Prt tt s - - PowerPoint PPT Presentation

P❛rt✐❛❧❧② ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ▼♦♥♦✐❞s ✫ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥t❡♥t ♦❢ ❈❧❛ss✐❝❛❧ ▲♦❣✐❝

❍❛♥s✲❉✐❡t❡r ❆✳ ❍✐❡♣ ▼❛r❝❤ ✷✶✱ ✷✵✶✽

• ♦❛❧s ♦❢ t❤✐s t❛❧❦

✶ ❊①♣❧❛✐♥ ❢r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s ✷ ❙❤♦✇ s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ❛♥❞ λC✲❝❛❧❝✉❧✉s ✸ ❙❤♦✇ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ ❢♦❝✉s ❛♥❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✹ ❉✐s❝✉ss ❢✉t✉r❡ ✇♦r❦✐♥❣ ❛r❡❛s

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❚❤❡♦r❡♠ Pr♦✈✐♥❣

■♥t❡r❛❝t✐✈❡ t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈✐♥❣ ❣❛✐♥❡❞ ♠✉❝❤ ❛tt❡♥t✐♦♥ ❧❛st ❞❡❝❛❞❡s ▲❡❛♥✱ ❈♦q✱ ■s❛❜❡❧❧❡✱ ◆✉P❘▲✱ P❱❙✱ ▼✐③❛r✱ ❍❖▲✱ ❆✉t♦▼❛t❤✱ ✳✳✳ ❆♥ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ s②st❡♠ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢✿

❆ ♣r♦✈❡r ✭❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣✱ ❤❡❧♣❡❞ ❜② ♠❛❝r♦s ❛♥❞ t♦♦❧s✮ ❆ ✈❡r✐✜❡r ✭tr✉st❡❞ ❦❡r♥❡❧✱ s♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ t②♣❡ ❝❤❡❝❦❡r✮

❆❧❧♦✇s ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❡✳❣✳

Pr✐♠❡ ♥✉♠❜❡r t❤❡♦r❡♠✱ ❋♦✉r ❝♦❧♦✉r✐♥❣ t❤❡♦r❡♠

❆❧❧♦✇s ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡✱ ❡✳❣✳

❈❡rt✐✜❡❞ ❈ ❈♦♠♣✐❧❡r✱ ■s❛❋♦❘ ✭t❡r♠ r❡✇r✐t✐♥❣✮

❆❧❧♦✇s ♣r♦❣r❛♠ ❡①tr❛❝t✐♦♥

❙♦❢t✇❛r❡ ❈♦rr❡❝t♥❡ss

• ♦❛❧✿ s♦❢t✇❛r❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ♦❢ ❞✐str✐❜✉t❡❞ s②st❡♠s

❊①✐st✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✿ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧ ❝❤❡❝❦✐♥❣ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♥✜♥✐t❡ s②st❡♠s ✭❡✳❣✳ ♠❈❘▲✷✱ P❇❊❙✮ ❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤✿ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈✐♥❣ ❆❞✈❡♥t✉r❡✿ r❡s❡❛r❝❤ ♣r♦♦❢ s②st❡♠s t❤❛t ❛❧❧♦✇s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ❝♦♥❝✉rr❡♥t s②st❡♠s ❋♦r♠❛❧✐③✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛♥❞ ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❡✳❣✳

P❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ■♥t❡r♥❡t ♣r♦t♦❝♦❧s

❋♦r♠❛❧✐③✐♥❣ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ❡✳❣✳

❙❛❢t❡② ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ♣r✐✈❛❝② ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ s❡❝✉r✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s

❲❤❛t ❛❜♦✉t ♣r♦t♦❝♦❧ ❡①tr❛❝t✐♦♥❄

▼♦♥♦✐❞ ♦✈❡r✈✐❡✇

✶ ●✐✈❡♥ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✷ ❚❡r♠ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❜② s✐❣♥❛t✉r❡ ✸ ❈♦♥❣r✉❡♥❝❡ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ✹ ◗✉♦t✐❡♥t t❡r♠ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❜② ❝♦♥❣r✉❡♥❝❡ ✺ ❊❧❡❝t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s ✻ ❋✐♥❞ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦♥❧② ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s

P❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

P❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ ❝♦♥❝✉rr❡♥❝②✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ I ⊆ S ×S ✐s✿ ❛♥ ✐rr❡✢❡①✐✈❡✱ s②♠♠❡tr✐❝ r❡❧❛t✐♦♥ ♦✈❡r S✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❊✈❡♥ts ❤❛♣♣❡♥ ❛t s♦♠❡ ❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❚✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡✈❡♥ts ❤❛♣♣❡♥ ❝♦♥❝✉rr❡♥t❧②✳ ❚✇♦ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡✈❡♥ts✿ ♦♥❡ ❤❛♣♣❡♥s ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ♦t❤❡r✳

P❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

✶✳ ●✐✈❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭s✐❣♥❛t✉r❡✱ ❡q✉❛t✐♦♥s✮ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉✐❡❦❡rt ✫ ▼ét✐✈✐❡r ✶✾✾✼✮ ❆ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞ PCM(S,I,·,✶) ✐s✿ ♠♦♥♦✐❞ M(S,·,✶) ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ I ⊆ S ×S s✉❝❤ t❤❛t✿ ♣❛rt✐❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ ∀(s,t) ∈ I. s ·t = t ·s

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

❋✐① I ⊆ C ×C✳ P❈▼ ❢r❡❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛ ❝❛rr✐❡r s❡t C✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t T (C) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❛s✿ T (C) ::= C | T (C)·T (C) | ✶ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t x ∼ =I y ❜❡ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❝♦♥❣r✉❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ T (C)✿ t❤❛t ✐s ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ (x ·y)·z ∼ =I x ·(y ·z) t❤❛t r❡s♣❡❝ts ✐❞❡♥t✐t② ✶·x ∼ =I x ∼ =I x ·✶ t❤❛t ❝♦♠♠✉t❡s x ·y ∼ =I y ·x ✐❢ (x,y) ∈ I

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

✹✳ ◗✉♦t✐❡♥t t❡r♠ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❜② ❝♦♥❣r✉❡♥❝❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t C I∗ ❜❡ t❤❡ ❢r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞ t❤❛t ✐s T (C)\ ∼ =I✳ ❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ C I∗ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s ✭❝❛❧❧❡❞ tr❛❝❡s✮✳ ❋P❈▼ ❛r❡ ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ tr❛❝❡ ♠♦♥♦✐❞s✳ ✺✳ ❊❧❡❝t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝❧❛ss❡s ❲❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❝❤♦✐❝❡s✿

❑♥✉t❤✬s ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ❋♦❛t❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

▲❡t ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛ss✉♠❡ ❛ t♦t❛❧ ♦r❞❡r < ❜❡t✇❡❡♥ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ C✳ ▲❡t ≪ ❜❡ ❛ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♦r❞❡r ♦♥ C ∗ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② <✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ : C ∗ → C I∗ ❜❡ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ✐♥❥❡❝t✐♦♥✱ ϕ : x → [x]✳ ❲❡ ❝❛❧❧ x ❛ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ [x]✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ [x] ∈ C I∗ ✐s s♠❛❧❧❡st ✭✇✳r✳t✳ ≪✮ ❡❧❡♠❡♥t ˆ x ∈ C ∗ s✉❝❤ t❤❛t ϕ(ˆ x) = [x]✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠✿ s✇❛♣ ❛❞❥❛❝❡♥t ❡❧❡♠❡♥ts b ·a t♦ a·b ✐❢ a < b ❛♥❞ (a,b) ∈ I✱ ✉♥t✐❧ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ♣♦ss✐❜❧❡✳

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr❛❝❡s✿ [b a d c b a] ❛♥❞ [a b d a c b] ▲❡t (a,b) ∈ I ❛♥❞ (c,a) ∈ I✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ tr❛❝❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ▲❡t a < b < c < d✳ ❚❤✐s tr❛❝❡ ✐s ✐♥ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✳

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr❛❝❡s✿ [b a d c b a] ❛♥❞ [a b d a c b] ▲❡t (a,b) ∈ I ❛♥❞ (c,a) ∈ I✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ tr❛❝❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ▲❡t a < b < c < d✳ ❚❤✐s tr❛❝❡ ✐s ✐♥ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✳

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr❛❝❡s✿ [b a d c b a] ❛♥❞ [a b d a c b] ▲❡t (a,b) ∈ I ❛♥❞ (c,a) ∈ I✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ tr❛❝❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ▲❡t a < b < c < d✳ ❚❤✐s tr❛❝❡ ✐s ✐♥ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✳

