◆❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦s✿ s♦♠❡ r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t ✭✐✮ ❙♣✐❦❡ tr❛✐♥ st❛t✐st✐❝s ❀ ✭✐✐✮ ▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ t❤❡♦r②✳ ❇r✉♥♦ ❈❡ss❛❝ ◆❡✉r♦▼❛t❤❈♦♠♣ ❚❡❛♠✱■◆❘■❆ ❙♦♣❤✐❛ ❆♥t✐♣♦❧✐s✱❋r❛♥❝❡✳ ✵✺✲✵✾✲✷✵✶✶ ❇r✉♥♦ ❈❡ss❛❝ ✭■◆❘■❆✮ ◆❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦s✿ s♦♠❡ r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t ✵✺✲✵✾✲✷✵✶✶ ✶ ✴ ✶✾
❚❛❜❧❡ ♦❢ ❝♦♥t❡♥ts ❙♣✐❦❡ tr❛✐♥ st❛t✐st✐❝s ❛♥❞ ●✐❜❜s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✶ ▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ✐♥ ❝❤❛♦t✐❝ ♥❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ✷ ❇r✉♥♦ ❈❡ss❛❝ ✭■◆❘■❆✮ ◆❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦s✿ s♦♠❡ r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t ✵✺✲✵✾✲✷✵✶✶ ✷ ✴ ✶✾
❙♣✐❦❡ tr❛✐♥ st❛t✐st✐❝s ❛♥❞ ●✐❜❜s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s
❈❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ s♣✐❦❡ tr❛✐♥s st❛t✐st✐❝s ❋✐❣✉r❡✿ ❘❛st❡r ♣❧♦t✴s♣✐❦❡ tr❛✐♥✳
❈❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ s♣✐❦❡ tr❛✐♥s st❛t✐st✐❝s ❋✐❣✉r❡✿ ❘❛st❡r ♣❧♦t✴s♣✐❦❡ tr❛✐♥✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t s♣✐❦❡ tr❛✐♥s st❛t✐st✐❝s ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ❤✐❞❞❡♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② µ ✳
❈❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ s♣✐❦❡ tr❛✐♥s st❛t✐st✐❝s ❋✐❣✉r❡✿ ❘❛st❡r ♣❧♦t✴s♣✐❦❡ tr❛✐♥✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t s♣✐❦❡ tr❛✐♥s st❛t✐st✐❝s ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ❤✐❞❞❡♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② µ ✳ ❈❛♥ ♦♥❡ ❤❛✈❡ ❛ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ✇❤❛t µ ✐s ✐♥ ❛ ♥❡✉r❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ♠♦❞❡❧ ❄
❘❛st❡r ♣❧♦t ✏s♣✐❦✐♥❣ st❛t❡✑ ✶ ✐❢ ∃ t ∈ ] ♥ − ✶ , ♥ ] s✉❝❤ t❤❛t ❱ ❦ ( t ) ≥ θ ; ω ❦ ( ♥ ) = ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❙♣✐❦❡ ♣❛tt❡r♥ ω ( ♥ ) = ( ω ❦ ( ♥ )) ◆ ❦ = ✶ ❙♣✐❦❡ ❜❧♦❝❦ ω ♥ ♠ = { ω ( ♠ ) ω ( ♠ + ✶ ) . . . ω ( ♥ ) } ❘❛st❡r ♣❧♦t ω ❞❡❢ = ω + ∞ −∞ ❋✐❣✉r❡✿ ❘❛st❡r ♣❧♦t✳
❚❤❡ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ■♥t❡❣r❛t❡ ❛♥❞ ❋✐r❡ ▼♦❞❡❧ ❘✉❞♦❧♣❤✲❉❡st❡①❤❡✱✷✵✵✻ ◆ ❞❱ ❦ � ❈ ❦ = − ❣ ▲ , ❦ ( ❱ ❦ − ❊ ▲ ) − ❣ ❦❥ ( t , ω ) ( ❱ ❦ − ❊ ❥ ) + ■ ❦ ( t ) , ❞t ❥ = ✶ ❣ ❦❥ ( t , ω ) = ● ❦❥ α ❦❥ ( t , ω ) � α ❦❥ ( t , ω ) = α ❦❥ ( t − r ) ω ❥ ( r ) r < t ❋✐❣✉r❡✿ P♦st❙②♥❛♣t✐❝ P♦t❡♥t✐❛❧✳ ❋r♦♠ ❋✳ ●r❛♠♠♦♥t✱ ▲❡❝t✉r❡ ✐♥ ▲❡s ❍♦✉❝❤❡s✱ ✷✵✵✾✳
❚❤❡ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ■♥t❡❣r❛t❡ ❛♥❞ ❋✐r❡ ▼♦❞❡❧ ❘✉❞♦❧♣❤✲❉❡st❡①❤❡✱✷✵✵✻ ◆ ❞❱ ❦ � ❈ ❦ = − ❣ ▲ , ❦ ( ❱ ❦ − ❊ ▲ ) − ❣ ❦❥ ( t , ω ) ( ❱ ❦ − ❊ ❥ ) + ■ ❦ ( t ) , ❞t ❥ = ✶ ❣ ❦❥ ( t , ω ) = ● ❦❥ α ❦❥ ( t , ω ) � α ❦❥ ( t , ω ) = α ❦❥ ( t − r ) ω ❥ ( r ) r < t ❙②♥❛♣t✐❝ r❡s♣♦♥s❡ α ❦❥ ( t ) = t − t τ ❦❥ ❍ ( t ) ❡ τ ❦❥
