st s rs trs - - PowerPoint PPT Presentation
Prrs t st s st s rs trs
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Syntactical Description Calculation Rules Semantical Description Theoretical Notions analysis using analysis using solution axiomatisation Syntax Semantics Process terms Axioms
Transition Systems Bisimulation Equivalence
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Syntactical Description Calculation Rules Semantical Description Theoretical Notions analysis using analysis using solution axiomatisation Syntax Semantics Process terms Axioms
Transition Systems Bisimulation Equivalence
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Semantical Description Theoretical Notions analysis using Semantics Process terms Axioms
Transition Systems Bisimulation Equivalence
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¯ τ)
❜r❛♥❝❤✐♥❣ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t A⋆ ✐s t❤❡ ♣♦s❡t ♦❢ ✜♥✐t❡ ✇♦r❞s✳ Aω ✐s t❤❡ ♣♦s❡t ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ✇♦r❞s✳ A∞ = A⋆ ∪ Aω✳
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O(t′) ✐♥t✉✐t✐♦♥✿ ✐❢ x ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ❛t t′ t❤❡♥ x · t ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ ❛t t✳
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❚❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ · s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠s✿
✶ ✐❢ t = t′ t❤❡♥ ❴ · t ✐s ❛♥ ✐❞❡♥t✐t② ♦♥ O(t)✳ ✷ ✐❢ t1 t2 t3 t❤❡♥ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ❝♦♠♠✉t❡s✿
O(t2) O(t1) ✛ ❴ · t1
✛ ❴ · t1
O(t3)
✛ ❴ · t2
■♥ ❤✐♥❞s✐❣❤t O ✐s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢✱ ✐✳❡✳✱ ❛ ❢✉♥❝t♦r T♦♣
✲ Set✳
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▲❛❜❡❧❧❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ ✭▲❚❙✮ ▲❚❙ ✐s ❛ tr✐♣❧❡ (X, A, →)✱ ✇❤❡r❡ →⊆ X × A × X ✐s ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥✳ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs ♦r❞❡r❡❞ ❜② ✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ✿ ✭❢♦r ❡✈❡r② ✮✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✭❢♦r ❡✈❡r② ❛♥❞ ✮
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▲❛❜❡❧❧❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ ✭▲❚❙✮ ▲❚❙ ✐s ❛ tr✐♣❧❡ (X, A, →)✱ ✇❤❡r❡ →⊆ X × A × X ✐s ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥✳ T ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs N ♦r❞❡r❡❞ ❜② ≤✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ✿ ✭❢♦r ❡✈❡r② ✮✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② ✭❢♦r ❡✈❡r② ❛♥❞ ✮
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▲❛❜❡❧❧❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ s②st❡♠ ✭▲❚❙✮ ▲❚❙ ✐s ❛ tr✐♣❧❡ (X, A, →)✱ ✇❤❡r❡ →⊆ X × A × X ✐s ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥✳ T ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs N ♦r❞❡r❡❞ ❜② ≤✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N)✿ A(n) = {σ ∈ A⋆ | |σ| = n} ✭❢♦r ❡✈❡r② n ∈ N✮✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥ A ❣✐✈❡♥ ❜② σ · n = σ|n ✭❢♦r ❡✈❡r② σ ∈ A(n′) ❛♥❞ n ≤ n′✮.