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

❊①❛♠♣❧❡ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr❛❝❡s✿ [b a d c b a] ❛♥❞ [a b d a c b] ▲❡t (a,b) ∈ I ❛♥❞ (c,a) ∈ I✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ tr❛❝❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ▲❡t a < b < c < d✳ ❚❤✐s tr❛❝❡ ✐s ✐♥ ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✳

❋r❡❡ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ♠♦♥♦✐❞s

✻✳ ❋✐♥❞ t❡r♠ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦♥❧② ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ❈♦♥❝r❡t❡❧②✱ ❋P❈▼ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❧✐sts t❤❛t ❛r❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧❧② s♦rt❡❞✳ ❘❡❝❛♣✿ P❈▼ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ ❝♦♥❝✉rr❡♥❝② ❋P❈▼ ❤❛✈❡ ✉♥✐q✉❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ✐❢ ❝❛rr✐❡r ❤❛s t♦t❛❧ ♦r❞❡r

❊①❛♠♣❧❡ t♦②

❊①❛♠♣❧❡

▼♦♥♦✐❞ ♦✈❡r✈✐❡✇

❛❜str❛❝t M PCM CM ICM ... ↓ ↓ ↓ ↓ ❣❡♥❡r❛t♦r C → C ∗ C I∗ NC P(C)

• s❡q✉❡♥❝❡

tr❛❝❡ ♠✉❧t✐s❡t s❡t ↓ ↓ ↓ ↓ ❝♦♥❝r❡t❡ ❧✐st +t♦♣♦s♦rt +s♦rt❡❞ +✉♥✐q✉❡

▼❛✐♥ ❝♦✉rs❡

✶ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✷ ❲❡ ❡①t❡♥❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s t♦ λC✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✸ ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛ ♠❡t❛✲♣r♦♦❢ s②st❡♠✳ ✹ ❙❡q✉❡♥ts ❛s s❡ts❄ ❛s ♠✉❧t✐s❡ts❄ ❛s P❈▼❄ ❛s ❧✐sts❄ ✺ ❋♦❝✉s✱ ♣♦❧❛r✐t②✱ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✳ ✻ ❲❡ s❡❡ t❤❡ µ˜

µ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s✳

✼ ❈♦❞❛t❛ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❖❖P ❧❛♥❣✉❛❣❡s✳

▼✐♥✐♠❛❧ ▲♦❣✐❝

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t F ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝ ❢♦r♠✉❧❛s✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❛s✿ F ::= P | F → F ✇❤❡r❡ P ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧② ✐♥✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ φ ✳ ✳ ✳ ψ φ → ψ →i φ → ψ φ ψ →e Pr♦♦❢ s②st❡♠✿ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t✇♦ r✉❧❡s✳

❙✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t M ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ t❡r♠s✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❛s✿ M ::= X | λX.M | MM ✇❤❡r❡ X ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧② ✐♥✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ x : φ ✳ ✳ ✳ t : ψ λx.t : φ → ψ abs s : φ → ψ t : φ st : ψ app ❙✐♠♣❧❡ t②♣❡ s②st❡♠ ✭r❡❧❛t❡❞ t♦ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝✮✳

❙✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s

❊①❛♠♣❧❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ B → C A → B A B →e C →e A → C →i (B → C) → (A → C) →i (A → B) → (B → C) → (A → C) →i t❤❛t r❡❧❛t❡s t♦ t❤❡ λ✲t❡r♠ λx.λy.λz.y(xz)

❈❧❛ss✐❝❛❧ ▲♦❣✐❝

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t F ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝ ❢♦r♠✉❧❛s✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❛s✿ F ::= P | ⊥ | F → F ✇❤❡r❡ P ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❲❡ ❛❜❜r❡✈✐❛t❡ (φ → ⊥) ❛s ¬φ✳ φ ✳ ✳ ✳ ψ φ → ψ →i φ → ψ φ ψ →e ¬¬φ φ ¬¬e Pr♦♦❢ s②st❡♠✿ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤r❡❡ r✉❧❡s✳

