PLAQUETTE MODELS FOR GLASSES AND CONSTRAINT - PowerPoint PPT Presentation

PLAQUETTE ¡MODELS ¡FOR ¡GLASSES ¡ ¡ AND ¡ ¡ CONSTRAINT ¡SATISFACTION ¡PROBLEMS ¡ Giacomo ¡Gradenigo ¡ ¡ ¡ With: ¡Silvio ¡Franz ¡(LPTMS,Orsay) ¡ Stefano ¡Spigler ¡(LPTMS,Orsay). ¡ LIPhy, ¡27-­‑01-­‑2015 ¡

WHAT ¡IS ¡A ¡GLASS ¡? ¡ log( η ) T g /T …a new phase of matter !!! …Just a very viscous fluid !!! Thermodynamic ¡theories ¡ ¡ KineVcally ¡Constrained ¡Models ¡ (Replicas ¡and ¡all ¡of ¡that…) ¡

Thermodynamic ¡theories ¡ ¡ KineVcally ¡ (Replicas ¡and ¡all ¡of ¡that…) ¡ Constrained ¡Models ¡ ¡ Ÿ Well ¡defined ¡Hamiltonian ¡ Ÿ Set ¡of ¡microscropic ¡ and ¡parVVon ¡funcVon ¡ dynamic ¡rules ¡ Ÿ Ideal ¡glass ¡transiVon, ¡ landscape ¡scenario, ¡predicVons ¡ Ÿ Glassy ¡behaviour ¡at ¡low ¡ on ¡the ¡dynamics ¡ temperatures ¡but ¡no ¡glass-­‑ transiVon ¡ Ÿ Exactly ¡solved ¡only ¡in ¡ approximate ¡theories ¡ ¡ Ÿ Exactly ¡solved ¡in ¡finite ¡ (mean-­‑field, ¡random ¡graphs) ¡ space ¡dimensions ¡ Recent ¡result ¡on ¡jamming ¡(hard ¡spheres ¡in ¡d=∞): ¡ ¡ Review: ¡J.P. ¡Garrahan, ¡P. ¡Sollich, ¡C. ¡ P. ¡Charbonneau, ¡ ¡J.Kurchan, ¡G.Parisi, ¡P.Urbani, ¡ Toninelli, ¡arXiv:1009.6113 ¡ F.Zamponi, ¡Nature ¡Comm. ¡(2014): ¡arXiv.1404.6809 ¡

Thermodynamic ¡theories ¡ ¡ KineVcally ¡ (Replicas ¡and ¡all ¡of ¡that…) ¡ Constrained ¡Models ¡ ¡ Ÿ Well ¡defined ¡Hamiltonian ¡ Ÿ Set ¡of ¡microscropic ¡ and ¡parVVon ¡funcVon ¡ dynamic ¡rules ¡ Ÿ Ideal ¡glass ¡transiVon, ¡ landscape ¡scenario, ¡predicVons ¡ Triangular Plaquette Model Ÿ Glassy ¡ on ¡the ¡dynamics ¡ behaviour ¡at ¡low ¡ temperatures ¡but ¡ no ¡glass-­‑transiVon ¡ Ÿ Exactly ¡solved ¡only ¡in ¡ approximate ¡theories ¡ ¡ Ÿ Exactly ¡solved ¡in ¡finite ¡ (mean-­‑field, ¡random ¡graphs) ¡ space ¡dimensions ¡ The two scenarios are complementary rather than alternative

TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ M. ¡Newman ¡and ¡C. ¡Moore, ¡Phys. ¡Rev. ¡E ¡60, ¡5068 ¡ ¡(1999) ¡ J.P. ¡Garrahan ¡and ¡M. ¡Newman, ¡Phys. ¡Rev. ¡E ¡62, ¡7670 ¡(2000) ¡ X σ j H = − σ i σ j σ k h ijk i σ i = ± 1 σ i σ k WHY ¡INTERSTING? ¡ No ¡phase ¡transiVons ¡ ε p = − σ i ( p ) σ j ( p ) σ k ( p ) 2D: ¡Exactly ¡solvable ¡ X e − β Σ p ε p Z = { ε } A/T 2 � � GLASSY ¡DYNAMICS ¡ τ rel ∼ exp