✶✼ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
■♥t✉✐t✐✈❡❧② ❋♦r ❛ ✜①❡❞ T ❛♥❞ O ∈ PSh(T)✱ ❛ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡s✿ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ r✉♥s ✭❛❦❛ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✴❡①❡❝✉t✐♦♥s✮ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠❄
✕ ▼♦❞❡❧ t❤❡ s❡t ♦❢ r✉♥s ✐ts❡❧❢ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ✳
❲❤❛t ✐s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ r✉♥❄
✕ ▼♦❞❡❧ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ ❛ ❢❛♠✐❧②
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❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❉②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s ❛r❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ✳
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Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
■♥t✉✐t✐✈❡❧② ❋♦r ❛ ✜①❡❞ T ❛♥❞ O ∈ PSh(T)✱ ❛ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡s✿ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ r✉♥s ✭❛❦❛ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✴❡①❡❝✉t✐♦♥s✮ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠❄
✕ ▼♦❞❡❧ t❤❡ s❡t ♦❢ r✉♥s ✐ts❡❧❢ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ F ∈ PSh(T)✳
❲❤❛t ✐s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ r✉♥❄
✕ ▼♦❞❡❧ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ ❛ ❢❛♠✐❧②
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■♥t✉✐t✐✈❡❧② ❋♦r ❛ ✜①❡❞ T ❛♥❞ O ∈ PSh(T)✱ ❛ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡s✿ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ r✉♥s ✭❛❦❛ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✴❡①❡❝✉t✐♦♥s✮ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠❄
✕ ▼♦❞❡❧ t❤❡ s❡t ♦❢ r✉♥s ✐ts❡❧❢ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ F ∈ PSh(T)✳
❲❤❛t ✐s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ r✉♥❄
✕ ▼♦❞❡❧ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ ❛ ❢❛♠✐❧② F(t)
αt
✲ O(t)
t′ F(t′) αt′✲ O(t′)
F(t) ❴ · t ❄ αt ✲ O(t) ❴ · t ❄
❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❉②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s ❛r❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ ✳
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■♥t✉✐t✐✈❡❧② ❋♦r ❛ ✜①❡❞ T ❛♥❞ O ∈ PSh(T)✱ ❛ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡s✿ ❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ r✉♥s ✭❛❦❛ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✴❡①❡❝✉t✐♦♥s✮ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠❄
✕ ▼♦❞❡❧ t❤❡ s❡t ♦❢ r✉♥s ✐ts❡❧❢ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ F ∈ PSh(T)✳
❲❤❛t ✐s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ r✉♥❄
✕ ▼♦❞❡❧ ❛s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ ❛ ❢❛♠✐❧② F(t)
αt
✲ O(t)
t′ F(t′) αt′✲ O(t′)
F(t) ❴ · t ❄ αt ✲ O(t) ❴ · t ❄
❈❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❉②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s ❛r❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ PSh(T)/O✳
✷✶ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
■❞❡❛ ❚✐♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ ✐♥❤❡r❡♥t ✇✐t❤ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✳ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✭❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❊❧❡♠❡♥ts✮
❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ t✉♣❧❡s (x, t) ✇✐t❤ x ∈ F(t) ❛♥❞ t ∈ T✳ (x, t) (x′, t′) ⇐ ⇒ t t′ ∧ x′ · t = x✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❋♦r ❛♥② F ∈ PSh(T) ✇❡ ❤❛✈❡ PSh(T)/F ∼ = PSh(E(F))✳
✷✷ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = ✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱
❴
✷✸ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = A⋆✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r A⋆ ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱ (X, A, →) ∈ LTS
❴
✲ X ∈ PSh(A⋆).
✷✹ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = A⋆✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r A⋆ ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱ (X, A, →) ∈ LTS
❴
✲ X ∈ PSh(A⋆).
X(ε) = X(a) = X(abc) =
x1 x2 x3 x4 a b a c b ✷✺ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = A⋆✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r A⋆ ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱ (X, A, →) ∈ LTS
❴
✲ X ∈ PSh(A⋆).
X(ε) =
X(abc) =
x1 x2 x3 x4 a b a c b ✷✻ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = A⋆✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r A⋆ ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱ (X, A, →) ∈ LTS
❴
✲ X ∈ PSh(A⋆).
X(ε) =
{ε → x1, a → x3}
x1 x2 x3 x4 a b a c b ✷✼ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ♣r❡s❤❡❛❢ A ∈ PSh(N) ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t A✳
✶ ❊❧❡♠❡♥ts ❛r❡ (σ, n) ✇✐t❤ σ ∈ A(n)✳ ✷ (σ, n) (σ′, n′) ⇐
⇒ n ≤ n′ ∧ σ′ · n = σ✳ ❈❧❡❛r❧②✱ E(A) ∼ = A⋆✳ ❚❤✉s✱ ♣r❡s❤❡❛✈❡s ♦✈❡r A⋆ ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ▲❚❙s ✭❝❢✳ ❲✐♥s❦❡❧ ❛♥❞ ❤✐s ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✮✳ ■✳❡✳✱ (X, A, →) ∈ LTS
❴
✲ X ∈ PSh(A⋆).
