r rt ss - - PowerPoint PPT Presentation

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❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❲✳ ■✳ ❋✉s❤❝❤✐❝❤ ❛♥❞ ■✳ ❚s✐❢r❛ ✭✶✾✽✺✮✱ ❖♥ s②♠♠❡tr✐❡s ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s✳ ❚❤❡♦r✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳ ✻✹✱ ✹✶✲✺✵✳

• ✳ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❛♥❞ ❱✳ ▼✳ ❙❤t❡❧❡♥ ✭✷✵✵✹✮✳ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r② ✇✐t❤

♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❏✳ P❤②s✳ ❆✿ ▼❛t❤✳ ●❡♥✳ ✸✼✱ ✶✵✼✶✶✲✶✵✼✶✽✳ ❙✳ ❉✉♣❧✐❥✱ ●✳ ❆✳ ●♦❧❞✐♥✱ ❛♥❞ ❱✳ ❙❤t❡❧❡♥ ✭✷✵✶✹✮✳ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ❛♥❞ ▼❛①✇❡❧❧ ✜❡❧❞ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ✐♥ ❢♦✉r✲ ❛♥❞ s✐①✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡t✐♠❡s✳ ■♥ P✳ ❑✐❡❧❛♥♦✇s❦✐✱ P✳ ❇✐❡❧❛✈s❦②✱ ❆✳ ❖❞❡ss❦✐✐✱ ❆✳ ❖❞③✐❥❡✇✐❝③✱ ▼✳ ❙❝❤❧✐❝❤❡♥♠❛✐❡r✱ ❛♥❞ ❚✳ ❱♦r♦♥♦✈ ✭❊❞s✳✮✱ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s✿ ❳❳❳■■ ❲♦r❦s❤♦♣✱ ❇✐❛➟♦✇✐❡➺❛✱ P♦❧❛♥❞✱ ❏✉♥❡ ✸✵ ✕ ❏✉❧② ✻✱ ✷✵✶✸ ✭♣♣✳ ✷✸✸✲✷✹✷✮✳ ❇✐r❦❤❛üs❡r✳

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♥♦♥❧✐♥❡❛r ▼❛①✇❡❧❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■♥ ❚✳ ❉✐❛❣❛♥❛ ❛♥❞ ❇✳ ❚♦♥✐ ✭❊❞s✳✮✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙tr✉❝t✉r❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ■♥ ❍♦♥♦r ♦❢ ▼❛❤♦✉t♦♥ ◆♦r❜❡rt ❍♦✉♥❦♦♥♥♦✉ ✭♣♣✳ ✷✶✶✲✷✷✹✮✳ ❙♣r✐♥❣❡r✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✹ ✴ ✷✼

✶✳ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ❛♥❞ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s

❚❤❡ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ ✸ + ✶✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡t✐♠❡ M(✹) ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s x = (xµ), µ = ✵, ✶, ✷, ✸✱ ♦r x = (ct, xk), k = ✶, ✷, ✸✳ ❚❤❡ ✢❛t ♠❡tr✐❝ t❡♥s♦r ✐s ηµν = diag (✶, −✶, −✶, −✶)✳ ❲❡ s❤❛❧❧ ❛❧s♦ ✇r✐t❡ (∂µ) = (∂∂xµ) =

• c−✶∂∂t, ∇
• ✳

❆s ✉s✉❛❧ xµxµ = ηµνxµxν✱ s✉♠♠✐♥❣ ♦✈❡r r❡♣❡❛t❡❞ ✐♥❞✐❝❡s✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s ❢♦r ❜r❡✈✐t② ✇❡ ✇✐❧❧ s❡t x✷ = xµxµ✳ ❚❤❡ ❧✐❣❤t ❝♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② {x|xµxµ = ✵}✳ ❚❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣r♦✉♣ ❢♦r M(✹) ✐♥❝❧✉❞❡s s♣❛❝❡t✐♠❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥s✱ s♣❛t✐❛❧ r♦t❛t✐♦♥s✱ ▲♦r❡♥t③ ❜♦♦sts✱ ❛♥❞ ❞✐❧❛t✐♦♥s✳ ■t ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡s❡ ♠❛② ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝♦♥❥✉❣❛t✐♥❣ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ x′ µ = x µ − b µ ✇✐t❤ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✉s✉❛❧❧② t❛❦❡♥ t♦ ❜❡ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣r♦✉♣✮✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✺ ✴ ✷✼

