Prof. Lucas de Souza Batista - DEE/EE/UFMG Otimização Multiobjective Evolutionary Algorithm based on Multiobjetivo Decomposition (MOEA/D)
Introdução ❖ O MOEA/D decompõe um problema de otimização multiobjetivo em N subproblemas de otimização escalar; ❖ Esses subproblemas são otimizados simultaneamente a partir da evolução de uma população de soluções; ❖ Em cada geração, a população é composta pelas melhores soluções encontradas para cada subproblema; ❖ Cada subproblema é otimizado considerando apenas informações de subproblemas vizinhos; ❖ Apresenta baixa complexidade computacional se comparado a métodos populares: NSGA-II, MOGLS;
Introdução ❖ O MOEA/D provê uma maneira simples e eficiente para introdução de técnicas de decomposição em MOEAs; ❖ Simplifica a atribuição de fitness e manutenção de diversidade (em relação a outros MOEAs); ❖ Permite a inclusão de técnicas de normalização dos objetivos para lidar com diferentes escalas; ❖ Viabiliza a otimização dos subproblemas por métodos de otimização escalar, o que representa uma grande vantagem em relação a MOEAs tradicionais;
Problema de Otimização Multiobjetivo (1)
Estratégias de Decomposição ❖ Weighted Sum Approach optimal point to (1), where we use
Estratégias de Decomposição ❖ Tchebycheff Approach where is the reference point, i.e.,
Estratégias de Decomposição ❖ Tchebycheff Approach
Estratégias de Decomposição ❖ Penalty-based Boundary Intersection (PBI) Approach
Estratégias de Decomposição ❖ Penalty-based Boundary Intersection (PBI) Approach
Estratégias de Decomposição ❖ Penalty-based Boundary Intersection (PBI) Approach %"' 1 1 1 %"!$ %"' 0.75 0.75 0.75 %"!$ !"& %"!$ %"!$ %"' f 2 f 2 f 2 0.5 0.5 0.5 !"& %"!$ !"& %"' !"#$ %"!$ !"& 0.25 0.25 0.25 !"#$ !"& !"& !"#$ !"#$ !"#$ !"#$ 0.25 0.5 0.75 1 0.25 0.5 0.75 1 0.25 0.5 0.75 1 f 1 f 1 f 1
Vetores de Agregação ❖ Simplex-Lattice Design � 0 H , 1 H , 2 � H , · · · ,H λ i , ∀ i = 1 , . . . ,N e j = 1 , . . . ,n f j ∈ H ❖ em que H é um inteiro positivo (definido pelo usuário); ❖ O número de vetores (igual ao tamanho da população) é dado por: H + n f − 1 N = C n f − 1
Vetores de Agregação ❖ Simplex-Lattice Design ❖ Por exemplo, assumindo n f = 3 objetivos e diferentes valores de H , tem-se: N = C 3 H = 1 , 2 = 3 , λ ∈ { (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 1) } λ λ N = C 4 H = 2 , 2 = 6 , λ λ ∈ { (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 1) , (0 , 1 / 2 , 1 / 2) , (1 / 2 , 0 , 1 / 2) , (1 / 2 , 1 / 2 , 0) } λ ⎧ (1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 1) , (0 , 1 / 3 , 2 / 3) , (1 / 3 , 0 , 2 / 3) , (1 / 3 , 2 / 3 , 0) ⎪ ⎨ N = C 5 H = 3 , 2 = 10 , λ λ λ ∈ (0 , 2 / 3 , 1 / 3) , (2 / 3 , 0 , 1 / 3) , (2 / 3 , 1 / 3 , 0) , (1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3) . ⎪ ⎩ (2
Vetores de Agregação A structured set of reference points (β ) is generated spanning a hyper A structured set of reference points (β ) is generated spanning a hyper plane with a uniform spacing of δ = 1/p for any number ❖ Simplex-Lattice Design plane with a uniform spacing of δ = 1/p for any number ❖ Por exemplo, assumindo n f = 3 e H = 5 : δ δ (a) Fig. 4. (a) the reference points are generated computing β’s recursively ( Fig. 4. (a) the reference points are generated computing β’s recursively ( the table shows the combination of all β’s in each column the table shows the combination of all β’s in each column
Vetores de Agregação ❖ Simplex-Lattice Design ❖ Por exemplo, assumindo n f = 3 e H = 4 : 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 ...... 0 1 0.75 0.5 0.25 0 0.75 0.5 0.25 0 0
MOEA/D Framework At each generation , MOEA/D with the Tchebycheff ap- proach maintains: • a population of points , where is the current solution to the th subproblem; • , where is the -value of , i.e., for each ; • , where is the best value found so far for objective ; • an external population (EP), which is used to store non- dominated solutions found during the search.
MOEA/D Framework Input : • MOP (1); • a stopping criterion; : the number of the subproblems considered in • MOEA/D; • a uniform spread of weight vectors: ; • : the number of the weight vectors in the neighborhood of each weight vector. Output : .
MOEA/D Framework Step 1) Initialization : Step 1.1) Set . Step 1.2) Compute the Euclidean distances between any two weight vectors and then work out the closest weight vectors to each weight vector. For each , set , where are the closest weight vectors to . Step 1.3) Generate an initial population randomly or by a problem-speci fi c method. Set . Step 1.4) Initialize by a problem-speci fi c method.
MOEA/D Framework Step 2) Update : For , do Step 2.1) Reproduction : Randomly select two indexes from , and then generate a new solution from and use “>" for by using genetic operators. minimization Step 2.2) Improvement : Apply a problem-speci fi c repair/ improvement heuristic on to produce . Step 2.3) Update of : For each , if , then set . Step 2.4) Update of Neighboring Solutions : For each index , if , then set and . Step 2.5) Update of : Remove from all the vectors dominated by . Add to if no vectors in dominate .
MOEA/D Framework Step 3) Stopping Criteria : If stopping criteria is satis fi ed, then stop and output . Otherwise, go to Step 2 .
Referências ❖ Q. Zhang & H. Li, MOEA/D: A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition , IEEE TEC, v. 11, no. 6, pp. 712-731, 2007. ❖ H. Li & Q. Zhang, Multiobjective optimization problems with complicated Pareto sets, MOEA/D and NSGA-II , v. 13, no. 2, pp. 284-302, 2009.
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