❈❧❛ss✐❝❛❧ ▲♦❣✐❝

❲❡ ❛❜❜r❡✈✐❛t❡✿ (⊥ → ⊥) ❛s ⊤ (φ → ⊥) ❛s ¬φ (φ → ψ) → ψ ❛s φ ∨ψ ¬(¬φ ∨¬ψ) ❛s φ ∧ψ ❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ r✉❧❡s ❛r❡ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡✿ φ φ ∨ψ ∨

i✶

ψ φ ∨ψ ∨

i✷

φ ∨ψ φ ✳ ✳ ✳ χ ψ ✳ ✳ ✳ χ χ ∨

e

φ ψ φ ∧ψ ∧i φ ∧ψ φ ∧e✶ φ ∧ψ ψ ∧e✷ ⊥ φ ⊥e

λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ ❝♦♥tr♦❧

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭λC✲❝❛❧❝✉❧✉s✱ ❋❡❧❧❡✐s❡♥✱ ❡t ❛❧✳ ✶✾✽✻✮ ▲❡t M ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ t❡r♠s✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❛s✿ M ::= X | λX.M | MM | CM ✇❤❡r❡ X ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧② ✐♥✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ x : φ ✳ ✳ ✳ M : ψ λx.M : φ → ψ abs M : φ → ψ N : φ MN : ψ app M : ¬¬φ CM : φ ctrl ❙✐♠♣❧❡ t②♣❡ s②st❡♠ ✭r❡❧❛t❡❞ t♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✮✳

λ✲❝❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ ❝♦♥tr♦❧

❊①❛♠♣❧❡ ❲❡ ♣r♦✈❡ (P ∨Q) → (Q ∨P) ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝ ¬P Q → P P ∨Q D P → Q →i Q →e P →e ⊥ →e ¬¬P →i P ¬¬e Q ∨P →i (P ∨Q) → (Q ∨P) →i D : ¬P P ⊥ →e ¬¬Q →i Q ¬¬e t❤❛t r❡❧❛t❡s t♦ t❤❡ λC✲t❡r♠ λx.λy.Cλz.z(y(x(λw.Cλv.zw)))

▼❛✐♥ ❝♦✉rs❡

✶ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✷ ❲❡ ❡①t❡♥❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s t♦ λC✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✸ ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛ ♠❡t❛✲♣r♦♦❢ s②st❡♠✳ ✹ ❙❡q✉❡♥ts ❛s s❡ts❄ ❛s ♠✉❧t✐s❡ts❄ ❛s P❈▼❄ ❛s ❧✐sts❄ ✺ ❋♦❝✉s✱ ♣♦❧❛r✐t②✱ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✳ ✻ ❲❡ s❡❡ t❤❡ µ˜

µ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s✳

✼ ❈♦❞❛t❛ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❖❖P ❧❛♥❣✉❛❣❡s✳

❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s

❲❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦♦❢ s②st❡♠s✳ ❉r❛✇❜❛❝❦✿ ✐♠♣❧✐❝✐t ❤❛♥❞❧✐♥❣ ♦❢ ♦♣❡♥ ❛♥❞ ❝❧♦s❡❞ ♣r❡♠✐s❡s✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ λ✲t❡r♠s✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t Γ,∆ ⊆ F ❜❡ s❡ts ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❚❤❡ ❞❡r✐✈❛❜✐❧✐t② r❡❧❛t✐♦♥ Γ ⊢ ∆ ❤♦❧❞s ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐♥ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦♣❡♥ ♣r❡♠✐s❡s ✐♥ Γ ❛♥❞ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✐♥ ∆✳ ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ❢♦r♠❛❧✐③❡s✿ ⊢

❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s

❘❡♠❡♠❜❡r ♠♦♥♦✐❞s❄ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t S ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ s❡q✉❡♥ts✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ S ::= F ∗ ⊢ F ∗ ✇❤❡r❡ F ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❙tr✉❝t✉r❛❧ r✉❧❡s✿ Γ,φ,φ ⊢ ∆ Γ,φ ⊢ ∆ Γ ⊢ φ,φ,∆ Γ ⊢ φ,∆ ✭✐❞❡♠♣♦t❡♥t✮ Γ✶,ψ,φ,Γ✷ ⊢ ∆ Γ✶,φ,ψ,Γ✷ ⊢ ∆ Γ ⊢ ∆✶,ψ,φ,∆✷ Γ ⊢ ∆✶,φ,ψ,∆✷ ✭❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✮

❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s

▲♦❣✐❝❛❧ r✉❧❡s✿ Γ,A ⊢ A,∆ premise Γ,⊥ ⊢ ∆ absurd Γ ⊢ A,∆ Γ,B ⊢ ∆ Γ,A → B ⊢ ∆ →L Γ,A ⊢ B,∆ Γ ⊢ A → B,∆ →R ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛ ♠❡t❛✲♣r♦♦❢ s②st❡♠✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❤❛s ♦♥❡ ❢♦r♠✉❧❛❄ ⇒ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝ ❧♦❣✐❝ ❲❤❛t ✐❢ ✇❡ ❞r♦♣ ✐❞❡♠♣♦t❡♥❝②❄ ⇒ ❧✐♥❡❛r ❧♦❣✐❝ ❲❤❛t ✐❢ ♣❛rt✐❛❧❧② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡❄ ⇒ ❞❡♣❡♥❞❡♥t t②♣❡s

✭❘❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦✿ ❈▲❋✱ P❢❡♥♥✐♥❣✱ ❲❛t❦✐♥s✱ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✸✮

▼❛✐♥ ❝♦✉rs❡

✶ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✷ ❲❡ ❡①t❡♥❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s t♦ λC✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✸ ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛ ♠❡t❛✲♣r♦♦❢ s②st❡♠✳ ✹ ❙❡q✉❡♥ts ❛s s❡ts❄ ❛s ♠✉❧t✐s❡ts❄ ❛s P❈▼❄ ❛s ❧✐sts❄ ✺ ❋♦❝✉s✱ ♣♦❧❛r✐t②✱ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✳ ✻ ❲❡ s❡❡ t❤❡ µ˜

µ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s✳

✼ ❈♦❞❛t❛ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❖❖P ❧❛♥❣✉❛❣❡s✳

❋♦❝✉ss❡❞ s❡q✉❡♥ts

❲❡ s❧✐❣❤t❧② ❝❤❛♥❣❡ s②♥t❛❝t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ s❡q✉❡♥ts✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❍❡r❜❡❧✐♥ ✷✵✵✵✮ ▲❡t S ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ s❡q✉❡♥ts✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ S ::= F ∗;F ⊢ F ∗ ✭t❡r♠✮ | F ∗ ⊢ F;F ∗ ✭❝♦♥t❡①t✮ | F ∗ ⊢ F ∗ ✭❝♦♠♠❛♥❞✮ ✇❤❡r❡ F ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❊✐t❤❡r ✉♥❢♦❝✉ss❡❞✱ ♦r s❡q✉❡♥ts ❤❛✈❡ ❛ ❢♦❝✉ss❡❞ ❢♦r♠✉❧❛✳

P♦❧❛r✐t✐❡s ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s

❲❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ ❢♦❝✉ss❡❞ s❡q✉❡♥ts ✐♥ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❧❛❝❡s✿

✶ ❆s ❞❡✜♥✐♥❣ ❝❧❛✉s❡s ❢♦r s♣❡❝✐❢②✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✳ ✷ ❆s t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ♦❝❝✉r✐♥❣ ✐♥ r✉❧❡s ♦❢ ♦✉r ♣r♦♦❢ ❛♥❞ t②♣❡ s②st❡♠✳

❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✱ ✇❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t✇♦ ♣♦❧❛r✐t✐❡s✿

✶ ❞❛t❛ ❤❛s ❝❧❛✉s❡s t❤❛t ❞❡✜♥❡ ❝♦♥str✉❝t♦rs ✷ ❝❧❛ss ❤❛s ❝❧❛✉s❡s t❤❛t ❞❡✜♥❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s

✭❝❧❛ss ✐s ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ ❝♦❞❛t❛✮ ❋♦r ❝❧❛✉s❡s✱ t❤❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥ ♦❢ Γ;φ ⊢ ∆ ♦r Γ ⊢ φ;∆ ✐s✿ ✏❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛❝t ❛s ✐♥♣✉ts✱ ❛♥❞ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s ❛❝t ❛s ♦✉t♣✉ts✳✑ ✭❉♦✇♥❡♥ ✫ ❆r✐♦❧❛ ✷✵✶✹✮

