rt t rr - - PowerPoint PPT Presentation

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rt t rr - - PowerPoint PPT Presentation

Dec 14, 2023 283 likes •752 views

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SLIDE 1

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SLIDE 2

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SLIDE 3

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SLIDE 4

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SLIDE 5

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SLIDE 6

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SLIDE 7

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

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▼♦t✐✈❛t✐♦♥

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SLIDE 9

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

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SLIDE 13

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SLIDE 15

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SLIDE 16

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SLIDE 17

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SLIDE 18

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

  • j=✶

At(xj) + N−✶

k<j

V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

j=✶ φ✵(xj)

idtΨt = HtΨt ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞❡str♦②s ♣r♦❞✉❝t str✉❝t✉r❡✳ ◗✉❡st✐♦♥✿

◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 19

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

  • j=✶

At(xj) + N−✶

k<j

V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

j=✶ φ✵(xj)

idtΨt = HtΨt ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞❡str♦②s ♣r♦❞✉❝t str✉❝t✉r❡✳ ◗✉❡st✐♦♥✿

◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 20

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

  • j=✶

At(xj) + N−✶

k<j

V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

j=✶ φ✵(xj)

idtΨt = HtΨt ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞❡str♦②s ♣r♦❞✉❝t str✉❝t✉r❡✳ ◗✉❡st✐♦♥✿

◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 21

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

  • j=✶

At(xj) + N−✶

k<j

V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

j=✶ φ✵(xj)

idtΨt = HtΨt ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞❡str♦②s ♣r♦❞✉❝t str✉❝t✉r❡✳ ◗✉❡st✐♦♥✿

◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 22

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

  • j=✶

At(xj) + N−✶

k<j

V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

j=✶ φ✵(xj)

idtΨt = HtΨt ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞❡str♦②s ♣r♦❞✉❝t str✉❝t✉r❡✳ ◗✉❡st✐♦♥✿

◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 23

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥s✿ ❚❤❡ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥

H =

N

  • j=✶

−∆j +

N

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At(xj) + N−✶

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V (xj − xk) ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✒❢❡❧t✏ ❜② ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ♦❢ ♦r❞❡r ♦♥❡ Ψ✵ = N

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◮ ■♥ ✇❤✐❝❤ r❡❣✐♠❡s✿ Ψt ≈ N j=✶ φt(xj) ◮ ❲❤❛t ✐s φt❄

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 24

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r ✏♣❛rt✐❝❧❡ ✶✑

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

W (x✶) = N−✶ N

j=✷ V (x✶ − xj) ❢♦r ✜①❡❞✱ |φ✵|✷✲ ❞✐str✐❜✉t❡❞ x✷, . . . , xN✳

▲❛✇ ♦❢ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡rs✿ |φ✵|✷ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ρ✵✳ W (x✶) ≈ V ⋆ |φ✵|✷(x✶) ✭✏▼❡❛♥ ✜❡❧❞✑✮✳ ❊✛❡❝t✐✈❡ ❉②♥❛♠✐❝s✿ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ idtφt =

  • −∆ + At + V ⋆ |φt|✷

φt .

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 25

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r ✏♣❛rt✐❝❧❡ ✶✑

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

W (x✶) = N−✶ N

j=✷ V (x✶ − xj) ❢♦r ✜①❡❞✱ |φ✵|✷✲ ❞✐str✐❜✉t❡❞ x✷, . . . , xN✳

▲❛✇ ♦❢ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡rs✿ |φ✵|✷ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ρ✵✳ W (x✶) ≈ V ⋆ |φ✵|✷(x✶) ✭✏▼❡❛♥ ✜❡❧❞✑✮✳ ❊✛❡❝t✐✈❡ ❉②♥❛♠✐❝s✿ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ idtφt =

  • −∆ + At + V ⋆ |φt|✷

φt .

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 26

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r ✏♣❛rt✐❝❧❡ ✶✑

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

W (x✶) = N−✶ N

j=✷ V (x✶ − xj) ❢♦r ✜①❡❞✱ |φ✵|✷✲ ❞✐str✐❜✉t❡❞ x✷, . . . , xN✳

▲❛✇ ♦❢ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡rs✿ |φ✵|✷ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ρ✵✳ W (x✶) ≈ V ⋆ |φ✵|✷(x✶) ✭✏▼❡❛♥ ✜❡❧❞✑✮✳ ❊✛❡❝t✐✈❡ ❉②♥❛♠✐❝s✿ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ idtφt =

  • −∆ + At + V ⋆ |φt|✷

φt .

