Pr s rs - - PowerPoint PPT Presentation

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

P❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ ✉♥✐♠♦❞❛❧ ✐♥✈❡rs❡ ❧✐♠✐t s♣❛❝❡s

❆♥❛ ❆♥✉➨✐➣ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❩❛❣r❡❜✱ ❈r♦❛t✐❛

❈♦❛✉t❤♦rs✿ ❍❡♥❦ ❇r✉✐♥✱ ❏❡r♥❡❥ ❷✐♥↔ ✭❱✐❡♥♥❛✮

❚♦♣♦s②♠✱ ❏✉❧② ✷✺✲✷✾ ✷✵✶✻ Pr❛❣✉❡

✶ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❯♥✐♠♦❞❛❧ ♠❛♣

❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♠❛♣ f : [✵, ✶] → [✵, ✶] ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✉♥✐♠♦❞❛❧ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t c s✉❝❤ t❤❛t f |[✵,c) ✐s str✐❝t❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✱ f |(c,✶] ✐s str✐❝t❧② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❛♥❞ f (✵) = f (✶) = ✵✳ Pr♦t♦t②♣❡ ✲ t❡♥t ♠❛♣ ❢❛♠✐❧② {Ts : s ∈ [✵, ✷]} Ts(x) :=

• sx, x ∈ [✵, ✶/✷]

s(✶ − x), x ∈ [✶/✷, ✶].

• ✶

✶ ✵

✶ ✷ s ✷ ˜ s ✷

✡ ✡ ✡ ✡ ✡❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ✪ ✪ ✪ ✪❡ ❡ ❡ ❡

❋♦r ✉♥✐♠♦❞❛❧ ♠❛♣ T ❞❡✜♥❡ ✐♥✈❡rs❡ ❧✐♠✐t s♣❛❝❡ ❛s X := ❧✐♠ ← −([✵, ✶], T) := {(. . . , x−✷, x−✶, x✵) : xi ∈ [✵, ✶], T(xi−✶) = xi} ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt ❝✉❜❡✳

✷ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

P❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ❝♦♥t✐♥✉❛

❈♦♥t✐♥✉✉♠ ✐s ❛ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ❆ ❝❤❛✐♥ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♦♣❡♥ s❡ts C := {ℓi}n

i=✶ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡

❧✐♥❦s ℓi s❛t✐s❢② ℓi ∩ ℓj = ∅ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ |i − j| ≤ ✶✳ ❈❤❛✐♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ε✲❝❤❛✐♥ ✐❢ t❤❡ ❧✐♥❦s ❛r❡ ♦❢ ❞✐❛♠❡t❡r ❧❡ss t❤❛♥ ε✳ ❈♦♥t✐♥✉✉♠ ✐s ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ✐❢ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦✈❡r❡❞ ❜② ❛♥ ε✲❝❤❛✐♥ ❢♦r ❡✈❡r② ε > ✵✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❘✳ ❍✳ ❇✐♥❣ ✶✾✺✶✳✮ ❊✈❡r② ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛♥ ❜❡ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❏✳ ❘✳ ■s❜❡❧❧✱ ✶✾✺✾✳✮ ❈♦♥t✐♥✉✉♠ ✐s ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ✐✛ ✐t ✐s ✐♥✈❡rs❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛r❝s✳

✸ ✴ ✶✾

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❊①♣❧✐❝✐t ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ ❯■▲s

❇r✉❝❦s ❛♥❞ ❉✐❛♠♦♥❞ ✭✶✾✾✺✮ ✲ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ✉s✐♥❣ s②♠❜♦❧✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❯■▲s ❇r✉✐♥ ✭✶✾✾✾✮ ✲ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❤✐❢t ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ❡①t❡♥❞s t♦ ❛ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♠❛♣ ♦♥ R✷✳ ✭❇❛r❣❡✱ ▼❛rt✐♥✱ ✶✾✾✵✳✱ ❇♦②❧❛♥❞✱ ❞❡ ❈❛r✈❛❧❤♦✱ ❍❛❧❧ ✷✵✶✷✳✮ ❙❤✐❢t ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ σ: X → X✱ σ((. . . , x✵)) := (. . . , x✵, T(x✵)) ◗✉❡st✐♦♥✭s✮ ✭❇♦②❧❛♥❞ ✷✵✶✺✳✮ ❈❛♥ ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ X ❜❡ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ R✷ ✐♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✇❛②s❄ ❨❊❙✦ ❙✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❤✐❢t✲❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❡❄ ❖P❊◆✦

