qr ststtr stts - - PowerPoint PPT Presentation

◆♦♥✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛❧♠♦st✲st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡s ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r ❣❛♣♣❡❞ ♥♦♥✲✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s

• ✐♦✈❛♥♥❛ ▼❛r❝❡❧❧✐

❥♦✐♥t ✇♦r❦s ✇✐t❤ ❉✳ ▼♦♥❛❝♦ ✭❘♦♠❛ ❚r❡✱ ❘♦♠❛✮✱ ●✳ P❛♥❛t✐ ✭▲❛ ❙❛♣✐❡♥③❛✱ ❘♦♠❛✮✱ ❛♥❞ ❙✳ ❚❡✉❢❡❧ ✭❊❜❡r❤❛r❞✲❑❛r❧s✱ ❚ü❜✐♥❣❡♥✮ ❬▼❛▼♦P❚❪✿ s♦♦♥ ♦♥ ❛r❳✐✈ ❛♥❞ ❬▼❛❚❪✿ ✐♥ ♣r♦❣r❡ss ❯♥✐✈❡rs✐tá ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❘♦♠❛ ❚r❡✱ ✶✾t❤ ❙❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✶✾

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❇❛rr② ❙✐♠♦♥✿ ❋✐❢t❡❡♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s ✭✶✾✽✹✮ ✹✳ ❚r❛♥s♣♦rt ❚❤❡♦r②✿ ❆t s♦♠❡ ❧❡✈❡❧✱ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞✐✣❝✉❧t② ♦❢ tr❛♥s♣♦rt t❤❡♦r② ✐s t❤❛t ✐t ✐s ❛ st❡❛❞② st❛t❡ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ♦❢ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ✐s ✉♥❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ ❛♥❞ ♦♥❡ ❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ ❛♥② ✇❛② ♦❢ ♣r❡❝✐s❡❧② ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ ❛♥❞ t❤❡r❡❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤✐♥❣s ✐♥ ✐t✳ ✳ ✳ ✳ Pr♦❜❧❡♠ ✹ ❇ ✭❑✉❜♦ ❋♦r♠✉❧❛✮✿ ❊✐t❤❡r ❥✉st✐❢② ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛ ✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ♠♦❞❡❧✱ ♦r ❡❧s❡ ✜♥❞ ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②✳

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ◗✶✮ ❍♦✇ ❞♦❡s ❛ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ H✵ t❤❛t ✐s ✐♥✐t✐❛❧❧② ✐♥ ❛♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ st❛t❡ Π✵ r❡s♣♦♥❞ t♦ ❛ s♠❛❧❧ st❛t✐❝ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ εV ❄ (H✵,Π✵,εV )

− → ρε

❤❡r❡ ρε ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ◗✶✮ (H✵,Π✵,εV )

− → ρε

❤❡r❡ ρε ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ◗✶✮ (H✵,Π✵,εV )

− → ρε

❤❡r❡ ρε ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥ ◗✷✮ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ A ❝❛✉s❡❞ ❜② t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ εV ❛t t❤❡ ❧❡❛❞✐♥❣ ♦r❞❡r ✐♥ ✐ts str❡♥❣t❤ ε ≪ ✶❄ (H✵,Π✵,εV )

− →

ReT (Aρε)−ReT (AΠ✵) =: ε·LRA +o(ε) ❤❡r❡ T (·) ❞❡♥♦t❡s ❛ tr❛❝❡✲❧✐❦❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ LRA ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢♦r A

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ◗✶✮ (H✵,Π✵,εV )

− → ρε

❤❡r❡ ρε ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥ ◗✷✮ (H✵,Π✵,εV )

− →

ReTr(Aρε)−ReTr(AΠ✵) =: ε·GA +o(ε) ❤❡r❡ A ✐s ❛♥ ✐♥t❡♥s✐✈❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ Tr(·) ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ tr❛❝❡ ❛♥❞ GA ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❝♦♥❞✉❝t❛♥❝❡ ❢♦r A

▲✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥s✇❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ◗✶✮ (H✵,Π✵,εV )

− → ρε

❤❡r❡ ρε ❞❡♥♦t❡s t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥ ◗✷✮ (H✵,Π✵,εV )

− →

Reτ(Aρε)−Reτ(AΠ✵) =: ε·σA +o(ε) ❤❡r❡ A ✐s ❛♥ ❡①t❡♥s✐✈❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ τ(·) ✐s t❤❡ tr❛❝❡ ♣❡r ✉♥✐t ✈♦❧✉♠❡ ❛♥❞ σA ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t② ❢♦r A