X(ε) =
{ε → x1, a → x3}
{ε → x1, a → x3, ab → x4, abc → x1}
x2 x3 x4 a b a c b ✷✽ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❖❜❥❡❝ts
X(σ) =
p✲ X | ∀σ′,a
⇒ p(σ′) a − → p(σ′a)
▼♦r♣❤✐s♠s❄
f✲ Y ✱
t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭❢♦r σ ∈ A⋆✮✿ X(σ)
fσ
✲ Y (σ)
❲❤❡♥ ✐s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣❄
✷✾ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❖❜❥❡❝ts
X(σ) =
p✲ X | ∀σ′,a
⇒ p(σ′) a − → p(σ′a)
▼♦r♣❤✐s♠s❄
f✲ Y ✱
t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭❢♦r σ ∈ A⋆✮✿ X(σ)
fσ
✲ Y (σ)
p → f ◦ p ❲❤❡♥ ✐s f ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣❄
✸✵ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❚❤❡♦r❡♠ ✭❲✐♥s❦❡❧ ❡t ❛❧✳✮
f✲ Y ✱ ✐✳❡✳✱
∀x,x′,a x a − → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′), t❤❡♥ f ✐s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ sq✉❛r❡ ❝♦♠♠✉t❡s X(σ′) fσ′
✲ Y (σ′)
✭❢♦r σ σ′✮ X(σ) ❴ · σ
❄
fσ
✲ Y (σ)
❴ · σ
❄
❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✐s ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣✳
✸✶ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❚❤❡♦r❡♠ ✭❲✐♥s❦❡❧ ❡t ❛❧✳✮
f✲ Y ✱ ✐✳❡✳✱
∀x,x′,a x a − → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′), t❤❡♥ f ✐s ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ sq✉❛r❡ ❝♦♠♠✉t❡s X(σ′) fσ′
✲ Y (σ′)
✭❢♦r σ σ′✮ X(σ) ❴ · σ
❄
fσ
✲ Y (σ)
❴ · σ
❄
❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ ♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣ f ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t f ✐s ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣✳
✸✷ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ♠❛♣ F
f✲ G ∈ PSh(C) ✐s ❛ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛ ❢♦r ❡✈❡r②
❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ sq✉❛r❡ ✇✐t❤ ❛ ♠♦♥♦ P ⊂ g✲ Q ✭❡❛❝❤ gC ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡✮ ❛♥❞ ♠❛♣s m, n Q n
✲ G
P g
∪
✻
m
✲ F
f
✻
t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛♣ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t✇♦ tr✐❛♥❣❧❡s ❝♦♠♠✉t❡✳
✸✸ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ♠❛♣ F
f✲ G ∈ PSh(C) ✐s ❛ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛ ❢♦r ❡✈❡r②
❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ sq✉❛r❡ ✇✐t❤ ❛ ♠♦♥♦ P ⊂ g✲ Q ✭❡❛❝❤ gC ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡✮ ❛♥❞ ♠❛♣s m, n Q n
✲ G
P g
∪
✻
m
✲ F
f
✻
k
✲
t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛♣ Q
k✲ F s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t✇♦ tr✐❛♥❣❧❡s ❝♦♠♠✉t❡✳
✸✹ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❚❤❡♦r❡♠ ✭❈♦♠♣❧❡t❡ r❡❢✐♥❡♠❡♥t✮ ❊✈❡r② ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣ F
f✲ G ∈ PSh(C) ✐s ❛ r❡tr❛❝t✱ ✐✳❡✳✱
F G ✐❞G
✲
g
✲
G f
✲
❚❤❡♦r❡♠
✱ t❤❡♥ ✐s ❛ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣ ✐♥ ✐✛ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ s✉r❥❡❝t✐♦♥ s❛t✐s❢②✐♥❣✿
✸✺ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
❚❤❡♦r❡♠ ✭❈♦♠♣❧❡t❡ r❡❢✐♥❡♠❡♥t✮ ❊✈❡r② ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣ F
f✲ G ∈ PSh(C) ✐s ❛ r❡tr❛❝t✱ ✐✳❡✳✱
F G ✐❞G
✲
g
✲
G f
✲
❚❤❡♦r❡♠
f✲ Y ✱ t❤❡♥ f ✐s ❛ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥
