qt r - - PowerPoint PPT Presentation

❚❤❡ ❊q✉❛t✐♦♥❛❧ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s

❍❛❥♥❛❧ ❆♥❞ré❦❛✶✱ ❙③❛❜♦❧❝s ▼✐❦✉❧ás✷✱ ■st✈á♥ ◆é♠❡t✐✶ ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶

✶ ❆❧❢ré❞ ❘é♥②✐ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s

❍✉♥❣❛r✐❛♥ ❆❝❛❞❡♠② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡s

✷ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❙②st❡♠s

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❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶ ✴ ✷✶

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❚❤❡ ❝❧❛ss ❑❆ ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✐s t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② t②♣❡ (+, ;, ∗, ✵, ✶) s❛t✐s❢②✐♥❣ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ q✉❛s✐✲❡q✉❛t✐♦♥s ✭❑♦③❡♥✮✳ ❙t❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ ❑❆ ❛r❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ▲❑❆✱ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡❣✉❧❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛♥❞ r❡❣✉❧❛r ❧❛♥❣✉❛❣❡s✳ r❡❧❛t✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s✱ ❘❑❆✱ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣r♦❣r❛♠ s❡♠❛♥t✐❝s ❛♥❞ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❞②♥❛♠✐❝ ❧♦❣✐❝ P❉▲✳

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▲❛♥❣✉❛❣❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s

▲❡t Σ ❜❡ ❛ s❡t ✭❛❧♣❤❛❜❡t✮ ❛♥❞ Σ∗ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ♦❢ ❛❧❧ ✜♥✐t❡ ✇♦r❞s ♦✈❡r Σ✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❡♠♣t② ✇♦r❞ λ✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss ▲❑❆ ♦❢ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ (℘(Σ∗), +, ;, ∗, ✵, ✶) + ✐s s❡t ✉♥✐♦♥✱ ; ✐s ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ✭♦❢ ✇♦r❞s✮ ❳ ; ❨ = {①② : ① ∈ ❳, ② ∈ ❨ }

∗ ✐s t❤❡ ❑❧❡❡♥❡ st❛r ♦♣❡r❛t✐♦♥

❳ ∗ = {①✵①✶ . . . ①♥−✶ : ♥ ∈ ω, ①✐ ∈ ❳ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐ < ♥} ✵ ✐s t❤❡ ❡♠♣t② ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛♥❞ ✶ ✐s t❤❡ s✐♥❣❧❡t♦♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡♠♣t② ✇♦r❞ λ✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✸ ✴ ✷✶

❘❡❧❛t✐♦♥❛❧ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s

❚❤❡ ❝❧❛ss ❘❑❆ ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ (℘(❲ ), +, ;, ∗, ✵, ✶) ✇❤❡r❡ ❲ = ❯ × ❯ ❢♦r s♦♠❡ s❡t ❯✱ + ✐s s❡t ✉♥✐♦♥✱ ; ✐s r❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ① ; ② = {(✉, ✈) ∈ ❲ : (✉, ✇) ∈ ① ❛♥❞ (✇, ✈) ∈ ② ❢♦r s♦♠❡ ✇}

∗ ✐s r❡✢❡①✐✈❡✲tr❛♥s✐t✐✈❡ ❝❧♦s✉r❡✱

✵ ✐s t❤❡ ❡♠♣t②s❡t ❛♥❞ ✶ ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r❡❧❛t✐♦♥ r❡str✐❝t❡❞ t♦ ❲ ✶ = {(✉, ✈) ∈ ❲ : ✉ = ✈}

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✹ ✴ ✷✶

❊q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s

▲❑❆ ⊆ ❘❑❆✱ ✇❤❡♥❝❡ ❊q(❘❑❆) ⊆ ❊q(▲❑❆)✳ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢ ❛ss✐❣♥s ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❳ ♦✈❡r ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t Σ✿ ❢ (❳) = {(✇, ✇①) : ✇ ∈ Σ∗ ❛♥❞ ① ∈ ❳} ❚❤❡ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ r❡s♣❡❝ts t❤❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✿ +, ;, ∗, ✵, ✶✳ ❇✉t ❘❑❆ ⊆ ▲❑❆✳ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✶ = {λ} ✐s ❛♥ ❛t♦♠ ✭♠✐♥✐♠❛❧✱ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡❧❡♠❡♥t✮ ✐♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✺ ✴ ✷✶

