“Physics of glassy and granular materials” Satellite meeting of STATPHYS25 YITP, Kyoto, July 17th, 2013 On the rigidity of jamming systems at finite temperatures Hajime Yoshino (Department of Earth and Space Science, School of Science, Osaka. Univ.) Satoshi Okamura and Hajime Yoshino, arXiv:1306:2777
Outline Background Shear-modulus of a thermalized jamming system : cloned liquid approach MD simulations of stress-relaxations : response and correlation Discussions
温度効果のあるジャミング転移 � エマルション (emlusion; � 乳濁液， � 乳剤) � unjam � jam � 水と油など， 混ざり合わない液体が � ミセルを形成して � 一方が液滴となって他方に分散している系 � Repulsive contact systems 接触力 � Emulsions ドデカン液滴 � 10 µ m (in 水+グルコース) � エントロピー弾性 � Room temperature E. R. Weeks and � 温度効果なしや液体では0 � E. R. Weeks, k B T/ � ∼ 10 − 5 in "Statistical Physics of Complex Fluids", C. Holinger(2007) � Eds. S Maruyama & M Tokuyama (Tohoku University Press, Sendai, Japan, 2007). エマルションの圧力と剛性率の測定（室温） � A simplified model 身近では.) マヨネーズ， � 木工用ボンド， � など � (大きい○=圧力, 黒シンボル=剛性率) � (s: 表面張力, R: � 粒径) � � T. G. Mason et al. (1997) � U = v ( r ij ) r ij = | r i − r j | 圧力と剛性率の振る舞いがほぼ同じ � v ( r ) / � 液滴(粒子)間の相互作用の大きさで � → 温度効果のない数値計算 � � ij � 換算して温度 T ~ 10 -5 � 1 では出てこない � v ( r ) = � (1 − r/ � ) 2 � (1 − r/ � ) cf. C. S. O’Hern et al. (2003) 等 � 0.8 �� � 0.6 0.4 T → 0 e − v ( r ) /k B T = θ ( r/ σ − 1) lim 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Essentially “hard-spheres” at low temperatures. r/ σ Unharmonicity, floppiness, marginal stability.. C. F. Schreck, T. Bertrand, C. S. O’Hern, and M. D. Shattuck, Phys. Rev. Lett. 107, 078301 (2011). M. Wyart, Phys. Rev. Lett. 109, 125502 (2012). J. Kurchan, G. Parisi, P. Urbani and F. Zamponi, arXiv.1303.1028 E. Lerner, G. During and M. Wyart arXiv.1302.3990
Mean-field phase diagram Kauzmann temperature Cloned liquid theory (replica + liquid theory) ”unjammed ” glass(1RSB) liquid “jammed” Glass close packing density (“ideal” J-point) G. Parisi and F. Zamponi, Rev. Mod. Phys. 82, 789 (2010) L. Berthier, H. Jacquin and Z. Zamponi, Phys. Rev. Lett. 106, 135702 (2011) and Phys. Rev. E 84, 051103 (2011). T T K ( φ ) T MCT ( φ ) Distance to the J-point ( T, δφ ) δφ = φ − φ GCP φ MCT φ φ K φ GCP Possibility of 1+continuous RSB: J. Kurchan, G. Parisi, P. Urbani and F. Zamponi, arXiv.1303.1028
に示すように、 は 平均接触点数 のようにベキ的に振る舞う。さらに自明な「ばね定数」 で に対して、 らの距離 に示すように臨界点か は図 界特性を様々な形でしめす。平均接触点数の臨界値からの差 次転移的な臨 次転移的であるが、ジャミング転移は の不連続な振る舞いを見ると 。 は までの不連続な飛びを示す から で 模型など連続的な である。図 密度 となり、これよりも減圧するとジャミングした状態が保てなくなる。このときの体積分率がジャミング も減少してゆく。あるところで は減少し、それにともなって 規格化した剛性率 に対して線形に を準静的に減らすことを考えよう。こ 付近で 段 っとずるいが物理学の常套手段である。彼らが注目したのはいわゆる 研究を開始することは、ちょ 。アナロジーをてこに で構造ガラスと共通する性質を持つ事を一連の研究によって明らかにした 年代後半に、ある一群のスピングラス模型が様々な意味 らは スピングラス平均場模型からの示唆 良く似た状況になっていると我々は考えている。 。後述するように、構造ガラスにおいても になる。これらの性質はポテンシャル 系の問題で最初に発見されている わ 次転移の性格を併せ持った奇妙な転移は粉体模型に先駆けて、あ 次転移と 的ではない。このように は不連続に振る舞い、臨界 。一方、興味深いことに体積弾性率 いユニバーサルな性質である の形にはよらな れによって体積分率 ならば、安定な配位を維持できることがわかる。