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r♦❝❡ss

▲❡t Hε(t) := H✵ +εf (t)V , t ∈ I✱ ✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ ε ≪ ✶✳ t

−✶

✶ f ▲❡t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❈❛✉❝❤② ♣r♦❜❧❡♠

✵ ✵ ✵

✶ ❚❤❡♥✱ ✵ ♦r ❢♦r ❛♥② ✵ ✐s ✏t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥✑✳

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r♦❝❡ss

▲❡t Hε(ηt) := H✵ +εf (ηt)V ,

ηt ∈ I✱

✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧✱ ε ≪ ✶ ❛♥❞ η ≪ ✶✳ t

−✶

✶ f ▲❡t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❈❛✉❝❤② ♣r♦❜❧❡♠

✵ ✵ ✵

✶ ❚❤❡♥✱ ✵ ♦r ❢♦r ❛♥② ✵ ✐s ✏t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥✑✳

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♣r♦❝❡ss

▲❡t Hε(ηt) := H✵ +εf (ηt)V ,

ηt ∈ I✱

✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧✱ ε ≪ ✶ ❛♥❞ η ≪ ✶✳ t

−✶

✶ f ▲❡t ρ(t) t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❈❛✉❝❤② ♣r♦❜❧❡♠

• i d

dt ρ(t) = [Hε(ηt),ρ(t)]

ρ(t✵) = Π✵ ∀t✵ ≤ −✶/η.

❚❤❡♥✱ ρ(✵) ♦r ρ(t) ❢♦r ❛♥② t ≥ ✵ ✐s ✏t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r t❤❡ st❛t❡ ρε ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛❢t❡r t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ t✉r♥❡❞ ♦♥✑✳

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

❇② t❤❡ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❈❛❧❝✉❧✉s✱ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s t❤❛t

ρε := ρ(✵) ρε = Π✵ −iε ✵

−∞

dt f (ηt)eitH✵[V ,Π✵]e−itH✵ +Rε,η,f ,

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

❇② t❤❡ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❈❛❧❝✉❧✉s✱ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s t❤❛t

ρε := ρ(✵) ρε = Π✵ −iε ✵

−∞

dt f (ηt)eitH✵[V ,Π✵]e−itH✵ +Rε,η,f ,

❛♥❞ t❤✉s

τ(Aρε) = τ(AΠ✵)+ε· ση,f +τ(ARε,η,f )

✇✐t❤

• ση,f := −i

✵

−∞

dt f (ηt)τ(AeitH✵[V ,Π✵]e−itH✵).

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

❇② t❤❡ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❈❛❧❝✉❧✉s✱ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s t❤❛t

ρε := ρ(✵) ρε = Π✵ −iε ✵

−∞

dt f (ηt)eitH✵[V ,Π✵]e−itH✵ +Rε,η,f ,

❛♥❞ t❤✉s

τ(Aρε) = τ(AΠ✵)+ε· ση,f +τ(ARε,η,f )

✇✐t❤

• ση,f := −i

✵

−∞

dt f (ηt)τ(AeitH✵[V ,Π✵]e−itH✵).

◆♦✇✱ ❝❤♦♦s✐♥❣ f = exp ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛❞✐❛❜❛t✐❝ ❧✐♠✐t η → ✵+✱ ♦♥❡ ❣❡ts ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

σKubo

A

:= lim

η→✵+

ση,exp = − lim

η→✵+ i

✵

−∞

dt eηtτ(AeitH✵[V ,Π✵]e−itH✵).

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

τ(Aρε) = τ(AΠ✵)+ε· ση,f +τ(ARε,η,f )

✇✐t❤

• ση,f := i

✵

−∞

dt f (ηt)τ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

◆♦✇✱ ❝❤♦♦s✐♥❣ f = exp ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛❞✐❛❜❛t✐❝ ❧✐♠✐t η → ✵+✱ ♦♥❡ ❣❡ts ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

σKubo

A

:= lim

η→✵+

ση,exp = lim

η→✵+ i

✵

−∞

dt eηtτ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

✏❏✉st✐❢②✐♥❣ ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛✑ ❤❛s t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛♥✐♥❣s✿ ▼✶) ❙❤♦✇ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,exp

▼✷) ❙❤♦✇ t❤❛t τ(ARε,η,f ) = o(ε) ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ η ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,f = σKubo

A

❢♦r ❛♥② s✇✐t❝❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ f

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

τ(Aρε) = τ(AΠ✵)+ε· ση,f +τ(ARε,η,f )