❊q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s

▲❑❆ ⊆ ❘❑❆✱ ✇❤❡♥❝❡ ❊q(❘❑❆) ⊆ ❊q(▲❑❆)✳ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢ ❛ss✐❣♥s ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❳ ♦✈❡r ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t Σ✿ ❢ (❳) = {(✇, ✇①) : ✇ ∈ Σ∗ ❛♥❞ ① ∈ ❳} ❚❤❡ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ r❡s♣❡❝ts t❤❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✿ +, ;, ∗, ✵, ✶✳ ❇✉t ❘❑❆ ⊆ ▲❑❆✳ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✶ = {λ} ✐s ❛♥ ❛t♦♠ ✭♠✐♥✐♠❛❧✱ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡❧❡♠❡♥t✮ ✐♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✺ ✴ ✷✶

❊q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✭❝t❞✳✮

❙❛♠❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r②✿

❊q(❘❑❆) = ❊q(▲❑❆)✳ ❚❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ❘❑❆ ❛♥❞ ▲❑❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✖ ✐t ✐s t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ r❡❣✉❧❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥s✱ ❤❡♥❝❡ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✭◆é♠❡t✐✮✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

❑♦③❡♥✿

❊q(❑❆) = ❊q(▲❑❆)(= ❊q(❘❑❆))✳ ❚❤✉s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ❘❑❆ ❛♥❞ ▲❑❆ ✐s ✜♥✐t❡❧② q✉❛s✐✲❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳ ❇✉t

❘❡❞❦♦✿

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✭r❡❧❛t✐♦♥❛❧✮ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✻ ✴ ✷✶

❊q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✭❝t❞✳✮

❙❛♠❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r②✿

❊q(❘❑❆) = ❊q(▲❑❆)✳ ❚❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ❘❑❆ ❛♥❞ ▲❑❆ ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✖ ✐t ✐s t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ r❡❣✉❧❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥s✱ ❤❡♥❝❡ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✭◆é♠❡t✐✮✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

❑♦③❡♥✿

❊q(❑❆) = ❊q(▲❑❆)(= ❊q(❘❑❆))✳ ❚❤✉s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ❘❑❆ ❛♥❞ ▲❑❆ ✐s ✜♥✐t❡❧② q✉❛s✐✲❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳ ❇✉t

❘❡❞❦♦✿

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✭r❡❧❛t✐♦♥❛❧✮ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛s ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✻ ✴ ✷✶

❑❧❡❡♥❡ ❧❛tt✐❝❡s

◆♦t❡✿ r❡❣✉❧❛r ❧❛♥❣✉❛❣❡s ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✱ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✐♥ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✖ P❉▲ ✇✐t❤ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥

❑❧❡❡♥❡ ❧❛tt✐❝❡s✿

▲❑▲ ❛♥❞ ❘❑▲ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❡①♣❛♥s✐♦♥s ♦❢ ▲❑❆ ❛♥❞ ❘❑❆✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ✇✐t❤ ♠❡❡t · ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✳

▼❛✐♥ t♦♣✐❝ ♦❢ t❤✐s t❛❧❦✿

❲❤❛t ❝❛♥ ✇❡ s❛② ❛❜♦✉t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ▲❑▲ ❛♥❞ ❘❑▲❄

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✼ ✴ ✷✶

❋r❡❡ ❑❧❡❡♥❡ ❧❛tt✐❝❡s

❯♥❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ♠❡❡t✲❢r❡❡ ❝❛s❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s ❛r❡ ♥♦t ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳

❋❛❝t✿

◆♦ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ▲❑▲ ♦r ❘❑▲ ✇✐t❤ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❢r❡❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ✐s r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ❛s ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛✳ Pr♦♦❢✿ ■♥ t❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛✱ t❤❡ t❡r♠s ✵✱ ① · ✶ ❛♥❞ ✶ ❛r❡ ❜❡❧♦✇ ✶✱ ❛♥❞ ❛❧❧ t❤r❡❡ ♦❢ ✵, ① · ✶ ❛♥❞ ✶ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✳ ✭❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ① · ✶ = ✶ ✐♥ t❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐❢ ① = ✵✱ t❤❡♥ ① · ✶ = ✵ = ✶✳✮ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✶ ✐s t❤❡ ♦♥❡✲❡❧❡♠❡♥t s❡t {λ} ✇❤✐❝❤ ❤❛s ♦♥❧② t✇♦ s✉❜s❡ts✳

