r t r r - - PowerPoint PPT Presentation
r t r r tt ssts t r rst r t
❆♥t♦♥✐♦ ▼❛r✐❣♦♥❞❛
❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❱❡r♦♥❛✱ ■t❛❧②
❈♦♥tr♦❧ ♦❢ st❛t❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s ✭❈♦❙❈❉❙ ✷✵✶✼✮
✷✼t❤ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✵✶✼✱ P❛❞♦✈❛✱ ■t❛❧② ❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✴✹✻
❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤✿
❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ✲ ❈❛♠❞❡♥ ✸✶✶ ◆✳ ✺t❤ ❙tr❡❡t ❈❛♠❞❡♥✱ ◆❏ ✵✽✶✵✷✱ ❯✳❙✳❆✳ ❣✐✉❧✐❛✳❝❛✈❛❣♥❛r✐❅r✉t❣❡rs✳❡❞✉ ❈❤❧♦é ❏✐♠❡♥❡③✿ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❞❡ ❇r❡t❛❣♥❡ ❆t❧❛♥t✐q✉❡✱ ❈◆❘❙✲❯▼❘ ✻✷✵✺✱ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❇r❡st ✻✱ ❛✈❡♥✉❡ ❱✐❝t♦r ▲❡ ●♦r❣❡✉✱ ❈❙ ✾✸✽✸✼✱ ✷✾✷✸✽ ❇r❡st ❝❡❞❡① ✸✱ ❋r❛♥❝❡✳ ❝❤❧♦❡✳❥✐♠❡♥❡③❅✉♥✐✈✲❜r❡st✳❢r ❑❤❛✐ ❚✳ ◆❣✉②❡♥✿ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ◆♦rt❤ ❈❛r♦❧✐♥❛ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ✷✶✵✽ ❙❆❙ ❍❛❧❧✱ ❘❛❧❡✐❣❤✱ ◆❈ ✷✼✻✾✺ ✱ ❯✳❙✳❆✳ ❦❤❛✐❅♠❛t❤✳♥❝s✉✳❡❞✉ ❇❡♥❡❞❡tt♦ P✐❝❝♦❧✐✿ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ✲ ❈❛♠❞❡♥ ✸✶✶ ◆✳ ✺t❤ ❙tr❡❡t ❈❛♠❞❡♥✱ ◆❏ ✵✽✶✵✷✱ ❯✳❙✳❆✳ ♣✐❝❝♦❧✐❅❝❛♠❞❡♥✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉ ❋❛❜✐♦ ❙✳ Pr✐✉❧✐✿ ■st✐t✉t♦ ♣❡r ❧❡ ❆♣♣❧✐❝❛③✐♦♥✐ ❞❡❧ ❈❛❧❝♦❧♦ ✏▼✳P✐❝♦♥❡✑ ❈◆❘ ❱✐❛ ❞❡✐ ❚❛✉r✐♥✐ ✶✾✱ ✵✵✶✽✺ ✲ ❘♦♠❛✱ ■t❛❧②✳ ❢✳♣r✐✉❧✐❅✐❛❝✳❝♥r✳✐t ▼❛r❝ ◗✉✐♥❝❛♠♣♦✐①✿ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❞❡ ❇r❡t❛❣♥❡ ❆t❧❛♥t✐q✉❡✱ ❈◆❘❙✲❯▼❘ ✻✷✵✺✱ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❇r❡st ✻✱ ❛✈❡♥✉❡ ❱✐❝t♦r ▲❡ ●♦r❣❡✉✱ ❈❙ ✾✸✽✸✼✱ ✷✾✷✸✽ ❇r❡st ❝❡❞❡① ✸✱ ❋r❛♥❝❡✳ ♠❛r❝✳q✉✐♥❝❛♠♣♦✐①❅✉♥✐✈✲❜r❡st✳❢r ❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✴✹✻
❲❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡ s♦♠❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❲❛ss❡rst❡✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❛s ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ R❞✳ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s t♦ ♠♦❞❡❧ s✐t✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❤❛✈❡ ♦♥❧② ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡ ✭❡✳❣✳ ♥♦✐s❡ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✮✳ t♦ ♠♦❞❡❧ ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s✱ ✇❤❡r❡ ♦♥❧② ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ ✭♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝✮ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ✭❡✳❣✳ ❣❛s✴❝r♦✇❞ ❞②♥❛♠✐❝s✮✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✴✹✻
❈♦♥tr♦❧❧❡❞ ❞②♥❛♠✐❝s✿ ✐♥ ❢♦r♠ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥✿
①(t) ∈ ❋(①(t)), ❢♦r ❛✳❡✳ t > ✵, ①(✵) = ①✵ ∈ R❞. Pr♦❜❧❡♠✿ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ❛ ❣✐✈❡♥ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❏(·) ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✳ ❍②♣♦t❤❡s✐s✿ ❋ : R❞ ⇒ R❞✱ ❋(·) ♥♦t ❡♠♣t②✱ ❝♦♥✈❡①✱ ❝♦♠♣❛❝t ✈❛❧✉❡❞✱ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❍❛✉s❞♦r✛ ♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❣r♦✇t❤✳
❙
①✵ ①(t) ❋(①(t)) ˙ ①(t)
❊①❛♠♣❧❡✿ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡ ▼✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡ ♥❡❡❞❡❞ t♦ st❡❡r ①✵ t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ❝❧♦s❡❞ t❛r❣❡t s❡t ∅ = ❙ ⊆ R❞✿ ❚(①✵) := ✐♥❢{¯ t > ✵ : ∃①(·) s♦❧✳ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ s②st❡♠ s✳t✳ ①(¯ t) ∈ ❙}.
