Quantum Computing Superdense Coding Measurement Revisited Quantum - PowerPoint PPT Presentation

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Quantum ¡Computing Superdense Coding Measurement ¡Revisited Quantum ¡Teleportation Sushain ¡Cherivirala Surprise?

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Bits ¡and ¡Qubits Superdense Coding Measurement ¡Revisited The ¡fundamental ¡units ¡of ¡information Quantum ¡Teleportation Surprise?

|1⟩ Classical ¡Bits ¡(light ¡switch) 𝜔 ⟩ 0 and ¡ 1 Quantum ¡Bits 𝛾 Computational ¡Basis ¡States 0 and ¡ 1 (Dirac/bra-­‑ket notation) |0⟩ 1 0 and ¡ 0 1 (vector ¡in ¡complex ¡space ¡notation) Bits ¡and ¡Qubits 𝛽 General ¡Quantum ¡State 𝛽 0 + 𝛾 1 = 𝛽 𝛾 = 𝜔 ⟩ with ¡ 𝛽 and ¡ 𝛾 as ¡amplitudes 𝛽 ) + 𝛾 ) = 1 (normalization ¡condition ¡– unit ¡vector) Start ¡with ¡mathematical ¡description ¡then ¡develop ¡physical ¡ intuition ¡for ¡results

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Quantum ¡Gates Superdense Coding Measurement ¡Revisited Manipulation ¡of ¡bits ¡(computation) ¡builds ¡logical ¡ Quantum ¡Teleportation systems ¡(computers) Surprise?

Classical ¡NOT ¡gate +0 → 1 1 → 0 Quantum ¡NOT ¡gate ¡(Pauli-­‑X ¡gate) +|0⟩ → |1⟩ |1⟩ → |0⟩ NOT ¡Gate 𝛽 0 + 𝛾 1 → 𝛽 1 + 𝛾|0⟩ 𝑌 = 0 1 X 0 (Pauli ¡matrix) 1 𝑌𝑌 = 1 0 1 = 𝐽 (Identity ¡matrix) X X 0 Quantum ¡NOT ¡gate ¡and ¡Classical ¡NOT ¡gate ¡are ¡practically ¡ equivalent

Hadamard ¡Gate 0 1|2⟩ 0 → H ) / 0 3|2⟩ |1⟩ → ) 𝛽 0 + 𝛾 1 → 𝛽 + 𝛾 ¡ 0 + 𝛽 − 𝛾 |1⟩ 2 2 Hadamard 1 1 2 𝐼 = −1 (Hadamard matrix) Gate 1 ) 𝐼𝐼 = 1 0 H H 1 = 𝐽 0 1 1 2 𝐼 8 = 1 , ¡ 𝐼 8 |0⟩ ≠ 1 (not ¡normalized) 1 ) Useful ¡in ¡taking ¡shortcuts, ¡similar ¡to ¡quantum ¡tunneling, ¡by ¡ expanding ¡the ¡states ¡computer ¡can ¡assume

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Measurement ¡of ¡Qubits Superdense Coding Measurement ¡Revisited Computation ¡is ¡pointless ¡without ¡measurement ¡of ¡results Quantum ¡Teleportation Surprise?

Quantum ¡state ¡ not ¡directly ¡observable ¡ from ¡a ¡qubit Measurement ¡in ¡ 𝛽 0 + 𝛾 1 → :0 ¡𝑥𝑗𝑢ℎ ¡𝑄 = 𝛽 ) 1 ¡𝑥𝑗𝑢ℎ ¡𝑄 = 𝛾 ) the ¡computation ¡ basis Measurement ¡ disturbs state, ¡results ¡in ¡a ¡computational ¡basis ¡state 𝛽 ) + 𝛾 ) = 1 (normalization ¡constraint)

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States More ¡Quantum ¡Gates Superdense Coding Measurement ¡Revisited Gates, ¡unitary ¡transformations, ¡serve ¡as ¡primitives ¡for ¡computation Quantum ¡Teleportation Surprise?