❋❛❝t✿

❚❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❘❑▲ ✐s ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✱ ✐t ✐s ✐♥ ❘❑▲✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✽ ✴ ✷✶

▼♦r❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✲ t❤❛♥ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ✈❛❧✐❞✐t✐❡s

❚❤❡ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢ ♣r❡s❡r✈❡s ❛❧s♦ ♠❡❡t✿

▲❑▲ ⊆ ❘❑▲✱ ✇❤❡♥❝❡ ❊q(❘❑▲) ⊆ ❊q(▲❑▲)✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ str✐❝t ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦t ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✿ (① ; ②) · ✶ = (① · ✶) ; (② · ✶) ✭✶✮ (① · ✶) ; ② = ② ; (① · ✶) ✭✷✮ (③ + (① · ✶) ; ②)∗ = ③∗ + (① · ✶) ; (③ + ②)∗ ✭✸✮ ❊✳❣✳ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✮ ❡①♣r❡ss❡s t❤❛t λ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✇♦r❞s ❞✐st✐♥❝t ❢r♦♠ λ✳

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✶✿

❊q✉❛t✐♦♥s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ❛①✐♦♠❛t✐③❡ ❊q(▲❑▲) ♦✈❡r ❊q(❘❑▲)✱ ✐✳❡✳ ❊q(❘❑▲) ∪ {✭✶✮, ✭✷✮, ✭✸✮} ⊢ ❊q(▲❑▲)

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✾ ✴ ✷✶

▼♦r❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✲ t❤❛♥ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ✈❛❧✐❞✐t✐❡s

❚❤❡ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢ ♣r❡s❡r✈❡s ❛❧s♦ ♠❡❡t✿

▲❑▲ ⊆ ❘❑▲✱ ✇❤❡♥❝❡ ❊q(❘❑▲) ⊆ ❊q(▲❑▲)✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ str✐❝t ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦t ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✿ (① ; ②) · ✶ = (① · ✶) ; (② · ✶) ✭✶✮ (① · ✶) ; ② = ② ; (① · ✶) ✭✷✮ (③ + (① · ✶) ; ②)∗ = ③∗ + (① · ✶) ; (③ + ②)∗ ✭✸✮ ❊✳❣✳ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✮ ❡①♣r❡ss❡s t❤❛t λ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✇♦r❞s ❞✐st✐♥❝t ❢r♦♠ λ✳

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✶✿

❊q✉❛t✐♦♥s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ❛①✐♦♠❛t✐③❡ ❊q(▲❑▲) ♦✈❡r ❊q(❘❑▲)✱ ✐✳❡✳ ❊q(❘❑▲) ∪ {✭✶✮, ✭✷✮, ✭✸✮} ⊢ ❊q(▲❑▲)

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✾ ✴ ✷✶

▼♦r❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡✲ t❤❛♥ r❡❧❛t✐♦♥❛❧ ✈❛❧✐❞✐t✐❡s

❚❤❡ ❈❛②❧❡② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢ ♣r❡s❡r✈❡s ❛❧s♦ ♠❡❡t✿

▲❑▲ ⊆ ❘❑▲✱ ✇❤❡♥❝❡ ❊q(❘❑▲) ⊆ ❊q(▲❑▲)✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ str✐❝t ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦t ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✿ (① ; ②) · ✶ = (① · ✶) ; (② · ✶) ✭✶✮ (① · ✶) ; ② = ② ; (① · ✶) ✭✷✮ (③ + (① · ✶) ; ②)∗ = ③∗ + (① · ✶) ; (③ + ②)∗ ✭✸✮ ❊✳❣✳ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✮ ❡①♣r❡ss❡s t❤❛t λ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✇♦r❞s ❞✐st✐♥❝t ❢r♦♠ λ✳

