rs - - PowerPoint PPT Presentation

▶

May 12, 2023 502 likes •1.26k views

rs ts t r ts Prs

SLIDE 1

❆ ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❚②♣❡ ❙❛❢❡ ❯♥✐✈❡rs❡ ♦❢ ❙②♥t❛①❡s ✇✐t❤ ❇✐♥❞✐♥❣✱ ❚❤❡✐r ❙❡♠❛♥t✐❝s ❛♥❞ Pr♦♦❢s

✉✐❧❧❛✉♠❡ ❆❧❧❛✐s✱ ❘♦❜❡rt ❆t❦❡②✱ ❏❛♠❡s ❈❤❛♣♠❛♥✱ ❈♦♥♦r

▼❝❇r✐❞❡✱ ❏❛♠❡s ▼❝❑✐♥♥❛

■❈❋P✬✶✽✱ ❙t ▲♦✉✐s✱ ▼❖

❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✹✱ ✷✵✶✽

SLIDE 2

❘♦❛❞✲♠❛♣

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆ Pr♦❣r❛♠ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛ ❆ ❯♥✐✈❡rs❡ ♦❢ ❙②♥t❛①❡s ✇✐t❤ ❇✐♥❞✐♥❣ ❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛① ❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❑✐♥❞ ❆✇❛r❡ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❆ ●❡♥❡r✐❝ ◆♦t✐♦♥ ♦❢ ❙❡♠❛♥t✐❝s ❆ ❈❛t❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❑✐♥❞ Pr❡s❡r✈✐♥❣ Pr♦❣r❛♠s Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

SLIDE 3

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ❙ ❙ ❙ ❧❡t ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 4

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ❙ ❙ ❙ ❧❡t ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 5

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ❙ ❙ ❙ ❧❡t ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 6

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ❙ ❙ ❙ ❧❡t ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 7

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ::= x | ❙ ❙ | λx.❙ | ❧❡t x = ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 8

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ::= x | ❙ ❙ | λx.❙ | ❧❡t x = ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 9

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ::= x | ❙ ❙ | λx.❙ | ❧❡t x = ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 10

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

❙ ::= x | ❙ ❙ | λx.❙ | ❧❡t x = ❙ ✐♥ ❙ ❚ ::= x | ❚ ❚ | λx.❚

Pr♦❜❧❡♠

◮ ❲r✐t❡ ❛ ♣r♦❣r❛♠ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚ ✐♥❧✐♥✐♥❣ ❧❡t✳✳✐♥✳✳ ◮ Pr♦✈❡ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r t❤✐s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

SLIDE 11

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 12

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 13

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 14

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 15

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 16

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) f t ρ = ( f ρ) ( t ρ) ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 17

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) f t ρ = ( f ρ) ( t ρ) λx.b ρ = λx.( b (ρ · x)) ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 18

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) f t ρ = ( f ρ) ( t ρ) λx.b ρ = λx.( b (ρ · x) ) ❧❡t ✐♥ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 19

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) f t ρ = ( f ρ) ( t ρ) λx.b ρ = λx.( b (ρ · x)) ❧❡t x = e ✐♥ b ρ = b (ρ · e ρ) ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 20

▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥✿ ❢r♦♠ ❙ t♦ ❚

· · : ❙ → (❱❛r ⇒ ❚) → ❚ x ρ = ρ(x) f t ρ = ( f ρ) ( t ρ) λx.b ρ = λ x .( b ( ρ · x)) ❧❡t x = e ✐♥ b ρ = b (ρ · e ρ) ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✮✿ ❚ ❛❞♠✐ts ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

SLIDE 21

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s s✬ ❛♥❞ ✬ s✳t✳ ❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿ ❙t❛t❡♠❡♥t

♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 22

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬

❛♥❞ ✬ s✳t✳ ❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿ ❙t❛t❡♠❡♥t

♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 23

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ ❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿ ❙t❛t❡♠❡♥t

♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 24

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿ ❙t❛t❡♠❡♥t

♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 25

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ X ♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥

❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

◮ Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 26

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ X ♠❡❛♥s ❳ ✐s st❛❜❧❡ ✉♥❞❡r s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ◮ ❚♦ ❞❡✜♥❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣

◮ Pr♦♦❢

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 27

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ Pr♦♦❢

◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s

❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 28

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ Pr♦♦❢

◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ◮ ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s

■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 29

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮ ✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ Pr♦♦❢

◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ◮ ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ◮ ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 30

❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛

▲❡♠♠❛ ✭❙✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥✿

◮ s ❛♥❞ s✬ s✳t✳ s S s✬ ◮ ρ ❛♥❞ ρ✬ s✳t✳ ∀x.ρ(x) ⋆ T ρ′(x)

❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ s ρ ⋆

T s′ ρ′

❍♦♥❡st② t❛① ✭❾✶✷✰✮✿

◮ ❙t❛t❡♠❡♥t

◮ Pr♦♦❢

◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛s ◮ ❊①t❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ❧❡♠♠❛s ◮ ■❞❡♥t✐t② ❧❡♠♠❛s

SLIDE 31

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 32

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 33

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 34

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 35

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 36

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 37

r❛♥❞ ❚♦t❛❧

❙✉♠♠❛r②✿ ✶✳ ❙✐♠♣❧❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✷✳ Pr♦❜❧❡♠ ❡❛s② t♦ st❛t❡ ✸✳ ✹ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✹✳ ✶✷✰ ❧❡♠♠❛s ❜❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ st❛rt ♣r♦✈✐♥❣ ❙❤♦rt❝♦♠✐♥❣s✿ ✶✳ ❊✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ❛❞✲❤♦❝ ✭❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ r❡✲❞♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s✦✮ ✷✳ ◗✉✐t❡ ♥♦✐s② ✭ · · ✐s ♣❛✐♥❢✉❧❧② ❡①♣❧✐❝✐t ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ❝❛s❡s✮

SLIDE 38

❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛①

❧❛♠ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ τ (σ :: Γ) → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ ❛♣♣ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ → ❚♠ σ Γ → ❚♠ τ Γ ❆ ❝♦♥str✉❝t♦r ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✭❛♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t♦r✬s t❡❧❡s❝♦♣❡ ♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✮ ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✭s♦♠❡t✐♠❡s ✇✐t❤ ❡①tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s❝♦♣❡✮ ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡✬s ✐♥❞✐❝❡s

SLIDE 39

❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛①

❧❛♠ : ∀ {σ τ Γ} → ❚♠ τ (σ :: Γ) → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ ❛♣♣ : ∀ {σ τ Γ} → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ → ❚♠ σ Γ → ❚♠ τ Γ ❆ ❝♦♥str✉❝t♦r ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✭❛♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t♦r✬s t❡❧❡s❝♦♣❡ ♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✮ ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✭s♦♠❡t✐♠❡s ✇✐t❤ ❡①tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s❝♦♣❡✮ ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡✬s ✐♥❞✐❝❡s

SLIDE 40

❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛①

❧❛♠ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ τ (σ :: Γ) → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ ❛♣♣ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ → ❚♠ σ Γ → ❚♠ τ Γ ❆ ❝♦♥str✉❝t♦r ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✭❛♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t♦r✬s t❡❧❡s❝♦♣❡ ♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✮ ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✭s♦♠❡t✐♠❡s ✇✐t❤ ❡①tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s❝♦♣❡✮ ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡✬s ✐♥❞✐❝❡s

SLIDE 41

❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛①

❧❛♠ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ τ ( σ :: Γ) → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ ❛♣♣ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ → ❚♠ σ Γ → ❚♠ τ Γ ❆ ❝♦♥str✉❝t♦r ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✭❛♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t♦r✬s t❡❧❡s❝♦♣❡ ♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✮ ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✭s♦♠❡t✐♠❡s ✇✐t❤ ❡①tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s❝♦♣❡✮ ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡✬s ✐♥❞✐❝❡s

SLIDE 42

❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛①

❧❛♠ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ τ (σ :: Γ) → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ ❛♣♣ : ∀{σ τ Γ} → ❚♠ (σ ⇒ τ) Γ → ❚♠ σ Γ → ❚♠ τ Γ ❆ ❝♦♥str✉❝t♦r ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✭❛♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t♦r✬s t❡❧❡s❝♦♣❡ ♠❛② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✮ ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✭s♦♠❡t✐♠❡s ✇✐t❤ ❡①tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ s❝♦♣❡✮ ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡✬s ✐♥❞✐❝❡s

SLIDE 43

❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❞❛t❛ ❉❡s❝ (■ : ❙❡t) : ❙❡t · : ❉❡s❝ ■ → (■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) → (■ → ▲✐st ■ → ❙❡t)

SLIDE 44

❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❵σ : (❆ : ❙❡t) → (❆ → ❉❡s❝ ■) → ❉❡s❝ ■ ❵σ ❆ ❞ ❳ ✐ Γ = Σ❛:❆ ❞ ❛ ❳ ✐ Γ

