs - PowerPoint PPT Presentation

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ❘❡♠❛r❦s ✿ ■ ◆✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ❂ ❥ ❆❞❥ ● ✵ ✭ ❥ ✮ ❥ ■ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ✑ r❡♥✉♠❜❡r✐♥❣ t❤❡ ❣r❛♣❤ 1 2 3 4 5 1 1 3 2 3 4 4 5 2 5 Symmetric matrix Corresponding graph ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✽

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ♠♦❞❡❧ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s ▲❡t ✈ ✐ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ✐♥❞❡① ✐ ✳ ● ✵ ❂ ● ✭ ❆ ✮ ✱ ✐ ❂ ✶ ✳ ❆t ❡❛❝❤ st❡♣ ❞❡❧❡t❡ ✈ ✐ ❛♥❞ ✐ts ✐♥❝✐❞❡♥t ❡❞❣❡s ❆❞❞ ❡❞❣❡s s♦ t❤❛t ✈❡rt✐❝❡s ✐♥ ❆❞❥ ✭ ✈ ✐ ✮ ❛r❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❛❞❥❛❝❡♥t ✐♥ ● ✐ ❂ ● ✭ ❍ ✐ ✮ ✳ ● ✐ ❛r❡ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s ✳ 1 1 2 3 2 3 4 H0 = G0 : 4 5 6 5 6 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✸✾

❆ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤s 1 1 2 3 2 3 4 G0 : H0 = 4 5 6 5 6 2 3 2 3 G1 : H1 = 4 4 5 6 5 6 4 3 3 G2 : 4 H2 = 5 6 5 6 4 4 G3 : H3 = 5 6 6 5

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ● ✰ ✭ ❆ ✮ ▲❡t ❋ ❂ ▲ ✰ ▲ ❚ ❜❡ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ ● ✭ ❋ ✮ t❤❡ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❆ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ● ✰ ✭ ❆ ✮ ✳ ▲❡♠♠❛ ✭P❛rt❡r ✶✾✻✶✮ ✿ ✭ ✈ ✐ ❀ ✈ ❥ ✮ ✷ ● ✰ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✭ ✈ ✐ ❀ ✈ ❥ ✮ ✷ ● ♦r ✾ ❦ ❁ ♠✐♥✭ ✐❀ ❥ ✮ s✉❝❤ t❤❛t ✭ ✈ ✐ ❀ ✈ ❦ ✮ ✷ ● ✰ ❛♥❞ ✭ ✈ ❦ ❀ ✈ ❥ ✮ ✷ ● ✰ ✳ 2 1 1 3 4 2 3 4 5 5 6 6 + T G (A) = G(F) F = L + L ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ❆ ☞rst ❞❡☞♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ❆ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ● ✐s ❛ s✉❜❣r❛♣❤ ❚ ♦❢ ● s✉❝❤ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣❛t❤ ✐♥ ● ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐ ❛♥❞ ❥ ✐♥ ❚ ✳ ▲❡t ❆ ❜❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♣♦s✐t✐✈❡✲❞❡☞♥✐t❡ ♠❛tr✐① ❆ ❂ ▲▲ ❚ ✐ts ❈❤♦❧❡s❦② ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ● ✰ ✭ ❆ ✮ ✐ts ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ✭❣r❛♣❤ ♦❢ ❋ ❂ ▲ ✰ ▲ ❚ ✮✳ ❉❡☞♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ♦❢ ❆ ✐s ❛ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ ● ✰ ✭ ❆ ✮ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ P❆❘❊◆❚ ❬ ❥ ❪ ❂ ♠✐♥ ❢ ✐ ❃ ❥ ❥ ❧ ✐❥ ✻ ❂ ✵ ❣ ✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✷

●r❛♣❤ str✉❝t✉r❡s a a a a b b b b c c c c d d d d e e e e A = A = F = F = f f f f g g g g h h h h i i i i j j j j fill−in entries fill−in entries entries in T(A) entries in T(A) j 10 1 3 a 7 c g a 9 c g i 6 4 h 8 8 f h h e d f 5 j 4 d j 10 7 d 2 g b 9 i 2 e b 3 i e b 6 c 5 f + 1 G(A) G (A) = G(F) a T(A)

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ❆♥♦t❤❡r ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ❛❧s♦ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ▲ ✿ ✶ ❈♦❧✉♠♥ ✐ ❃ ❥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ✐☛ ❧ ✐❥ ✻ ❂ ✵ ✷ ❯s❡ ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ t♦ ❡①♣r❡ss t❤✐s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ✸ ❙✐♠♣❧✐❢② r❡❞✉♥❞❛♥t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ✭ tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ❣r❛♣❤ t❤❡♦r②✮ ❚❤❡ tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❣✐✈❡s t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ tr❡❡ str✉❝t✉r❡ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✹