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 27

▼❡❛♥ ✜❡❧❞ ❢♦r ✏♣❛rt✐❝❧❡ ✶✑

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

W (x✶) = N−✶ N

j=✷ V (x✶ − xj) ❢♦r ✜①❡❞✱ |φ✵|✷✲ ❞✐str✐❜✉t❡❞ x✷, . . . , xN✳

▲❛✇ ♦❢ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡rs✿ |φ✵|✷ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ρ✵✳ W (x✶) ≈ V ⋆ |φ✵|✷(x✶) ✭✏▼❡❛♥ ✜❡❧❞✑✮✳ ❊✛❡❝t✐✈❡ ❉②♥❛♠✐❝s✿ ❍❛rtr❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ idtφt =

  • −∆ + At + V ⋆ |φt|✷

φt .

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 28
  • rö♥✇❛❧❧ ❛r❣✉♠❡♥t

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x12,13,14

▲❡t αt ❜❡ ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐rt ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡✿ dtαt ≤ C(αt + O(✶))

  • rö♥✇❛❧❧✿ αt st❛②s s♠❛❧❧ ✐❢ α✵ ✇❛s s♠❛❧❧ ✭αt ≤ eCtα✵ + O(✶)✮

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 29
  • rö♥✇❛❧❧ ❛r❣✉♠❡♥t

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x12,13,14

▲❡t αt ❜❡ ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐rt ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡✿ dtαt ≤ C(αt + O(✶))

  • rö♥✇❛❧❧✿ αt st❛②s s♠❛❧❧ ✐❢ α✵ ✇❛s s♠❛❧❧ ✭αt ≤ eCtα✵ + O(✶)✮

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 30
  • rö♥✇❛❧❧ ❛r❣✉♠❡♥t

V x1

x x x x x x x x x x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x12,13,14

▲❡t αt ❜❡ ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐rt ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡✿ dtαt ≤ C(αt + O(✶))

  • rö♥✇❛❧❧✿ αt st❛②s s♠❛❧❧ ✐❢ α✵ ✇❛s s♠❛❧❧ ✭αt ≤ eCtα✵ + O(✶)✮

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 31

❙♦♠❡ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♦♥❧② s❡♥s❡ ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠❛♥②

❜♦s♦♥s ♦r ❤❡❛✈②✱ ✇❡❧❧ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜♦s♦♥s✿

◮ ▼✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ❧✐♥❡❛r✐t② ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭♣r♦❞✉❝t st❛t❡✮✳

◮ ❋❧✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✢✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✳ ◮ ●♦♦❞ ❛r❣✉♠❡♥t t❛❦❡s ❝❛r❡ ♦❢ t❤✐s✱ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✲❡q✉❛t✐♦♥s ✐s

♥♦t ❡♥♦✉❣❤✳

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 32

❙♦♠❡ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♦♥❧② s❡♥s❡ ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠❛♥②

❜♦s♦♥s ♦r ❤❡❛✈②✱ ✇❡❧❧ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜♦s♦♥s✿

◮ ▼✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ❧✐♥❡❛r✐t② ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭♣r♦❞✉❝t st❛t❡✮✳

◮ ❋❧✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✢✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✳ ◮ ●♦♦❞ ❛r❣✉♠❡♥t t❛❦❡s ❝❛r❡ ♦❢ t❤✐s✱ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✲❡q✉❛t✐♦♥s ✐s

♥♦t ❡♥♦✉❣❤✳

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 33

❙♦♠❡ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♦♥❧② s❡♥s❡ ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠❛♥②

❜♦s♦♥s ♦r ❤❡❛✈②✱ ✇❡❧❧ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜♦s♦♥s✿

◮ ▼✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ❧✐♥❡❛r✐t② ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭♣r♦❞✉❝t st❛t❡✮✳

◮ ❋❧✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✢✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✳ ◮ ●♦♦❞ ❛r❣✉♠❡♥t t❛❦❡s ❝❛r❡ ♦❢ t❤✐s✱ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✲❡q✉❛t✐♦♥s ✐s

♥♦t ❡♥♦✉❣❤✳

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 34

❙♦♠❡ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♦♥❧② s❡♥s❡ ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠❛♥②

❜♦s♦♥s ♦r ❤❡❛✈②✱ ✇❡❧❧ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜♦s♦♥s✿

◮ ▼✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ❧✐♥❡❛r✐t② ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭♣r♦❞✉❝t st❛t❡✮✳

◮ ❋❧✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✢✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✳ ◮ ●♦♦❞ ❛r❣✉♠❡♥t t❛❦❡s ❝❛r❡ ♦❢ t❤✐s✱ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✲❡q✉❛t✐♦♥s ✐s

♥♦t ❡♥♦✉❣❤✳

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 35

❙♦♠❡ r❡♠❛r❦s

◮ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♦♥❧② s❡♥s❡ ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠❛♥②