SLIDE 45

❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❵❳ : ■ → ▲✐st ■ → ❉❡s❝ ■ → ❉❡s❝ ■ ❵❳ ❥ ∆ ❞ ❳ ✐ Γ = X ❥ (∆+ +Γ) × ❞ ❳ ✐ Γ

SLIDE 46

❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❵❳ : ■ → ▲✐st ■ → ❉❡s❝ ■ → ❉❡s❝ ■ ❵❳ ❥ ∆ ❞ ❳ ✐ Γ = X ❥ (∆+ +Γ) × ❞ ❳ ✐ Γ

SLIDE 47

❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s

❘❡q✉✐r❡♠❡♥ts✿ ✶✳ ❙t♦r❡ ✈❛❧✉❡s ✷✳ ❍❛✈❡ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜str✉❝t✉r❡s ✸✳ ❈♦♥str❛✐♥t t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❵ : κ → ❉❡s❝ ■ ❵ ❥ ❳ ✐ Γ = ✐ ≡ ❥

SLIDE 48

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 49

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 50

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 51

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 52

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 53

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ ( ❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 54

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ )) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 55

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ))

SLIDE 56

❊①❛♠♣❧❡✿ ❈♦❞❡ ❢♦r ❙❚▲❈

❞❛t❛ ❵❙❚▲❈ : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵❛♣♣ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❵❧❛♠ : (σ τ : ❚②♣❡) → ❵❙❚▲❈ ❙❚▲❈ : ❉❡s❝ ❚②♣❡ ❙❚▲❈ = ❵σ ❵❙❚▲❈ ✩ λ ✇❤❡r❡ (❵❛♣♣ σ τ) → ❵❳ (σ ⇒ τ) ❬❪ (❵❳ σ ❬❪ (❵ τ)) (❵❧❛♠ σ τ) → ❵❳ τ (σ ✿✿ ❬❪) (❵ (σ⇒τ) )

SLIDE 57

❚❡r♠s ❛s ❋r❡❡ ❘❡❧❛t✐✈❡ ▼♦♥❛❞s

❞❛t❛ ❚♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (✐ : ■) (Γ : ▲✐st ■) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵✈❛r : ❱❛r ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ ❵❝♦♥ : ❞ (❚♠ ❞) ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ

SLIDE 58

❚❡r♠s ❛s ❋r❡❡ ❘❡❧❛t✐✈❡ ▼♦♥❛❞s

❞❛t❛ ❚♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (✐ : ■) (Γ : ▲✐st ■) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵✈❛r : ❱❛r ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ ❵❝♦♥ : ❞ (❚♠ ❞) ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ

SLIDE 59

❚❡r♠s ❛s ❋r❡❡ ❘❡❧❛t✐✈❡ ▼♦♥❛❞s

❞❛t❛ ❚♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (✐ : ■) (Γ : ▲✐st ■) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵✈❛r : ❱❛r ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ ❵❝♦♥ : ❞ (❚♠ ❞) ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ

SLIDE 60

❚❡r♠s ❛s ❋r❡❡ ❘❡❧❛t✐✈❡ ▼♦♥❛❞s

❞❛t❛ ❚♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (✐ : ■) (Γ : ▲✐st ■) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵✈❛r : ❱❛r ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ ❵❝♦♥ : ❞ (❚♠ ❞) ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ

SLIDE 61

❚❡r♠s ❛s ❋r❡❡ ❘❡❧❛t✐✈❡ ▼♦♥❛❞s

❞❛t❛ ❚♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (✐ : ■) (Γ : ▲✐st ■) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❵✈❛r : ❱❛r ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ ❵❝♦♥ : ❞ (❚♠ ❞) ✐ Γ → ❚♠ ❞ ✐ Γ

SLIDE 62

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 63

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ ( ❞ : ❉❡s❝ ■ ) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 64

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) ( V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 65

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 66

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 67

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 68

r❡❝♦r❞ ❙❡♠ (❞ : ❉❡s❝ ■) (V C : ■ → ▲✐st ■ → ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ✳ ✳ ✳ s❡♠ : ❙❡♠ ❞ V C → ∀{Γ ∆} → (∀{i} → ❱❛r ✐ Γ → V ✐ ∆) → ∀{i} → ❚♠ ❞ ✐ Γ → C ✐ ∆

SLIDE 69

❆ ❈❛t❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❑✐♥❞ Pr❡s❡r✈✐♥❣ Pr♦❣r❛♠s