♠❛♣ ✐♥ PSh(A⋆) ✐✛ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ✐s ❛ s✉r❥❡❝t✐♦♥ s❛t✐s❢②✐♥❣✿ ∀x∈X,y∈Y
− → y = ⇒ ∃x′∈X (x a − → x′ ∧ f(x′) = y)
✸✻ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
Pr❡s❤❡❛✈❡s ❛r❡ s✉✐t❛❜❧❡ ❢♦r ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ r✉♥s ♦❢ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s✳ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s❡♠❛♥t✐❝s t♦ ❛ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ♠♦❞❡❧s M✿
❋✐① ❛ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ t✐♠❡ T ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❡r O ∈ PSh(T)✳ ❙✐♠♣❧✐❢② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts E(O)✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ❵s❡♠❛♥t✐❝s✬ ❢✉♥❝t♦r M
❴
✲ PSh(E(O))✳
Pr❡s❤❡❛✈❡s ♠♦r♣❤✐s♠s ❡♥❝♦❞❡s r❡✜♥❡♠❡♥t ♦❢ ❜❡❤❛✈✐♦✉r✳ ❇✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣s✿ PSh(A⋆) str♦♥❣ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ PSh(A∞) ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ PSh(A⋆
¯ τ)
❜r❛♥❝❤✐♥❣ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦✿ ♣r❡s❤❡❛❢ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❤②❜r✐❞ s②st❡♠s✳
✸✼ ✴ ✸✽
Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙✐♠♣❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭❇✐✮s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
✸✽ ✴ ✸✽
❙②♥t❛① (X, A, →, ❋❛✐rX) ✇❤❡r❡ ❋❛✐rX ✐s ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ♦♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s✳ ❆♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ↓ σ
p✲ X ∪ {Ω} ✇✐t❤ σ ∈ Aω s✳t✳
✕ ∀σ′,a
⇒ p(σ′)
a
− → p(σ′a)
✕ p(σ) = Ω✳
❙❡♠❛♥t✐❝s ❚✐♠❡✿ s✳t✳ ✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ ✭❢♦r ✮ ❛♥❞ ✳ ❏✉st ❧✐❦❡ ❡❛r❧✐❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✳
✸✾ ✴ ✸✽
❙②♥t❛① (X, A, →, ❋❛✐rX) ✇❤❡r❡ ❋❛✐rX ✐s ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ♦♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s✳ ❆♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ↓ σ
p✲ X ∪ {Ω} ✇✐t❤ σ ∈ Aω s✳t✳
✕ ∀σ′,a
⇒ p(σ′)
a
− → p(σ′a)
✕ p(σ) = Ω✳
❙❡♠❛♥t✐❝s ❚✐♠❡✿ T = N ∪ {∞} s✳t✳ ∀n∈N n ≤ ∞✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ ✭❢♦r ✮ ❛♥❞ ✳ ❏✉st ❧✐❦❡ ❡❛r❧✐❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✳
✹✵ ✴ ✸✽
❙②♥t❛① (X, A, →, ❋❛✐rX) ✇❤❡r❡ ❋❛✐rX ✐s ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ♦♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s✳ ❆♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ↓ σ
p✲ X ∪ {Ω} ✇✐t❤ σ ∈ Aω s✳t✳
✕ ∀σ′,a
⇒ p(σ′)
a
− → p(σ′a)
✕ p(σ) = Ω✳
❙❡♠❛♥t✐❝s ❚✐♠❡✿ T = N ∪ {∞} s✳t✳ ∀n∈N n ≤ ∞✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ O(n) = A(n) ✭❢♦r n ∈ N✮ ❛♥❞ O(∞) = Aω✳ ❏✉st ❧✐❦❡ ❡❛r❧✐❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✳
✹✶ ✴ ✸✽
❙②♥t❛① (X, A, →, ❋❛✐rX) ✇❤❡r❡ ❋❛✐rX ✐s ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ♦♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s✳ ❆♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ↓ σ
p✲ X ∪ {Ω} ✇✐t❤ σ ∈ Aω s✳t✳
✕ ∀σ′,a
⇒ p(σ′)
a
− → p(σ′a)
✕ p(σ) = Ω✳
❙❡♠❛♥t✐❝s ❚✐♠❡✿ T = N ∪ {∞} s✳t✳ ∀n∈N n ≤ ∞✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ O(n) = A(n) ✭❢♦r n ∈ N✮ ❛♥❞ O(∞) = Aω✳ ❏✉st ❧✐❦❡ ❡❛r❧✐❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ E(O) ∼ = A∞✳