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ❉✐r❡❝t❡❞ ☞❧❧❡❞ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ ✐ts tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ j 10 1 1 3 3 7 7 a a c g c g 9 i 6 6 8 8 4 8 h h f f e h d 5 4 j 10 4 j 10 d d 7 2 g b 9 9 2 2 i i 3 e b e b 6 5 5 c f 1 Transitive reduction Directed filled graph a T(A) ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✺

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡ ✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ✷ ❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ✸ ❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠ ✹ Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✻

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s✴♦✉t❧✐♥❡ ❘❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❛♥❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✿ ✭❧♦❝❛❧ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✮✳ ■ ■♥❝r❡❛s❡ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✭✇✐❞❡ tr❡❡✮ ■ ❉❡❝r❡❛s❡ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ✭❞❡❡♣ tr❡❡✮ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ♦r❞❡r✐♥❣s ✿ ✭❚r❛✈❡rs❡ tr❡❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ✇♦r❦✐♥❣ ♠❡♠♦r②✮ ❘❡♦r❞❡r ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s t♦ s♣❡❝✐❛❧ ❢♦r♠s ✿ ■ ❜❧♦❝❦ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♠❛tr✐① ✿ ■ ✇✐t❤ ✭❧❛r❣❡✮ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✭♠❛①✐♠✉♠ tr❛♥s✈❡rs❛❧✮✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✽

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡ ✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ✷ ❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ✸ ❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠ ✹ Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✹✾

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❚❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ ☞❧❧✲✐♥ ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ●❧♦❜❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✿ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♣❡r♠✉t❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❛ ❣✐✈❡♥ ♣❛tt❡r♥ ■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♦❝❝✉r ✇✐t❤✐♥ t❤❛t str✉❝t✉r❡ ■ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✭❜❧♦❝❦ tr✐❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐①✮ ■ ◆❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ✭❭❜❧♦❝❦ ❜♦r❞❡r❡❞✧ ♠❛tr✐①✮✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✵

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ✿ ❆t ❡❛❝❤ st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥✱ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✐✈♦t t❤❛t ✐s ❧✐❦❡❧② t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ☞❧❧✲✐♥✳ ■ ▼❡t❤♦❞ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✇❛② ♣✐✈♦ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞✳ ■ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✭❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐①✮✳ ■ ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✭❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s✮✳ ❍②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ✿ ❖♥❝❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐s ♣❡r♠✉t❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❜❧♦❝❦ str✉❝t✉r❡✱ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ❛r❡ ✉s❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❜❧♦❝❦s✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✵

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛♥❞ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛tr✐① ✿ ✷ ✸ ① ① ① ① ✻ ✼ ① ① ✻ ✼ ✻ ✼ ① ① ① ✻ ✼ ❆ ❂ ✻ ✼ ① ① ① ① ✻ ✼ ✹ ✺ ① ① ① ① ① ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❣r❛♣❤ ✐s 5 3 2 1 4 6 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ●♦❛❧ ✿ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♣r♦☞❧❡✴❜❛♥❞✇✐❞t❤ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✭t❤❡ ☞❧❧ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ❜❛♥❞ str✉❝t✉r❡✮ ▲❡✈❡❧ s❡ts ✭s✉❝❤ ❛s ❇r❡❛❞t❤ ❋✐rst ❙❡❛r❝❤✮ ❛r❡ ❜✉✐❧t ❢r♦♠ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✭♣r✐♦r✐t② t♦ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r✮ ❲❡ ❣❡t ✿ ❙ ✶ ❂ ❢ ✷ ❣ ❀ ❙ ✷ ❂ ❢ ✶ ❣ ❀ ❙ ✸ ❂ ❢ ✹ ❀ ✺ ❣ ❀ ❙ ✹ ❂ ❢ ✸ ❀ ✻ ❣ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✷✱ ✶✱ ✹✱ ✺✱ ✸✱ ✻✳ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿ ① ① 2 3 ① ① ① ① 6 7 ① ① ① ① 6 7 ❆ ❂ 6 7 ① ① ① 6 7 6 7 ① ① ① 6 7 4 5 ① ① ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❚❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ✐s t❤❡ r❡✈❡rs❡ ♦❢ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ✐✳❡✳ ♦♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢ ✻ ❀ ✸ ❀ ✺ ❀ ✹ ❀ ✶ ❀ ✷ ❣ ❚❤❡ r❡♦r❞❡r❡❞ ♠❛tr✐① ✐s ✿ ① ① 2 3 ① ① ① 6 7 ① ① ① 6 7 ❆ ❂ 6 7 ① ① ① ① 6 7 6 7 ① ① ① ① 6 7 4 5 ① ① ▼♦r❡ ❡✍❝✐❡♥t t❤❛♥ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ❛t r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❡♥✈❡❧♦♣ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✸