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✶✿

❊q✉❛t✐♦♥s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ❛①✐♦♠❛t✐③❡ ❊q(▲❑▲) ♦✈❡r ❊q(❘❑▲)✱ ✐✳❡✳ ❊q(❘❑▲) ∪ {✭✶✮, ✭✷✮, ✭✸✮} ⊢ ❊q(▲❑▲)

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✾ ✴ ✷✶

❲✐t❤♦✉t ✐❞❡♥t✐t②

◆♦t❡✿ ❛❧❧ t❤r❡❡ ✏❞✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣✑ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ✉s❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✶✳ ❘❡❝❛❧❧✿ ✵∗ = ✶ ❛♥❞ ①+ := ① ; ①∗✳

■❞❡♥t✐t②✲❢r❡❡ ❑❧❡❡♥❡ ❧❛tt✐❝❡s✿

▲❡t ❘❑▲− ❛♥❞ ▲❑▲− ❞❡♥♦t❡ t❤❡ (+, ;,+ , ✵)✲s✉❜r❡❞✉❝ts ♦❢ ❘❑▲ ❛♥❞ ▲❑▲✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✷✿

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ▲❑▲− ❛♥❞ ❘❑▲− ❝♦✐♥❝✐❞❡✱ ✐✳❡✳ ❊q(▲❑▲−) = ❊q(❘❑▲−) ❆❧s♦✱ ❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ❝❛s❡✱

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s✿

❚❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ▲❑▲− ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ❛s ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✵ ✴ ✷✶

❲✐t❤♦✉t ✐❞❡♥t✐t②

◆♦t❡✿ ❛❧❧ t❤r❡❡ ✏❞✐st✐♥❣✉✐s❤✐♥❣✑ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✶✮✱ ✭✷✮ ❛♥❞ ✭✸✮ ✉s❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✶✳ ❘❡❝❛❧❧✿ ✵∗ = ✶ ❛♥❞ ①+ := ① ; ①∗✳

■❞❡♥t✐t②✲❢r❡❡ ❑❧❡❡♥❡ ❧❛tt✐❝❡s✿

▲❡t ❘❑▲− ❛♥❞ ▲❑▲− ❞❡♥♦t❡ t❤❡ (+, ;,+ , ✵)✲s✉❜r❡❞✉❝ts ♦❢ ❘❑▲ ❛♥❞ ▲❑▲✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

▼❛✐♥ r❡s✉❧t ✷✿

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ♦❢ ▲❑▲− ❛♥❞ ❘❑▲− ❝♦✐♥❝✐❞❡✱ ✐✳❡✳ ❊q(▲❑▲−) = ❊q(❘❑▲−) ❆❧s♦✱ ❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❑❧❡❡♥❡ ❛❧❣❡❜r❛ ❝❛s❡✱

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s✿

❚❤❡ ❢r❡❡ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ▲❑▲− ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ❛s ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✵ ✴ ✷✶

❈♦♥t✐♥✉✐t② ❛♥❞ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠s

❋♦r ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ① ✇❡ ❧❡t Γ(①) = {①}, Γ(✵) = ∅, Γ(✶) = {✶}, Γ(τ + σ) = Γ(τ) ∪ Γ(σ) Γ(τ · σ) = Γ(τ) · Γ(σ) Γ(τ ; σ) = Γ(τ) ; Γ(σ) Γ(τ ∗) =

• {Γ(τ ♥) : ♥ ∈ ω}

Γ(τ +) =

• {Γ(τ ♥) : ✵ < ♥ ∈ ω}

❛♥❞ ✇❡ ❧❡t ●❚ =

τ Γ(τ) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠s✳

❈♦♥t✐♥✉✐t②✿

❋♦r ❡✈❡r② t❡r♠ τ✱ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦r r❡❧❛t✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ A ❛♥❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❦✱ τ A[❦] =

• {σA[❦] : σ ∈ Γ(τ)}

❊✳❣✳ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❘❑▲ | = τ ≤ σ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② τ ′ ∈ Γ(τ)✱ t❤❡r❡ ✐s σ′ ∈ Γ(σ) ✇✐t❤ ❘❑▲ | = τ ′ ≤ σ′✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✶ ✴ ✷✶

