K-16 Algebraic Thinking: A Mathema7cal Perspec7ve Learning - - PowerPoint PPT Presentation

K-­‑16 ¡Algebraic ¡Thinking: ¡A ¡ Mathema7cal ¡Perspec7ve ¡

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Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 1

K-­‑16 ¡Algebraic ¡Thinking: ¡A ¡ Mathema7cs ¡Perspec7ve ¡

• Intro: ¡Why ¡Think ¡about ¡Algebraic ¡Thinking ¡
• Some ¡Recent ¡Thinking ¡About ¡Algebraic ¡

Thinking ¡

• Mathema7cal ¡Prac7ce ¡Standard ¡7 ¡as ¡a ¡Focus ¡
• Analogical ¡Reasoning ¡and ¡Algebraic ¡Thinking ¡
• Examples ¡

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Why ¡Think ¡about ¡Algebraic ¡ Thinking ¡

• The ¡NPR ¡Car ¡Guys: ¡A ¡story ¡

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• “When ¡am ¡I ¡ever ¡going ¡to ¡use ¡this?” ¡
• “The ¡danger ¡in ¡learning ¡algebra ¡is ¡that ¡

students ¡emerge ¡with ¡nothing ¡but ¡the ¡moves.” ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Progressions, ¡CCSS, ¡“High ¡School, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Algebra”: ¡December ¡2012 ¡Dra< ¡

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• “When ¡am ¡I ¡ever ¡going ¡to ¡use ¡this?” ¡

¡ ¡Depends ¡on ¡what ¡you ¡mean ¡by ¡‘this.’ ¡If ¡it ¡

• nly ¡means ¡the ¡moves ¡you’ve ¡learned, ¡

maybe ¡you ¡won’t. ¡ ¡But ¡if ¡it ¡means ¡ thinking ¡abstractly, ¡generalizing, ¡looking ¡ for ¡structure, ¡etc., ¡you ¡will ¡find ¡‘this’ ¡ broadly ¡useful ¡

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Some ¡Recent ¡Thinking ¡about ¡ Algebraic ¡Thinking: ¡

1996 ¡

‘Mathema7cal ¡Habits ¡of ¡Mind’ ¡ar7cle ¡published ¡ in ¡Journal ¡of ¡MathemaOcal ¡Behavior, ¡by ¡Al ¡ Cuoco, ¡Paul ¡Goldenberg, ¡and ¡June ¡Mark. ¡ ¡

Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡

Circa ¡2000

¡

• Doing ¡and ¡Undoing ¡
• Abstrac0ng ¡from ¡Computa0on ¡
• Building ¡Rules ¡to ¡Represent ¡Func0ons ¡

Fostering ¡Algebraic ¡Thinking, ¡Heinemann, ¡Inc. ¡

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Algebraic ¡Thinking ¡Research ¡ The ¡2000’s ¡

Expanding ¡body ¡of ¡knowledge, ¡from ¡research ¡at ¡ places ¡like ¡U. ¡of ¡Wisconsin, ¡U. ¡of ¡ MassachuseZs-­‑Dartmouth, ¡U. ¡of ¡Maryland, ¡ TERC, ¡EDC, ¡U. ¡of ¡Arizona, ¡etc. ¡

Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡

Circa ¡2000

¡

• Doing ¡and ¡Undoing ¡

¡ ¡working ¡back ¡from ¡soluOon ¡to ¡starOng ¡number ¡or ¡ ¡numbers ¡

• Abstrac0ng ¡from ¡Computa0on ¡

¡ ¡if ¡algebra ¡is ¡‘generalized ¡arithmeOc,’ ¡what ¡gets ¡ ¡generalized ¡(or ¡abstracted, ¡more ¡to ¡the ¡point)? ¡ ¡ ¡

• Building ¡Rules ¡to ¡Represent ¡Func0ons ¡

¡ ¡describing ¡general ¡rules ¡from ¡repeated ¡input-­‑output ¡ paTerns ¡

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Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡

Circa ¡2008

¡

hZp://ltd.edc.org/resource-­‑library?page=5 ¡ Cuoco, ¡Goldenberg, ¡and ¡Mark ¡update ¡their ¡ar7cle. ¡ ¡ Some ¡relevant ¡samples: ¡

• Algebraists ¡break ¡things ¡into ¡parts. ¡A ¡useful ¡

technique ¡in ¡algebra ¡is ¡to ¡idenOfy ¡the ¡“building ¡ blocks” ¡of ¡a ¡structure. ¡ ¡