✹ ✴ ✶✾

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❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❉❡♥♦t❡ t✇♦ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ X ❜② g✶ : X → E✶ ⊂ R✷ ❛♥❞ g✷ : X → E✷ ⊂ R✷✳ ❲❡ s❛② t❤❛t g✶ ❛♥❞ g✷ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ h: E✶ → E✷ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ♣♦✐♥t a ∈ X ⊂ R✷ ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ✭✐✳❡✳✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ♦❢ X✮ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❛r❝ A = [x, y] ⊂ R✷ s✉❝❤ t❤❛t a = x ❛♥❞ A ∩ X = {a}✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t U ⊂ X ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡✱ ✐❢ U ❝♦♥t❛✐♥s ❛♥ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ♣♦✐♥t✳

✺ ✴ ✶✾

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❑♥❛st❡r ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❑ ✲ ❢✉❧❧ ✉♥✐♠♦❞❛❧ ♠❛♣

▼❛②❡r ✭✶✾✽✸✮ ✲ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧② ♠❛♥② ♥♦♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ K ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♠❡ ❡♥❞ str✉❝t✉r❡ ❛♥❞ s❛♠❡ s❡t ♦❢ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ♣♦✐♥ts✳ ▼❛❤❛✈✐❡r ✭✶✾✽✾✮ ✲ ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦♠♣♦s❛♥t U ⊂ K t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ K s✉❝❤ t❤❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ♦❢ U ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❙❝❤✇❛rt③ ✭✶✾✾✷✱ P❤❉ t❤❡s✐s✮ ✲ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧② ♠❛♥② ♥♦♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ K ❉❡ ☛❜s❦✐ ✫ ❚②♠❝❤❛t②♥ ✭✶✾✾✸✮ ✲ st✉❞② ♦❢ ❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐t② ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❑♥❛st❡r ❝♦♥t✐♥✉❛

✻ ✴ ✶✾

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Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❘❡s✉❧ts

❋♦r ❡✈❡r② ✭♥♦t r❡♥♦r♠❛❧✐③❛❜❧❡✱ ♥♦ ✇❛♥❞❡r✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧s✮ ✉♥✐♠♦❞❛❧ ♠❛♣ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧② ♠❛♥② ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ❜② ♠❛❦✐♥❣ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥t ❛❝❝❡ss✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳✱ ❇r✉✐♥✱ ❷✐♥↔✱ ✷✵✶✻✮ ❋♦r ❡✈❡r② ♣♦✐♥t a ∈ X t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ X ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ s✉❝❤ t❤❛t a ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡✳ ❊✈❡r② ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ h: X → X ✐s ✐s♦t♦♣✐❝ t♦ σR ❢♦r s♦♠❡ R ∈ Z ✭❇r✉✐♥ ✫ ➆t✐♠❛❝✱ ✷✵✶✷✮✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧② ♠❛♥② ♥♦♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ X ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✳

✽ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❙②♠❜♦❧✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥

■t✐♥❡r❛r② ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t x ∈ [✵, ✶] ✐s I(x) := ν✵(x)ν✶(x) . . .✱ ✇❤❡r❡ νi(x) := ✵, T i(x) ∈ [✵, c], ✶, T i(x) ∈ [c, ✶]. ❚❤❡ ❦♥❡❛❞✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ν = I(T(c)) = c✶c✷c✸ . . .✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ s❡q✉❡♥❝❡ (si)i≥✵ ✐s ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ✐❢ ✐t ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❛s ❛♥ ✐t✐♥❡r❛r② ♦❢ s♦♠❡ ♣♦✐♥t x ∈ [✵, ✶] ❉❡✜♥❡ Σadm := {(si)i∈Z : sksk+✶ . . . ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② k ∈ Z}. ❚❤❡♥ X ≃ Σadm/∼✱ ✇❤❡r❡ s ∼ t ⇔ si = ti ❢♦r ❡✈❡r② i ∈ Z✱ ♦r ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts k ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t si = ti ❢♦r ❛❧❧ i = k ❜✉t sk = tk ❛♥❞ sk+✶sk+✷ . . . = tk+✶tk+✷ . . . = ν✳ ❚♦♣♦❧♦❣② ♦♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ s♣❛❝❡✿ d((si)i∈Z, (ti)i∈Z) :=

i∈Z |si−ti| ✷|i| .