❈♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ x′ µ = x µ xνxν , ✭✶✳✶✮ ✇❤✐❝❤ ✐s s✐♥❣✉❧❛r ♦♥ t❤❡ ❧✐❣❤t ❝♦♥❡✳ ❋r♦♠ ✭✶✳✶✮ ♦♥❡ ❤❛s ❧♦❝❛❧❧② ✐♥ M(✹)✱ ηµνdx′ µdx′ ν = [✶/(xσxσ)✷]ηµνdxµdxν✱ ❜✉t ❣❧♦❜❛❧❧②✱ t❤❡ ❝❛✉s❛❧ str✉❝t✉r❡ ✐s ♥♦t ♣r❡s❡r✈❡❞✳ ❚❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐♥✈❡rt✐♥❣✱ tr❛♥s❧❛t✐♥❣✱ ❛♥❞ ✐♥✈❡rt✐♥❣ ❛❣❛✐♥✱ ❛r❡✱ x′ µ = (x µ − b µxνx ν) (✶ − ✷bνx ν + bνb νxµx µ) . ✭✶✳✷✮ ❲❡ ♥❡①t ✇r✐t❡ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ♦❢ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✮✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✻ ✴ ✷✼

❘❡❝❛❧❧ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✐♥ ❙■ ✉♥✐ts✮✿ curl ❊ = −∂❇ ∂t , div ❇ = ✵, curl ❍ = ∂❉ ∂t + ❥, div ❉ = ρ, ✭✶✳✸✮ ✇❤❡r❡ ❥ ❛♥❞ ρ ❛r❡ ❝✉rr❡♥t ❛♥❞ ❝❤❛r❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞ ❊ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❇ ❛r❡ ♣❤②s✐❝❛❧❧② ♦❜s❡r✈❛❜❧❡❀ t❤❡✐r str❡♥❣t❤ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❢❡rr❡❞ ❢r♦♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❢♦r❝❡ ❋ = q (❊ + ✈ × ❇) ♦♥ ❛ t❡st ❝❤❛r❣❡ q ♠♦✈✐♥❣ ✇✐t❤ ✈❡❧♦❝✐t② ✈✳ ❚❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s r❡❧❛t✐♥❣ ❉ ❛♥❞ ❍ t♦ ❊ ❛♥❞ ❇ ❞❡s❝r✐❜❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡❞✐✉♠ ✭♦r ♣♦ss✐❜❧②✱ ♦❢ s♣❛❝❡t✐♠❡ ✐ts❡❧❢✮✳ ❚❛❦❡♥ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✶✳✸✮✱ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s②♠♠❡tr②✳ ❚❤❡ ✉s✉❛❧ ❧✐♥❡❛r t❤❡♦r② ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✼ ✴ ✷✼

■♥ ❝♦✈❛r✐❛♥t ♥♦t❛t✐♦♥✱ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ t❡♥s♦r ✜❡❧❞s ❛r❡✿ Fµν =      ✵

✶ c Ex ✶ c Ey ✶ c Ez

− ✶

c Ex

✵ −Bz By − ✶

c Ey

Bz ✵ −Bx − ✶

c Ez

−By Bx ✵      , ✭✶✳✹✮ Gµν =      ✵ cDx cDy cDz −cDx ✵ −Hz Hy −cDy Hz ✵ −Hx −cDz −Hy Hx ✵     . ✭✶✳✺✮ ❚❤❡ ❍♦❞❣❡ ❞✉❛❧ t❡♥s♦rs ❛r❡ ˜ F µν = ✶

✷εµνρσFρσ ❛♥❞ ˜

G µν = ✶

✷εµνρσGρσ✳

❍❡r❡ εµνρσ ✐s t❤❡ t♦t❛❧❧② ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ t❡♥s♦r ✇✐t❤ ε✵✶✷✸ = ✶✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✽ ✴ ✷✼

▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡✿ ∂µ ˜ F µν = ✵, ∂µG µν = jν, ✭✶✳✻✮ ✇❤❡r❡ jµ = (cρ, ❥) ✐s t❤❡ ✹✲❝✉rr❡♥t✳ ❚❤❡ ✜rst ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✭✶✳✻✮ ✐♠♣❧② t❤❛t ♦♥❡ ❝❛♥ s❡t Fµν = ∂µAν − ∂νAµ✱ ✇❤❡r❡ Aµ ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣❛✉❣❡ ✜❡❧❞✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r Gµν✳ ❚❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦rs Fµν ❛♥❞ ˜ F µν ❛r❡ ♣❤②s✐❝❛❧❧② ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ Gµν t♦ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✜❡❧❞s Fµν ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠❡❞✐✉♠✱ ❛♥❞ ❡①♣r❡ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✾ ✴ ✷✼

❯♥❞❡r t❤❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ✭✶✳✶✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✿ ∂ ′

µ :=

∂ ∂x′µ = x✷∂µ − ✷xµ(x · ∂) , ✭✶✳✼✮ ✷ ′ := ∂ ′

µ∂ ′µ = (x✷)✷✷ − ✹x✷(x · ∂) .

✭✶✳✽✮ ❚❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞s t❤❛t r❡s♣❡❝t t❤❡ s②♠♠❡tr② ❛r❡✿ A′

µ(x′) = x✷Aµ(x) − ✷xµ(xαAα(x)) ,

✭✶✳✾✮ F ′

µν(x′) = (x✷)✷Fµν(x) − ✷x✷xα(xµFαν(x) + xνFµα(x)),

✭✶✳✶✵✮ ✇❤❡r❡ x✷ = xµxµ ❛♥❞ (x · ∂) = xα∂α✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ t❤✐s s②♠♠❡tr② ✇✐t❤ t❤❛t ♦❢ t❤❡ P♦✐♥❝❛ré tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❞✐❧❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ s②♠♠❡tr② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣r♦✉♣✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✵ ✴ ✷✼

✷✳ ■♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s

❚♦ st✉❞② ♥♦♥❧✐♥❡❛r ▼❛①✇❡❧❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr②✱ ✇❡ ✇r✐t❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t❤❛t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥ts✳ ■♥ M(✹) ✇❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ P♦✐♥❝❛ré✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s✿ I✶ = ✶ ✷Fµν(x)F µν(x) , I✷ = −c ✹Fµν(x) ˜ F µν(x) . ✭✷✳✶✮ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✿ I✶ = ❇✷ − ✶ c✷ ❊✷, I✷ = ❇ · ❊. ✭✷✳✷✮ ❆♥② ♦t❤❡r P♦✐♥❝❛ré✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ I✶ ❛♥❞ I✷✳ ❚❤✉s✱ ❜❛s✐♥❣ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ♦♥ I✶ ❛♥❞ I✷ s❤♦✉❧❞ ❛❝❤✐❡✈❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✳ I✷ ♠❛② ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣s❡✉❞♦✐♥✈❛r✐❛♥t✱ ❛s ✐t ❝❤❛♥❣❡s s✐❣♥ ✉♥❞❡r s♣❛t✐❛❧ r❡✢❡❝t✐♦♥ ✭♣❛r✐t②✮✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✶ ✴ ✷✼

❯♥❞❡r ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥✱ I✶ ❛♥❞ I✷ ❛r❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❚❤❡② tr❛♥s❢♦r♠ ❜②✿ I ′

✶(x′) = ✶

✷F ′

µν(x′)(F ′)µν(x′) = (x✷)✹I✶(x) ,

✭✷✳✸✮ I ′

✷(x′) = −c

✹F ′

µν(x′)( ˜

F ′)

µν(x′) = −(x✷)✹I✷(x) .