◮ ●❡♥❡r✐❝✿

◮ ❘❡♥❛♠✐♥❣ ◮ ❙✉❜st✐t✉t✐♦♥ ◮ ▲❡t✲❡❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ◮ Pr✐♥t✐♥❣ ◮ ❙❝♦♣❡✲❝❤❡❝❦✐♥❣ ◮ ✭❯♥s❛❢❡✮ ◆♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜② ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥

◮ ❙♣❡❝✐✜❝ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡✿

◮ ❈P❙ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ◮ ❚②♣❡❝❤❡❝❦✐♥❣ ◮ ❊❧❛❜♦r❛t✐♦♥ t♦ ❛ t②♣❡❞ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ◮ ✭❙❛❢❡✮ ◆♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜② ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥

SLIDE 70

Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s✿

◮ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❙❡♠ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ s❤❛♣❡ ◮ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❣❡t s♦♠❡t❤✐♥❣ ❢♦r ❢r❡❡ ♦✉t ♦❢ ✐t✦

❘❡s✉❧ts✿ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❙❡♠❛♥t✐❝s ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ■♥st❛♥❝❡s ❢♦r ❝♦♠♠♦♥ tr❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②

SLIDE 71

Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s✿

◮ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❙❡♠ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ s❤❛♣❡ ◮ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❣❡t s♦♠❡t❤✐♥❣ ❢♦r ❢r❡❡ ♦✉t ♦❢ ✐t✦

❘❡s✉❧ts✿

◮ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❙❡♠❛♥t✐❝s

❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ■♥st❛♥❝❡s ❢♦r ❝♦♠♠♦♥ tr❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②

SLIDE 72

Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s✿

◮ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❙❡♠ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ s❤❛♣❡ ◮ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❣❡t s♦♠❡t❤✐♥❣ ❢♦r ❢r❡❡ ♦✉t ♦❢ ✐t✦

❘❡s✉❧ts✿

◮ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❙❡♠❛♥t✐❝s ◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s

■♥st❛♥❝❡s ❢♦r ❝♦♠♠♦♥ tr❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②

SLIDE 73

Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s✿

◮ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❙❡♠ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ s❤❛♣❡ ◮ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❣❡t s♦♠❡t❤✐♥❣ ❢♦r ❢r❡❡ ♦✉t ♦❢ ✐t✦

❘❡s✉❧ts✿

◮ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❙❡♠❛♥t✐❝s ◮ ❋✉s✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤r❡❡ ❙❡♠❛♥t✐❝s ◮ ■♥st❛♥❝❡s ❢♦r ❝♦♠♠♦♥ tr❛✈❡rs❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②

SLIDE 74

❙✉♠♠❛r②

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆ Pr♦❣r❛♠ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❆ ❙♦✉♥❞♥❡ss ▲❡♠♠❛ ❆ ❯♥✐✈❡rs❡ ♦❢ ❙②♥t❛①❡s ✇✐t❤ ❇✐♥❞✐♥❣ ❆♥❛t♦♠② ♦❢ ❛ ▲❛♥❣✉❛❣❡✬s ❙②♥t❛① ❈♦❞❡s ❢♦r ❙②♥t❛①❡s ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❑✐♥❞ ❆✇❛r❡ ❚r❛✈❡rs❛❧s ❆ ●❡♥❡r✐❝ ◆♦t✐♦♥ ♦❢ ❙❡♠❛♥t✐❝s ❆ ❈❛t❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❙❝♦♣❡✲❛♥❞✲❑✐♥❞ Pr❡s❡r✈✐♥❣ Pr♦❣r❛♠s Pr♦♦❢ ❋r❛♠❡✇♦r❦s

SLIDE 75

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥

❨♦✉ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛❧❧ ♦❢ t❤✐s ✭❛♥❞ ♠♦r❡✮ ❛t ❤tt♣s✿✴✴❣✐t❤✉❜✳❝♦♠✴❣❛❧❧❛✐s✴❣❡♥❡r✐❝✲s②♥t❛① ❆✈❡♥✉❡s ❢♦r ❢✉t✉r❡ r❡s❡❛r❝❤✿

◮ ❲❤✐❝❤ ❝♦♠♣✐❧❛t✐♦♥ ♣❛ss❡s ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②❄ ◮ ❲❤✐❝❤ s②♥t❛①❡s ❝❛♥ ❜❡ s❛❢❡❧② ♥♦r♠❛❧✐③❡❞❄ ◮ ❈❛♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ t❤❡♦r② ♦❢ r❡✜♥❡♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ ✈❛r✐♦✉s s②♥t❛①❡s❄ ◮ ❈❛♥ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞ t②♣✐♥❣ ❥✉❞❣♠❡♥ts ❢♦r