• Algebraists ¡extend ¡things. ¡New ¡insights ¡come ¡when ¡

you ¡see ¡how ¡a ¡calculaOon ¡or ¡theorem ¡behaves ¡when ¡ you ¡put ¡a ¡given ¡system ¡inside ¡a ¡larger ¡one. ¡ ¡

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Common ¡Core ¡Standards ¡for ¡ Mathema7cal ¡Prac7ce ¡

• 1. ¡Make ¡sense ¡of ¡problems ¡and ¡persevere ¡in ¡solving ¡them. ¡
• 2. ¡Reason ¡abstractly ¡and ¡quan0ta0vely. ¡
• 3. ¡Construct ¡viable ¡arguments ¡and ¡cri0que ¡the ¡reasoning ¡of ¡
• thers. ¡
• 4. ¡Model ¡with ¡mathema0cs. ¡
• 5. ¡Use ¡appropriate ¡tools ¡strategically. ¡
• 6. ¡ALend ¡to ¡precision. ¡
• 7. ¡Look ¡for ¡and ¡make ¡use ¡of ¡structure. ¡
• 8. ¡Look ¡for ¡and ¡express ¡regularity ¡in ¡repeated ¡reasoning. ¡

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Interactive Formative Assessment Tools for English Language Learners with Disabilities 11

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MP ¡Standards ¡Give ¡Us ¡a ¡Common ¡ Language ¡

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Common ¡Core ¡Standards ¡for ¡ Mathema7cal ¡Prac7ce ¡

• 1. ¡Make ¡sense ¡of ¡problems ¡and ¡persevere ¡in ¡solving ¡them. ¡
• 2. ¡Reason ¡abstractly ¡and ¡quan0ta0vely. ¡
• 3. ¡Construct ¡viable ¡arguments ¡and ¡cri0que ¡the ¡reasoning ¡of ¡
• thers. ¡
• 4. ¡Model ¡with ¡mathema0cs. ¡
• 5. ¡Use ¡appropriate ¡tools ¡strategically. ¡
• 6. ¡ALend ¡to ¡precision. ¡
• 7. ¡Look ¡for ¡and ¡make ¡use ¡of ¡structure. ¡
• 8. ¡Look ¡for ¡and ¡express ¡regularity ¡in ¡repeated ¡reasoning. ¡

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MP ¡Standard ¡7 ¡as ¡a ¡Focus ¡

MP ¡Standard ¡7’s ¡Key ¡Ideas ¡

• Looking ¡for ¡and ¡surfacing ¡structure ¡
• Making ¡use ¡of ¡structure ¡

For ¡Younger ¡Students,‘Looking ¡For’ ¡ May ¡Start ¡with ¡No7cing ¡

Here ¡is ¡a ¡number ¡sentence. ¡ ¡Tell ¡me ¡how ¡you ¡ know ¡it ¡is ¡true: ¡173 ¡– ¡35 ¡+ ¡35 ¡= ¡173 ¡

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As ¡Students ¡Grow ¡More ¡ Experienced: ¡

They ¡can ¡use ¡their ¡awareness ¡of ¡structure ¡to ¡ look ¡for ¡proper7es ¡that ¡invite ¡shortcuts: ¡ ¡ “Compare ¡5% ¡of ¡7,000 ¡with ¡7% ¡of ¡5,000. ¡ ¡Is ¡one ¡ larger ¡than ¡the ¡other?” ¡

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Based ¡on: ¡

Adapted ¡from ¡a ¡problem ¡in: ¡ Gelfand, ¡I.M. ¡& ¡Shen, ¡A. ¡1993. ¡Algebra. ¡Boston: ¡

• Birkhauser. ¡

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¡Another ¡Example ¡of ¡Fostering ¡MP7 ¡

For ¡each ¡expression ¡below, ¡choose ¡TWO ¡ different ¡values ¡that ¡would ¡make ¡the ¡ calcula7ons ¡‘easy.’ ¡ ¡Then ¡simplify ¡the ¡ expressions: ¡ a) 68 ¡+ ¡___ ¡+ ¡17 ¡ b) 4 ¡x ¡__ ¡x ¡5/6 ¡

‘Making ¡Use ¡of ¡Structure’: ¡Thinking ¡ Flexibly ¡about ¡Computa7onal ¡ Procedures ¡