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛ ❍❛r✇❡❧❧✲❇♦❡✐♥❣ ♠❛tr✐① ✿ ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛✱ str✉❝t✉r❛❧ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ♦♥ ❛ s✉❜♠❛r✐♥❡✳ ◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✺✽✷✵✷ ❖r✐❣✐♥❛❧ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♠❛tr✐① 0 0 100 100 200 200 300 300 400 400 500 500 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 nz = 5104 nz = 58202 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿ ❘❡✈❡rs❡ ❈✉t❤✐❧❧✲▼❝❑❡❡ ♦♥ ♠❛tr✐① ❞✇t ✺✾✷✳r✉❛ ◆❩✭▲❯ ❢❛❝t♦rs✮❂✶✻✾✷✹ P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ❋❛❝t♦r✐③❡❞ ♣❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ✭❘❈▼✮ 0 0 100 100 200 200 300 300 400 400 500 500 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 nz = 5104 nz = 16924 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ◆❡st❡❞ ❉✐ss❡❝t✐♦♥ ❘❡❝✉rs✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❣r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣✳ ●r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① 1 2 S1 S2 3 (1) (4) 4 S3 S3 (2) (5) S1 S2 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✺

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s t♦ r❡❞✉❝❡ ☞❧❧✲✐♥ ❞✉r✐♥❣ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ▲❡t ● ✭ ❆ ✮ ❜❡ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ♠❛tr✐① ❆ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ♦r❞❡r ✉s✐♥❣ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s✳ ▲❡t ▼❡tr✐❝ s✉❝❤ t❤❛t ▼❡tr✐❝ ✭ ✈ ✐ ✮ ❁ ▼❡tr✐❝ ✭ ✈ ❥ ✮ ✐♠♣❧✐❡s ✈ ✐ ✐s ❛ ❜❡tt❡r t❤❛♥ ✈ ❥ ●❡♥❡r✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ▲♦♦♣ ✉♥t✐❧ ❛❧❧ ♥♦❞❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❙t❡♣✶ ✿ s❡❧❡❝t ❝✉rr❡♥t ♥♦❞❡ ♣ ✭s♦ ❝❛❧❧❡❞ ♣✐✈♦t✮ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ♠❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡✱ ❙t❡♣✷ ✿ ✉♣❞❛t❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✱ ❙t❡♣✸ ✿ ✉♣❞❛t❡ ▼❡tr✐❝ ✭ ✈ ❥ ✮ ❢♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲s❡❧❡❝t❡❞ ♥♦❞❡s ✈ ❥ ✳ ❙t❡♣✸ s❤♦✉❧❞ ♦♥❧② ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♥♦❞❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ▼❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡ ♠✐❣❤t ❤❛✈❡ ❝❤❛♥❣❡❞✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✻

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❘❡♦r❞❡r✐♥❣ ✉♥s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❆t st❡♣ ❦ ♦❢ ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✿ U L k A ■ r ❦ ✐ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ r♦✇ ✐ ♦❢ ❆ ❦ ■ ❝ ❦ ❥ ❂ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦s ✐♥ ❝♦❧✉♠♥ ❥ ♦❢ ❆ ❦ ■ ❛ ❦❦ ♠✉st ❜❡ ❧❛r❣❡ ❡♥♦✉❣❤ ❛♥❞ s❤♦✉❧❞ ♠✐♥✐♠✐③❡ ✭ r ❦ ✐ � ✶✮ ✂ ✭ ❝ ❦ ❥ � ✶✮ ✽ ✐❀ ❥ ❃ ❦ ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ✿ ▼❛r❦♦✇✐t③ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r s②♠♠❡tr✐❝ ❞✐❛❣♦♥❛❧❧② ❞♦♠✐♥❛♥t ♠❛tr✐❝❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❙t❡♣ ✶ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ✈❡rt❡① t❤❛t ♣♦ss❡ss❡s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥ ● ✵ ✳ 1 2 2 3 5 4 5 6 9 7 3 6 7 8 9 10 8 4 1 10 (b) Elimination graph (a) Sparse symmetric matrix ❚❤❡ ♥♦❞❡✴✈❛r✐❛❜❧❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐s ✶ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✽

