Progress on the study of electromagnetic corrections to K → ππ decay Norman H. Christ & Xu Feng ∗ (RBC and UKQCD collaborations) Lattice 2018 @ East Lansing, July 23-28, 2018
Subsequent report of Norman’s talk @ Lattice 2017 EPJ Web Conf. 175 (2018) 13016 2 / 16
The RBC & UKQCD collaborations BNL and BNL/RBRC Tianle Wang University of Liverpool Evan Wickenden Nicolas Garron Yasumichi Aoki (KEK) Yidi Zhao Mattia Bruno MIT University of Connecticut T aku Izubuchi Yong-Chull Jang David Murphy T om Blum Chulwoo Jung Dan Hoying (BNL) Peking University Christoph Lehner Luchang Jin (RBRC) Xu Feng Meifeng Lin Cheng Tu Aaron Meyer University of Southampton Edinburgh University Hiroshi Ohki Jonathan Flynn Shigemi Ohta (KEK) Peter Boyle Vera Guelpers Amarjit Soni Guido Cossu James Harrison UC Boulder Luigi Del Debbio Andreas Juettner T adeusz Janowski Oliver Witzel James Richings Richard Kenway Chris Sachrajda Columbia University Julia Kettle Fionn O'haigan Ziyuan Bai Stony Brook University Brian Pendleton Norman Christ Jun-Sik Yoo Antonin Portelli Duo Guo Sergey Syritsyn (RBRC) T obias T sang Christopher Kelly Azusa Yamaguchi Bob Mawhinney York University (Toronto) Masaaki T omii KEK Jiqun T u Renwick Hudspith Julien Frison Bigeng Wang 3 / 16
Motivation to study EM corrections to K → ππ This morning’s session is about the studies of K → ππ decay and ǫ ′ Progresses reported by R. Mawhinney, T. Wang, C. Kelly, F. Romero-Lopez Direct CP violation in K → ππ ǫ ′ = 1 3 ( η +− − η 00 ) = ie i ( δ 2 − δ 0 ) √ ( Im A 2 − Im A 0 ) Re A 2 Re A 0 Re A 2 Re A 0 2 I , I = 0 , 2 Turn on EM interaction, A I → A γ I , δ I → δ γ 2 − A 2 is an O ( α e ) effect, its size could be enhanced by a factor of 22 Though A γ due to the mixing with A 0 and ∆ I = 1 / 2 rule ChPT+Large- N c : Cirigliano et al, hep-ph/0008290, hep-ph/0310351 –“the isospin violating correction for ǫ ′ is below 15%” 4 / 16
Technical issues on including electromagnetism Lellouch-L¨ uscher’s formalism relies on a short-range interaction ⇒ long-range EM requires the change in the FV formalism Main topic of this talk EM interaction mixes I = 0 and I = 2 ππ scattering ⇒ K → ππ decay becomes a coupled-channel problem See Lat17 proceeding: EPJ Web Conf. 175 (2018) 13016 Possible photon radiation ⇒ coupled channels further mixed with 3-particle channel ( ππγ ) Under investigation 5 / 16
Strategy to include electromagnetism Include EM interaction in the Coulomb gauge d 3 ⃗ ρ q (⃗ x ′ , t ) ρ q ′ (⃗ x , t ) e q ⃗ L int = A ( x ) ⋅ ¯ q ⃗ γ q ( x ) − x ′ ∑ ∑ q , q ′ = u , d , s ∫ x ′ − ⃗ ∣⃗ x ∣ 4 π �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� q = u , d , s �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� Transverse radiation Coulomb potential ⇒ Adding transverse photon to ππ three-particle problem At current stage, focus on Coulomb potential only Photon propagator in the Coulomb gauge G 00 ( p ) = 1 G ij ( p ) = 1 p 2 ( δ ij − p i p j p 2 ) , G i 0 ( p ) = G 0 i ( p ) = 0 ⃗ ⃗ , p 2 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� 1 V ( r )= 4 π r 6 / 16
Coulomb potential in the finite volume Encode long-range EM interaction in the finite box – QED L [helpful discussion with Luchang Jin] Coulomb potential in periodic box V L ( r ) = ∑ n V ( r + n L ) ▸ ∀ n , V ( r + n L ) has impact on r ≈ 0 region and ∑ n causes divergence Modify V L ( r ) → ˆ V L ( r ) = V L ( r ) − 1 L 3 ∫ d 3 r V ( r ) to remove the divergence V L ( r ) = 4 πα e ∑ p ≠ 0 e i p ⋅ r ▸ This is equivalent to remove zero mode: ˆ L 3 p 2 V L introduces O ( 1 / L ) FV effects However, ˆ V L ( r ) − V ( r ) = ⎛ ⎞ d 3 p δ V ( r ) ≡ ˆ L 3 ∑ − ∫ r → 0 δ V ( r ) = − κα e L ≈ − 2 . 8 α e 1 4 πα e p 2 e i p ⋅ r , ⎝ ( 2 π ) 3 ⎠ lim L p ≠ 0 Similar situation happens for massive photon and C ∗ boundary condition 7 / 16