✹✷ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥
f✲ Y ✱ t❤❡♥ ❛ ❝❤❛♦s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥
X ∪ {Ω}
fΩ
✲ Y ∪ {Ω} ✭
✐✳❡✳✱ ❢♦r ❛♥❞
✮ ♦❢ f ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛
✶ ∀x,x′,a x a
− → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′)✳
✷ ∀p∈❋❛✐rX fΩ ◦ p ∈ ❋❛✐rY ✳
❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ fΩ, f✳
✹✸ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥
f✲ Y ✱ t❤❡♥ ❛ ❝❤❛♦s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥
X ∪ {Ω}
fΩ
✲ Y ∪ {Ω} ✭✐✳❡✳✱ fΩ(x) = f(x) ❢♦r x ∈ X ❛♥❞ fΩ(Ω) = Ω✮
♦❢ f ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛
✶ ∀x,x′,a x a
− → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′)✳
✷ ∀p∈❋❛✐rX fΩ ◦ p ∈ ❋❛✐rY ✳
❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ fΩ, f✳
✹✹ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥
f✲ Y ✱ t❤❡♥ ❛ ❝❤❛♦s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥
X ∪ {Ω}
fΩ
✲ Y ∪ {Ω} ✭✐✳❡✳✱ fΩ(x) = f(x) ❢♦r x ∈ X ❛♥❞ fΩ(Ω) = Ω✮
♦❢ f ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛
✶ ∀x,x′,a x a
− → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′)✳
✷ ∀p∈❋❛✐rX fΩ ◦ p ∈ ❋❛✐rY ✳
❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ fΩ, f✳
✹✺ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥
f✲ Y ✱ t❤❡♥ ❛ ❝❤❛♦s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥
X ∪ {Ω}
fΩ
✲ Y ∪ {Ω} ✭✐✳❡✳✱ fΩ(x) = f(x) ❢♦r x ∈ X ❛♥❞ fΩ(Ω) = Ω✮
♦❢ f ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐✛
✶ ∀x,x′,a x a
− → x′ = ⇒ f(x) a − → f(x′)✳
✷ ∀p∈❋❛✐rX fΩ ◦ p ∈ ❋❛✐rY ✳
❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ fΩ, f✳ ❚❤❡♦r❡♠
f✲ Y t❤❡♥ X f
✲ Y ✐s ❛
♣r❡s❤❡❛❢ ♠❛♣ ✐♥ PSh(A∞)✱ ✇❤❡r❡ X(σ) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❢❛✐r ❡①❡❝✉t✐♦♥s ✇❤♦s❡ tr❛❝❡ ✐s σ ∈ A∞✳
✹✻ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
f✲ Y ∪ {Ω} ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ s✳t✳
✶ f ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ∀x∈X,y∈Y
a
− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
✷ ❢♦r ❛♥② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s (pi)i∈N✿
f ◦
pi ≈
f ◦ pi.
✹✼ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
f✲ Y ∪ {Ω} ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ s✳t✳
✶ f ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ∀x∈X,y∈Y
a
− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
✷ ❢♦r ❛♥② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s (pi)i∈N✿
f ◦
pi ≈
f ◦ pi.
✹✽ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
f✲ Y ∪ {Ω} ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ s✳t✳
✶ f ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ∀x∈X,y∈Y
a
− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
✷ ❢♦r ❛♥② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s (pi)i∈N✿
f ◦
pi ≈
f ◦ pi.
❚❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ p0, p1, p2, · · ·
✹✾ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
f✲ Y ∪ {Ω} ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ s✳t✳
✶ f ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ∀x∈X,y∈Y
a
− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
✷ ❢♦r ❛♥② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s (pi)i∈N✿
f ◦
pi ≈
f ◦ pi.