Find ¡3 ¡different ¡sets ¡of ¡six ¡numbers, ¡each ¡ with ¡mean ¡equal ¡to ¡27.5. ¡

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A ¡Wondering ¡

MP7 ¡is ¡framed ¡mathemaOcally, ¡but ¡might ¡a ¡ consistent ¡emphasis ¡on ¡it ¡in ¡curriculum ¡and ¡ instrucOon ¡have ¡benefits ¡for ¡students ¡beyond ¡ the ¡world ¡of ¡mathemaOcs? ¡

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Analogical ¡Reasoning ¡

“While ¡mathema7cal ¡reasoning ¡encompasses ¡a ¡number ¡

• f ¡processes, ¡a ¡par7cularly ¡significant ¡role ¡is ¡played ¡

by ¡those ¡of ¡analogical ¡reasoning. ¡Simply ¡put, ¡ analogical ¡reasoning ¡entails ¡understanding ¡ something ¡new ¡by ¡analogy ¡with ¡something ¡that ¡is ¡

• known. ¡Such ¡reasoning ¡appears ¡to ¡be ¡one ¡of ¡the ¡

most ¡important ¡mechanisms ¡underlying ¡human ¡

• thought. ¡“ ¡

L.D. ¡English ¡(1998) ¡“Reasoning ¡by ¡Analogy ¡in ¡Solving ¡Comparison ¡ Problems” ¡MathemaOcal ¡CogniOon ¡(4)2, ¡125-­‑146 ¡ EDC

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Analogical ¡Reasoning ¡Informing ¡ MP7 ¡

• System ¡Structure ¡Level ¡
• Problem ¡Level: ¡Problems ¡with ¡a ¡Common ¡

Structure ¡

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MP7 ¡at ¡a ¡System ¡Level ¡

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Thinking ¡Analogically: ¡General ¡ Examples ¡

• “How ¡is ¡this ¡like ¡that?” ¡
• “In ¡what ¡ways ¡is ¡this ¡unlike ¡that?” ¡
• “What ¡does ¡this ¡remind ¡me ¡of?” ¡

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Thinking ¡Analogically: ¡Mathema7cs ¡ Problems ¡with ¡Common ¡Structure ¡

• Polya, ¡G. ¡(1957) ¡ ¡How ¡to ¡Solve ¡It ¡

¡ ¡ ¡“Think ¡of ¡a ¡related ¡problem” ¡

• Usiskin, ¡Z. ¡(1968). ¡ ¡Six ¡nontrivial ¡equivalent ¡
• problems. ¡ ¡The ¡MathemaOcs ¡Teacher ¡LXI, ¡(pp. ¡

388-­‑390) ¡

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Common ¡Structure ¡Problems ¡(3 ¡ from ¡Usiskin ¡Ar7cle) ¡

• 1. Find ¡all ¡ways ¡to ¡express ¡½ ¡as ¡the ¡sum ¡of ¡two ¡unit ¡

frac7ons ¡(frac7ons ¡of ¡the ¡form ¡1/n, ¡n ¡a ¡posi7ve ¡ integer). ¡

• 2. Find ¡all ¡rectangles ¡with ¡integer ¡side ¡lengths ¡whose ¡

area ¡and ¡perimeter ¡are ¡numerically ¡equal. ¡

• 3. Nancy ¡can ¡paint ¡a ¡house ¡in ¡n ¡days, ¡and ¡Max ¡can ¡

paint ¡the ¡house ¡in ¡m ¡days ¡(n ¡and ¡m ¡posi7ve ¡ integers). ¡ ¡Working ¡together ¡they ¡can ¡paint ¡the ¡ house ¡in ¡2 ¡days. ¡What ¡are ¡the ¡possible ¡values ¡of ¡n ¡ and ¡m? ¡

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Some7mes, ¡the ¡Common ¡Structure ¡ is ¡Not ¡Easy ¡to ¡Find ¡

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Cuisenaire ¡Rods ¡

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Coun7ng ¡Trains ¡

Cuisenaire ¡Rods ¡can ¡be ¡used ¡to ¡make ¡trains ¡of ¡a ¡ given ¡length. ¡ ¡Order ¡counts. ¡Here ¡are ¡several ¡

• f ¡length ¡4: ¡

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Two ¡Ques7ons ¡Suggest ¡Themselves ¡