✇✐t❤

• ση,f := i

✵

−∞

dt f (ηt)τ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

◆♦✇✱ ❝❤♦♦s✐♥❣ f = exp ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛❞✐❛❜❛t✐❝ ❧✐♠✐t η → ✵+✱ ♦♥❡ ❣❡ts ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

σKubo

A

:= lim

η→✵+

ση,exp = lim

η→✵+ i

✵

−∞

dt eηtτ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

✏❏✉st✐❢②✐♥❣ ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛✑ ❤❛s t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛♥✐♥❣s✿ ▼✶) ❙❤♦✇ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,exp ✭❡✳ ❣✳

❬❇♦✉❝❧❡t✱ ●❡r♠✐♥❡t✱ ❑❧❡✐♥✱ ❙❝❤❡♥❦❡r ❏❋❆ ✬✵✺❪✱ ❬❉❡ ◆✐tt✐s✱ ▲❡✐♥ ❙♣r✐♥❣❡r ❇r✐❡❢s ✬✶✼❪✮✳ ▼✷) ❙❤♦✇ t❤❛t τ(ARε,η,f ) = o(ε) ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ η ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,f = σKubo

A

❢♦r ❛♥② s✇✐t❝❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ f

❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛

τ(Aρε) = τ(AΠ✵)+ε· ση,f +τ(ARε,η,f )

✇✐t❤

• ση,f := i

✵

−∞

dt f (ηt)τ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

◆♦✇✱ ❝❤♦♦s✐♥❣ f = exp ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛❞✐❛❜❛t✐❝ ❧✐♠✐t η → ✵+✱ ♦♥❡ ❣❡ts ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

σKubo

A

:= lim

η→✵+

ση,exp = lim

η→✵+ i

✵

−∞

dt eηtτ(AeitH✵[Π✵,V ]e−itH✵).

✏❏✉st✐❢②✐♥❣ ❑✉❜♦✬s ❢♦r♠✉❧❛✑ ❤❛s t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛♥✐♥❣s✿ ▼✶) ❙❤♦✇ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,exp

▼✷) ❙❤♦✇ t❤❛t τ(ARε,η,f ) = o(ε) ✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ η ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ limη→✵+

ση,f = σKubo

A

❢♦r ❛♥② s✇✐t❝❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ f

◆❊❆❙❙ ♠❡t❤♦❞

❈✐r❝✉♠♥❛✈✐❣❛t✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡✲❛❞✐❛❜❛t✐❝ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✱ ♦✉r ♠❛✐♥ ❣♦❛❧ ✐s

• ▼✷) ❈♦♥str✉❝t t❤❡ ♥♦♥✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛❧♠♦st✲st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡

✭◆❊❆❙❙✮ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

• τ(Aρ(t))−τ(AΠε

n)

• ≤ C εn+✶ +ηn+✶

ηd+✶

• ✶+|t|d+✶

, ∀t ≥ ✵,

❢♦r ✏s✉✐t❛❜❧❡✑ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ A

◆❊❆❙❙ ♠❡t❤♦❞

❈✐r❝✉♠♥❛✈✐❣❛t✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡✲❛❞✐❛❜❛t✐❝ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✱ ♦✉r ♠❛✐♥ ❣♦❛❧ ✐s

• ▼✷) ❈♦♥str✉❝t t❤❡ ♥♦♥✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛❧♠♦st✲st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡

✭◆❊❆❙❙✮ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

• τ(Aρ(t))−τ(AΠε

n)

• ≤ C εn+✶ +ηn+✶

ηd+✶

• ✶+|t|d+✶

, ∀t ≥ ✵,

❢♦r ✏s✉✐t❛❜❧❡✑ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ A A ✐s t❤❡ ✭s♣✐♥✮ ❝✉rr❡♥t ♦♣❡r❛t♦r✳

◆❊❆❙❙ ♠❡t❤♦❞

❈✐r❝✉♠♥❛✈✐❣❛t✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡✲❛❞✐❛❜❛t✐❝ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✱ ♦✉r ♠❛✐♥ ❣♦❛❧ ✐s

• ▼✷) ❈♦♥str✉❝t t❤❡ ♥♦♥✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛❧♠♦st✲st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡

✭◆❊❆❙❙✮ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

• τ(Aρ(t))−τ(AΠε

n)