❈♦♥t✐♥✉✐t② ❛♥❞ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠s

❋♦r ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ① ✇❡ ❧❡t Γ(①) = {①}, Γ(✵) = ∅, Γ(✶) = {✶}, Γ(τ + σ) = Γ(τ) ∪ Γ(σ) Γ(τ · σ) = Γ(τ) · Γ(σ) Γ(τ ; σ) = Γ(τ) ; Γ(σ) Γ(τ ∗) =

• {Γ(τ ♥) : ♥ ∈ ω}

Γ(τ +) =

• {Γ(τ ♥) : ✵ < ♥ ∈ ω}

❛♥❞ ✇❡ ❧❡t ●❚ =

τ Γ(τ) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠s✳

❈♦♥t✐♥✉✐t②✿

❋♦r ❡✈❡r② t❡r♠ τ✱ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦r r❡❧❛t✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ A ❛♥❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❦✱ τ A[❦] =

• {σA[❦] : σ ∈ Γ(τ)}

❊✳❣✳ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❘❑▲ | = τ ≤ σ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② τ ′ ∈ Γ(τ)✱ t❤❡r❡ ✐s σ′ ∈ Γ(σ) ✇✐t❤ ❘❑▲ | = τ ′ ≤ σ′✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✶ ✴ ✷✶

❚❡r♠ ❣r❛♣❤s

❚❡r♠ ❣r❛♣❤s ❛s s♣❡❝✐❛❧ ✷✲♣♦✐♥t❡❞✱ ❧❛❜❡❧❧❡❞ ❣r❛♣❤s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠s✳ ▲❡t ●(✵) = ∅✱ ❢♦r ✈❛r✐❛❜❧❡ ①✱ ✇❡ ❧❡t

• (①) = ({ι①, ♦①}, {(ι①, ①, ♦①)}, ι①, ♦①)

✇❤❡r❡ ι① = ♦①✱ ❛♥❞

• (✶) = ({ι✶}, ∅, ι✶, ι✶)

✐✳❡✳ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ι✶ = ♦✶✳ ❋♦r t❡r♠s σ ❛♥❞ τ✱ ✇❡ s❡t

• (σ ; τ) = ●(σ) ; ●(τ)

❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ❛♥❞

• (σ · τ) = ●(σ) · ●(τ)

❛❧♠♦st ❞✐s❥♦✐♥t ✉♥✐♦♥

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✷ ✴ ✷✶

• r❛♣❤ ❡①❛♠♣❧❡✿ ●((❛ ; ❜) · (❝ ; ❞))

ι❛

❛

• ♦❛
• ι❜

❜

• ♦❜

ι❛;❜

❛

✉

❜ ♦❛;❜

ι❛;❜

❛

• ✉

❜

• ♦❛;❜
• ✉

❜

• ι(❛;❜)·(❝;❞)

❛

• ❝
• ♦(❛;❜)·(❝;❞)

✈

❞

• ι❝;❞

❝

• ✈

❞

• ♦❝;❞
• ❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮

❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✸ ✴ ✷✶

• r❛♣❤s ❛♥❞ ♠❛♣s

▼❛♣ ▲❡♠♠❛ ✶ ✭❆♥❞ré❦❛✕❇r❡❞✐❦❤✐♥✮✿

▲❡t τ ❜❡ ❛ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠✱ ❯ ❜❡ ❛ s❡t ❛♥❞ ❦ ❜❡ ❛♥ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ τ ✐♥ ℘(❯ × ❯)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② (✉, ✈) ∈ ❯ × ❯✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳

✶ (✉, ✈) ∈ τ[❦](= τ[❦]℘(❯×❯))✳ ✷ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♠❛♣ ❤τ : ♥♦❞❡s(●(τ)) → ❯ s✉❝❤ t❤❛t ❤τ(ιτ) = ✉✱

❤τ(♦τ) = ✈✱ ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❡❞❣❡ (✐, ①, ❥) ∈ ❡❞❣❡s(●(τ))✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (❤τ(✐), ❤τ(❥)) ∈ ❦(①)✳

❈♦r♦❧❧❛r②✿

❘❑▲ | = τ ≤ σ ✐✛ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r❛♣❤ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ❣ : ●(σ) → ●(τ)✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✹ ✴ ✷✶