✭✷✳✹✮ ❙♦ ✐t ✐s t❤❡ r❛t✐♦ I✷(x)/I✶(x) t❤❛t ✇❡ s❤♦✉❧❞ ❝♦♥s✐❞❡r✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ♣s❡✉❞♦✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥✿ I ′

✷(x′)

I ′

✶(x′) = −I✷(x)

I✶(x). ✭✷✳✺✮ ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈❡ t✇♦ ✐♥✈❡rs✐♦♥s✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ I✷(x)/I✶(x) ✐s ❛ tr✉❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❣r♦✉♣✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✷ ✴ ✷✼

✸✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s

• ❡♥❡r❛❧ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ P♦✐♥❝❛ré s②♠♠❡tr② t❛❦❡ t❤❡ ❢♦r♠✿

❉ = M (I✶, I✷) ❇ + ✶ c✷ N (I✶, I✷) ❊, ❍ = N (I✶, I✷) ❇ − M (I✶, I✷) ❊, ✭✸✳✶✮ ✇❤❡r❡ M (I✶, I✷) ❛♥❞ N (I✶, I✷) ❛r❡ s♠♦♦t❤ s❝❛❧❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥ts✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✈❛❝✉✉♠ ❛r❡ ❉ = ε✵❊ ❛♥❞ ❇ = µ✵❍✱ ✇❤❡r❡ ε✵ ❛♥❞ µ✵ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ♣❡r♠✐tt✐✈✐t② ❛♥❞ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❡♠♣t② s♣❛❝❡✱ ✇✐t❤ ε✵µ✵ = c−✷❀ ✭s♦ t❤❛t M = ✵✱ ❛♥❞ N = ✶/µ✵ = ε✵c✷✮✳ ■♥ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❢♦r♠✱ t❤❡s❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ Gµν = N (I✶, I✷) Fµν + cM (I✶, I✷) ˜ Fµν. ✭✸✳✷✮

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✸ ✴ ✷✼

◆♦✇ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s M ❛♥❞ N ✐♥ ❛ s②st❡♠ ✇✐t❤ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ r❛t✐♦ I✷(x)/I✶(x)✳ ❚❤❡♥ ❧❡t ✉s ✇r✐t❡ M (I✶, I✷) = M (u) ❛♥❞ N (I✶, I✷) = N (u)✱ ✇❤❡r❡ u = I✷/cI✶ ✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ❞❡♥♦t❡ I✶ = ✶ ✷FµνF µν ≡ X, I✷ = −c ✹Fµν ˜ F µν ≡ Y . ✭✸✳✸✮ ❚❤❡♥ ✇❡ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❢♦r♠ ❛s✿ G (❝♦♥❢♦r♠❛❧)

µν

≡ Gµν = N (u) Fµν + cM (u) ˜ Fµν ✭✸✳✹✮ ✇❤❡r❡ u = Y /cX ✐s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✹ ✴ ✷✼

✹✳ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ♥♦♥✲▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s

❲❤❡♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❞❡r✐✈❡ ❢r♦♠ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t② L (X, Y )✱ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡✿ Gµν = − ∂L ∂F µν = −✷∂L (X, Y ) ∂X Fµν + c ∂L (X, Y ) ∂Y ˜ Fµν. ✭✹✳✶✮ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s M ❛♥❞ N ♠❛② t❤❡♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ N (X, Y ) = ✶ µ + NL (X, Y ) = −✷∂L (X, Y ) ∂X , ✭✹✳✷✮ M (X, Y ) = ML (X, Y ) = ∂L (X, Y ) ∂Y . ✭✹✳✸✮ ❲❡ s✐♥❣❧❡❞ ♦✉t t❤❡ ❝♦♥st❛♥t ✶/µ ✐♥ ✭✹✳✷✮ s♦ t❤❛t t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ NL (X, Y ) = ML (X, Y ) = ✵ ❛♥❞ µ = µ✵ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ ✈❛❝✉♦✿ L✵ (X, Y ) = −(✶/✷µ✵)X✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✺ ✴ ✷✼

❚❤❡♥ ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❤❡♦r② t♦ ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❝r♦ss✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❜❡ ❡q✉❛❧❀ ✐✳❡✳✱ −✶ ✷ ∂N (X, Y ) ∂Y = ∂M (X, Y ) ∂X , ✭✹✳✹✮ s✐♥❝❡ ❜♦t❤ s✐❞❡s ♠✉st ❡q✉❛❧ ∂✷L (X, Y ) /∂X∂Y ✳ ■❢ M ❛♥❞ N ✈✐♦❧❛t❡ ✭✹✳✹✮✱ t❤❡♥ t❤❡ t❤❡♦r② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✻ ✴ ✷✼