• ≤ C εn+✶ +ηn+✶

ηd+✶

• ✶+|t|d+✶

, ∀t ≥ ✵,

❢♦r ✏s✉✐t❛❜❧❡✑ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ A A ✐s t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✭❢♦r ❧♦❝❛❧ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✱ ✐t ✐s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡tt✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ♦♥ ❧❛tt✐❝❡s ❬❚❡✉❢❡❧ ❈▼P ✬✶✾❪✳ ❆ s✐♠✐❧❛r st❛t❡♠❡♥t ✐s s❤♦✇♥ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ s♣✐♥ s②st❡♠s ✐♥ ❬❇❛❝❤♠❛♥♥✱ ❉❡ ❘♦❡❝❦✱ ❋r❛❛s ❈▼P✬✶✽❪ ❢♦r f = exp✱ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❞✉❝t❛♥❝❡ ❛♥❞

ε = η ✐♥ ❬❊❧❣❛rt✱ ❙❝❤❧❡✐♥ ❈P❆▼ ✬✵✹❪✮✳

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇

(❍✷) = ⇒ ❚❤❡ ❋❡r♠✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Π✵ =

i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇

(❍✷) = ⇒ ❚❤❡ ❋❡r♠✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Π✵ =

i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇

(❍✷) = ⇒ ❚❤❡ ❋❡r♠✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Π✵ =

i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇

(❍✷) = ⇒ ❚❤❡ ❋❡r♠✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Π✵ =

i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇

(❍✷) = ⇒ ❚❤❡ ❋❡r♠✐ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Π✵ =

i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧✿ H := L✷(Rd)

❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍) ♦♥ t❤❡ ✉♥♣❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

(❍✶) H✵ := ✶

✷(−i∇−❆(x))✷ +V (x) ♦♥ C ∞ c (Rd)✱

✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ V s❛t✐s❢② t❤❡ ▲❡✐♥❢❡❧❞❡r✕❙✐♠❛❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (❍✷) H✵ ❛❞♠✐ts ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ G

Spectrum(H✵) µ

❘❡♠❛r❦

(❍✶) = ⇒ H✵ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♥ C ∞

c (Rd) ❛♥❞

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i ✷π

• Cµ dλ(H✵ −λId)−✶✱

µ ∈ G H✵ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡s✉❧ts ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ♦♥❡s ❢♦r t❤❡

❝♦♥t✐♥✉✉♠

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

P❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

❲❡ ✇❛♥t t♦ ♠♦❞❡❧ ❛ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t s♣❛t✐❛❧❧② ✉♥✐❢♦r♠ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞ ❊(t) ♦❢ s♠❛❧❧ ✐♥t❡♥s✐t②✱ ✐♥❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ j✲t❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ s✇✐t❝❤❡❞ ♦♥ s❧♦✇❧② ✐♥ t✐♠❡ ε,η ∈ (✵,✶] Hε(ηt) := H✵ −εf (ηt)Xj,

ηt ∈ I✱

✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧✳ ✐s ♥♦t ❣❛♣♣❡❞ ❢♦r ✵✳

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

P❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

❲❡ ✇❛♥t t♦ ♠♦❞❡❧ ❛ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t s♣❛t✐❛❧❧② ✉♥✐❢♦r♠ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞ ❊(t) ♦❢ s♠❛❧❧ ✐♥t❡♥s✐t②✱ ✐♥❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ j✲t❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ s✇✐t❝❤❡❞ ♦♥ s❧♦✇❧② ✐♥ t✐♠❡ ε,η ∈ (✵,✶] Hε(ηt) := H✵ −εf (ηt)Xj,

ηt ∈ I✱

✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧✳ ✐s ♥♦t ❣❛♣♣❡❞ ❢♦r ✵✳

❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r q✉❛♥t✉♠ tr❛♥s♣♦rt

P❡rt✉r❜❡❞ ♠♦❞❡❧

❲❡ ✇❛♥t t♦ ♠♦❞❡❧ ❛ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t s♣❛t✐❛❧❧② ✉♥✐❢♦r♠ ❡❧❡❝tr✐❝ ✜❡❧❞ ❊(t) ♦❢ s♠❛❧❧ ✐♥t❡♥s✐t②✱ ✐♥❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ j✲t❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ s✇✐t❝❤❡❞ ♦♥ s❧♦✇❧② ✐♥ t✐♠❡ ε,η ∈ (✵,✶] Hε(ηt) := H✵ −εf (ηt)Xj,

ηt ∈ I✱

✇❤❡r❡ [−✶,✵] ⊂ I ⊂ R ✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥t❡r✈❛❧✳