Pauli-­‑X ¡(NOT) ¡Gate 𝑌 = 0 1 X 1 0 Hadamard Gate 1 1 2 𝐼 = H 1 −1 ) General ¡single-­‑ General ¡Single-­‑qubitGate 𝑉 = 𝑏 𝑐 qubit Gates 𝑒 (Unitary ¡matrix) 𝑑 𝑉 E 𝑉 = 𝐽 where ¡ 𝑉 E = (𝑉 G ) ∗ Preservation ¡of ¡length 𝑉|𝜔⟩ = |𝜔⟩ Preservation ¡of ¡length ¡is ¡the ¡unique ¡property ¡of ¡unitary ¡matrices

: 0 → 𝑓 KL |0⟩ |1⟩ → 𝑓 KM |1⟩ 𝛽 0 + 𝛾 1 → 𝛽𝑓 KL 0 + 𝛾𝑓 KM |1⟩ 𝑆 L,M = 𝑓 KL Phase ¡shift ¡ 0 𝑓 KM 0 Gates At ¡first ¡glance, ¡ 𝛽𝑓 KL 0 + 𝛾𝑓 KM |1⟩ is ¡not ¡distinguishable ¡from ¡ 𝛽 0 + 𝛾 1 but ¡can ¡be ¡made ¡so ¡through ¡the ¡Hadamard gate 𝑆 L = cos ¡𝜄 − sin𝜄 sin𝜄 cos 𝜄

Pauli ¡X-­‑Gate X = 0 1 X 1 0 Pauli ¡Y-­‑Gate Pauli ¡Gates 0 𝑗 Y = Y −𝑗 0 Pauli ¡Z-­‑Gate Z = 1 0 Z 0 −1

Final ¡gate ¡that ¡is ¡essential, ¡all ¡else ¡can ¡be ¡built ¡upon ¡it 𝛽 𝛾 Computational ¡basis : ¡ 𝛽 00 + 𝛾 01 + 𝛿 10 + 𝜀 11 = 𝛿 𝜀 𝛽 ) + 𝛾 ) + 𝛿 ) + 𝜀 ) = 1 Controlled-­‑ 00 → |00⟩ NOT ¡Gate |01⟩ → |01⟩ 00 01 10 11 |10⟩ → |11⟩ (C-­‑NOT) |11⟩ → |10⟩ 𝑦𝑧 → |𝑦 𝑧 ⊕ 𝑦 ⟩ 𝑦𝑧𝑨 → |𝑦𝑧 𝑨 ⊕ 𝑧 ⟩ 1 0 0 0 Control ¡qubit 0 1 0 0 𝐷𝑂𝑃𝑈 = 0 0 0 1 Target ¡qubit 0 0 1 0

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Universal ¡Computation Superdense Coding Measurement ¡Revisited Only ¡a ¡small ¡set ¡of ¡primitives ¡is ¡necessary ¡for ¡building ¡complex ¡ Quantum ¡Teleportation systems ¡of ¡grand ¡proportions Surprise?

Universal ¡single ¡gates ¡are ¡the ¡NOR ¡and ¡NAND ¡gates. NOR ¡gate ¡= ¡NOT ¡gate ¡+ ¡OR ¡gate Classical ¡ NAND ¡gate ¡= ¡NOT ¡gate ¡+ ¡AND ¡gate Universality Universal ¡set ¡of ¡gates ¡sufficient ¡for ¡all ¡classical ¡computation

Quantum ¡ CNOT ¡and ¡single-­‑qubit gates ¡provide ¡quantum ¡universality ¡for ¡any ¡ Universality unitary ¡quantum ¡operation ¡on ¡n ¡qubits

Can ¡be ¡shown ¡that ¡all ¡classical ¡systems ¡can ¡be ¡converted ¡into ¡ equivalent ¡quantum ¡systems ¡of ¡roughly ¡the ¡same ¡size Numerous ¡equivalent ¡models ¡exist ¡that ¡describe ¡quantum ¡systems, ¡ quantum ¡circuit ¡model ¡has ¡an ¡analogy ¡in ¡Classical ¡computing 0 |0⟩ 0 |0⟩ 0 |0⟩ |0⟩ 0 Circuit ¡Models Classical ¡Computing Quantum ¡Computing ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Sometimes, ¡the ¡quantum ¡circuit ¡can ¡be ¡significantly ¡shorter ¡than ¡ the ¡classical ¡circuit ¡as ¡in ¡Shor’s algorithm ¡that ¡can ¡factor ¡ 𝑂 ¡ in ¡ log 𝑂 p whereas ¡the ¡fastest ¡classical ¡factoring ¡ polynomial ¡time ¡ 𝑃 algorithm, ¡the ¡general ¡number ¡field ¡sieve ¡works ¡in ¡sub-­‑exponential ¡ w y x , ¡subsequently ¡breaking ¡public-­‑key ¡ x stustu v time ¡ 𝑃 𝑓 2.r stuv cryptography ¡such ¡as ¡RSA ¡and ¡destroying ¡the ¡world ¡as ¡we ¡know ¡it

Tangent

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled ¡States Entangled ¡States Superdense Coding Measurement ¡Revisited Entangled ¡states ¡enable ¡quantum ¡computation ¡to ¡be ¡more ¡powerful ¡ Quantum ¡Teleportation than ¡classical ¡computation Surprise?