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✴✹✻
■♥✐t✐❛❧ st❛t❡✿ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ µ✵ ∈ P♣(R❞) ✇✐t❤ ♠♣(µ✵) :=
❚r❛❥❡❝t♦r②✿ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ R❞✱ µ := {µt}t∈[✵,❚]✱ µ|t=✵ = µ✵✱ ✭❆❈ ❝✉r✈❡ ✐♥ P♣(R❞)✮❀ ❉②♥❛♠✐❝s✿ s✐♥❝❡ t♦t❛❧ ♠❛ss ♠✉st ❜❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ✭❝♦♥tr♦❧❧❡❞✮ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ∂tµt + ❞✐✈(✈tµt) = ✵, ❢♦r ✵ < t < ❚; ❈♦♥tr♦❧ s❡t✿ ✈t t♦ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ▲✷
µt−s❡❧❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❋ ❢♦r
❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚]✱ t♦ r❡s♣❡❝t t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✺✴✹✻
P♣(R❞) ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣✲❲❛ss❡rst❡✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❲♣(·, ·)✱ ♣ ≥ ✶✳ ▲❡t µ✶, µ✷ ∈ P♣(R❞)✱ t❤❡ ♣✲❲❛ss❡rst❡✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❲♣(µ✶, µ✷) :=
✶/♣ ❲❤❡r❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛♥s♣♦rt ♣❧❛♥s Π(µ✶, µ✷) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ Π(µ✶, µ✷) := π ∈ P♣(R❞ × R❞) : π(❆✶ × R❞) = µ✶(❆✶), π(R❞ × ❆✷) = µ✷(❆✷), ∀❆✐ µ✐✲♠❡❛s✉r❛❜❧❡ s❡t , ✐ = ✶, ✷
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✻✴✹✻
❈♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥✿
❢♦r ✵ < t < ❚, ① ∈ R❞, µ|t=✵ = µ✵ ∈ P♣(R❞). ✭✶✮ ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ♠❛ss µ✵(R❞)✳ ❲❡ r❡q✉✐r❡ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞ ✈t(·) t♦ s❛t✐s❢② ✈t(①) ∈ ❋(①) ∀① ∈ R❞✳ ■❢ ✈t(·) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ✐♥ ① ✉♥✐❢✳ ✇✳r✳t✳ t✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ s②st❡♠✿
γ(t) = ✈t(γ(t)), ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ (✵, ❚) γ(✵) = ① ▲❡t ❚t(①) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ t❤❡♥✿ µt = ❚t♯µ✵, ✇❤❡r❡ ❚t♯µ✵(❇) := µ✵(❚ −✶
t
(❇)), ∀❇ ⊂ R❞, ❇ ❇♦r❡❧ s❡t.
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✼✴✹✻
▲❡t ❋ : R❞ ⇒ R❞✱ τ > ✵✱ α, β ∈ P(R❞)✳ ❲❡ s❛② t❤❛t µ = {µt}t∈[✵,τ] ⊆ P♣(R❞) ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r② ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ [✵, τ] ❥♦✐♥✐♥❣ α ❛♥❞ β✱ ✐❢ ∃ν = {νt}t∈[✵,τ] ⊆ M (R❞; R❞) ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❇♦r❡❧ ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ♠❡❛s✉r❡s s✳t✳ µ ✐s ❛ ♥❛rr♦✇❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ∂tµt + ❞✐✈νt = ✵✱ ✇✐t❤ µt=✵ = α✱ µt=τ = β✳ ❏❋(µ, ν) < +∞✱ ✇❤❡r❡
❏❋ (µ, ν) := ✵, ✐❢ νt ≪ µt ❛♥❞ νt µt (①) ∈ ❋(①) ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ [✵, τ], µt✲❛✳❡✳ ①, +∞, ♦t❤❡r✇✐s❡.
■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦rt❧② s❛② t❤❛t µ ✐s ❞r✐✈❡♥ ❜② ν✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✽✴✹✻
❲✐t❤ ♠✐❧❞❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ✈✱ t❤❡ ✭♣♦ss✐❜❧❡ ♥♦t✲✉♥✐q✉❡✮ s♦❧✉t✐♦♥ µt ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡❣r❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ s②st❡♠✱ ✐✳❡✳ ♦❢ ❖❉❊s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ˙ ①(t) = ✈(①(t))✱ ♦r ˙ ①(t) = ✈(t, ①(t))✳ ❋♦r t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤✱ s❡❡
▲✳ ❆♠❜r♦s✐♦ ❚❤❡ ✢♦✇ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ✇❡❛❦❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s✿ r❡❝❡♥t r❡s✉❧ts ❛♥❞ ♦♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ✷✵✶✶
❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✱ ✇❤❡r❡ ✐t ✐s ❛❧s♦ s❤♦✇♥ t❤❛t ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ✈ ✭❛ss✉♠✐♥❣ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ♦r ❇❱ r❡❣✉❧❛r✐t②✱ ❛♥❞ s♦♠❡ ❜♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ✇❡❛❦ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✮ t♦ r❡❝♦✈❡r ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ✐♥ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ s♠❛❧❧❡r ❝❧❛ss ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s ✭▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✢♦✇ ♣r♦❜❧❡♠✮✳ ❚❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✾✴✹✻
µ✵ µt = ❡t♯η
①✶ ①✷ ①✸
❋♦r ❡✈❡r② ♣♦✐♥t ① ∈ s✉♣♣ µ✵✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡❣r❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ˙ γ(t) = ✈t ◦ γ(t)✱ γ(✵) = ①✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ η① ♦♥ ✐t ✭✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ η① r❡❞✉❝❡s t♦ ❛ ❉✐r❛❝ ❞❡❧t❛✮✳ ▲❡t η := µ✵ ⊗ η① ❜❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❡❛s✉r❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ R❞ × Γ❚✱ ✇❤❡r❡ Γ❚ := ❈ ✵([✵, ❚]; R❞)✳ ❋♦r ❛♥② γ ∈ Γ❚ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ❡t(①, γ) = γ(t)✳ ❚❤❡♥ t → µt = ❡t♯η ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❡✈❡r② s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤✐s ✇❛② ❢♦r ❛ s✉✐t❛❜❧❡ η✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✵✴✹✻
▲❡t µ = {µt}t∈[✵,❚] ❜❡ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ∂tµt + ❞✐✈(✈tµt) = ✵ ❢♦r ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❇♦r❡❧ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✈ : [✵, ❚] × R❞ → R❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❚
✵
|✈t(①)| ✶ + |①| ❞µt(①) ❞t < +∞ . ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ η ∈ P(R❞ × Γ❚ )✱ ✇✐t❤ Γ❚ = ❈ ✵([✵, ❚]; R❞) ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s✉♣ ♥♦r♠✱ s✉❝❤ t❤❛t ✭✐✮ η ✐s ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣❛✐rs (①, γ) ∈ R❞ × Γ❚ s✉❝❤ t❤❛t γ ✐s ❛♥ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢
γ(t) = ✈t(γ(t)), ❢♦r L ✶✲❛✳❡ t ∈ (✵, ❚) γ(✵) = ①, ✭✐✐✮ ❢♦r ❛❧❧ t ∈ [✵, ❚] ❛♥❞ ❛❧❧ ϕ ∈ ❈ ✵
❜ (R❞) ✇❡ ❤❛✈❡
ϕ(γ(t)) ❞η(①, γ). ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥② η s❛t✐s❢②✐♥❣ (✐) ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡❞ µ = {µt}t∈[✵,❚] ❛s ✐♥ (✐✐) ❛❜♦✈❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ∂tµt + ❞✐✈(✈tµt) = ✵ ❛♥❞ µ|t=✵ = ❡✵♯η✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✶✴✹✻
❚❤❡ ❙✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✈t✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ❢♦r t❤❡ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ❛ ♣r✐♦r✐ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞✳ ❚♦ t❤✐s ❛✐♠ ✇❡ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❬❙P ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥s✱ ❈❛✈❛❣♥❛r✐✲▼✲P✐❝❝♦❧✐❪ ▲❡t η ∈ P(R❞ × Γ❚ ) ❜❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣❛✐rs (γ(✵), γ) ∈ R❞ × Γ❚ s✉❝❤ t❤❛t γ ∈ ❆❈([✵, ❚]; R❞ ) ✐s ❛ ❈❛r❛t❤é♦❞♦r② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ˙ γ(t) ∈ ❋(γ(t))✳ ❋♦r ❛❧❧ t ∈ [✵, ❚]✱ s❡t µt := ❡t♯η✱ ❛♥❞ ❧❡t {ηt,② }②∈R❞ ⊆ P(R❞ × Γ❚ ) ❜❡ t❤❡ ❞✐s✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢ η ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ❡t : R❞ × Γ❚ → R❞ ✱ ✐✳❡✳ ❢♦r ❛❧❧ ϕ ∈ ❈ ✵
❜ (R❞ × Γ❚ )
ϕ(①, γ) ❞η(①, γ) =
t (②)
ϕ(①, γ) ❞ηt,② (①, γ) ❞µt(②). ❚❤❡♥ ✐❢ µ✵ ∈ P♣(R❞ )✱ t❤❡ ❝✉r✈❡ µ := {µt}t∈[✵,❚] ⊆ P♣(R❞ )✱ ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r② ❞r✐✈❡♥ ❜② ν = {νt}t∈[✵,❚]✱ ✇❤❡r❡ νt = ✈tµt ❛♥❞ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✈t(②) =
t (②)
˙ γ(t) ❞ηt,② (①, γ). ✐s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚] ❛♥❞ µt✲❛✳❡✳ ② ∈ R❞ ✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✷✴✹✻
❲❡ r❡❝❛❧❧ t❤❛t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡r❡ ✐s ♥♦t ❛♥ ✉♥✐q✉❡ η r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❛ ❣✐✈❡♥ µ✿ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ✐♥ ♣❛ss✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ η t♦ t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② µ✱ ♠❛② ❝❛✉s❡ ❛ ❧♦ss ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭❞✉❡ t♦ ❛✈❡r❛❣✐♥❣✮✳ ❆♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜❡❧♦✇✳ ❲❡ st❛rt ✇✐t❤ s♦♠❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❉✐r❛❝ ❞❡❧t❛s ♦♥ t❤❡ ②✲❛①✐s ❛♥❞ ♠❛❞❡ t❤❡♠ ❡✈♦❧✈❡ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s✳ ❲❡ r❡✜♥❡ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❞❡❧❛ts t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✶✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ▲❡❜❡s❣✉❡ ♠❡❛s✉r❡ r❡str✐❝t❡❞ t♦ {✵} × [−✶, ✶]✳ ❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✐s ❞r❛✇❡❞ ✭❞♦tt❡❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ❛r❡ ♥❡❣❧✐❜❧❡✮✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✸✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠❬❈❛✈❛❣♥❛r✐✲▼✲◆❣✉②❡♥✲Pr✐✉❧✐✱ ❈❛✈❛❣♥❛r✐✲▼✲P✐❝❝♦❧✐✱ ▼✲◗✉✐♥❝❛♠♣♦✐①❪ ▲❡t ❛, ❜, ❝ ∈ R✱ ❛ < ❜ < ❝✱ ❋ : R❞ ⇒ R❞ ❜❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ (❋)✳ ❘❡❝❛❧❧✐♥❣ t❤❛t t❤❡ s♣❛❝❡ ❳ := ❈ ✵([❛, ❜]; P♣(R❞)) ✇✐t❤ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❞❳(µ, ν) = s✉♣
t∈[❛,❜]
❲♣(µt, νt), ❢♦r ❛❧❧ µ = {µt}t∈[❛,❜], ν = {νt}t∈[❛,❜], ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t
✶ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ✐s ❝❧♦s❡❞ ✐♥ (❳, ❞❳)❀ ✷ ✐❢ {µ◆}◆∈N ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s s❛t✐s❢②✐♥❣
s✉♣
◆∈N
{♠♣(µ◆
✵ )} < ∞✱ t❤❡♥ ✐t ❛❞♠✐ts ❛ ❞❳✲❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜s❡q✉❡♥❝❡✳
✸ ❣✐✈❡♥ µ ∈ P♣(R❞)✱ µ = {µt}t∈[❛,❜] ∈ A ❋
[❛,❜](µ)✱
ν = {νt}t∈[❜,❝] ∈ A ❋
[❜,❝](µ❛) t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡
tr❛❥❡❝t♦r②✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✹✴✹✻
✭❝♦♥t✐♥✉❡❞✮
✹ ✐❢ µ = {µt}t∈[❛,❜] ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r②✱ ❛♥❞ η ∈ P(R❞ × Γ[❛,❜])
s❛t✐s✜❡s µt = ❡t♯η ❢♦r ❛❧❧ t ∈ [❛, ❜]✱ t❤❡♥ ❢♦r s✶, s✷ ∈ [❛, ❜] ✇❡ ❤❛✈❡ ❡s✶ − ❡s✷▲✷
η ≤ ❈❡✷(❜−❛)❈
✐=✶,✷ ♠✶/✷ ✷
(µs✐ )
✇❤❡r❡ ❈ = ♠❛①
②∈❋(✵) |②| + ▲✐♣(❋)✳
✺ ✐❢ µ = {µt}t∈[❛,❜] ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r②✱ ❛♥❞ η ∈ P(R❞ × Γ[❛,❜])
s❛t✐s✜❡s µt = ❡t♯η ❢♦r ❛❧❧ t ∈ [❛, ❜]✱ ❣✐✈❡♥ ¯ t ∈ [❛, ❜]✱ ❡✈❡r② ❧✐♠✐t ❢♦r ✐ → +∞ ♦❢ ❛ ▲✷
η✲✇❡❛❦ ❝♦♥✈❡r❣✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ❡t − ❡¯ t
t − ¯ t ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ s❡t {✈ ◦ ❡¯
t : ✈ ∈ ▲✷ ¯ µt, ✈(①) ∈ ❋(①) ❢♦r µ¯ t✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞}✳
Pr♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❙✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ❛♥❞ ●r♦♥✇❛❧❧ ❡st✐♠❛t❡s✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✺✴✹✻
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❬Pr❡s❝r✐❜❡❞ ■♥✐t✐❛❧ ✈❡❧♦❝✐t② ♦❢ ♠❡❛s✉r❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s❪ ▲❡t ❛, ❜ ∈ R✱ ❛ < ❜✱ µ ∈ P✷(R❞)✱ ❋ : R❞ ⇒ R❞ ❜❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ st❛♥❞✐♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ µ ∈ P✷(R❞)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② ✈❛ ∈ ▲✷
µ(R❞) s✉❝❤
t❤❛t ✈❛(①) ∈ ❋(①) ❢♦r µ✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞ t❤❡r❡ ❡①✐st η ∈ P(R❞ × Γ[❛,❜]) s✉❝❤ t❤❛t µ = {❡t♯η}t∈[❛,❜] ∈ A ❋
[❛,❜](µ) ❛♥❞
❧✐♠
t→❛+
ϕ ◦ ❡✵(①, γ), ❡t(①, γ) − ❡❛(①, γ) t − ❛ ❞η(①, γ) = =
Pr♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ❡ss❡♥t✐❛❧② ♦♥ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ ♣❛r❛♠❡tr✐③❡ ❋✱ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❋✐❧✐♣♣♦✈✬s ▲❡♠♠❛✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✻✴✹✻
