Localized electromagne0c waves: Waveguide & cavi0es - - PowerPoint PPT Presentation

Localized ¡electromagne0c ¡waves: ¡ Waveguide ¡& ¡cavi0es ¡

¡

• Accelerators ¡ o+en ¡ require ¡ coupling ¡ intense ¡

radio-­‑frequency ¡ (RF) ¡ wave ¡ with ¡ a ¡ charged ¡ par=cle ¡

• e.m. ¡waves ¡need ¡to ¡be ¡localized ¡in ¡waveguide ¡
• r ¡“resonant” ¡cavi=es ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 1 ¡

change ¡in ¡ ¡ energy ¡ velocity ¡

dE dt = qv v v.E E E

applied ¡ ¡ E ¡field ¡

Example ¡of ¡a ¡plane ¡wave ¡(again) ¡

• For ¡a ¡plane ¡wave ¡in ¡free ¡space: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡this ¡wave ¡travels ¡along ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡direc=on. ¡ ¡ ¡

• change ¡in ¡q’s ¡energy ¡
• wave ¡and ¡q ¡do ¡not ¡propagate ¡

along ¡same ¡direc=on ¡

2 ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡

E E E(r r r, t) = E0ei[kz−ωt]ˆ x ˆ x ˆ x +ˆ z ˆ z ˆ z ˆ z z z q ˆ x x x v v v = vˆ x x x E E E

∆E = qE0 Z +∞

−∞

vei[kz−ωt]dt ' 0

k k k

Boundary ¡condi0ons ¡

• at ¡a ¡perfect ¡conductors ¡surface: ¡

¡

• This ¡yields ¡to ¡the ¡mode ¡categoriza=on ¡

– transverse ¡magne=c ¡(TM): ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡everywhere ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ – transverse ¡electric ¡(TE): ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡everywhere ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡

3 ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡

S

z ¡

ˆ n n n ˆ n n n ˆ n n n ˆ n n n × E E E = 0 ˆ n n n.B B B = 0 Bz = 0 Ez|S = 0 ∂nBz|S = 0 Ez = 0

case ¡of ¡parallel ¡plates ¡

• consider ¡a ¡1-­‑D ¡waveguide ¡
• take ¡TE ¡mode: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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a ˆ z z z ˆ x x x E E E = Eyˆ y y y

Ey(x x x, t) = E0eiωt[e−i(kzz+kxx) − e−i(kzz−kxx)] = −2iE0ei(ωt−kzz) sin(kxx)

ˆ y y y E E E k k k B B B

case ¡of ¡parallel ¡plates: ¡boundaries ¡

• E ¡vanishes ¡at ¡the ¡plates ¡
• so ¡that ¡the ¡x ¡wavevector ¡

take ¡discrete ¡values ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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a ˆ z z z ˆ x x x ˆ y y y E E E k k k B B B

Ey(x = 0) = Ey(x = a) = 0

kx = mπ a

• Can ¡also ¡derive ¡the ¡B ¡

field ¡from ¡ ¡

r r r ⇥ E E E = dB B B dt

modes ¡

• mode ¡are ¡characterized ¡ ¡

by ¡m: ¡

– m=1 ¡ TE1 ¡ – m=2 ¡ TE3 ¡

• note ¡that ¡ ¡
• so ¡ ¡

¡

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B E

k = ω c = p (k2

z + k2 x)

k2

z =

⇣ω c ⌘2 − ⇣mπ a ⌘2

[ ¡picture ¡taken ¡from ¡L. ¡Daniel ¡(MIT)] ¡

dispersion ¡rela0ons ¡

• propaga=ng ¡modes ¡require ¡
• for ¡a ¡given ¡m ¡mode, ¡ ¡
• nly ¡frequency ¡above ¡

the ¡cutoff ¡ ¡ ¡ ¡ ¡propagates. ¡

• phase ¡velocity ¡always ¡

supraluminal… ¡ ¡

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k2

z > 0

kz ω ω = kzc ω1 ω2 vg ≡ dω/dkz vφ ≡ ω/kz ωc ≡ cmπ a

need ¡to ¡intersect ¡with ¡ ¡ light ¡line ¡for ¡coupling ¡ ¡ to ¡charged ¡par=cle ¡