❜♦s♦♥s ♦r ❤❡❛✈②✱ ✇❡❧❧ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜♦s♦♥s✿

◮ ▼✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠ ✐s ❧✐♥❡❛r✱ ❧✐♥❡❛r✐t② ✐s ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭♣r♦❞✉❝t st❛t❡✮✳

◮ ❋❧✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✢✉① ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✳ ◮ ●♦♦❞ ❛r❣✉♠❡♥t t❛❦❡s ❝❛r❡ ♦❢ t❤✐s✱ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✲❡q✉❛t✐♦♥s ✐s

♥♦t ❡♥♦✉❣❤✳

P❡t❡r P✐❝❦❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 36

❚❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠

i∂tΨN(t) = HN

mΨN(t),

ΨN(✵) = ΨN✵, P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ HN

m = N

  • j=✶
  • −i∇j −

ˆ ❆κ(xj) √ N ✷ + ✶ N

  • ✶≤j<k≤N

v(xj − xk) + Hf s❡❝♦♥❞ q✉❛♥t✐③❡❞ A✲✜❡❧❞ ˆ ❆κ(x) =

  • λ=✶,✷
  • d✸k ˜

κ(k) ✶

  • ✷|k|

ǫλ(k)

  • eikxa(k, λ) + e−ikxa∗(k, λ)
  • P❡t❡r P✐❝❦❧

▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 37

❚❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠

i∂tΨN(t) = HN

mΨN(t),

ΨN(✵) = ΨN✵, P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ HN

m = N

  • j=✶
  • −i∇j −

ˆ ❆κ(xj) √ N ✷ + ✶ N

  • ✶≤j<k≤N

v(xj − xk) + Hf s❡❝♦♥❞ q✉❛♥t✐③❡❞ A✲✜❡❧❞ ˆ ❆κ(x) =

  • λ=✶,✷
  • d✸k ˜

κ(k) ✶

  • ✷|k|

ǫλ(k)

  • eikxa(k, λ) + e−ikxa∗(k, λ)
  • P❡t❡r P✐❝❦❧

▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 38

❚❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠

i∂tΨN(t) = HN

mΨN(t),

ΨN(✵) = ΨN✵, P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ HN

m = N

  • j=✶
  • −i∇j −

ˆ ❆κ(xj) √ N ✷ + ✶ N

  • ✶≤j<k≤N

v(xj − xk) + Hf s❡❝♦♥❞ q✉❛♥t✐③❡❞ A✲✜❡❧❞ ˆ ❆κ(x) =

  • λ=✶,✷
  • d✸k ˜

κ(k) ✶

  • ✷|k|

ǫλ(k)

  • eikxa(k, λ) + e−ikxa∗(k, λ)
  • P❡t❡r P✐❝❦❧

▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 39

❚❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ s②st❡♠

❍❡rtr❡❡✲▼❛①✇❡❧❧s ❡q✉❛t✐♦♥ i∂tϕt(x) =

  • (−i∇ − (κ ⋆ ❆)(x, t))✷ + (v ⋆ |ϕt|✷)(x)
  • ϕt(x),

∇ · ❆(x, t) = ✵, ∂t❆(x, t) = −❊(x, t), ∂t❊(x, t) = (−∆❆) (x, t) −

  • ✶ − ∇❞✐✈∆−✶

(κ ⋆ ❥ t) (x), ❥ t(x) = ✷

  • ℑ(ϕ∗

t ∇ϕt)(x) − |ϕt|✷(x)(κ ⋆ ❆)(x, t)

  • P❡t❡r P✐❝❦❧

▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡s ■♥st✐t✉t ▲▼❯ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ◆✐❦♦❧❛✐ ▲❡♦♣♦❧❞ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✲❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❊q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ P❛✉❧✐✲❋✐❡r③ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥

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SLIDE 40
  • rö♥✇❛❧❧✲t②♣❡ ❡st✐♠❛t❡

βa := ΨNt, q✶, ΨNt

  • βb :=
  • λ=✶,✷
  • d✸k|k|

ΨNt, a∗(k, λ) √ N − α∗

t (k, λ)

a(k, λ) √ N − αt(k, λ)

  • ΨNt
  • βc :=
  • HN

m

N − EM[ϕt, αt]

  • ΨNt,

HN

m

N − EM[ϕt, αt]

  • ΨNt
  • |k|✶/✷αt(k, λ) :=

✶ √ ✷ ǫλ(k) · (|k|FT [❆](k, t) − iFT [❊](k, t)) βa ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❞✐rt ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡ βb ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t♦♥ ✜❡❧❞ ❢r♦♠ ❛ ❝♦❤❡r❡♥t st❛t❡✳ βc ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣✐❡s✳

  • rö♥✇❛❧❧✿ ˙

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