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ◆♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ ■ ▲❡t ● ❦ ❂ ✭ ❱ ❦ ❀ ❊ ❦ ✮ ✱ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❜✉✐❧t ❛t st❡♣ ❦ ✳ ■ ● ❦ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❆ ❦ ❛❢t❡r ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❦ ♣✐✈♦ts✳ ■ ● ❦ ✐s ♥♦♥✲♦r✐❡♥t❡❞ ✭ ❆ ❦ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✮ ■ ❋✐❧❧✲✐♥ ✐♥ ❆ ❦ ✑ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s ✐♥ t❤❡ ❣r❛♣❤✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✺✾

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❙t❡♣ ✶ ✿ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♣✐✈♦t ✶ 1 2 2 3 4 5 5 6 7 9 7 3 6 8 9 10 1 10 8 4 (a) Elimination graph (b) Factors and active submatrix 2 1 2 5 3 4 5 9 7 3 6 6 7 8 10 8 4 1 9 10 Initial nonzeros Fill−in Nonzeros in factors

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡❣r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❙t❡♣ ❦ ✿ ❙❡❧❡❝t t❤❡ ♥♦❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ● ❦ ✐s ❜✉✐❧t ❢r♦♠ ● ❦ � ✶ ❜② s✉♣♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ♣✐✈♦t ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ ❡❞❣❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ☞❧❧✲✐♥✳ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✭❝♦♥t✬❞✮ ●r❛♣❤s ● ✶ ❀ ● ✷ ❀ ● ✸ ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❞✉❝❡❞ ♠❛tr✐❝❡s✳ 2 5 5 5 9 7 3 6 9 7 6 9 7 3 6 10 8 4 10 8 4 10 8 4 (a) Elimination graphs 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 (b) Factors and active submatrices Original nonzero Fill−in Nonzeros in factors Original nonzero modified e ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✷

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ▼✐♥✐♠✉♠ ❉❡❣r❡❡ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♠✐♥✐♠✐③❡ ☞❧❧✲✐♥ ✦ ✦ ✦ Consider the following matrix 7 2 Remark: Using initial ordering 1 2 5 6 3 4 1 9 4 No fill−in 5 6 7 8 3 8 9 Corresponding elimination graph 7 2 Step 1 of Minimum Degree: Select pivot 5 (minimum degree = 2) 6 4 1 9 Updated graph Add (4,6) i.e. fill−in 3 8 ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✸

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ r❡♦r❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✹

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ❊①❛♠♣❧❡ ✭✶✮ ♦❢ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❜♦tt♦♠✲✉♣ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✿ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ✿ ❆♣♣❧② ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ✭◆❉✮ ♦♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❣r❛♣❤ ❇♦tt♦♠✲✉♣ ✿ ▲♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝ ♦♥ ❡❛❝❤ s✉❜❣r❛♣❤ ●❡♥❡r❛❧❧② ❜❡tt❡r ❢♦r ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ✐rr❡❣✉❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛♥ ■ ♣✉r❡ ♥❡st❡❞ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ■ ❧♦❝❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✺

✭✶ ❝♦♥t✮ ❤②❜r✐❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ●r❛♣❤ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ P❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① 1 S1 2 S2 MD (1) MD (4) 3 S3 4 S3 MD (2) MD (5) S2 S1 ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤ S1 S2 S3 ND 1 2 3 4 MD

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡①♣♦s✓ ❡ ✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❙♣❛rs❡ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛✐♥ ✐ss✉❡s ❙♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❣r❛♣❤s ✷ ❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ❋✐❧❧✲r❡❞✉❝✐♥❣ ♦r❞❡r✐♥❣s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ✸ ❘❡❧❛t❡❞ r❡s❡❛r❝❤ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ t❡❛♠ ✹ Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ❙t✉❞② ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❙t♦r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❋❛❝t♦rs ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts Pr❡❧✐♠✐♥❛r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✼

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ❘❡♦r❞❡r✐♥❣ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s t❡❝❤♥✐q✉❡ ❉❡❡♣ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❆▼❉ ♦♥ t♦♣ ❱❡r② ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ ❆▼❋ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✻✽

❘❡♦r❞❡r✐♥❣ ❙❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s t❡❝❤♥✐q✉❡ ❞❡❡♣ ✉♥❜❛❧❛♥❝❡❞ P❖❘❉ ❙♠❛❧❧ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❱❡r② ✇✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙❈❖❚❈❍ ▲❛r❣❡ ❢r♦♥t❛❧ ♠❛tr✐❝❡s ❲✐❞❡ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ❙♠❛❧❧❡r ❢r♦♥t❛❧ ▼❊❚■❙ ♠❛tr✐❝❡s ✭t❤❛♥ ❙❈❖❚❈❍✮

