Pr rtt t - - PowerPoint PPT Presentation

P❛✐r✐♥❣ ✿ ❛♥ ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇

◆❛❞✐❛ ❊▲ ▼❘❆❇❊❚ ❯♥✐✈❡rs✐té ▼♦♥t♣❡❧❧✐❡r ■■ ❏♦✉r♥é❡s ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡s ❊❞✐♥❜✉r❣❤ ❏✉❧② ✷✵✵✼

P❛✐r✐♥❣s ❢♦r ❝r②♣t♦❣r❛♣❤❡rs

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❉❛t❛

• ♥ ∈ N∗✳
• ●✶ ❛♥❞ ●✷ t✇♦ ❛❞❞✐t✐✈❡s ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣s ♦❢ ♦r❞❡r ♥✳
• ●✸ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♦r❞❡r ♥✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ ♣❛✐r✐♥❣ ✐s ❛ ♠❛♣ ✿ ❡ : ●✶ × ●✷ → ●✸

P❛✐r✐♥❣s ❢♦r ❝r②♣t♦❣r❛♣❤❡rs

Pr♦♣❡rt✐❡s

• ❇✐❧✐♥❡❛r ✿ ∀P, P′ ∈ ●✶, ∀◗ ∈ ●✷

❡(P + P′, ◗) = ❡(P, ◗).❡(P′, ◗) ❡(P, ✐◗) = ❡(P, ◗)✐

• ◆♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ✿

∀P ∈ ●✶ − {✵}, ∃◗ ∈ ●✷ s.t. ❡(P, ◗) = ✶

P❛✐r✐♥❣s ❢♦r ❝r②♣t♦❣r❛♣❤❡rs

❈r②♣t♦❣r❛♣❤✐❝ ✉s❡

❉❡str✉❝t✐✈❡ ✿

• ▼❖❱ ❛tt❛❝❦ ✿ ▼❡♥❡③❡s✱ ❖❦❛♠♦t♦ ❛♥❞ ❱❛♥st♦♥❡✳✭✶✾✾✸✮

❈♦♥str✉❝t✐✈❡ ✭s✐♥❝❡ ✷✵✵✵✮ ✿

• ❚r✐ ♣❛rt✐t❡ ❉✐✣❡ ❍❡❧❧♠❛♥ ❦❡② ❡①❝❤❛♥❣❡✳
• ■❞❡♥t✐t② ❜❛s❡❞ s❝❤❡♠❡✳
• ❙❤♦rt s✐❣♥❛t✉r❡✳

❲❡✐❧ P❛✐r✐♥❣

❆ ♥❛t✉r❛❧ t♦♦❧

• ▲❡t ❊ ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ ♦✈❡r ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ❑✳
• ♥ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ♣r✐♠❡ t♦ ❈❤❛r(❑)✳
• ❊[♥] = {◗ ∈ ❊(❑), [♥]◗ = P∞}✳
• ❋P t❤❡ r❛t✐♦♥♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t ❞✐✈(❋P) = ♥❉P

❋♦r P ❛♥❞ ◗ s✉❝❤t t❤❛t s✉♣♣(❉✐✈(❋P)) s✉♣♣(❉✐✈(❋◗)) = ∅ ✿ ❡❲ : ❊[♥] × ❊[♥] → ❯♥ ❡❲ (P, ◗) = ❋P(❉◗) ❋◗(❉P)

❘❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛✐r✐♥❣s

◆♦t❛t✐♦♥s

• ❊ ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ ♦✈❡r ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ Fq✳
• P ∈ ❊(Fq)✱ ♥ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ < P >✳
• ❦ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ✐♥t❡❣❡r s✉❝❤ t❤❛t ♥ | (q❦ − ✶)✳
• ◗ ∈ ❊(Fq❦)✳
• ❋P t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t ✿

❞✐✈(❋P) = ♥(P) − (♥P) − (♥ − ✶)P∞✳

❘❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛✐r✐♥❣s

❉❡✜♥✐t✐♦♥s

❲❡✐❧ ♣❛✐r✐♥❣ ✿

❡❲ (P, ◗) = ❋P(◗) ❋◗(P) ∈ F∗

q❦.