ここで、外圧 を示す模型で、 を参考にした模式図 がある閾値を越えて近づくと反発力（中心力 は接触していなければ相互作用せず、粒子間距離 理論的にはまさつの無い理想化された粉体模型の研究が集中的に行われてきた。具体的には、粒子同士 の平均粒子間距離での値。 回微分 ポテンシャルの は粒子の変形に対する 転移点直上での接触点数。弾性定数をスケールしている は空間次元 は、ジャミング の振る舞い。 、 体積弾性率 剛性率 、 まさつのない理想的な粉体模型における接触点数 図 より転載 ジャミング相図 図 を起こすとは質的に異なる動的 静的性質を示す。例として次のようなハミルトニアンで与えられ が働くという模型を考える。前述の通り、この系の非線形レオロジーを解析すると 図 が臨界密度になっていて、その近傍での非線形レオロジーはある種の動的臨界現象になって となる。したがってもし接触点数が十分大きく 均して は空間次元 、残る自由度は 個だけ自由度が減り ある。微小変形についてのエネルギーを各粒子の変位について最小化させると で する粒子間の距離の変化で表すことができるので、独立な自由度の数は接触しているペアの数 呼ぶ。この系の微小変形を仮想的に考える。どのような微小変形も 全体の回転や並進を除けば 、接触 と を平均接触点数 個のまわりの粒子と接触しているとする。この あって力の釣り合いの取れた静的なジャミングした状態が出来ているとする。このとき、 つの粒子が平 いる を掛けることを想定してみよう。内部では粒子同士が互いに接触し 個の粒子を箱につめて外から圧力 。 と呼ばれ、次のような特別な意味を持っている密度である はジャミング転移点 度 が臨界点になっていることがわかっている。この密 興味深いことに、静的な観測量から見ても密度 右図 。 図 階のレプリカ対称性の破れ Behavior of static quantities at T=0 (Friction less systems) Review: M. Van Hecke, J. Phys.: Condens. Matter 22 033101 (2010). Average contact number Bulk modulus Shear-modulus “point-J” k = � in the present system (harmonic sphere) � φ − φ J � z − z c ∝ φ − φ J P = φ − φ J µ ∝ µ � P
Experiment: rigidity of emulsions T. G. Mason, Martin-D Lacasse, Gary Grest, Dov Levine, J Bibette, D Weitz, Physical Review E 56, 3150 (1997) of advantages “mechanical” were µ “mechanical” droplet study p Laplace “entropic” drop- remain and rigidity µ small droplets. these pressure p “entropic” Laplace re- FIG. 1. The scaled shear modulus and osmotic pressure as a for function of w . The computed scaled static shear modulus which G /( s / R ) ~ 1 ! and osmotic pressure P /( s / R ) ~ line ! , as obtained and from the model presented in Sec. IV B 2, are compared with the φ J experimental values of G p 8 ( w eff ) ~ j ! and P ( w eff ) ~ s ! . FIG. 8. The scaled plateau storage modulus G /( / R ) small emulsions rigidity (shear-modulus) pressure measurements at room temperature Why not µ ∝ √ φ − φ J ? µ ∼ p k B T/ � ∼ 10 − 5 Interaction between emulsions: v ( r ) / � = (1 − r/ � ) α α = 2 α > 2? I. J. Jorjadze, L-L. Pontani and J. Brujic, PRL 111 , 048302(2013). M-D. Lacasse, G. S. Grest, D. Levin, T. G. Mason and D. A. Weitz, PRL 76 ,3448 (1996)
Outline Background Shear-modulus of a thermalized jamming system : cloned liquid approach MD simulations of stress-relaxations : response and correlation Discussions
The fluctuation formula of the rigidity and its T=0 limit Born term non-Affine correction � σ 2 � � � σ � 2 � � Rigidity µ = b � N β Harmonic expansion around energy minima (Lutsko 1989, Maloney-Lemaitre 2004,..) N = 1 corrections via � Ξ i · ( H − 1 � � � � 2 � � � � � 2 � � Ξ ) i + O ( T ) + · · · � “plasticity” N unharmonic i =1 corrections effective random spring model σ = 1 � � σ ij = rdv ( r ) x i − x j z i − z j � σ ij � N dr r ij r ij � r = r ij i<j ∂ 2 v ( r kl ) � H µ ν � � ij = � � ij Ξ i = ∂ x µ i x ν j k<l j ( � = i ) N µ IS = b IS − 1 rigidity of an inherent structure � Ξ i · ( H − 1 � � Ξ ) i N i =1
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