❲♦r❞s ❛♥❞ ♠❛♣s

▼❛♣ ▲❡♠♠❛ ✷✿

▲❡t τ ❜❡ ❛ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠✱ Σ ❜❡ ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ❛♥❞ ❦ ❜❡ ❛♥ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ τ ✐♥ ℘(Σ∗)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② ✇ = ✇✶ . . . ✇♥ ∈ Σ∗✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳

✶ ✇ ∈ τ[❦]✳ ✷ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣

❢τ : ♥♦❞❡s(●(τ)) → ♥ + ✶ = {✵, ✶, . . . , ♥} s✉❝❤ t❤❛t ❢τ(ιτ) = ✵✱ ❢τ(♦τ) = ♥✱ ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❡❞❣❡ (✐, ①, ❥) ∈ ❡❞❣❡s(●(τ))✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇(❢τ(✐), ❢τ(❥)) ∈ ❦(①) ✇❤❡r❡ ✇(♣, q) = ✇♣ . . . ✇q✳ ❙❛②✱ ❛❜ ∈ ①[❦] ❛♥❞ ❝❞ ∈ ②[❦] s♦ t❤❛t ❛❜❝❞ ∈ ① ; ②[❦]✿ ι①;②

①

✉

②

• ♦①;②
• ✵

❛

✶

❜

✷

❝

✸

❞

✹

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✺ ✴ ✷✶

❲♦r❞s ❛♥❞ ♠❛♣s

▼❛♣ ▲❡♠♠❛ ✷✿

▲❡t τ ❜❡ ❛ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠✱ Σ ❜❡ ❛♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ❛♥❞ ❦ ❜❡ ❛♥ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ τ ✐♥ ℘(Σ∗)✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② ✇ = ✇✶ . . . ✇♥ ∈ Σ∗✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳

✶ ✇ ∈ τ[❦]✳ ✷ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣

❢τ : ♥♦❞❡s(●(τ)) → ♥ + ✶ = {✵, ✶, . . . , ♥} s✉❝❤ t❤❛t ❢τ(ιτ) = ✵✱ ❢τ(♦τ) = ♥✱ ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❡❞❣❡ (✐, ①, ❥) ∈ ❡❞❣❡s(●(τ))✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇(❢τ(✐), ❢τ(❥)) ∈ ❦(①) ✇❤❡r❡ ✇(♣, q) = ✇♣ . . . ✇q✳ ❙❛②✱ ❛❜ ∈ ①[❦] ❛♥❞ ❝❞ ∈ ②[❦] s♦ t❤❛t ❛❜❝❞ ∈ ① ; ②[❦]✿ ι①;②

①

✉

②

• ♦①;②
• ✵

❛

✶

❜

✷

❝

✸

❞

✹

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✺ ✴ ✷✶

❚❡r♠ ✇♦r❞s

❋♦r ❡✈❡r② ❣r♦✉♥❞ t❡r♠ τ✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ t❡r♠ ✇♦r❞ ✇τ✿ ✇① = ℓ① ✇✶ = λ ✇τ;σ = ✇τ✇σ ✐❢ ✇τ = ✉✶ . . . ✉♥ ❛♥❞ ✇σ = ✈✶ . . . ✈♥ ✭❜② ❛❞❞✐♥❣ ❡①tr❛ ❧❡tt❡rs t♦ t❤❡ s❤♦rt❡r ♦♥❡✮✱ t❤❡♥ ✇τ·σ = ✉✶✈✶✉✷✈✷ . . . ✉♥✈♥✳ ❊✳❣✳ ✇❛ = ℓ❛✱ ✇❜ = ℓ❜✱ ✇❝ = ℓ❝✱ ✇❞ = ℓ❞✱ ✇❤❡♥❝❡ ✇❛;❜ = ℓ❛ℓ❜✱ ✇❝;❞ = ℓ❝ℓ❞ ❛♥❞ ✇(❛;❜)·(❝;❞) = ℓ❛ℓ❝ℓ❜ℓ❞