❲❡ ❞❡❝r✐❜❡❞ ✉♣ t♦ ♥♦✇ t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❛❣❡♥ts✱ s✉♣♣♦s✐♥❣ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ♠❛ss✳ ■♥ r❡❛❧✲❧✐❢❡ ♠♦❞❡❧s✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❛❧s♦ ✐♥t❡r❛❝t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♦❢ ❧♦❝❛❧ ♦r ♥♦♥❧♦❝❛❧ t②♣❡✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝ts ♦❢ t❤❡s❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❡♥❝♦❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡✳ ❚♦ t❤✐s ❛✐♠ ❝♦♥✈❡①✐t② ❛♥❞ ❧♦✇❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♠❡❛s✉r❡s ✇✐❧❧ ♣❧❛② ❛ ❝r✉❝✐❛❧ r♦❧❡✳ ❊①t❡♥s✐♦♥s t♦ s✐t✉❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ t♦t❛❧ ♠❛ss ✐s ♥♦t ♣r❡s❡r✈❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✭❡✳❣✳ ❡✈❛❝✉❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✮ ❛r❡ ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❧❛❝❦ ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ✉s t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡♠ ❛s s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ s✉❝❤ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ❜② ❤❛♥❞ ✐♥ ♠❛♥② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝❛s❡s✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✼✴✹✻
❍❡r❡ ✇❡ ♣r❡s❡♥t s♦♠❡ ♥❛t✉r❛❧ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✇✐t❤ ❛ ❧♦❝❛❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ ✈❡❧♦❝✐t✐❡s ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥✳
ˆ ❏s②s(❚, µ, ν) := ❚
✵
❝
µt (①)
✐❢ νt ≪ µt, νt µt (①) ∈ ❋(①) ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚], µt − ❛✳❡✳ ① ∈ R❞ +∞, ♦t❤❡r✇✐s❡, ✭✷✮
❆ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♣❡♥❛❧✐③✐♥❣ ❞❡♥s✐t② ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✇✳r✳t✳ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠❡❛s✉r❡✳
ˆ ❏σ
❞❡♥s(❚, µ, ν) :=
❚
✵
σ (①), νt σ (①)
✐❢ µt ≪ σ ❛♥❞ |νt| ≪ σ ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚], +∞, ♦t❤❡r✇✐s❡, ✭✸✮
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✽✴✹✻
❆ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐t✐❡s✳
❏✐♥t❡r(❚, η) =
❚
✵
▲✐♥t❡r (t, γ①(t), γ② (t), ˙ γ①(t), ˙ γ② (t)) ❞t ❞η(①, γ①) ❞η(②, γ② ), ✭✹✮ ˆ ❏✐♥t❡r(❚, µ, ν) = ❚
✵
µt (①), νt µt (②)
✐❢ νt ≪ µt, νt µt (①) ∈ ❋(①) ❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚], µt − ❛✳❡✳ ① ∈ R❞ , +∞, ♦t❤❡r✇✐s❡, ✭✺✮
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✶✾✴✹✻
◆❛t✉r❛❧ q✉❡st✐♦♥s ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s❄ ❉②♥❛♠✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r✐♥❝✐♣❧❡❄ ❙♠♦♦t❤♥❡ss ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❄ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥❄ ◆❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s❄ ❯♣ t♦ ♥♦✇ ❉②♥❛♠✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ▼❛②❡r ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ s♠♦♦t❤ t❡r♠✐♥❛❧ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ▼✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ♥♦ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❙♦♠❡ ❝❛s❡s ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ♠❛ss ❧♦ss ✭♦♣t✐♠❛❧ ❡q✉✐♣♠❡♥t ❛♥❞ ❡✈❛❝✉❛t✐♦♥✮ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ s♦♠❡ s✐♠♣❧❡ ♣✉rs✉✐t✲❡✈❛s✐♦♥ ❣❛♠❡s
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✵✴✹✻
❚❛r❣❡t s❡t✿ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❞✉❛❧✐t② ✭❛♥ ♦❜s❡r✈❡r ✇❛♥ts t♦ st❡❡r t❤❡ s②st❡♠ ✐♥t♦ st❛t❡s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ s♦♠❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❛r❡ ❜❡❧♦✇ ❛ ✜①❡❞ t❤r❡s❤♦❧❞✮❀ ▼✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✿ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦♥❡✳ µ✵ µt✶ µt✷ µt✸ µ❚ ˜
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✶✴✹✻
❋♦r ♣ ≥ ✶✱ Φ ⊆ ❈ ✵(R❞, R) s✳t✳ ∃①✵ ∈ R❞ ✇✐t❤ φ(①✵) ≤ ✵ ∀φ ∈ Φ✱ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ φ ∈ Φ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❉φ > ✵ s✳t✳ φ(①) ≥ −❉φ ∀① ∈ R❞✿ ˜ ❙Φ
♣ :=
❲❡ s❛② t❤❛t Φ s❛t✐s✜❡s ♣r♦♣❡rt② (❚♣) ✇✐t❤ ♣ > ✵ ✐❢ (❚♣) ❢♦r ❛❧❧ φ ∈ Φ t❤❡r❡ ❡①✐st ❆φ, ❈φ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t φ(①) ≥ ❆φ|①|♣ − ❈φ✳ ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t✿ ˜ ❙Φ
♣ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡①❀
✐❢ (❚♣) ❤♦❧❞s✱ t❤❡♥ ˜ ❙Φ
♣ ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥ t❤❡ ❲♣✲t♦♣♦❧♦❣② ✭❤❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡
✇ ∗✲t♦♣♦❧♦❣②✮✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ˜ ❙Φ
♣ ❛❞♠✐ts ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt ✐❢ ∃❙ ⊆ R❞ s✳t✳
˜ ❙Φ
♣ = {µ ∈ P♣(R❞) : s✉♣♣ µ ⊆ ❙}
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✷✴✹✻
❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ˜ ❚ Φ
♣ : P♣(R❞) → [✵, +∞] ❛s✿
˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) := ✐♥❢
❏❋(µ, ν) : µ ✐s ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝✉r✈❡ ✐♥ [✵, τ] ❞r✐✈❡♥ ❜② ν, ✇✐t❤ µ|t=✵ = µ✵ µ|t=τ ∈ ˜ ❙Φ
♣
, ✇❤❡r❡✱ ❜② ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥✱ ✐♥❢ ∅ = +∞✳
µ = {µt}t∈[✵, ˜
❚ Φ
♣ (µ✵)] ⊆ P♣(R❞)✱ ❞r✐✈❡♥ ❜② ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❇♦r❡❧
✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ♠❡❛s✉r❡s ν = {νt}t∈[✵, ˜
❚ Φ
♣ (µ✵)]✱ s✳t✳ µ|t=✵ = µ✵ ❛♥❞
µ|t= ˜
❚ Φ
♣ (µ✵) ∈ ˜
❙Φ
♣ ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r µ✵ ✐❢
˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) = ❏❋(µ, ν).