H 00 1 20 00 1 22 𝐷𝑂𝑃𝑈 𝐼 00 → 𝐷𝑂𝑃𝑈 → ) ) Entangled ¡ 00 1|22⟩ States: ¡Intro ≠ 𝛽 0 + 𝛾|1⟩)(𝛿 0 + 𝜀|1⟩) = |𝜔⟩⨂|𝜚⟩ (non-­‑separable) ) Result ¡is ¡a ¡non-­‑classical ¡state, ¡an ¡entangled ¡state, ¡useful ¡for ¡all ¡sorts ¡ of ¡things ¡to ¡come; ¡essential ¡difference ¡between ¡a ¡quantum ¡ computer ¡from ¡a ¡classical ¡computer Provable ¡that ¡quantum ¡algorithm ¡without ¡entangled ¡states ¡can ¡be ¡ made ¡equivalent ¡to ¡a ¡similarly ¡performant ¡classical ¡algorithm

Nobody ¡knows ¡precisely ¡why ¡entangled ¡states ¡are ¡required ¡for ¡ performant ¡quantum ¡algorithms Entangled ¡ States: ¡ 𝜔 = 𝜔 00…0 00… 0 + 𝜔 00…2 |00… 1|⟩ + ⋯ Intuition 2 „ amplitudes ¡(information) ¡hidden ¡within ¡𝑜 qubits

Quantum ¡Computing Bits ¡and ¡Qubits Quantum ¡Gates Measurement ¡of ¡Qubits More ¡Quantum ¡Gates Universal ¡Computation Entangled States SuperdenseCoding Superdense Coding Measurement ¡Revisited Optimal ¡protocol ¡for ¡equating ¡two ¡classical ¡bits ¡with ¡one ¡qubit Quantum ¡Teleportation Surprise?

Alice 00: 𝐽 00 + |11⟩ ¡ 10 + |01⟩ ¡ 01: 𝑌 00 − |11⟩ ¡ 10: 𝑎 10 − |01⟩ ¡ 11:𝑌𝑎 0 + |1⟩ |0⟩ H Eve 00 + |11⟩ Bob |0⟩ 00 + |10⟩ Superdense H Coding 00 + |11⟩ ¡ → 00 + |10⟩ → 00 10 + 01 ¡ → 11 + |01⟩ → 01 00 − 11 → 00 − |10⟩ → 10 10 − 01 → 11 − 01 → 11 The ¡entangled ¡state ¡that ¡Eve ¡produces ¡enables ¡the ¡protocol Discovered ¡in ¡1992 ¡by ¡Charles ¡Bennet and ¡Steven ¡Wiesner (Paper)

0 + |1⟩ ¡ 2 |0⟩ H 00 + |11⟩ ¡ ¡ 2 |0⟩ 00 + |10⟩ ¡ Bell ¡State 2 More ¡generally, ¡for ¡all ¡normalized ¡states ¡ |𝜔⟩ and ¡ |𝜚⟩ , ¡there ¡exists ¡a ¡ unitary ¡ 𝑉 such ¡that ¡ 𝑉 𝜔 = 𝜚 . Symbolically, ¡ ∀ ¡ 𝜔 , 𝜚 ,∃ ¡𝑉 ¡| ¡𝑉 𝜔 = 𝜚 = 1 ¡ � ¡𝑉 E 𝑉 = 𝐽 𝜔 = 1 ¡ � ¡ 𝜚 where ¡

1 0 00 1|22⟩ = 2 0 ) ) 1 0 1 20 1 02 = 2 1 ) ) 0 Bell ¡Basis ¡ ¡ 1 0 00 3 22 = 2 0 ) ) Bell ¡Basis −1 0 −1 20 3 02 = 2 1 ) ) 0 Orthonomal quantum ¡states ¡and ¡orthogonal ¡normalized ¡quantum ¡ states ¡can ¡be ¡distinguished ¡via ¡a ¡unitary ¡function In ¡each ¡state, ¡determining ¡one ¡bit ¡determines ¡the ¡other