❚❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ p0, p1, p2, · · · s✉❝❤ t❤❛t
i∈N f ◦ pi ❡①✐sts❀
❤♦✇❡✈❡r
i∈N pi ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐sts✳
✺✵ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
f✲ Y ∪ {Ω} ✐s ❛ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ s✳t✳
✶ f ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ∀x∈X,y∈Y
a
− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
✷ ❢♦r ❛♥② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❡①❡❝✉t✐♦♥s (pi)i∈N✿
f ◦
pi ≈
f ◦ pi. ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ❢❛✐r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ✐s ❛ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ♠❛♣ f ✐s ❛ ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛♣ ✐♥ PSh(A∞)✳
✺✶ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ X ∪ {Ω}
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− →y =
⇒ ∃x′∈X (x
a
− →x′∧f(x′)=y)
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f ◦
pi ≈
f ◦ pi. ❚❤❡♦r❡♠ ❚✇♦ st❛t❡s x ❛♥❞ x′ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② ❛ ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✐✛ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f s✉❝❤ t❤❛t f(x) = f(x′)✳
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❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦♥ (X, A, →, ❋❛✐rX) ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ R ⊆ X × X s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s❢❡r ♣r♦♣❡rt✐❡s✿
✶ ∀x,y,x′,a
− → x′ ∧ xRy) = ⇒ ∃y′ (y a − → y′ ∧ x′Ry′)
✷ ∀p,q
⇒ q ∈ ❋❛✐rX
❍❡r❡✱ p =R q ⇐ ⇒ ❞♦♠(q) = ❞♦♠(p) ∧ ∀σ∈❞♦♠(p)∩A⋆ p(σ)Rq(σ)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❚✇♦ st❛t❡s x ❛♥❞ x′ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② ❛ ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✐✛ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f s✉❝❤ t❤❛t f(x) = f(x′)✳
✺✸ ✴ ✸✽
❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦♥ (X, A, →, ❋❛✐rX) ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ R ⊆ X × X s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s❢❡r ♣r♦♣❡rt✐❡s✿
✶ ∀x,y,x′,a
− → x′ ∧ xRy) = ⇒ ∃y′ (y a − → y′ ∧ x′Ry′)
✷ ∀p,q
⇒ q ∈ ❋❛✐rX
❍❡r❡✱ p =R q ⇐ ⇒ ❞♦♠(q) = ❞♦♠(p) ∧ ∀σ∈❞♦♠(p)∩A⋆ p(σ)Rq(σ)✳ ❘❡♠❛r❦ ❊✈❡r② ∀✲❢❛✐r ❜✐s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ✭♦♥❧② s②♠♠❡tr✐❝ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✐s ❛ss✉♠❡❞ ✐♥ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❧♦❣✐❝ ❧✐t❡r❛t✉r❡✮ ✐s ♥♦t s✉♣❡r✢✉♦✉s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ✉♥✐♦♥ ❛♥❞ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳
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❋✐♥❞✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❢♦r ♣r♦❝❡ss t❤❡♦r✐❡s
Syntactical Description Calculation Rules Semantical Description Theoretical Notions analysis using analysis using solution axiomatisation Syntax Semantics Process terms Axioms
Transition Systems Bisimulation Equivalence
❋✐❣✉r❡✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ▼♦❞❡❧❧✐♥❣ ✭❈✉✐❥♣❡rs ✷✵✵✹✮✳
✺✺ ✴ ✸✽
❋✉t✉r❡ ❲♦r❦ ❋♦r ❛♥② ❣❡♦♠❡tr✐❝ t❤❡♦r② T t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❢②✐♥❣ t♦♣♦s B(T)✿
= T✲♠♦❞(E). ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ♠♦❞❡❧ ❧✐✈✐♥❣ ✐♥ U ∈ T✲♠♦❞(B(T))✳ ■❢ T = T❇❙P✱ t❤❡♥ U = (C(❇❙P)/ ⊢, [0]⊢, [1]⊢, +⊢, · · · )✳ ■♥ ♣r♦❝❡ss ❛❧❣❡❜r❛✱ ❵t❡r♠ ♠♦❞❡❧✬ ♠❡❛♥s (C(❇❙P)/ , [0], [1], +, · · · ) ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ U✳
❋✐❣✉r❡✿ ❇❛s✐❝ ❙❡q✉❡♥t✐❛❧ Pr♦❝❡ss❡s ✭❝❢✳ ❇❛❡t❡♥ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✵✮
✺✻ ✴ ✸✽