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✸✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ✵ ≤ s ≤ τ✱ ❋ : R❞ ⇒ R❞ ❜❡ ❛ s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ µ = {µt}t∈[✵,τ] ❜❡ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝✉r✈❡ ❢♦r Σ❋✳ ❚❤❡♥ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) ≤ s + ˜
❚ Φ
♣ (µs).
▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐❢ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) < +∞✱ t❤❡♥
❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ∀s ∈ [✵, ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵)] ⇐
⇒ µ ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r µ✵ = µ|t=✵✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❣❧✉✐♥❣ r❡s✉❧ts ❢♦r s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✹✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠ ✭❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♠✐♥✐♠✐③❡rs✮ ❆ss✉♠❡ st❛♥❞❛r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❋✳ ▲❡t ♣ > ✶✱ µ✵ ∈ P♣(R❞)✱ Φ ∈ ❈ ✵(R❞; R)✱ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) < ∞✳
❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝✉r✈❡ µ = {µt}t∈[✵,❚] ❞r✐✈❡♥ ❜② ν = {νt}t∈[✵,❚] ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r µ✵✱ t❤❛t ✐s ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) = ❏❋(µ, ν)✳
❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧t ♦❢ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦✇❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❏❋✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✺✴✹✻
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❯♥❞❡r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❋ ✇❡ ❤❛✈❡ ˜ ❚♣(µ✵) ≥ ||❚||▲∞
µ✵
∀µ✵ ∈ P♣(R❞); ˜ ❚♣(δ①✵) = ❚(①✵) ∀①✵ ∈ R❞. ❚❤❡♦r❡♠ ❆ss✉♠❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❤②♣♦t❤❡s✐s ♦♥ ❋✳ ▲❡t ♣ > ✶✱ µ✵ ∈ P♣(R❞)✱ ❙ ⊆ R❞ ❜❡ ❛ ✇❡❛❦❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡t ❢♦r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ˙ ①(t) ∈ ❋(①(t))✳ ❚❤❡♥ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) = ❚(·)▲∞
µ✵. ❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✻✴✹✻
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❯♥❞❡r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❋ ✇❡ ❤❛✈❡ ˜ ❚♣(µ✵) ≥ ||❚||▲∞
µ✵
∀µ✵ ∈ P♣(R❞); ˜ ❚♣(δ①✵) = ❚(①✵) ∀①✵ ∈ R❞. ❚❤❡♦r❡♠ ❆ss✉♠❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❤②♣♦t❤❡s✐s ♦♥ ❋✳ ▲❡t ♣ > ✶✱ µ✵ ∈ P♣(R❞)✱ ❙ ⊆ R❞ ❜❡ ❛ ✇❡❛❦❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡t ❢♦r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ˙ ①(t) ∈ ❋(①(t))✳ ❚❤❡♥ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) = ❚(·)▲∞
µ✵. ❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✻✴✹✻
❝ ❝❛s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ❬P❡tr♦✈✲❧✐❦❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❪ ❆ss✉♠❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❤②♣♦t❤❡s✐s ♦♥ ❋✱ ♣ ≥ ✶✱ µ✵ ∈ P♣(R❞)✳ ▲❡t Φ ⊆ ❈ ✶
❝ (R❞; R)✳
❆ss✉♠❡ t❤❛t ∃✈ : R❞ → R❞ ❇♦r❡❧ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞✱ ∃µ := {µt}t∈[✵,+∞[ ⊆ P♣(R❞) ❛❞♠✳ tr❛❥✳ ❞r✐✈❡♥ ❜② ν✱ ✇✐t❤ ν = {νt = ✈µt}t∈[✵,+∞[✱ µ|t=✵ = µ✵✱ µ✵
① ✈(①) ∇φ(①)
s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❤♦❧❞s✿
(❈❝) ❢♦r ❛❧❧ φ ∈ Φ ❡①✐sts ❦φ > ✵ s✳t✳ ∇φ(①), ✈(①) ≤ −❦φ ❢♦r ❛✳❡✳ t > ✵ ❛♥❞ µt✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞✳
❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ˜ ❚ Φ
♣ (µ✵) ≤ s✉♣ φ∈Φ
✶ ❦φ
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✼✴✹✻
❘❡❣✉❧❛r✐t② r❡s✉❧ts ❢♦r ❛ t✐♠❡✲♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❈♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ ❋✐❡❧❞s ✭▼❈❘❋✮✱ ✈♦❧✳ ✼✱ ♥✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✶✸✲✷✸✸ ✭✷✵✶✼✮
❜② ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ♦♥ Φ✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤✐s ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❤✐❣❤❧② ♥♦♥tr✐✈✐❛❧✱ s✐♥❝❡ ✲ ✉♥❧❡ss ✇❡ r❡str✐❝t ♦✉rs❡❧✈❡s ♦♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❧❛ss ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s✱ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♠❛② ❜❡ ❤✐❣❤❧② s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② s❡t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ Φ✳ ❲❡ ❛r❡ ❝✉rr❡♥t❧② ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♥❣ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ ❛ ♣r♦♣❡r ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♠✉t❛t♦r ❢♦r t❤❡ ✢♦✇ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥✱ r❡❝❛❧❧✐♥❣ s♦♠❡ ✐❞❡❛s ♦❢ ❘❛♠♣❛③③♦✲❙✉ss♠❛♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❢♦r ▲✐❡ ❇r❛❝❦❡t ♦❢ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s✳ ❖✉r ❛♥❛❧②s✐s ✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦ss✐❜❧② ❤✐❣❤❧② ♥♦♥s♠♦♦t❤♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❞r✐✈✐♥❣ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✽✴✹✻
❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❝♦st ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ [✵, ❚] ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥❝❧✉s✐♦♥s ˙ ①(t) ∈ ❋(①(t))✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ µ ♦♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✳ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❛❞❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛♥❞✐♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✿ (❋) ❋ : R❞ ⇒ R❞ ✐s ❛ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣ ✇✐t❤ ♥♦♥❡♠♣t② ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥✈❡① ✈❛❧✉❡s❀ (G ) G : P✷(R❞) → R ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✇✳r✳t✳ ❲✷ ♠❡tr✐❝✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✷✾✴✹✻
❱ : [✵, ❚] × P✷(R❞) → R ❜② s❡tt✐♥❣ ❱ (s, µ) = ✐♥❢
[s,❚](µ)
❲❡ s❛② t❤❛t {µt}t∈[s,❚] ∈ A ❋
[s,❚](µ) ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❥❡❝t♦r② ❢♦r
µ ∈ P✷(R❞) ✐❢ ❱ (s, µ) = G (µ❚)✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✱ s✐♥❝❡ G (·) ✐s ❧✳s✳❝✳✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ❢♦r ❡✈❡r② µ ∈ P✷(R❞)✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✵✴✹✻
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ❚ > ✵✱ ❋, G ❜❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ (❋) ❛♥❞ (G )✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡♥ ❱ : [✵, ❚] × P✷(R❞) → R ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❑ ≥ ✵✱ ✐t ✐s ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ t❤❡ s❡t {(t, µ) ∈ [✵, ❚] × K , ♠✷(µ) ≤ ❑ }✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❞✐✛❡rs ❢r♦♠ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦♥❡✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❞♦❡s ♥♦t ❡♥❥♦② ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t❛✿ ✐♥❞❡❡❞✱ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❞②♥❛♠✐❝ tr❛♥s♣♦rt ♣❧❛♥s✱ ✐t ✐s ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ s✉✐t❛❜❧❡ s❤✐❢t❡❞ tr❛❥❡❝t♦r② ❢r♦♠ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♦♥❡✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✶✴✹✻
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋♦r ❛❧❧ µ ∈ P✷(R❞) ❛♥❞ τ ∈ [✵, ❚] ✇❡ ❤❛✈❡ ❱ (τ, µ) = ✐♥❢
[τ,❚](µ), s ∈ [τ, ❚]
✐✳❡✳✱ ❱ (τ, µτ) ≤ ❱ (s, µs) ❢♦r ❛❧❧ τ ≤ s ≤ ❚ ❛♥❞ {µt}t∈[τ,❚] ∈ A ❋
[τ,❚](µ)✱
❛♥❞ ❱ (τ, µτ) = ❱ (s, µs) ❢♦r ❛❧❧ τ ≤ s ≤ ❚ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ {µt}t∈[τ,❚] ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❥❡❝t♦r② ❢♦r µ✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝❛s❡✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✷✴✹✻
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❬▼✳✲◗✉✐♥❝❛♠♣♦✐①❪
▲❡t ✇ : [✵, ❚] × P✷ → R ❜❡ ❛ ♠❛♣✱ (¯ t, ¯ µ) ∈]✵, ❚[×P✷(R❞)✱ δ > ✵✳ ❲❡ s❛② t❤❛t (♣¯
t, ♣¯ µ) ∈ R × ▲✷ ¯ µ(R❞) ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② δ✲s✉♣❡r❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦❢ ✇ ❛t
(¯ t, ¯ µ) ✐❢ ✐✳✮ t❤❡r❡ ❡①✐sts ¯ ν ❛♥❞ γ ∈ Π♦(¯ µ, ¯ ν) s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ ❇♦r❡❧ ♠❛♣ φ : R❞ → R❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ φ ∈ ▲✷
µ(R❞) ∩ ▲✷ ν(R❞) ✇❡ ❤❛✈❡
γ (①) ❞µ(①).
✐✐✳✮ ❢♦r ❛❧❧ µ ∈ P✷(R❞) ✇❡ ❤❛✈❡ ✇(t, µ) − ✇(¯ t, ¯ µ) ≤ ♣t(t − ¯ t) +
µ(①✶, ①✷, ①✸)+ + δ
t)✷ + ❲ ✷
✷,˜ µ(¯
µ, µ) + ♦(|t − ¯ t| + ❲✷,˜
µ(¯
µ, µ)), ❢♦r ❛❧❧ ˜ µ ∈ P(R❞ × R❞ × R❞) s❛t✐s❢②✐♥❣ π✶✷♯˜ µ = (■❞R❞ , ♣¯
µ)♯¯
µ ❛♥❞ π✶✸♯˜ µ ∈ Π(¯ µ, µ)✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② δ✲s✉♣❡r❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧s ♦❢ ✇ ❛t (¯ t, ¯ µ) ❜② ❉ ✇ t ✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② ✲s✉❜❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧s✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✸✴✹✻
❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ∂t✇(t, µ) + H (µ, ❉✇(t, µ)) = ✵, ✭✻✮ ✇❤❡r❡ H (µ, ♣) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❛♥② µ ∈ P✷(R❞) ❛♥❞ ♣ ∈ ▲✷
µ(R❞)✳ ❲❡ s❛②
t❤❛t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇ : [✵, ❚] × P✷(R❞) → R ✐s ❛ s✉❜s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✻✮ ✐❢ ✇ ✐s ✉✳s✳❝✳ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t ❈ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ♣t + H (µ, ♣µ) ≥ −❈δ, ❢♦r ❛❧❧ (t, µ) ∈]✵, ❚[×P✷(R❞)✱ (♣t, ♣µ) ∈ ❉+
δ ✇(t✵, µ✵)✱ ❛♥❞ δ > ✵✳
❛ s✉♣❡rs♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✻✮ ✐❢ ✇ ✐s ❧✳s✳❝✳ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t ❈ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ♣t + H (µ, ♣µ) ≤ ❈δ, ❢♦r ❛❧❧ (t, µ) ∈]✵, ❚[×P✷(R❞)✱ (♣t, ♣µ) ∈ ❉−
δ ✇(t✵, µ✵)✱ ❛♥❞ δ > ✵✳
❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✻✮ ✐❢ ✇ ✐s ❜♦t❤ ❛ s✉♣❡rs♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ s✉❜s♦❧✉t✐♦♥✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✹✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠ ❬▼✳✲◗✉✐♥❝❛♠♣♦✐①❪ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❛♥ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ H s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♣♦s✐t✐✈❡ ❤♦♠♦❣❡♥✉✐t②✿ ❢♦r ❡✈❡r② λ ≥ ✵✱ µ ∈ P✷(R❞ )✱ ♣ ∈ ▲✷
µ(R❞ ) ✇❡ ❤❛✈❡
H (µ, λ♣) = λH (µ, ♣)❀ ❞✐ss✐♣❛t✐✈✐t②✿ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❦ ≥ ✵ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ µ, ν ∈ P✷(R❞ )✱ γ ∈ Π♦(µ, ν)✱ ❞❡✜♥❡❞ ♣µ
γ = ■❞R❞ − ❇❛r✶(γ)✱ qν γ = ■❞R❞ − ❇❛r✶(γ−✶)✱ ✇❡ ❤❛✈❡
H❋ (µ, ♣µ) − H❋ (ν, qν) ≤ ❦❲ ✷
✷ (µ, ν).