WHY ¡RELAXATION ¡IS ¡SLOW? ¡ ε p = − σ i ( p ) σ j ( p ) σ k ( p ) (ACTIVATED ¡TRANSPORT ¡OF ¡DEFECTS) ¡ ✚ ¡ ε = 1 Spin ¡to ¡be ¡flipped ¡ (2) ¡ (1) ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ∆ ε = 2 ∆ ε = 3 ✚ ¡ (4) ¡ (3) ¡ ∆ ε = 1 ∆ ε = 2 ✚ ¡ ✚ ¡ ✚ ¡

ε p = − σ i ( p ) σ j ( p ) σ k ( p ) Effective Kinetic Constraint : creation of a defect is favoured only when there are ✚ ¡ ε = 1 already two closeby Spin ¡to ¡be ¡flipped ¡ (2) ¡ (1) ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ✚ ¡ ∆ ε = 2 ∆ ε = 3 ✚ ¡ τ rel ∼ e β ∆ E ( β ) (4) ¡ ∆ ε = 1 ∆ E ( β ) ∼ log[ ξ ( β )] c def ( β ) ∼ e − β = ⇒ ξ ( β ) ∼ e β ✚ ¡ τ rel = e β log ξ = [ ξ ( β )] β = exp( β 2 )

TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ X σ j H = − σ i σ j σ k h ijk i σ k σ i A ¡RECENT ¡RESULT ¡ N � ( a ) � ( b ) H TOT = H [ � ( a ) ] + H [ � ( b ) ] − ✏ X i i 2 i =1 self-dual line 1.5 Two ¡‘’replicas’’ ¡are ¡coupled ¡ low overlap critical T 1 Arbitrary ¡small ¡coupling ¡leads ¡to ¡ endpoint correlaVon ¡between ¡the ¡two ¡replicas ¡ high 0.5 overlap J.P. ¡Garrahan, ¡Phys. ¡Rev. ¡E ¡89, ¡030301(R) ¡(2014) ¡ 0 0 0.5 1 1.5 2 !

TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ X σ j H = − σ i σ j σ k h ijk i σ k σ i OUR ¡PURPOSE ¡ X X H = H 0 + H 1 = − J 0 σ i σ j σ k − J 1 σ i ( r ) σ j ( r ) σ k ( r ) r h ijk i H 1 Show ¡that ¡with ¡ arbitrarily ¡small ¡perturbaVons ¡the ¡ ⌧ 1 system ¡has ¡a ¡finite-­‑temperature ¡glass ¡transiVon. ¡ H 0 Marginal ¡nature ¡of ¡the ¡model. ¡

THE ¡FORMATION ¡OF ¡A ¡GLASS ¡PHASE ¡ (configuraVonal) ¡ENTROPY ¡CRISIS ¡ Energy ¡landscape ¡with ¡‘’many’’ ¡local ¡minima ¡ N = exp [ N Σ ( T )] f = U − T ( s + Σ ) s # valleys = Σ Entropic ¡drive ¡vs ¡Energy ¡Barriers: ¡ ConfiguraVonal ¡ Σ ( T ) > 0 system ¡remains ¡ergodic ¡ Entropy ¡ System ¡becomes ¡a ¡glass ¡ Σ ( T ) = 0 IDEAL ¡GLASS ¡TRANSITION ¡

THE ¡FORMATION ¡OF ¡A ¡GLASS ¡PHASE ¡ ExtrapolaVon ¡of ¡high-­‑temperature ¡thermodynamic ¡potenVals ¡ ConfiguraVonal ¡entropy ¡crisis ¡at ¡a ¡finite ¡temperature: ¡glass ¡formaVon ¡ Σ ( T ) = S liq ( T ) − S sol ( T )

RANDOM-­‑DILUTED ¡ ¡ TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ In ¡the ¡new ¡triplets ¡spins ¡are ¡choosen ¡randomly ¡across ¡the ¡system ¡ N s ≤ N M X X H = H 0 + H 1 = − σ i ( s ) σ j ( s ) σ k ( s ) − σ i ( r ) σ j ( r ) σ k ( r ) s =1 r =1 A ¡diluVon ¡of ¡the ¡plaquenes ¡in ¡the ¡2D ¡laoce ¡is ¡allowed ¡ N s < N