❚❛t❡ ♣❛✐r✐♥❣ ✿

❡❚(P, ◗) = ❋P(◗)

q❦ −✶ ♥

∈ F∗

q❦.

❲❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❜❡st ❄

▼✐❧❧❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠

❈❛❧❝✉❧❛t❡ ❋P(◗)

• ■♥✐t✐❛❧✐s❛t✐♦♥ ✿ ❚ ← P

✶✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❜✐t ♦❢ ♥ ✿

✲ ❚ ← [✷]❚ ✲ ❢✶

❢✷ ←

− ❢✶✷

❢✷✷ × ❤✶(◗) ❤✷(◗)

✷✳ ■❢ ♥✐ = ✶

✲ ❚ ← ❚ ⊕ P ✲ ❢✶

❢✷ ←

− ❢✶

❢✷ × ❤✶(◗) ❤✷(◗)

▼✐❧❧❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠

❍♦✇ ✐♠♣r♦✈❡ ✐t ❄

❚❤❡ ▼✐❧❧❡r st❡♣ ♥❡❡❞ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✜❡❧❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ Fq❦✳ Pr♦❜❧❡♠ ✿ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐♥ Fq❦ ❛r❡ ♠♦r❡ ❡①♣❡♥s✐✈❡ t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐♥ Fq✳ ❚❤❡r❡ ✐s ✭❛t ❧❡❛st✮ t✇♦ s♦❧✉t✐♦♥s ✿

• ■♠♣r♦✈❡ t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✐♥ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✜❡❧❞✳

⇒ ♣❛✐r✐♥❣ ❢r✐❡♥❞❧② ✜❡❧❞ ❛♥❞ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ s✉❜ ❣r♦✉♣✳

• ❆s s♦♦♥ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✱ tr② t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ✐♥ t❤❡ s♠❛❧❧ ✜❡❧❞✳

⇒ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ◗ ❛♥❞ ✜♥❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥ ❢♦r ❚❛t❡✳

■♠♣r♦✈✐♥❣ t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✭❢♦r ❚❛t❡ ✫ ❲❡✐❧✮

P❛✐r✐♥❣✲❋r✐❡♥❞❧② ❋✐❡❧❞s

❉❡✜♥✐t✐♦♥

Fq❦ ✐s ❛ ♣❛✐r✐♥❣ ❢r✐❡♥❞❧② ✜❡❧❞ ✐❢ ♣ ≡ ✶ ♠♦❞(✶✷) ✫ ❦ = ✷✐.✸❥✳

❚❤❡♦r❡♠

F♣❦ ❛ ♣❛✐r✐♥❣ ❢r✐❡♥❞❧② ✜❡❧❞✱ β ♥❡✐t❤❡r ❛ sq✉❛r❡ ♦r ❛ ❝✉❜❡ ✐♥ F♣ ❚❤❡♥ ❳ ❦ − β ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♦✈❡r F♣✳

❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s

F♣❦ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛s ❛ t♦✇❡r ♦❢ q✉❛❞r❛t✐❝ ❛♥❞ ❝✉❜✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥s✳ ⇒ ❛ ♣❡r❝❡♣t✐❜❧❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ F♣❦✳

■♠♣r♦✈✐♥❣ t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✭❢♦r ❚❛t❡ ✫ ❲❡✐❧✮

❈②❝❧♦t♦♠✐❝ s✉❜ ❣r♦✉♣

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❆ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢ F∗

♣❦ ♦❢ ♦r❞❡r Φ❦(q)

▲❡♠♠❛

❢♦r ❦ = ✻✱ ♣ ≡ ✷ ♦r ✺ ♠♦❞(✾) Fq✻ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❣(❳) = ❳ ✻ + ❳ ✸ + ✶

❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡s

⇒ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ❢❛st❡r ❜❡❝❛✉s❡ Φ❦(♣)|(♣❦/✷ + ✶) ❛♥❞ α−✶ = α♣❦/✷✳ ⇒ ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t sq✉❛r✐♥❣ ✿ ▲❡♥str❛ ✫ ❙t❛♠ ♠❡t❤♦❞✳

■♠♣r♦✈✐♥❣ ▼✐❧❧❡r ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✭❢♦r ❚❛t❡ ✫ ❲❡✐❧✮

❲❤❡♥ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ❞✐s❛♣♣❡❛rs

❲❤❡♥ ❦ ✐s ❡✈❡♥✱ ❛ ❜❡tt❡r ✇❛② t♦ r❡♣r❡s❡♥t ◗ ✿

• ◗ ∈ ❊(❋q❦) ✐s ✇r✐tt❡♥ (①, ②√β)

✇❤❡r❡ ①✱ ②✱ β ∈ ❋q❦/✷✱ √β ∈ ❋q❦

• ❈♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ✿ ❤✷ ∈ ❋q❦/✷✳
• ❚❤❡♥ t❤❡ ▼✐❧❧❡r st❡♣ ✐s ✿ ❢✶ ← ❢✶

✷.❤✶(◗)✳

• ❋♦r ❚❛t❡ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ✜♥❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥✳
• ❋♦r ❲❡✐❧ ❜❡❝❛✉s❡ ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ r❡s✉❧t✳

■♠♣r♦✈✐♥❣ t❤❡ ✜♥❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥✭ ❢♦r ❚❛t❡✮

❚♦ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ω

q❦ −✶ ♥

✿

• ❆s ♥/Φ❦(q)
• ω

q❦ −✶ ♥

=

• ω

q❦ −✶ Φ❦ (q)

Φ❦ (q)

♥

• ❚❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣♦✇❡r q❦−✶

Φ❦(q) ✐s ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡ t♦✇❡r

♦❢ ❡①t❡♥s✐♦♥✱ s♦ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦st ❛ ❧♦t✳

• ❚❤❡ ♠♦r❡ ❡①♣❡♥s✐✈❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ♣♦✇❡r Φ❦(q)

♥ ✳ ⇒ ■♥st❡❛❞ ♦❢ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ✐♥ Fq❦✱ ▲✉❝❛s ❙❡q✉❡♥❝❡ ✉s❡s

❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ Fq❦/✷✳

❚❛t❡ ♦r ❲❡✐❧ ✐♥ ♦❞❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝

❦ P❛✐r✐♥❣ ❢r✐❡♥❞❧② ❈②❝❧♦t♦♠✐❝ ✷ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✶✾✷ ❜✐ts ◆♦t❤✐♥❣ ✻ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✷✺✻ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✷✺✻ ✶✷ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✷✺✻ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✶✾✷ ✷✹ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✷✺✻ ❚❛t❡ ❜❡tt❡r ❢♦r ❧✳s✳ < ✷✺✻

❈❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ✷

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠♦r❡ s✐♠♣❧❡✳

• ❖♥❧② ♦♥❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥✳
• ❆✣♥❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t t❤❡♥ ❏❛❝♦❜✐❡♥✳
• ❙❡✈❡r❛❧ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❚❛t❡ ♣❛✐r✐♥❣✱ ♥♦♥❡ ❢♦r ❲❡✐❧✳

❙♦✱ ❚❛t❡ ✐s ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t t❤❛♥ ❲❡✐❧✳ ❋✉rt❤❡r ✇♦r❦ ✿

• ❚r②✐♥❣ t♦ ✐♠♣r♦✈❡ ❲❡✐❧✳
• ❋✐♥❞✐♥❣ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❧❡✈❡❧ s❡❝✉r✐t② ❲❡✐❧ ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t

t❤❛♥ ❚❛t❡✳

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✳