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✻ ✴ ✷✶

▼❛♣s ❛♥❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s

▼❛♣✿

❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ ❢τ : ♥♦❞❡s(●(τ)) → ❧❡♥❣t❤(✇τ) + ✶ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✐❢ τ ✐s ✐❞❡♥t✐t②✲❢r❡❡✱ t❤❡♥ ❢τ ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡✳

❱❛❧✉❛t✐♦♥✿

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❦τ ✐♥t♦ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛ Aτ ♦✈❡r t❤❡ ❛❧♣❤❛❜❡t ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❡tt❡rs ♦❢ ✇τ s✉❝❤ t❤❛t ✇τ ∈ τ Aτ [❦τ]

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✼ ✴ ✷✶

▼❛♣s ❛♥❞ ✈❛❧✉❛t✐♦♥s

▼❛♣✿

❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ ❢τ : ♥♦❞❡s(●(τ)) → ❧❡♥❣t❤(✇τ) + ✶ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✐❢ τ ✐s ✐❞❡♥t✐t②✲❢r❡❡✱ t❤❡♥ ❢τ ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡✳

❱❛❧✉❛t✐♦♥✿

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❦τ ✐♥t♦ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛❧❣❡❜r❛ Aτ ♦✈❡r t❤❡ ❛❧♣❤❛❜❡t ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❧❡tt❡rs ♦❢ ✇τ s✉❝❤ t❤❛t ✇τ ∈ τ Aτ [❦τ]

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✼ ✴ ✷✶

❊①❛♠♣❧❡ ❢♦r τ = (❛ ; ❜) · (❝ ; ❞)

❚❤❡ ♠❛♣ ❢τ✿ ✉

❜

• ιτ
• ❛
• ❝
• ♦τ
• ✈

❞

• ✵

ℓ❛

✶

ℓ❝

✷

ℓ❜

✸

ℓ❞

✹ ❚❤❡ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❦τ✿ ❢τ(ιτ)

❛

• ❝
• ℓ❛

❢τ(✉)

❜

• ℓ❝

❢τ(✈)

❞

• ℓ❜

✸

ℓ❞ ❢τ(♦τ)

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✽ ✴ ✷✶

Pr♦♦❢ ♦❢ ❊q(▲❑▲−) ⊆ ❊q(❘❑▲−)

▲❡t ▲❑▲− | = τ ≤ σ✳ ❇② ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t τ ✐s ❛ ❣r♦✉♥❞ t❡r♠✳ ❇② t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ✇τ✱ ❦τ ❛♥❞ Aτ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇τ ∈ τ Aτ [❦τ]✳ ❍❡♥❝❡ ✇τ ∈ σAτ [❦τ] ❜② Aτ ∈ ▲❑▲−✳ ❇② ▼❛♣ ▲❡♠♠❛ ✷ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ ♠❛♣ ❢σ : ●(σ) → ❧❡♥❣t❤(✇τ) + ✶✳ ❆❧s♦ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦r❞❡r✲♣r❡s❡r✈✐♥❣✱ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠❛♣ ❢τ : ●(τ) → ❧❡♥❣t❤(✇τ) + ✶✳ ❚❤❡♥ ❤ = ❢σ ◦ ❢ −✶

τ

: ●(σ) → ●(τ) ✐s t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ t❤❛t ✇✐t♥❡ss❡s ❘❑▲− | = τ ≤ σ✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ✜♥✐t❡ ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❊q(▲❑▲) ♦✈❡r ❊q(❘❑▲) ❣♦❡s ❛❧♦♥❣ s✐♠✐❧❛r ❧✐♥❡s✱ ❜✉t ✐t ✐s ♠♦r❡ t❡❝❤♥✐❝❛❧✳

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✶✾ ✴ ✷✶

❋✐♥✐t❡ ✭q✉❛s✐✲✮❛①✐♦♠❛t✐③❛❜✐❧✐t②❄

◗✉❡st✐♦♥✿

❆r❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ❊q(▲❑▲) ❛♥❞ ❊q(❘❑▲) ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡❄

❚❛s❦✿

❋✐♥❞ ❛ ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡ q✉❛s✐✲✈❛r✐❡t② t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ s❛♠❡ ✈❛r✐❡t② ❛s ❘❑▲✳ ▲❡t ❘❑▲∗ ❛♥❞ ▲❑▲∗ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ (·, +, ;, ∗)✲r❡❞✉❝ts ♦❢ ❘❑▲ ❛♥❞ ▲❑▲✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