• 1. How ¡many ¡trains ¡of ¡length ¡N ¡is ¡it ¡possible ¡to ¡

make? ¡

• 2. How ¡many ¡trains ¡of ¡length ¡N ¡use ¡exactly ¡K ¡

cars? ¡

How ¡many ¡trains ¡of ¡length ¡N? ¡

It ¡is ¡like ¡a ¡single ¡rod ¡N ¡units ¡long ¡can ¡be ¡broken ¡ at ¡different ¡unit ¡intervals, ¡at ¡N-­‑1 ¡loca7ons ¡

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Reminds ¡me ¡of... ¡

If ¡the ¡loca7ons ¡where ¡cuts ¡will ¡be ¡made ¡are ¡ designated ¡by ¡‘1’ ¡and ¡the ¡loca7ons ¡let ¡alone ¡ are ¡designated ¡‘0’, ¡it’s ¡like ¡wri7ng ¡a ¡binary ¡

• number. ¡

How ¡many ¡binary ¡numbers ¡7 ¡digits ¡ long? ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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How ¡many ¡binary ¡numbers ¡7 ¡digits ¡ long? ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡27 ¡(and ¡2n ¡for ¡n ¡digits) ¡

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So, ¡for ¡the ¡train ¡N ¡units ¡long... ¡

There ¡will ¡be ¡2N-­‑1 ¡different ¡trains ¡

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How ¡many ¡trains ¡of ¡length ¡N ¡use ¡ exactly ¡K ¡cars? ¡

Approaching ¡it ¡experimentally, ¡people ¡usually ¡ develop ¡a ¡picture ¡that ¡starts ¡to ¡look ¡familiar ¡

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Ques7ons ¡in ¡the ¡Air ¡

• Why ¡is ¡Pascal’s ¡Triangle ¡describing ¡the ¡

structure? ¡

• (Analogical ¡reasoning) ¡ ¡Where ¡have ¡I ¡seen ¡

Pascal’s ¡Triangle ¡describe ¡the ¡structure ¡in ¡a ¡ problem? ¡ One ¡possible ¡analogue ¡to ¡look ¡at, ¡from ¡algebra: ¡ The ¡Binomial ¡Theorem ¡

Another ¡Analogical ¡Ques7on: ¡

Will ¡the ¡binary ¡number ¡analogue ¡help ¡here? ¡ Answer: ¡Yes, ¡it’s ¡like ¡a ¡binary ¡number ¡of ¡length ¡N ¡ with ¡only ¡K-­‑1 ¡digits ¡1. ¡ ¡ ¡ Or, ¡N-­‑1 ¡possible ¡cuts ¡taken ¡K-­‑1 ¡at ¡a ¡7me. ¡

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Taxicab ¡Geometry ¡

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Problem ¡with ¡Same ¡Structure ¡as ¡ Cuisenaire ¡Trains ¡

On ¡the ¡Taxicab ¡Geometry ¡grid, ¡how ¡many ¡ different ¡trips ¡are ¡there, ¡connec7ng ¡(0,0) ¡with ¡ (16,6)? ¡

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Problem ¡

Sara ¡had ¡a ¡bag ¡of ¡candies. ¡She ¡gave ¡⅓ ¡of ¡her ¡ candies ¡to ¡Rebecca. ¡ ¡Then ¡Sara ¡gave ¡¼ ¡of ¡the ¡ candies ¡she ¡had ¡let ¡to ¡John. ¡ ¡Ater ¡giving ¡ candies ¡to ¡Rebecca ¡and ¡John, ¡Sara ¡had ¡24 ¡ candies ¡let ¡in ¡her ¡bag. ¡

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Problem ¡

Sara ¡had ¡a ¡bag ¡of ¡candies. ¡She ¡gave ¡⅓ ¡of ¡her ¡ candies ¡to ¡Rebecca. ¡ ¡Then ¡Sara ¡gave ¡¼ ¡of ¡the ¡ candies ¡she ¡had ¡let ¡to ¡John. ¡ ¡Ater ¡giving ¡ candies ¡to ¡Rebecca ¡and ¡John, ¡Sara ¡had ¡24 ¡ candies ¡let ¡in ¡her ¡bag. ¡ 1st ¡ ¡Read: ¡Context ¡ 2nd ¡Read: ¡Ques0on/Task ¡ ¡3rd ¡ ¡Read: ¡Informa0on ¡

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C ¡

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