• Hε(ηt) ✐s ♥♦t ❣❛♣♣❡❞ ❢♦r ηt ≥ ✵✳

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❊❆❙❙

❲❡ r❡q✉✐r❡ t✇♦ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❊❆❙❙

❲❡ r❡q✉✐r❡ t✇♦ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

✄ Πε

n = eiεSε

nΠ✵e−iεSε n ❢♦r s♦♠❡ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦r Sε

n

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❊❆❙❙

❲❡ r❡q✉✐r❡ t✇♦ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ Πε

n s✉❝❤ t❤❛t

✄ Πε

n = eiεSε

nΠ✵e−iεSε n ❢♦r s♦♠❡ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦r Sε

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✄ Πε

n ❛❧♠♦st✲❝♦♠♠✉t❡s ✇✐t❤ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ♣❡rt✉r❜❡❞

❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ Hε := H✵ −εXj✱ ♥❛♠❡❧② [Hε,Πε

n] = O(εn+✶)

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❋♦r α > ✵✱ Fα(x) :=

e−α|x|

(✶+|x|)d+✶ ❢♦r ❡✈❡r② x ∈ Rd

Bα := A ∈ L (Hc,H ) ✿ ∃ CA > ✵ |

• χxAχy
• ≤ CAFα(x −y)

∀x,y ∈ Zd

✵

✵

✵

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❋♦r α > ✵✱ Fα(x) :=

e−α|x|

(✶+|x|)d+✶ ❢♦r ❡✈❡r② x ∈ Rd

Bα := A ∈ L (Hc,H ) ✿ ∃ CA > ✵ |

• χxAχy
• ≤ CAFα(x −y)

∀x,y ∈ Zd

✵

✵

✵

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❋♦r α > ✵✱ Fα(x) :=

e−α|x|

(✶+|x|)d+✶ ❢♦r ❡✈❡r② x ∈ Rd

Bα := A ∈ L (Hc,H ) ✿ ∃ CA > ✵ |

• χxAχy
• ≤ CAFα(x −y)

∀x,y ∈ Zd

• Bα :=

A ∈Bα ∩L (H ,D(H✵)): ∃ CA > ✵ |

• χxAχy
• L (H ,D(H✵)) ≤ CAFα(x −y) ∀x,y ∈ Zd

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❊❆❙❙

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t Hε := H✵ −εXj✱ ✇❤❡r❡ H✵ ❡♥❥♦②s ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✭❍✮✳ ❚❤❡♥ ∃ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {Aj}j∈N ∈

Bα✶✱ α✶ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ∀n ∈ N t❤❡ ◆❊❆❙❙ ✐s

✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s

Πε

n = eiεSε

nΠ✵e−iεSε n =

n

• j=✵

εjΠj +εn+✶Πε

r ∈

Bα✷ ,

✇❤❡r❡ α✷ > ✵ ❛♥❞ Sε

n = n j=✶ εj−✶Aj,

[Hε,Πε

n] = εn+✶Rn,

Rn ∈ Bα✸, α✸ > ✵.

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❊❆❙❙

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t Hε := H✵ −εXj✱ ✇❤❡r❡ H✵ ❡♥❥♦②s ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✭❍✮✳ ❚❤❡♥ ∃ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {Aj}j∈N ∈

Bα✶✱ α✶ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t ∀n ∈ N t❤❡ ◆❊❆❙❙ ✐s

✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s

Πε

n = eiεSε

nΠ✵e−iεSε n =

n

• j=✵

εjΠj +εn+✶Πε

r ∈

Bα✷ ,

✇❤❡r❡ α✷ > ✵ ❛♥❞ Sε

n = n j=✶ εj−✶Aj,

[Hε,Πε

n] = εn+✶Rn,

Rn ∈ Bα✸, α✸ > ✵.

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✱ ✇❤❡r❡ S = IdL✷(Rd) ⊗s ✐s ❛ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦r✳

s = Id − → ❝❤❛r❣❡ ❝✉rr❡♥t ✭◗❍❊✮❀ s = sz = σz/✷ − → s♣✐♥ ❝✉rr❡♥t ✭◗❙❍❊✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❬❙❤✐✱

❩❤❛♥❣✱ ❳✐❛♦✱ ◆✐✉ P❘▲ ❵✵✻❪ ❛♥❞ ❛❞♦♣t❡❞ ✐♥ ❬▼✳✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❛✉❜❡r ❆❍P ❵✶✾❪✳