▲❡t ✇✶ ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s✉❜s♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ ✇✷ ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s✉♣❡rs♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✻✮✳ ❚❤❡♥ ✐♥❢
(s,µ)∈[✵,❚]×P✷(R❞ )
✇✷(s, µ) − ✇✶(s, µ) = ✐♥❢
µ∈P✷(R❞ )
✇✷(❚, µ) − ✇✶(❚, µ). ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛❞♠✐ts ❛t ♠♦st ♦♥❡ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❜♦✉♥❞❡❞ s♦❧✉t✐♦♥✳ Pr♦♦❢✿ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞♦✉❜❧✐♥❣ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♠❡t❤♦❞ ❛♥❞ t♦ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ s✉♣❡r❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❲❛ss❡rst❡✐♥ sq✉❛r❡❞ ❞✐st❛♥❝❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ❆♠❜r♦s✐♦✲●✐❣❧✐✲❙❛✈❛ré✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✺✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠ ❆ss✉♠❡ st❛♥❞❛r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ❋ ❛♥❞ t❤❛t ❋(·) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤❡♥ ˜ ❚✷(·) ✐s ❛ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ H❋(µ, ❉ ˜ ❚✷(µ)) = ✵✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② H❋(µ, ♣µ) := −✶ − ✐♥❢
❛♥❞ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s t❛❦❡♥ ♦♥ t❤❡ ❇♦r❡❧ ♠❛♣s ✈µ : R❞ → R❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ ✈µ(①) ∈ ❋(①) ❢♦r µ✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉✐t②✱ ✐t ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✻✴✹✻
❚❤❡♦r❡♠
µ(R❞; R❞)✱ ✇❡ s❡t
H❋(µ, ♣µ) := ✐♥❢
✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s t❛❦❡♥ ♦♥ t❤❡ ❇♦r❡❧ ♠❛♣s ✈µ : R❞ → R❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ ✈µ(①) ∈ ❋(①) ❢♦r µ✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❱ (·) ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦♥ s❡ts ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s ✇✐t❤ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ♠♦♠❡♥t✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✼✴✹✻
❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ t✇♦ ♣❧❛②❡r ③❡r♦ s✉♠ ❣❛♠❡✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ t✇♦ ♣❧❛②❡rs ❛r❡ t✇♦ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥s✱ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡♠ ❡✈♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ∂tµ✐
t + ❞✐✈(✈ ✐ tµ✐ t) = ✵,
✐ = ✶, ✷, ✇❤❡r❡ ❢♦r ❛✳❡✳ t ∈ [✵, ❚] ❛♥❞ µ✐
t✲❛✳❡✳ ① ∈ R❞ ✇❡ ❤❛✈❡ ✈ ✐ t(①) ∈ ❋✐(①)✱
✐ = ✶, ✷✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✜♥✐t❡ ❤♦r✐③♦♥ ❚ > ✵✱ ❛♥❞ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ t❡r♠✐♥❛❧ ❝♦st G = G (µ✶, µ✷)✳ ❚❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛②❡r ❛r❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ ❛♥❞ t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ✐t✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ✐❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ✭s✐♥❝❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ✈t ✐s ♥♦t ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✱ ❛ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ❝❤♦✐❝❡ ✐s t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ str❛t❡❣② ✭✇✐t❤ ❞❡❧❛②✮ ❞✐r❡❝t❧② ♦♥ t❤❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✽✴✹✻
❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣ ❋, ● : R❞ ⇒ R❞ s❛t✐s❢②✐♥❣ (❋)✳ ●✐✈❡♥ µ❛ ∈ P✷(R❞)✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ µ❛ ❛t t✐♠❡ t = ❛ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ [❛, ❜] ❢♦r t❤❡ ✜rst ♣❧❛②❡r ✇✐❧❧ ❜❡ A ❋
[❛,❜](µ❛)✱ ❛♥❞✱ s✐♠✐❧❛r❧②✱
❣✐✈❡♥ ν❛ ∈ P✷(R❞)✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ν❛ ❛t t✐♠❡ t = ❛ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ [❛, ❜] ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛②❡r ✇✐❧❧ ❜❡ A ●
[❛,❜](ν❛)✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶ ✭◆♦♥❛♥t✐❝✐♣❛t✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✮ ❆ str❛t❡❣② ❢♦r t❤❡ ✜rst ♣❧❛②❡r ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ [t✵, ❚] ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ♠❛♣ α : A ●
[t✵,❚] → A ❋ [t✵,❚]✳ ❆ str❛t❡❣② ❢♦r t❤❡ ✜rst ♣❧❛②❡r α ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ [t✵, ❚]
✇✐❧❧ ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ ♥♦♥❛♥t✐❝✐♣❛t✐✈❡ ✇✐t❤ ❞❡❧❛② τ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts τ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ❣✐✈❡♥ t✵ ≤ s ≤ ❚✱ ν✐ = {ν✐