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ■♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ♥♦❞❡ ✐♥ t❤❡ tr❡❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ t❛s❦ t❤❛t ✿ ✲ ❝♦♥s✉♠❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❤✐❧❞r❡♥✱ ✲ ♣r♦❞✉❝❡s t❡♠♣♦r❛r② ❞❛t❛✱ t❤❛t ✐s ♣❛ss❡❞ t♦ t❤❡ ♣❛r❡♥t ♥♦❞❡✳ ❲✐❞❡ tr❡❡ ■ ●♦♦❞ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ■ ▼❛♥② t❡♠♣♦r❛r② ❜❧♦❝❦s t♦ st♦r❡ ■ ▲❛r❣❡ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❉❡❡♣ tr❡❡ ■ ▲❡ss ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ■ ❙♠❛❧❧❡r ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✵

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ❙❝❤❡❞✉❧✐♥❣ t❛s❦s ✐♥ t❤❡ tr❡❡ ✭tr❡❡ tr❛✈❡rs❛❧✮ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✿ ♣❛r❡♥ts ❛r❡ ♣r♦❝❡ss❡❞ ❛s s♦♦♥ ❛s ❛❧❧ ❝❤✐❧❞r❡♥ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ✭♣♦st♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ tr❡❡✮ ●✐✈❡♥ ❛ tr❡❡✱ ♠❡♠♦r② ✉s❛❣❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ tr❡❡ tr❛✈❡rs❛❧✳ Best (abcdefghi) Worst (hfdbacegi) i i g g e e c c a b d f h h f d b a ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✶

❖r❞❡r✐♥❣ s♣❛rs❡ ♠❛tr✐❝❡s ■♠♣❛❝t ♦❢ ☞❧❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ tr❡❡ ▼❡♠♦r②✲♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ s❝❤❡❞✉❧❡s ▼ ✐ ✿ ♠❡♠♦r② ♣❡❛❦ ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡ s✉❜tr❡❡ r♦♦t❡❞ ❛t ✐ ✱ t❡♠♣ ✐ ✿ t❡♠♣♦r❛r② ♠❡♠♦r② ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ♥♦❞❡ ✐ ✱ ♠ ✿ ♠❡♠♦r② ❢♦r st♦r✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❡♥t✳ M(parent) temp1 temp2 temp3 M1 M2 M3 ❥ � ✶ ♥❜❝❤✐❧❞r❡♥ ❳ ❳ ♥❜❝❤✐❧❞r❡♥ ▼ ♣❛r❡♥t ❂ ♠❛①✭ ♠❛① ✭ ▼ ✐ ✰ t❡♠♣ ❦ ✮ ❀ ♠ ✰ t❡♠♣ ❥ ✮ ❥ ❂✶ ❦ ❂✶ ❥ ❂✶ ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✼✷

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r② ✇♦r❦ t♦✇❛r❞s ❛ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ s♦❧✈❡r ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ▲✬♦✉t✲♦❢✲❝♦r❡ ❆✈✐♦♥ ❘❛❢❛❧❡ ▲✐♠✐t❡s ❛❝t✉❡❧❧❡s ▼❛tr✐❝❡ ❇❘●▼ ✿ ✺ ▼ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✶✹✵ ▼ ♥♦♥ ③✓ ❡r♦s ❆① ❂ ❜ ✿ ✶ ▼ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✮ ❆ ❂ ▲❯ ✭▼✓ ❡t❤♦❞❡s ❞✐r❡❝t❡s✮ ❖✉t✲♦❢✲❝♦r❡✱ s✈♣ ✳✳✳ ❡t ✈✐t❡ ✦ ❚♦✉t ❞❡ s✉✐t❡✳ Disque Mémoire physique ▼✐♥✐♠✐s❡r ❧❡ t❡♠♣s ✓ ❡❝♦✉❧✓ ❡ Mémoire nécessaire ❘❡❝♦✉rs ❛✉① ❞✐sq✉❡s ❊✳ ❆❣✉❧❧♦ ❘✓ ❡s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s②st✒ ❡♠❡s ❧✐♥✓ ❡❛✐r❡s ❝r❡✉① ❞❡ ❣r❛♥❞❡ t❛✐❧❧❡ ✽✹