❚❤❡ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ■♥t❡❣r❛t❡ ❛♥❞ ❋✐r❡ ▼♦❞❡❧ ❘✉❞♦❧♣❤✲❉❡st❡①❤❡✱✷✵✵✻ ◆ ❞❱ ❦ ❣ ❦❥ ( t , ω ) ( ❱ ❦ − ❊ ❥ ) + ✐ ( ❡①t ) � ❈ ❦ = − ❣ ▲ , ❦ ( ❱ ❦ − ❊ ▲ ) − ( t ) + σ ❇ ξ ❦ ( t ) , ❦ ❞t ❥ = ✶ ❣ ❦❥ ( t , ω ) = ● ❦❥ α ❦❥ ( t , ω ) ❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❞❱ ❦ ❈ ❦ ❞t + ❣ ❦ ( t , ω ) ❱ ❦ = ✐ ❦ ( t , ω ) , ◆ ❲ ❦❥ α ❦❥ ( t , ω ) + ✐ ( ❡①t ) � ✐ ❦ ( t , ω ) = ❣ ▲ , ❦ ❊ ▲ + ( t ) + σ ❇ ξ ❦ ( t ) , ❦ ❥ = ✶ ❲ ❦❥ = ❊ ❥ ● ❦❥
❋❧♦✇ ❣✐✈❡♥ ❛ r❛st❡r ❞❱ ❦ ❈ ❦ ❞t + ❣ ❦ ( t , ω ) ❱ ❦ = ✐ ❦ ( t , ω ) , R t ✷ − ✶ t ✶ ❣ ❦ ( ✉ ,ω ) ❞✉ . Γ ❦ ( t ✶ , t ✷ , ω ) = ❡ ❈❦ � t ✶ ❱ ❦ ( t , ω ) = Γ ❦ ( s , t , ω ) ❱ ❦ ( s ) + Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ✐ ❦ ( t ✶ , ω ) ❞t ✶ . ❈ ❦ s
▲❛st r❡s❡t t✐♠❡ ■❢ ❱ ❦ ( t ) ≥ θ ✱ ♥❡✉r♦♥ ❦ ✜r❡s✳ ❉❡❧❛②❡❞ r❡s❡t t♦ ❛ r❛♥❞♦♠ ✈❛❧✉❡ ❱ r❡s❡t ✳ ❙♣✐❦❡s ❛r❡ r❡❣✐st❡r❡❞ ❛t ✐♥t❡❣❡r t✐♠❡s ✭✐♥ ❛ t✐♠❡ ✉♥✐t t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❛r❜✐tr❛r② s♠❛❧❧✮✳ ❋✐❣✉r❡✿ ❋r♦♠ ❈❡ss❛❝✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ◆❡✉r♦✳ ✷✵✶✶✳ � t ✶ ❱ ❦ ( t , ω ) = Γ ❦ ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) ❱ r❡s❡t + Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ✐ ❦ ( t ✶ , ω ) ❞t ✶ . ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω )
❊①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♠❡♠❜r❛♥❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❣✐✈❡♥ ❛ r❛st❡r � t ✶ ❱ ❦ ( t , ω ) = Γ ❦ ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) ❱ r❡s❡t + Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ✐ ❦ ( t ✶ , ω ) ❞t ✶ . ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω ) ◆ ❲ ❦❥ α ❦❥ ( t , ω ) + ✐ ( ❡①t ) � ✐ ❦ ( t , ω ) = ❣ ▲ , ❦ ❊ ▲ + ( t ) + σ ❇ ξ ❦ ( t ) . ❦ ❥ = ✶ ❱ ❦ ( t , ω ) = ❱ ( ❞❡t ) ( t , ω ) + ❱ ( ♥♦✐s❡ ) ( t , ω ) . ❦ ❦
❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♣❛rt ❱ ( ❞❡t ) ( t , ω ) = ❱ ( s②♥ ) ( t , ω ) + ❱ ( ❡①t ) ( t , ω ) ❦ ❦ ❦ ❙②♥❛♣t✐❝ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ � t ◆ ✶ ❱ ( s②♥ ) � ( t , ω ) = ❲ ❦❥ Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) α ❦❥ ( t ✶ , ω ) ❞t ✶ , ❦ ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω ) ❥ = ✶ ❊①t❡r♥❛❧ ✰ ❧❡❛❦ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ � t � t ❊ ▲ Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ❞t ✶ + ✶ ❱ ( ❡①t ) ✐ ( ❡①t ) ( t , ω ) = ( t ✶ )Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ❞t ✶ , ❦ ❦ τ ▲ , ❦ ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω ) τ ❦ ( t ,ω ) ❞❡❢ ❈ ❦ ✇❤❡r❡ τ ▲ , ❦ = ❣ ▲ , ❦ .