◗✉❡st✐♦♥✿

■s ❊q(▲❑▲∗) ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡ ♦✈❡r ❊q(❘❑▲∗)❄

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✷✵ ✴ ✷✶

❋✐♥✐t❡ ✭q✉❛s✐✲✮❛①✐♦♠❛t✐③❛❜✐❧✐t②❄

◗✉❡st✐♦♥✿

❆r❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r✐❡s ❊q(▲❑▲) ❛♥❞ ❊q(❘❑▲) ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡❄

❚❛s❦✿

❋✐♥❞ ❛ ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡ q✉❛s✐✲✈❛r✐❡t② t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ s❛♠❡ ✈❛r✐❡t② ❛s ❘❑▲✳ ▲❡t ❘❑▲∗ ❛♥❞ ▲❑▲∗ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ (·, +, ;, ∗)✲r❡❞✉❝ts ♦❢ ❘❑▲ ❛♥❞ ▲❑▲✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

◗✉❡st✐♦♥✿

■s ❊q(▲❑▲∗) ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡ ♦✈❡r ❊q(❘❑▲∗)❄

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✷✵ ✴ ✷✶

❈♦♥✈❡rs❡ ❛♥❞ ❉♦♠❛✐♥

▲❡t ❘❑❆⌣ ❞❡♥♦t❡ ❘❑❆ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✇✐t❤ ✐♥✈❡rs❡ ✭✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s r❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡rs❡✮✳

➱s✐❦ ❡t ❛❧✳✿

❊q(❘❑❆⌣) ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✱ ❜✉t ✐t ✐s ✜♥✐t❡❧② q✉❛s✐✲❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳ ❉♦ t❤❡s❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ❊q(❘❑▲⌣)❄ ❯s✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡ ❛♥❞ ♠❡❡t t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ r❛♥❣❡ ❛r❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡✿ ❉♦♠(①) := ✶ · (① ; ①⌣) ❛♥❞ ❘❛♥(①) := ✶ · (①⌣ ; ①) ▲❡t ❘❑❆❉✱❘ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❘❑❆ ✇✐t❤ ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ r❛♥❣❡✳

◗✉❡st✐♦♥✿

■s ❊q(❘❑❆❉✱❘) ✜♥✐t❡❧② ✭q✉❛s✐✲✮❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡❄

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✷✶ ✴ ✷✶

❈♦♥✈❡rs❡ ❛♥❞ ❉♦♠❛✐♥

▲❡t ❘❑❆⌣ ❞❡♥♦t❡ ❘❑❆ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✇✐t❤ ✐♥✈❡rs❡ ✭✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s r❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡rs❡✮✳

➱s✐❦ ❡t ❛❧✳✿

❊q(❘❑❆⌣) ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡❧② ❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✱ ❜✉t ✐t ✐s ✜♥✐t❡❧② q✉❛s✐✲❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡✳ ❉♦ t❤❡s❡ ❡①t❡♥❞ t♦ ❊q(❘❑▲⌣)❄ ❯s✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡ ❛♥❞ ♠❡❡t t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ r❛♥❣❡ ❛r❡ ❞❡✜♥❛❜❧❡✿ ❉♦♠(①) := ✶ · (① ; ①⌣) ❛♥❞ ❘❛♥(①) := ✶ · (①⌣ ; ①) ▲❡t ❘❑❆❉✱❘ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❘❑❆ ✇✐t❤ ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ r❛♥❣❡✳

◗✉❡st✐♦♥✿

■s ❊q(❘❑❆❉✱❘) ✜♥✐t❡❧② ✭q✉❛s✐✲✮❛①✐♦♠❛t✐③❛❜❧❡❄

❆♥❞ré❦❛✕▼✐❦✉❧ás✕◆é♠❡t✐ ✭✮ ❑❧❡❡♥❡ ▲❛tt✐❝❡s ❚❆❈▲ ✷✵✶✶✱ ✷✾✴✵✼✴✷✵✶✶ ✷✶ ✴ ✷✶