✾ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❇❛s✐❝ ❛r❝s

▲❡t ← − s = . . . s−✷s−✶. ∈ {✵, ✶}−N ❜❡ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❧❡❢t✲✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✭✐✳❡✳✱ ❡✈❡r② ✜♥✐t❡ s✉❜✇♦r❞ ✐s ❛❞♠✐ss✐❜❧❡✮✳ ❇❛s✐❝ ❛r❝ ✭♠❛② ❜❡ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✮ ✐s A(← − s ) := {x ∈ X : νi(x) = si, ∀i < ✵} ⊂ X τL(← − s ) := s✉♣{n > ✶ : s−(n−✶) . . . s−✶ = c✶c✷ . . . cn−✶, #✶(c✶ . . . cn−✶) ♦❞❞} τR(← − s ) := s✉♣{n ≥ ✶ : s−(n−✶) . . . s−✶ = c✶c✷ . . . cn−✶, #✶(c✶ . . . cn−✶) ❡✈❡♥}, ✇❤❡r❡ #✶(a✶ . . . an) ✐s ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♥❡s ✐♥ ❛ ✇♦r❞ a✶ . . . an ⊂ {✵, ✶}n ▲❡♠♠❛ ✭❇r✉✐♥✱ ✶✾✾✾✳✮ ▲❡t ← − s ∈ {✵, ✶}−N ❜❡ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ s✉❝❤ t❤❛t τL(← − s ), τR(← − s ) < ∞✳ ❚❤❡♥ π✵(A(← − s )) = [T τL(←

− s )(c), T τR(← − s )(c)].

■❢ ← − t ∈ {✵, ✶}−N ✐s ❛♥♦t❤❡r ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❧❡❢t✲✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t si = ti ❢♦r ❛❧❧ i < ✵ ❡①❝❡♣t ❢♦r i = −τR(← − s ) = −τR(← − t ) ✭♦r i = −τL(← − s ) = −τL(← − t )✮✱ t❤❡♥ A(← − s ) ❛♥❞ A(← − t ) ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✳

✶✵ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

P❧❛♥❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

■❞❡❛✿ ❞r❛✇ ❡✈❡r② ❜❛s✐❝ ❛r❝ ❛s ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ❛r❝ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ ❥♦✐♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ♣♦✐♥ts ❜② s❡♠✐✲❝✐r❝❧❡s✳ ❍♦r✐③♦♥t❛❧ ❛r❝s ♠✉st ❜❡ ❛rr❛♥❣❡❞ s✉❝❤ t❤❛t s❡♠✐✲❝✐r❝❧❡s ❞♦ ♥♦t ✐♥t❡rs❡❝t ❛♥❞ r❡s♣❡❝t✐♥❣ t❤❡ ♠❡tr✐❝ ♦♥ s②♠❜♦❧ s❡q✉❡♥❝❡s✦

❄ π✵ ✎ ✍

T ✷(c) T ✸(c) T(c) A((✵✶✶)∞✶✶✵.) A((✵✶✶)∞✵✶✵.)

✶✶ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❖r❞❡r✐♥❣ ♦♥ ❜❛s✐❝ ❛r❝s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❖r❞❡r✐♥❣ ♦♥ ❜❛s✐❝ ❛r❝s ✇rt L✮

▲❡t L = . . . l−✷l−✶. ❜❡ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❧❡❢t✲✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡✳ ▲❡t ← − s , ← − t ∈ {✵, ✶}−N ❛♥❞ ❧❡t k ∈ N ❜❡ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡r s✉❝❤ t❤❛t s−k = t−k✳ ❚❤❡♥ ← − s ≺L ← − t ⇔

• t−k = l−k ❛♥❞ #✶(s−(k−✶) . . . s−✶) − #✶(l−(k−✶) . . . l−✶) ❡✈❡♥✱ ♦r

s−k = l−k ❛♥❞ #✶(s−(k−✶) . . . s−✶) − #✶(l−(k−✶) . . . l−✶) ♦❞❞✱ ✇❤❡r❡ #✶(a✶ . . . an) ✐s ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♥❡s ✐♥ ❛ ✇♦r❞ a✶ . . . an ⊂ {✵, ✶}n✳

▲❡t ← − s ∈ {✵, ✶}N ❜❡ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❧❡❢t✲✐♥✜♥✐t❡ s❡q✉❡♥❝❡✳ ❉❡✜♥❡ ψL : {✵, ✶}−N → C ❛s ψL(← − s ) :=

∞

• i=✶

(−✶)#✶(l−i...l−✶)−#✶(s−i...s−✶)✸−i + ✶ ✷, ◆♦t❡ t❤❛t ψL(L) = ✶ ✐s t❤❡ ❧❛r❣❡st ♣♦✐♥t ✐♥ C✱ ✇❤❡r❡ C ✐s ❛ ♠✐❞❞❧❡✲t❤✐r❞ ❈❛♥t♦r s❡t ✐♥ [✵, ✶]✳

✶✷ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

✵. ✶. ✶✵. ✵✵. ✵✶. ✶✶.

✶✶✵. ✵✶✵. ✵✵✵. ✶✵✵. ✶✵✶. ✵✵✶. ✵✶✶. ✶✶✶.

(a) ✵. ✶. ✵✵. ✶✵. ✶✶. ✵✶.