❙t♦❝❤❛st✐❝ ♣❛rt ❱ ( ♥♦✐s❡ ) ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) = Γ ❦ ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) ❱ r❡s❡t + ❱ ( ❇ ) ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) ❦ ❦ ✇✐t❤ � t ( t , ω ) = σ ❇ ❱ ( ❇ ) Γ ❦ ( t ✶ , t , ω ) ❞❇ ❦ ( t ✶ ) . ❦ ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω ) ●❛✉ss✐❛♥ ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ ♠❡❛♥ ③❡r♦ ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡✿ � ✷ � t � σ ❇ σ ✷ ❦ ( t , ω ) = Γ ✷ ❦ ( τ ❦ ( t , ω ) , t , ω ) σ ✷ Γ ✷ ❘ + ❦ ( t ✶ , t , ω ) ❞t ✶ . ❈ ❦ τ ❦ ( t ,ω )
❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ω ( ♥ ) ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧❧② t♦ ω ♥ − ✶ −∞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ◆ � � � ω ♥ − ✶ � ω ♥ − ✶ � � � � � P ♥ ω ( ♥ ) = P ♥ ω ❦ ( ♥ ) , −∞ −∞ ❦ = ✶ � ω ♥ − ✶ � � � ✇✐t❤ P ♥ ω ❦ ( ♥ ) = −∞ ω ❦ ( ♥ ) π ( ❳ ❦ ( ♥ − ✶ , ω )) + ( ✶ − ω ❦ ( ♥ )) ( ✶ − π ( ❳ ❦ ( ♥ − ✶ , ω ))) , ✇❤❡r❡ ❳ ❦ ( ♥ − ✶ , ω ) = θ − ❱ ( ❞❡t ) ( ♥ − ✶ , ω ) ❦ , σ ❦ ( ♥ − ✶ , ω ) ❛♥❞ � + ∞ ✶ ❡ − ✉ ✷ ✷ ❞✉ . π ( ① ) = √ ✷ π ①
●✐❜❜s ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❙❡t✿ ◆ � φ ( ♥ , ω ) = φ ❦ ( ♥ , ω ) ❦ = ✶ φ ❦ ( ♥ , ω ) = ω ❦ ( ♥ ) ❧♦❣ π ( ❳ ❦ ( ♥ − ✶ , ω )) + ( ✶ − ω ❦ ( ♥ )) ❧♦❣ ( ✶ − π ( ❳ ❦ ( ♥ − ✶ , ω ))) , s♦ t❤❛t = ❡ φ ( ♥ ,ω ) . � � ω ♥ − ✶ � � P ♥ ω ( ♥ ) −∞ ❚❤❡♥✿ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❧♦❝❦s ❣✐✈❡♥ t❤❡ ♣❛st P ♥ ω ♥ � � ω ♠ − ✶ ❧ = ♠ φ ( ❧ ,ω ) . � � P ♥ = ❡ ♠ −∞
●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ❚❤❡♦r❡♠✱ ❈❡ss❛❝ ✷✵✶✶✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ◆❡✉r♦✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs t❤❡ ❣■❋ ♠♦❞❡❧ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ●✐❜❜s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣♦t❡♥t✐❛❧ φ ✳ ❊①♣❧✐❝✐t ●✐❜❜s ♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ❊①♣❧✐❝✐t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❍♦❧❞s ❢♦r ❛ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t st✐♠✉❧✉s ✭♥♦♥ st❛t✐♦♥❛r✐t②✮✳
Recommend
More recommend