Adopt L¨ uscher’s method In the peridoic ”exterior region” where strong interaction vanishes Without QED ▸ ψ ( r ) can be constructed by partial wave scattering amplitude ψ ( r ) = ∑ b ℓ m Y ℓ m ( Ω r ){ cos δ ℓ j ℓ ( kr ) + sin δ ℓ n ℓ ( kr )} ℓ m where j ℓ ( kr ) , n ℓ ( kr ) are regular and irregular Bessel function ▸ ψ ( r ) is related to singular periodic solution of Helmholtz Eq. ψ ( r ) = ∑ ℓ m ( r , k 2 ) v ℓ m G ( 0 ) ℓ m ▸ This leads to quantization condition φ ( k ) + δ ( k ) = n π With QED → ▸ j ℓ , n ℓ F ℓ , G ℓ ψ C ( r ) = ∑ b ℓ m Y ℓ m ( Ω r ){ cos δ ℓ F ℓ ( kr ) + sin δ ℓ G ℓ ( kr )} + O ( α e L ) ℓ m However, V L ( r ) is not of type 1 → O ( α e L ) effect r ▸ Solution of (Coulomb) Helmholtz Eq. can be perturbatively expanded ψ C ( r ) = ∑ v ℓ m G C ,ℓ m ( r , k 2 ) , G C ,ℓ m = G ( 0 ) ℓ m + G ( 1 ) ℓ m + O ( α 2 e ) 8 / 16 ℓ m
L¨ uscher’s quantization condition Wave function can be written in two forms ψ C ( r ) = ∑ b ℓ m Y ℓ m ( Ω r ){ cos δ ℓ F ℓ ( kr ) + sin δ ℓ G ℓ ( kr )} + O ( α e L ) ℓ m ψ C ( r ) = ∑ v ℓ m G C ,ℓ m ( r , k 2 ) , G C ,ℓ m = G ( 0 ) ℓ m + G ( 1 ) ℓ m + O ( α 2 e ) ℓ m Equating two expressions yields quantization condition φ c ( k ) + δ ( k ) = n π cot φ c ( k ) = ( 1 + πη ) 1 kL ∑ 1 1 − n 2 + ( kL 2 π ) 2 π n e i n ⋅ r 2 π + lim r → 0 8 πη { ∑ 2 π ) 2 − 1 4 π ln ( 1 / kr ) + 1 4 π } 1 1 1 L n 2 − ( kL m 2 − ( kL π ( 2 π ) 4 2 π ) 2 ( n − m ) 2 n ≠ m with η = α e µ the Sommerfeld parameter k (See also formula for scattering length [Bean & Savage, 1407.4846] ) 9 / 16
Kim, Sachrajda and Sharpe’s method Finite volume effects arise from 2-particle propagators ⎛ ⎞ d 4 p − ∫ ⎠ f ( p ) g ( p ) dp 0 L 3 ∑ 1 1 1 ⎝∫ p 2 − m 2 + i ǫ ( P − p ) 2 − m 2 + i ǫ ( 2 π ) 4 2 π �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� ⃗ p S 2 ( P , p ) Integrating p 0 leaves two terms √ m 2 + ⃗ with ω p = 1 1 2 ω p (( E − ω p ) 2 − ω 2 2 ω p (( E + ω p ) 2 − ω 2 p ) p ) p 2 , , �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� power-law FV effects exponential FV effects ⇓ ⇓ on-shell amplitude off-shell quantity � p 1 � p 2 Include photon exchange � q ( � q = � p 1 − � p 2 ) ⎛ ⎞ − ∫ d 4 p 1 d 4 p 2 ⎠ f ( p 1 ) S 2 ( P , p 1 ) 1 q 2 S 2 ( P , p 2 ) g ( p 2 ) ∑ dp 10 dp 20 ⎝∫ 2 π ∫ ( 2 π ) 4 ∫ ⃗ ( 2 π ) 4 2 π p 1 ≠⃗ ⃗ p 2 p 2 ≠ ⃗ q = ⃗ ⃗ p 1 − ⃗ ⇒ Off-shell quantity also contributes O ( 1 / L n ) FV effects 0 10 / 16
Coulomb potential with truncated range R T ≤ L / 2 Truncate the Coulomb potential with a range R T V ( T ) ( r ) = { α e / r , for r < R T for r > R T 0 , Build periodic potential ( r ) = ∑ V ( T ) ( r + n L ) V ( T ) L n uscher’s quantization condition holds for V s ( r ) + V ( T ) ( r ) L¨ φ ( q ) + δ T ( k ) = n π, q = kL 2 π So does Lellouch-L¨ uscher formula Both L¨ uscher’s method in potential theory and KSS method in QFT work well Remaining issue is to relate truncated δ T and A T to the physical ones 11 / 16
Truncation effects in scattering amplitude V s + V ( C ) = + V s + V ( T ) ∆ V = + + · · · S T = + O ( α 2 S C − S T e ) ∆ V The relation for scattering amplitude S C = S T − i 2 πδ ( E − E ′ )⟨ E , − , T ∣ ∆ V ∣ E , + , T ⟩ ∆ V ( r ) is non-zero only for r > R T T ( r ) = ⟨ r ∣ E , ± , T ⟩ , the functional form is known for r > R T For ψ (±) √ µ sin ( kr + δ T ) T ( r ) = ψ (±) e ± i δ T , for S-wave π k r Correction to scattering amplitude can be evaluated ⟨ E , − , T ∣ ∆ V ∣ E , + , T ⟩ = ∫ ( r ) α e T ( r ) R ∞ d 3 r ψ (−)∗ r ψ (+) T 12 / 16 R T
Recommend
More recommend