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s

❉❡✜♥✐♥❣ ❝❧❛✉s❡s ♦❢ ❞❛t❛ ❤❛✈❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✳ ❉❡✜♥✐♥❣ ❝❧❛✉s❡s ♦❢ ❝❧❛ss ❤❛✈❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t✳ ❞❛t❛ A⊕B ❞❛t❛ A⊗B ❞❛t❛ ✶ ❞❛t❛ ✵ A ⊢ A⊕B; A,B ⊢ A⊗B; ⊢ ✶; B ⊢ A⊕B; ❝❧❛ss AB ❝❧❛ss AB ❝❧❛ss ⊥ ❝❧❛ss ⊤ ;AB ⊢ A ;AB ⊢ A,B ;⊥ ⊢ ;AB ⊢ B ❆❧❧ t②♣❡s ❡①❝❡♣t ❢♦r AB ♠❛❦❡ s❡♥s❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥✐st✐❝❛❧❧②✳ ✏⊤ ✐s ❛♥ ❛❜str❛❝t ♦❜❥❡❝t ✇✐t❤ ♥♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✑ ⇒ t❤❡ tr✉t❤ ✐s ✉♥♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✭❇❡♥❥❛♠✐♥✮

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s

❋✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦❞❛t❛✳ ❉✉❛❧ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❞❛t❛✳ ❝❧❛ss A → B ✇❤❡r❡ ❞❛t❛ A−B ✇❤❡r❡ A;A → B ⊢ B A ⊢ A−B;B ■♥t✉✐t✐♦♥✿ ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ✐♥♣✉t A ❛♥❞ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ A → B✱ ♦❜t❛✐♥ ♦✉t♣✉t B✳

✭❈❛❧❧✐♥❣ ❝♦❞❛t❛ ❝❧❛ss ✐s ♣r♦✈♦❝❛t✐✈❡✿ st✐❧❧ ♠❛♥② r❡s❡❛r❝❤❛❜❧❡ q✉❡st✐♦♥s ❧❡❢t✳✮

▼❛✐♥ ❝♦✉rs❡

✶ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r s✐♠♣❧②✲t②♣❡❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✷ ❲❡ ❡①t❡♥❞ λ✲❝❛❧❝✉❧✉s t♦ λC✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ✸ ❙❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ❛ ♠❡t❛✲♣r♦♦❢ s②st❡♠✳ ✹ ❙❡q✉❡♥ts ❛s s❡ts❄ ❛s ♠✉❧t✐s❡ts❄ ❛s P❈▼❄ ❛s ❧✐sts❄ ✺ ❋♦❝✉s✱ ♣♦❧❛r✐t②✱ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t②♣❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✳ ✻ ❲❡ s❡❡ t❤❡ µ˜

µ✲❝❛❧❝✉❧✉s✿ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧✉s✳

✼ ❈♦❞❛t❛ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❖❖P ❧❛♥❣✉❛❣❡s✳

❖❜❥❡❝t✲♦r✐❡♥t❛t✐♦♥

▲❡t✬s ❡①♣❧♦r❡ t✇♦ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠✉❧❛s A → B ❛♥❞ (A → ⊥)B✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✐♥t❡r♣r❡t t❤❡♠ ❛s ✏♦❜❥❡❝ts✑ ❛♥❞ ✏♣r♦❝❡ss❡s✑✿ ❝❧❛ss A → B ✇❤❡r❡ ❝❧❛ss AB ❝❧❛ss ⊥ A;A → B ⊢ B ;AB ⊢ A,B ;⊥ ⊢ ❚❤✐♥❦ ♦❢ ✏♣s❡✉❞♦ ❏❛✈❛ ❝♦❞❡✑✿ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥ ④ ❇ ❝❛❧❧✭❆ ❛✮❀ ⑥ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ❙♣❧✐tt❡r ④ ❆✱❇ s♣❧✐t✭✮❀ ⑥ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ❚❤r♦✇✐♥❣ ④ t❤r♦✇✭✮❀ ⑥

❖❜❥❡❝t✲♦r✐❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

• ✐✈❡♥ ♦❜❥❡❝t t❤❛t ✐♠♣❧❡♠❡♥ts A → B✱ ✐♠♣❧❡♠❡♥t (A → ⊥)B✳

■❢ s♣❧✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞✱ ❝r❡❛t❡ ❛ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ❢♦r❦ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣r♦❝❡ss✳

✶ ■♥ t❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡ss✱ r❡t✉r♥ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭A → ⊥✮✳ ❲❤❡♥ t❤❛t

❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✇❡ s✉♣♣❧② t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t A t♦ ♦✉r ❝❤❛♥♥❡❧✱ ❛♥❞ ❦✐❧❧ ♦✉r ♣r♦❝❡ss ✭⊥✮✳