✺✳ ❈♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s

◆♦✇ ❧❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛❜♦✈❡✿ Gµν = N (u) Fµν + cM (u) ˜ Fµν✳ ■❢ t❤❡ t❤❡♦r② ✐s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣t L ❛♥❞ ✇r✐t❡ ML(X, Y ) = ML(u) ❛♥❞ NL(X, Y ) = NL(u) ✭s♦ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝❛s❡ N = [✶/µ] + NL ❛♥❞ M = ML)✱ t♦ r❡♠✐♥❞ ✉s ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ♦♥ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ L✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠✿ dNL (u) du − ✷cu dML (u) du = ✵, u = Y cX . ✭✺✳✶✮ ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ ✭✺✳✶✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss NL (u) ❛s NL (u) = ✷c

• u dML (u)

du du = ✷cuML (u) − ✷c

• ML (u) du,

✭✺✳✷✮ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ s✉❜s✉♠❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ t❡r♠ ✶/µ✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✼ ✴ ✷✼

❚❤✉s ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ♦♥❡ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s r❡s♣❡❝t✐♥❣ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr②✱ Gµν = ✶ µ + ✷ucML (u) − ✷c

• ML (u) du
• Fµν + cML (u) ˜

Fµν . ✭✺✳✸✮ ❚❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ✭✺✳✸✮ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♦♥❡ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ML (u)✱ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ✐♥✈❛r✐❛♥ts u = Y /cX✳ ❘❡♠❛r❦✿ ❚❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ❛ ❝♦♥st❛♥t t❡r♠ ✐♥ ML✳ ❇✉t ❛❞❞✐♥❣ ❛ ❝♦♥st❛♥t κ t♦ ML ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ♣❤②s✐❝s✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s ❥✉st t♦ ❛❞❞ ❛ t❡r♠ κ❇ t♦ ❉✳ ❇✉t s✐♥❝❡ ❞✐✈ ❇ ❂ ✵✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ρ = ❞✐✈ ❉ ✐s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ❛ t❡r♠ −κ❊ ✐s ❛❞❞❡❞ t♦ ❍✳ ❇✉t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❥ ✐s ♦✛s❡t ❜② t❤❡ t❡r♠ t❤❛t ✇❛s ❛❞❞❡❞ t♦ ❉✳ ❍❡♥❝❡ t❤❡ s②st❡♠ ❊✱ ❇✱ ρ✱ ❥ ✐s ✉♥❛✛❡❝t❡❞ ❜② κ❀ ❜✉t ✐t ✐s t❤❡s❡ ✜❡❧❞s ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛❧❧ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❢♦r❝❡s ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ❛♥❞ ❛❝t✐♥❣ ♦♥ ❡❧❡❝tr✐❝ ❝❤❛r❣❡s ❛♥❞ ❝✉rr❡♥ts✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✽ ✴ ✷✼

❊q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❛❜♦✈❡✱ ♦♥❡ ♠❛② ✇r✐t❡ ML = ✶ ✷c ✶ u dNL du du ✭✺✳✹✮ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ Gµν = ✶ µ + NL (u)

• Fµν +

✶ ✷ ✶ u dNL du du

• ˜

Fµν . ✭✺✳✺✮ ❍❡r❡ NL (u) ✐s t❛❦❡♥ t♦ ❜❡ t❤❡ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ u✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t② L ❢♦r ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❝❛♥ ♥♦✇ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ s❡✈❡r❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠s✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✶✾ ✴ ✷✼

■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ML(u)✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ L = L✵ + cX

• ML(u)du = L✵ + Y

✶ u

• ML(u)du
• .

✭✺✳✻✮ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ NL(u)✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ L = L✵ + Y ✶ ✷c

• ✶

u✷ NL(u)du

• .