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✱ ✇❤❡r❡ S = IdL✷(Rd) ⊗s ✐s ❛ s❡❧❢✲❛❞❥♦✐♥t ♦♣❡r❛t♦r✳

s = Id − → ❝❤❛r❣❡ ❝✉rr❡♥t ✭◗❍❊✮❀ s = sz = σz/✷ − → s♣✐♥ ❝✉rr❡♥t ✭◗❙❍❊✮ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❬❙❤✐✱

❩❤❛♥❣✱ ❳✐❛♦✱ ◆✐✉ P❘▲ ❵✵✻❪ ❛♥❞ ❛❞♦♣t❡❞ ✐♥ ❬▼✳✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❛✉❜❡r ❆❍P ❵✶✾❪✳

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✳ ❚❤❡♥

σε

ij = iτ

[SXi,Π✵],[Xj,Π✵]

• Π✵
• =:❈❤❡r♥✲❧✐❦❡ t❡r♠

+

Reτ

• i[H✵,(SXi)D]Π✶ +i[H✵,(SXi)ODΠ✶]+i

[SXi,Π✵],Π✵[Π✵,Xj]

• =:❜❡②♦♥❞✲❈❤❡r♥✲❧✐❦❡ t❡r♠s

+O(ε).

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✐❢ [H✵,S] = ✵ t❤❡♥

σε

ij = iτ

• SΠ✵

[Xi,Π✵],[Xj,Π✵]

• +O(ε)

= i

(✷π)d

• Bd dk TrHf
• S Π✵(k)
• ∂kj Π✵(k),∂ki Π✵(k)
• +O(ε).

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✐❢ [H✵,S] = ✵ t❤❡♥

σε

ij = iτ

• SΠ✵

[Xi,Π✵],[Xj,Π✵]

• +O(ε)

= i

(✷π)d

• Bd dk TrHf
• S Π✵(k)
• ∂kj Π✵(k),∂ki Π✵(k)
• +O(ε).

❘❡♠❛r❦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝②❝❧✐❝✐t② ♦❢ τ(·) =

⇒ t❤❡ ❜❡②♦♥❞✲❈❤❡r♥✲❧✐❦❡

t❡r♠s ✈❛♥✐s❤✳ ■♥ d = ✷ t❤❡ ❈❤❡r♥✲❧✐❦❡ t❡r♠ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ✭❙♣✐♥✮ ❈❤❡r♥ ♥✉♠❜❡r ❢♦r ✭S = Id⊗sz✮ S = Id ✭✇❤❡♥❡✈❡r H✵ ✐s t✐♠❡✲r❡✈❡rs❛❧ s②♠♠❡tr✐❝✮✳

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②

❚❤❡♦r❡♠❬▼✳✱ ▼♦♥❛❝♦✱ P❛♥❛t✐✱ ❚❡✉❢❡❧❪

▲❡t H := L✷(Rd)⊗CN✳ ▲❡t H✵ s❛t✐s❢② ❆ss✉♠♣t✐♦♥ (❍✶) ✭✐✳ ❡✳ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② + ♠✐❧❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s✮ ❛♥❞ (❍✷)✳ ▲❡t Ji := i[H✵,S Xi]✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✐❢ [H✵,S] = ✵ t❤❡♥

σε

ij = iτ

• SΠ✵

[Xi,Π✵],[Xj,Π✵]

• +O(ε)

= i

(✷π)d

• Bd dk TrHf
• S Π✵(k)
• ∂kj Π✵(k),∂ki Π✵(k)
• +O(ε).

❘❡♠❛r❦ ❋♦r S = Id t❤✐s r❡s✉❧t ❛❣r❡❡s ✇✐t❤ ❬❇❊❙ ✬✾✹✱ ❆● ✬✾✽✱ ❇●❑❙ ✬✵✺✱ ❆❲ ✬✶✺ ... ❪ ❛♥❞ ❢♦r S = Id⊗sz ✐t ❛❣r❡❡s ✇✐t❤ ❬Pr ✬✵✾✱ ❙❝❤ ✬✶✸❪✳

❖♥❣♦✐♥❣ ♣❛rt

❏✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡s♣♦♥s❡ ✉s✐♥❣ ◆❊❆❙❙

♠❡t❤♦❞ ✭✜♥✐t❡ s♣❡❡❞ ♦❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ❡st✐♠❛t❡s ✴ ▲✐❡❜✕❘♦❜✐♥s♦♥ ❜♦✉♥❞ t②♣❡ ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ♥❡❡❞❡❞✮✳

❙t✉❞② ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ ε t♦ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡

S✲❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t② σε

ij✳