✷ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r♦❝❡ss✱ ✇❡ ✇❛✐t ❢♦r t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ s✉♣♣❧② A✳

❖♥❝❡ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ A✱ ✇❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ A → B✱ ❛♥❞ t❤✉s ♦❜t❛✐♥ B✳ ❲❡ r❡t✉r♥ B✳

❚❤❡ s♣❧✐t ♠❡t❤♦❞ t❤✉s r❡t✉r♥s t✇✐❝❡ ✭♦♥❡ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣r♦❝❡ss✮✳ ❖♥❝❡ t❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡ss ❝❛❧❧s A → ⊥✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❦✐❧❧❡❞✳ ❖♥❧② ❛❢t❡r t❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡ss ✐s ❦✐❧❧❡❞ ✇✐❧❧ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r♦❝❡ss ❵st❛rt✬✳

❖❜❥❡❝t✲♦r✐❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡

• ✐✈❡♥ ♦❜❥❡❝t t❤❛t ✐♠♣❧❡♠❡♥ts (A → ⊥)B✱ ✐♠♣❧❡♠❡♥t A → B✳

■❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞✱ ✇❡ ❝❛❧❧ s♣❧✐t✳

✶ ■❢ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✭A → ⊥✮✱ ✇❡ ❝❛❧❧ ✐t ❜② s✉♣♣❧②✐♥❣ A✳ ❖✉r ♣r♦❝❡ss ✐s

❦✐❧❧❡❞ ✭⊥✮✱ s♦ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ r❡t✉r♥ B✳

✷ ■❢ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ B✱ ✇❡ s✐♠♣❧② r❡t✉r♥ ✐t✳

❍②♣♦t❤❡s✐s✿ t❤✐s ✐s ❛ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤❡ t✇♦ ❝❧❛ss❡s ❛r❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝✳

❖❜❥❡❝t✲♦r✐❡♥t❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ■♠♣❧❡♠❡♥t (A → B)(B → A)✱ ❛①✐♦♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r✐t②✳ ■❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ s♣❧✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞✱ ✇❡ ❝r❡❛t❡ t✇♦ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛♥❞ ❢♦r❦ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣r♦❝❡ss✳

✶ ■♥ t❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡ss✱ r❡t✉r♥ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ (A → B)✳ ❖♥❝❡ t❤❛t ✐s

❝❛❧❧❡❞✱ ✇❡ s✉♣♣❧② A t♦ t❤❡ ✜rst ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❲❡ ✇❛✐t t♦ ♦❜t❛✐♥ B ❢r♦♠ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❤❛♥♥❡❧✱ r❡t✉r♥✐♥❣ ✐t ❛❢t❡r ✐t ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳

✷ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r♦❝❡ss ✇❡ r❡t✉r♥ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ (B → A)✳

❖♥❝❡ t❤❛t ✐s ❝❛❧❧❡❞✱ ✇❡ s✉♣♣❧② B t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❲❡ ✇❛✐t t♦ ♦❜t❛✐♥ A ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst ❝❤❛♥♥❡❧✳

❲❡ ❝❛♥ tr❛♥s❧❛t❡ t❤✐s ♣r♦t♦❝♦❧ t♦ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♥❣ ♣r♦❣r❛♠ ❢♦r s✐♥❣❧❡ ♣r♦❝❡ss♦r✳

❉❡ss❡rt

P❧❛♥ ♦❢ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ ❲r✐t❡ ♠❛st❡rs t❤❡s✐s ✭✺ ♠♦♥t❤s✮ ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦✿

• ❛t❤❡r ✐♥t✉✐t✐✈❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❝♦❞❛t❛✳

■♥✈❡st✐❣❛t❡ t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♣r♦♦❢s ♦❢ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✳ ■♥✈❡st✐❣❛t❡ ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ♣r♦♦❢s ♦❢ ❝♦r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✳ ■♥✈❡st✐❣❛t❡ ❝♦♥❝✉rr❡♥t t②♣❡ ❝❤❡❝❦✐♥❣✳ ■♥✈❡st✐❣❛t❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✭✈✐③✳ ❘❡♦✮✳ ■♥✈❡st✐❣❛t❡ r❛t✐♦♥❛❧✴✐rr❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳

❉❡ss❡rt

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣✉t❡rs✳