t}t∈[t✵,❚] ∈ A ● [t✵,❚]✱ ✐ = ✶, ✷✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ ν✶ t = ν✷ t
❢♦r ❛❧❧ t✵ ≤ t ≤ s✱ ❛♥❞ s❡t α(ν✐) = {µ✐
t}t∈[t✵,❚]✱ ✐ = ✶, ✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡
µ✶
t = µ✷ t ❢♦r ❛❧❧ t✵ ≤ t ≤ ♠✐♥{s + τ, ❚}✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✸✾✴✹✻
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷
Aτ(t✵) :=
[t✵,❚] → A ❋ [t✵,❚] : α ✐s ❛ ♥♦♥❛♥t✳ str❛t❡❣② ✇✳ ❞❡❧❛② τ
Aτ(t✵, µ✵) :=
[t✵,❚]) ⊆ A ❋ [t✵,❚](µ✵)
A(t✵) :=
Aτ(t✵), A(t✵, µ✵) :=
[t✵,❚]) ⊆ A ❋ [t✵,❚](µ✵)
❇② s✇✐t❝❤✐♥❣ t❤❡ r♦❧❡s ♦❢ ❋ ❛♥❞ ● ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ str❛t❡❣② ❛♥❞ ♥♦♥❛♥t✐❝✐♣❛t✐✈❡ str❛t❡❣② ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ [t✵, ❚] ✇✐t❤ ❞❡❧❛② τ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❧❛②❡r✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡✜♥❡❞ s❡ts ❛r❡ ♥❛♠❡❞ ❜② Bτ(t✵)✱ Bτ(t✵, ν✵)✱ B(t✵)✱ B(t✵, ν✵)✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ ν✵ ∈ P✷(R❞)✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✵✴✹✻
▲❡♠♠❛ ✸ ✭◆♦r♠❛❧ ❢♦r♠✮ ▲❡t t✵ < τ < ❚✳ ❋♦r ❛♥② (α, β) ∈ Aτ(t✵) × Bτ(t✵) t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣❛✐r (µ, ν) ∈ A ❋
[t✵,❜] × A ● [t✵,❜] s✉❝❤ t❤❛t α(ν) = µ ❛♥❞ β(µ) = ν✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✶✴✹✻
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝t✐♦♥ G : P(R❞) × (R❞) → R ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ❛♥❞ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❋ ❛♥❞ ● s❛t✐s❢② (❋)✳ ●✐✈❡♥ t✵ ∈ [✵, ❚]✱ µ✵, ν✵ ∈ P✷(R❞)✱ (α, β) ∈ A(µ✵, t✵) × B(ν✵, t✵) ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❏(t✵, µ✵, ν✵, α, β) = G (µ❚, ν❚) , ✇❤❡r❡ µ = {µt}t∈[✵,❚] ∈ A ❋
[t✵,❚](µ✵)✱ ν = {νt}t∈[✵,❚] ∈ A ● [t✵,❚](ν✵)✱ ❛♥❞
(µ, ν) ∈ A ❋
[t✵,❚](µ✵) × A ● [t✵,❚](ν✵) ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢
A ❋
[t✵,❚](µ✵) × A ● [t✵,❚](ν✵)✱ ❣✐✈❡♥ ❜② ▲❡♠♠❛ ✸✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ α(ν) = µ ❛♥❞
β(ν) = µ✳ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❛♥❞ ❧♦✇❡r ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❱ ± : [✵, ❚] × P✷(R❞) × P✷(R❞) → R ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣ ❱ +(t✵, µ✵, ν✵) = ✐♥❢
α∈A(t✵,µ✵)
s✉♣
β∈B(t✵,ν✵)
❏(t✵, µ✵, ν✵, α, β), ❱ −(t✵, µ✵, ν✵) = s✉♣
β∈B(t✵,ν✵)
✐♥❢
α∈A(t✵,µ✵) ❏(t✵, µ✵, ν✵, α, β).
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✷✴✹✻
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✺ ✭❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣✉rs✉✐t✲❡✈❛s✐♦♥ ❣❛♠❡✮ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❋, ● s❛t✐s❢②✐♥❣ (❋)✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧ µ, ν ∈ P✷(R❞)✱ ♣µ ∈ ▲✷
µ(R❞)✱ ♣ν ∈ ▲✷ µ(R❞)
HP❊(µ, ν, ♣µ, ♣ν) = ✐♥❢
✈(·)∈▲✷
µ(R❞ )
✈(①)∈❋(①) µ✲❛✳❡✳①
+ s✉♣
✇(·)∈▲✷
ν(R❞ )
✇(①)∈●(①) ν✲❛✳❡✳①
✭✼✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✻ ❈♦♥s✐❞❡r ❋, ● s❛t✐s❢②✐♥❣ (❋)✱ ❛♥❞ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝t✐♦♥ G✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❣❛♠❡ ❤❛s ❛ ✈❛❧✉❡✱ ✐✳❡✳✱ ❱ + = ❱ − =: ❱ ❛♥❞ ❱ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐✲❇❡❧❧♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ∂t❱ + HP❊(µ, ν, ❉µ❱ , ❉ν❱ ) = ✵✱ ❱ (❚, µ, ν) = G(µ, ν)✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✸✴✹✻
❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❢♦r ❍❛♠✐❧t♦♥✲❏❛❝♦❜✐ ❡q✉❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ✇❡❛❦❡r s♠♦♦t❤♥❡ss ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❀ P♦♥tr②❛❣✐♥ ♠❛①✐♠✉♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❛♥❞ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s❀ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥s❀ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ♣❡❞❡str✐❛♥ ❞②♥❛♠✐❝s ✭❡✈❛❝✉❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✱ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ♠❛ss s♦✉r❝❡s ❛♥❞ s✐♥❦s✮✳
❆✳ ▼❛r✐❣♦♥❞❛ ▼❛②❡r ❛♥❞ ♠✐♥✳ t✐♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠s ✹✹✴✹✻
◆❡t✇♦r❦s ❛♥❞ ❍❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ▼❡❞✐❛ ✭◆❍▼✮✱ ✈♦❧✳ ✶✷✱ ♥✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✼✼✲✷✾✺ ✭✷✵✶✼✮✳ ❉❖■✿ ✶✵✳✸✾✸✹✴♥❤♠✳✷✵✶✼✵✶✷✳
♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s✳ ❙❡t✲❱❛❧✉❡❞ ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ✭❙❱❆❆✲❉✲✶✻✲✵✵✶✷✷✳✶✮✱ ✈♦❧✳ ✷✺✱ ♥✳ ✷✱ ♣♣✳✶✲✷✾ ✭✷✵✶✼✮✳ ❉❖■✿ ✶✵✳✶✵✵✼✴s✶✶✷✷✽✲✵✶✼✲✵✹✶✹✲②✳
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