✶✵✵. ✵✵✵. ✵✶✵. ✶✶✵. ✶✶✶. ✵✶✶. ✵✵✶. ✶✵✶.

(b)

❋✐❣✉r❡✿ (a) L = . . . ✶✶✶. ❛♥❞ (b) L = . . . ✶✵✶.

✶✸ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❊♠❜❡❞❞✐♥❣

P❧❛♥❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛s✐❝ ❛r❝ A = A(← − s ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s (π✵(A), ψL(← − s ))✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡♥❞♣♦✐♥ts ❛r❡ ❥♦✐♥❡❞ ❜② ❛ s❡♠✐✲❝✐r❝❧❡✳

(✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✵✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✵✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✵✶✵✵✶✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✶✵.

❋✐❣✉r❡✿ ν = ✶✵✵✶✶✵✵✶✵ . . .✱ L = ✶∞.

✶✹ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤ (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✵✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✶✶. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✵✶✵✵✶✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✵✶✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✵✶✵✵. (✶✵✶)∞✶✵✶✶✵✶✶✵✵.

❋✐❣✉r❡✿ ❊♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❛r❝ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣✐❝t✉r❡✱ ✇✐t❤ L = (✶✵✶)∞.

✶✺ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ t❤❡♦r❡♠

❆ss✉♠❡ t❤❛t a = (. . . , a−✶, a✵) ∈ X ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ ❜❛s✐❝ ❛r❝ A = A(. . . l−✷l−✶)✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣❧❛♥❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ X ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ♠❛❦✐♥❣ L = . . . l−✷l−✶. t❤❡ ❧❛r❣❡st✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥t a ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s (a✵, ✶)✳

A a

✶✻ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❙♦♠❡ ❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

❆♥ ❛r❝✲❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❢✉❧❧②✲❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ✐❢ ❡✈❡r② ♣♦✐♥t ✐♥ ✐t ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡✳ ❛r❝✲❝♦♠♣♦♥❡♥t U ∋ (. . . , ✵, ✵) ✐s ❛❧✇❛②s ❢✉❧❧②✲❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ✭❡①❝❡♣t ✐♥ ♥♦♥✲st❛♥❞❛r❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ ❑♥❛st❡r ❝♦♥t✐♥✉✉♠✮ ❢♦r ❡✈❡r② ✉♥✐♠♦❞❛❧ ✐♥✈❡rs❡ ❧✐♠✐t s♣❛❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ✇✐t❤ ❡①❛❝t❧② ✶✱ ✷✱ ❛♥❞ ✸ ❢✉❧❧②✲❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ✭♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡✮ ❛r❝✲❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❢♦r ❡✈❡r② n ∈ N t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ♣❧❛♥❛r ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ✇✐t❤ ❡①❛❝t❧② n ❢✉❧❧②✲❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❝♦♠♣♦s❛♥ts ✭♥❛♠❡❧② ❝♦r❡s ♦❢ ν = (✶✵n−✷✶)∞ ✐♥ ❇r✉❝❦s✲❉✐❛♠♦♥❞ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✮✳

✶✼ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

■♥ s♦♠❡ ✭r❡❝✉rr❡♥t✮ ❯■▲s t❤❡r❡ ❡①✐st ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❛r❝✲❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✭❇❛r❣❡✱ ❇r✉❝❦s✱ ❉✐❛♠♦♥❞✱ ✶✾✾✻✳✮✳ ❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ s✉❝❤ ♣♦✐♥t ✐s ❡♠❜❡❞❞❡❞ t❤❡ ❧❛r❣❡st❄ ✭❲❡ st✐❧❧ ❝❛♥♥♦t ♦❜t❛✐♥ s②♠❜♦❧✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ♣♦✐♥ts✮ ✭◆❛❞❧❡r ❛♥❞ ◗✉✐♥♥ ✶✾✼✷✳✮ ■❢ X ✐s ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❛♥❞ x ∈ X ✐s ❛ ♣♦✐♥t✱ ❞♦❡s t❤❡r❡ ❡①✐st ❛ ♣❧❛♥❛r ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ X s✉❝❤ t❤❛t x ✐s ❛❝❝❡ss✐❜❧❡❄ ✭▼❛②❡r ✶✾✽✷✳✮ ❆r❡ t❤❡r❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧② ♠❛♥② ✐♥❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ♦❢ ❡✈❡r② ❝❤❛✐♥❛❜❧❡ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ✭✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ s❡t ♦❢ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♠❡ ❡♥❞ str✉❝t✉r❡❄✮ ♣r✐♠❡ ❡♥❞s✱ ❲❛❞❛ ❝❤❛♥♥❡❧s ✳✳✳

✶✽ ✴ ✶✾

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❙②♠❜♦❧✐❝s ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❋✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤

❚❤❛♥❦ ②♦✉✦

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