✭✺✳✼✮ ❍❡r❡ L✵ = −(✶/✷µ)X ❞❡s❝r✐❜❡s st❛♥❞❛r❞ ❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ✇✐t❤ µ = µ✵ ❛♥❞ Gµν = (✶/µ✵)Fµν✳ ❆s r❡♠❛r❦❡❞✱ ✐❢ ML (u) = κ ✭❛ ❝♦♥st❛♥t✮✱ t❤❡♥ L❧✐♥ = − ✶ ✷µX + κY ❞❡s❝r✐❜❡s ❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ♣❤②s✐❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❛t ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② L✵✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ✭✺✳✻✮ ♦r ✭✺✳✼✮ ✐s ♥♦♥❧✐♥❡❛r✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✵ ✴ ✷✼

✻✳ ❊①❛♠♣❧❡s

❚❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❇♦r♥✲■♥❢❡❧❞ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t② ❞♦❡s ♥♦t r❡s♣❡❝t ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr②✿ LBI = b✷ µ✵c

• ✶ −
• ✶ + c✷

b✷ I✶ − c✷ b✹ I✷

• ,

✭✻✳✶✮ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ❥✉st ♦♥ t❤❡ r❛t✐♦ I✷/I✶✳ ❇✉t ❧❡t ✉s ✐❧❧✉str❛t❡ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛♥② ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐s♠ ✇✐t❤ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ✐♥ ✢❛t s♣❛❝❡t✐♠❡✳

❊①❛♠♣❧❡

✶✳ ▲❡t ML (u) = λ✶u✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t λ✶ ✭✇✐t❤ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ ǫ✵c✮ ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t②✳ ❚❤❡♥ NL (u) = λ✶cu✷✱ ❛♥❞ L = − ✶ ✷µX + λ✶ Y ✷ ✷cX , ✭✻✳✷✮ Gµν = ✶ µ + λ✶ Y ✷ cX ✷

• Fµν + λ✶ Y

X ˜ Fµν . ✭✻✳✸✮

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✶ ✴ ✷✼

❊①❛♠♣❧❡

✷✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ ❧❡t ML (u) = λnun✱ n = −✶ ✭✇❤❡r❡ ❛❣❛✐♥✱ λn ❤❛s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ ǫ✵c✮✳ ❚❤❡♥ NL (u) = λn [✷cn/(n + ✶)] un+✶❀ ❛♥❞ L = − ✶ ✷µX + λn ✶ (n + ✶) Y n+✶ cnX n , ✭✻✳✹✮ Gµν = ✶ µ + λn ✷n (n + ✶) Y n+✶ cnX n+✶

• Fµν + λn

Y n cn−✶X n ˜ Fµν . ✭✻✳✺✮ ◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ n < ✵✱ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s s✐♥❣✉❧❛r ✇❤❡♥ Y = ✵❀ ✐✳❡✳✱ ✇❤❡♥ ❇ · ❊ = ✵✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✷ ✴ ✷✼

❊①❛♠♣❧❡

✸✳ ▲❡t NL (u) = αu ✭✇❤❡r❡ α ❤❛s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ ✶/µ✵ ♦r ǫ✵c✷✮✳ ❚❤❡♥ ML(u) = (α/✷c) ln |u|✱ ❛♥❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ L = − ✶ ✷µX + α Y ✷c ln

• Y

cX

• ,

✭✻✳✻✮ Gµν = ✶ µ + α Y cX

• Fµν + α

✷ ln

• Y

cX

• ˜

Fµν . ✭✻✳✼✮ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ❛❧s♦ ✐s s✐♥❣✉❧❛r ✇❤❡♥ u = ✵❀ ✐✳❡✳✱ ✇❤❡♥ ❇ · ❊ = ✵✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✸ ✴ ✷✼

❊①❛♠♣❧❡

✹✳ ❲❡ ♠❛② ❧❡t ML (u) = λ sin bu✱ ✇❤❡r❡ b = ✵ ✐s ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❚❤❡♥ NL (u) = ✷λc (u sin bu + b−✶ cos bu)❀ ❛♥❞ ♥♦✇✱ L = − ✶ ✷µX − λ c b X cos b Y cX

• .