RANDOM-­‑DILUTED ¡ ¡ TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ In ¡the ¡new ¡triplets ¡spins ¡are ¡choosen ¡randomly ¡across ¡the ¡system ¡ N M X X H = − σ i ( s ) σ j ( s ) σ k ( s ) − σ i ( r ) σ j ( r ) σ k ( r ) s =1 r =1 2 3 Z h.T. = 2 N [cosh( β )] M X X h ε p i + tanh 2 ( β ) 4 1 � tanh( β ) h ε p ε q i + . . . 5 p =1 p 6 = q ε p = − σ i ( p ) σ j ( p ) σ k ( p ) Z h.T. = 2 N [cosh( β )] M PROVED ¡! ¡ Entropy ¡crisis ¡at ¡ ✓ ◆ 1 − M S liq > Σ S liq ( β → ∞ ) = finite ¡temperature: ¡ N Glass ¡transiBon? ¡

RANDOM-­‑DILUTED ¡ ¡ TRIANGULAR ¡PLAQUETTE ¡MODEL ¡ exp( A/T 2 ) vs exp( A/ ( T − T K )) = ? -0.7 cooling heating high temperature expansion L = 64 -0.75 L = 256 -0.8 -0.85 E/N spin � rel -0.9 -0.95 0.1 -1 -1.05 1/T 2 -1.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 T m T Z h.T. = 2 N [cosh( β )] M PROVEN ¡ Entropy ¡crisis ¡at ¡ ✓ ◆ 1 − M S liq > Σ S liq ( β → ∞ ) = finite ¡temperature: ¡ N Glass ¡transiBon? ¡

HOW ¡TO ¡HANDLE ¡THE ¡PROBLEM? ¡ TOOLS ¡AND ¡IDEAS ¡FROM ¡ ¡ CONSTRAINT ¡SATISFACTION ¡PROBLEMS! ¡ ¡

DILUTED ¡P-­‑SPIN ¡ FuncVon ¡nodes: ¡Plaquenes ¡ Variable ¡nodes: ¡Spins ¡ BiparVte ¡graph ¡ α = M/N M ¡= ¡number ¡of ¡plaquenes ¡ N ¡= ¡number ¡of ¡spins ¡ X H = − J ijk σ i σ j σ k ijk Each ¡plaquene ¡is ¡anached ¡to ¡ three ¡spins ¡ p ( ` ) = e − 3 ↵ (3 ↵ ) ` Spin ¡connecVvity ¡= ¡Poissonian ¡ ` ! Supercooled ¡ Liquid ¡ liquid ¡ Glass ¡ T d T K

DILUTED ¡P-­‑SPIN ¡ log(N) ¡loops ¡ BiparVte ¡graph ¡ α = M/N X H = − J ijk σ i σ j σ k ijk Each ¡plaquene ¡is ¡anached ¡to ¡ three ¡spins ¡ p ( ` ) = e − 3 ↵ (3 ↵ ) ` Spin ¡connecVvity ¡= ¡Poissonian ¡ ` ! Supercooled ¡ Liquid ¡ liquid ¡ Glass ¡ T d T K

XORSAT ¡ log(N) ¡loops ¡ BiparVte ¡graph ¡ α = M/N System ¡of ¡M ¡linear ¡equaVons ¡ with ¡boolean ¡variables ¡ M. ¡Mezard, ¡F. ¡Ricci-­‑Tersenghi, ¡R. ¡ Zecchina, ¡JSTAT ¡111, ¡505 ¡(2003) ¡ ( n i 1 + n j 1 + n k 1 ) mod2 = J 1 n i ( p ) = 0 , 1 . . . ( n i M + n j M + n k M ) mod2 = J M J p = 0 , 1 UNSAT ¡ SAT ¡ α s

XORSAT ¡ log(N) ¡loops ¡ ( n i 1 + n j 1 + n k 1 ) mod2 = J 1 . . . ( n i M + n j M + n k M ) mod2 = J M #clusters = Σ M. ¡Mezard, ¡F. ¡Ricci-­‑Tersenghi, ¡R. ¡ Zecchina, ¡JSTAT ¡111, ¡505 ¡(2003) ¡ ∆ E = O ( N ) UNSAT ¡ Non-­‑clustered ¡ Clustered ¡ Supercooled ¡ Liquid ¡ α d Glass ¡ α s liquid ¡