2-­‑D ¡waveguides ¡

• can ¡extend ¡the ¡ ¡

same ¡formalism ¡ ¡ for ¡a ¡rectangular ¡ ¡ waveguide ¡with ¡ ¡ 4 ¡sides ¡ ¡

• modes ¡are ¡characterized ¡by ¡2 ¡indices ¡
• cutoff ¡frequency ¡is ¡

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ωc ≡ c r⇣mπ a ⌘2 + ⇣nπ b ⌘2

3-­‑D ¡boxes: ¡resonant ¡cavi0es ¡

• if ¡we ¡add ¡two ¡extra ¡wall ¡the ¡waveguide ¡is ¡

closed ¡and ¡referred ¡to ¡as ¡a ¡resonant ¡cavity ¡

• there ¡are ¡no ¡propaga=ng ¡modes ¡and ¡standing ¡

waves ¡are ¡established ¡

• the ¡mode ¡that ¡can ¡be ¡excited ¡are ¡eigenmode ¡

characterized ¡by ¡an ¡eigenfrequency ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 9 ¡

ωc ≡ c r⇣mπ a ⌘2 + ⇣nπ b ⌘2 + ⇣pπ L ⌘2

length ¡of ¡the ¡cavity ¡ ¡ in ¡z ¡direc=on ¡

cylindrical-­‑symmetric ¡cavi0es ¡

• boundary ¡condi=ons ¡
• n ¡cylindrical ¡surface ¡ ¡

¡Bessel ¡func=on ¡

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Courtesy ¡of ¡H. ¡Padamsee, ¡Fermilab ¡

TM ¡modes ¡

• c ¡

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TE ¡modes ¡

• c ¡

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Quality ¡factor ¡

• figure ¡of ¡merit ¡for ¡any ¡oscillator ¡
• P ¡comes ¡from ¡“imperfec=on” ¡in ¡the ¡system ¡

– For ¡copper ¡(normal-­‑conduc=ng) ¡cavi=es ¡this ¡ “imperfec=on” ¡ ¡ is ¡Ohmic ¡loss ¡Q=106-­‑7 ¡ – For ¡superconduc=ng ¡cavi=es ¡(no ¡Joule ¡hea=ng) ¡these ¡ imperfec=ons ¡come ¡from ¡aperture ¡use ¡to ¡couple ¡the ¡ power ¡to ¡the ¡cavity ¡along ¡with ¡other ¡needed ¡instrument ¡ Q=1010 ¡ – Non-­‑∞ ¡Q ¡→ ¡the ¡cavity ¡resonate ¡for ¡a ¡finite ¡<me ¡ ¡

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Stored ¡energy ¡ In ¡the ¡system ¡ Power ¡dissipated ¡ ¡ per ¡cycle ¡ Quality ¡ ¡ (or ¡Q-­‑) ¡factor ¡

τ ∼ Q/ω

Quality ¡factor ¡

• Q ¡is ¡also ¡representa=ve ¡of ¡=me ¡ ¡

– needed ¡to ¡fill ¡the ¡cavity ¡ – And ¡the ¡field ¡decay ¡=me ¡(a+er ¡excita=on ¡power ¡is ¡ turned ¡off) ¡

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Resonant ¡cavi0es ¡-­‑-­‑ ¡introductory ¡remarks ¡II ¡

• Example ¡of ¡cavi=es ¡ ¡

¡

• The ¡academic ¡model ¡we ¡consider ¡ ¡

is ¡the ¡case ¡of ¡a ¡“pillbox” ¡cavity ¡ ¡ – ¡note ¡it ¡has ¡no ¡prac=cal ¡applica=on ¡ ¡ since ¡we ¡will ¡assumed ¡the ¡ ¡ cavity ¡is ¡closed ¡(no ¡aperture)… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Pillbox ¡w ¡apertures ¡ Heavy ¡ions ¡accelera<ng ¡cavi<es ¡ accelera<ng ¡cavi<es ¡for ¡the ¡ ¡ Interna<onal ¡Linear ¡Collider ¡ Photonic ¡band-­‑gap ¡type ¡ ¡ accelera<ng ¡cavity ¡ ¡ (new ¡concept) ¡