✭✻✳✽✮ Gµν = ✶ µ + ✷λ Y X

• sin

b Y cX

• + c

b cos b Y cX

• Fµν + λc sin

b Y cX

• ˜

Fµν . ✭✻✳✾✮ ❖♥❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ s✐♠✐❧❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ML (u) = λ cos bu✱ ML (u) = λ sinh bu✱ ❛♥❞ ML (u) = λ cosh bu✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✹ ✴ ✷✼

✼✳ ❙✉♠♠❛r② ❛♥❞ ✜♥❛❧ r❡♠❛r❦s

❲❡ ❤❛✈❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▼❛①✇❡❧❧ ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr②✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ t❡♥s♦rs t❤❛t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤s✳ ❖✉r ❣❡♥❡r❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐♥❝❧✉❞❡s ❜♦t❤ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ♥♦♥✲▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ✇♦✉❧❞ ♦❢ ❝♦✉rs❡ ✐♥❝❧✉❞❡ ♥♦♥❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ✭❞✐ss✐♣❛t✐✈❡✮ s②st❡♠s✳ ❆ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝❛s❡✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t②✳ ❲❡ ♣r❡s❡♥t s❡✈❡r❛❧ ❡①❛♠♣❧❡s✱ ✐❧❧✉str❛t✐♥❣ ❛ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s✳ ❚❤❡s❡ ♠❛② ♦❝❝✉r ❛s ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✉s✉❛❧✱ ❧✐♥❡❛r ▼❛①✇❡❧❧ t❤❡♦r②✳ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❤❡♦r✐❡s✳ ❙♦♠❡ ❝❤♦✐❝❡s ♠❛② ❜❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❢♦r t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦❧♦❣✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♠❛tt❡r✱ ♦r ❡✈❡♥ ❢♦r ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ♣♦ss✐❜❧❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ s♣❛❝❡t✐♠❡✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✺ ✴ ✷✼

❊❧s❡✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ s✉❣❣❡st❡❞ ❢✉rt❤❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❢♦r♠❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t✐✜❡❞ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡t✐♠❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐❣❤t ❝♦♥❡ ✐♥ ❛ (✹ + ✷)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡t✐♠❡✳ ❚❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ s②♠♠❡tr② ✐s t❤❡r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ ✭♦r❞✐♥❛r② ❛♥❞ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✮ r♦t❛t✐♦♥s✳ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ✐s ❥✉st ❛ r❡✢❡❝t✐♦♥✳ ❲r✐t✐♥❣ t❤❡ ✻✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧♦❣ ♦❢ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦✇ t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♥❢♦r♠❛❧✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤s✳ ❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡♥ ♣❡r♠✐ts ♦♥❡ t♦ r❡❝♦✈❡r ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ✐♥ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡t✐♠❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛ t♦♣✐❝ ♦❢ ♦✉r ♦♥❣♦✐♥❣ r❡s❡❛r❝❤✳

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✻ ✴ ✷✼

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❦✐♥❞ ❛tt❡♥t✐♦♥.

✭●❡r❛❧❞ ❆✳ ●♦❧❞✐♥ ❉❡♣ts✳ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ P❤②s✐❝s ❘✉t❣❡rs ❯♥✐✈❡rs✐t② ◆❡✇ ❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✱ ❯❙❆❬✺♣t❪ ❣❡r❛❧❞❣♦❧❞✐♥❅❞✐♠❛❝s✳r✉t❣❡rs✳❡❞✉❬✶✺♣t❪ ❳❳❳❱■■■ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ●❡♦♠❡tr✐❝ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ P❤②s✐❝s ❇✐❛➟♦✇✐❡③ ✳❛✱ P♦❧❛♥❞❬✶✵♣t❪ ❇❛s❡❞ ♦♥ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❙t❡✈❡♥ ❉✉♣❧✐❥ ✭❯♥✐✈✳ ▼ü♥st❡r✮ ❛♥❞ ❱❧❛❞✐♠✐r ❙❤t❡❧❡♥ ✭❘✉t❣❡rs✮✮ ❖♥ ❛ ●❡♥❡r❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❈♦♥❢♦r♠❛❧ ❙②♠♠❡tr②

✵✹ ❏✉❧② ✷✵✶✾

✷✼ ✴ ✷✼