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Scaffolding ¡Thinking: ¡Pu8ng ¡Students' ¡ Visual ¡RepresentaAons ¡to ¡Work ¡in ¡the ¡ Primary ¡MathemaAcs ¡Classroom ¡

Wisconsin ¡MathemaAcs ¡Council ¡ MathemaAcal ¡Proficiency ¡for ¡All ¡Students ¡Conference ¡ ¡Fall ¡2015 ¡

¡ Beth ¡Schefelker—School ¡District ¡of ¡South ¡Milwaukee ¡ Melissa ¡Hedges—University ¡of ¡Wisconsin—Milwaukee ¡ ¡

Join ¡us ¡as ¡we ¡explore… ¡

• connecAons ¡between ¡MP4: ¡Model ¡with ¡

mathemaAcs ¡and ¡MTP3: ¡Use ¡and ¡connect ¡ mathemaAcal ¡representaAons. ¡

• representaAonal ¡competence ¡for ¡teachers ¡and ¡
• students. ¡
• the ¡role ¡representaAons ¡play ¡in ¡supporAng ¡

classroom ¡discussions. ¡

• strategies ¡for ¡engaging ¡young ¡learners ¡in ¡

mathemaAcal ¡discussions ¡that ¡scaffold ¡their ¡ representaAonal ¡competence. ¡

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Learning ¡Targets ¡

• Explore ¡ways ¡to ¡help ¡young ¡learners ¡translate ¡

between ¡mathemaAcal ¡representaAons ¡so ¡ they ¡can ¡share ¡their ¡thinking. ¡

• Use ¡young ¡learners’ ¡visual ¡representaAons ¡as ¡

sites ¡for ¡discussions ¡of ¡mathemaAcal ¡ideas. ¡

• Engage ¡in ¡Math ¡Teaching ¡PracAce ¡3: ¡Use ¡and ¡

connect ¡mathemaAcal ¡representaAons. ¡

RepresentaAons: ¡ ¡ Bridges ¡to ¡Modeling ¡with ¡ MathemaAcs ¡

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Let’s ¡start ¡with ¡modeling! ¡ MP4: ¡Model ¡with ¡mathemaAcs. ¡

• MathemaAcally ¡proficient ¡students ¡can ¡apply ¡

the ¡mathemaAcs ¡they ¡know ¡to ¡solve ¡problems ¡ arising ¡in ¡everyday ¡life, ¡society, ¡and ¡the ¡

• workplace. ¡ ¡

¡

The ¡Basic ¡Modeling ¡Cycle ¡

• p. ¡59 ¡High ¡School ¡CCSSM ¡

Hmmm… ¡ This ¡is ¡an ¡interesAng ¡ problem, ¡indeed! ¡

¡

How ¡might ¡ ¡ I ¡solve ¡it? ¡ ¡

¡

I ¡have ¡an ¡ ¡ answer! ¡

¡

What ¡does ¡that ¡ answer ¡mean? ¡

¡

Am ¡I ¡sure? ¡ I ¡need ¡to ¡tell ¡ ¡ my ¡thinking ¡to ¡ ¡ someone ¡else. ¡

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MP4: ¡Model ¡With ¡MathemaAcs ¡ ¡ A ¡Student ¡Driven ¡Process ¡

“As ¡teachers ¡we ¡model ¡with ¡mathemaAcs ¡rouAnely ¡ in ¡our ¡classrooms, ¡but ¡our ¡goal ¡is ¡that ¡our ¡students ¡ are ¡also ¡able ¡to ¡model ¡mathemaAcal ¡ ideas” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ “While ¡teacher ¡modeling ¡[of ¡mathemaAcal ¡ideas] ¡is ¡ a ¡powerful ¡instrucAonal ¡tool, ¡our ¡students ¡will ¡only ¡ develop ¡this ¡pracAce ¡if ¡they ¡are ¡creaAng ¡their ¡own ¡ [mathemaAcal] ¡models” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡ 2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡

MP4: ¡Model ¡With ¡MathemaAcs ¡ ¡ A ¡Student ¡Driven ¡Process ¡

“As ¡teachers ¡we ¡model ¡with ¡mathemaAcs ¡rouAnely ¡ in ¡our ¡classrooms, ¡but ¡our ¡goal ¡is ¡that ¡our ¡students ¡ are ¡also ¡able ¡to ¡model ¡mathemaAcal ¡ ideas” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ “While ¡teacher ¡modeling ¡[of ¡mathemaAcal ¡ideas] ¡is ¡ a ¡powerful ¡instrucAonal ¡tool, ¡our ¡students ¡will ¡only ¡ develop ¡this ¡pracAce ¡if ¡they ¡are ¡creaAng ¡their ¡own ¡ (mathemaAcal) ¡models” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡ 2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡

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Ge8ng ¡mathemaAcal ¡thinking ¡ ¡ “out ¡of ¡their ¡heads” ¡

With ¡a ¡partner ¡come ¡up ¡with ¡several ¡ways ¡ young ¡learners ¡would ¡approach ¡this ¡problem: ¡ ¡ There ¡are ¡13 ¡crayons ¡in ¡the ¡box. ¡7 ¡are ¡red ¡and ¡ the ¡rest ¡are ¡black. ¡How ¡many ¡black ¡crayons ¡are ¡ there? ¡

Connec&ons ¡to ¡the ¡CCSSM ¡Kindergarten ¡ Standards ¡for ¡Mathema&cal ¡Content ¡

Opera&ons ¡and ¡Algebraic ¡Thinking ¡(OA) ¡

Understand ¡addi&on ¡as ¡pu@ng ¡together ¡and ¡adding ¡to, ¡and ¡ understand ¡subtrac&on ¡as ¡taking ¡apart ¡and ¡taking ¡from. ¡ K.OA.A.1 ¡ ¡ ¡ Represent ¡addiAon ¡and ¡subtracAon ¡with ¡objects, ¡fingers, ¡ mental ¡images, ¡drawings, ¡sounds ¡(e.g., ¡claps), ¡acAng ¡out ¡ situaAons, ¡verbal ¡explanaAons, ¡expressions, ¡or ¡equaAons. ¡ ¡ K.OA.A.2 ¡ ¡ ¡ Solve ¡addiAon ¡and ¡subtracAon ¡word ¡problems*, ¡and ¡add ¡ and ¡subtract ¡within ¡10, ¡e.g., ¡by ¡using ¡objects ¡or ¡drawings ¡to ¡ represent ¡the ¡problem. ¡ ¡

Kindergarten ¡students ¡work ¡with ¡“add ¡to” ¡and ¡“take ¡from” ¡result ¡unknown ¡situaAons ¡ and ¡“put ¡together/take ¡apart” ¡total ¡unknown ¡and ¡both ¡addends ¡unknown ¡situaAons ¡ ¡

Common ¡Core ¡Standards ¡WriAng ¡Team. ¡(2011). ¡Progressions ¡for ¡the ¡common ¡core ¡state ¡standards ¡ in ¡mathema1cs ¡(dra3): ¡ ¡Coun1ng ¡and ¡cardinality, ¡opera1ons ¡and ¡algebraic ¡thinking. ¡hpp:// ime.math.arizona.edu/progressions. ¡ ¡ NaAonal ¡Governors ¡AssociaAon ¡Center ¡for ¡Best ¡PracAces ¡(NGA ¡Center) ¡and ¡Council ¡of ¡Chief ¡ ¡State ¡ School ¡Officers ¡(CCSSO). ¡(2014). ¡Common ¡core ¡state ¡standards ¡for ¡mathema1cs. ¡ hpp://www.corestandards.org/Math/Content/1/NBT ¡

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Use and connect mathematical representations.

Because of the abstract nature of mathematics, people have access to mathematical ideas only through the representations of those ideas.

(National Research Council, 2001, p. 94)

High-­‑leverage ¡Teaching ¡PracAce ¡#3 ¡ ¡

Use ¡and ¡Connect ¡Mathema&cal ¡Representa&ons ¡ ¡

Verbal: ¡Use ¡language ¡(words) ¡to ¡ interpret, ¡state, ¡define, ¡or ¡describe ¡ mathemaAcal ¡ideas. ¡ Contextual: ¡Situate ¡ mathemaAcal ¡ideas ¡in ¡ everyday, ¡ ¡real-­‑world, ¡ imaginary, ¡or ¡ ¡ mathemaAcal ¡situaAons ¡ and ¡contexts. ¡ Physical: ¡Use ¡concrete ¡objects ¡ to ¡show, ¡study, ¡act ¡upon, ¡ ¡

• r ¡manipulate ¡mathemaAcal ¡

ideas ¡(e.g., ¡cubes, ¡counters, ¡ paper ¡strips). ¡ Symbolic: ¡Record ¡or ¡work ¡ with ¡mathemaAcal ¡ideas ¡ using ¡numerals, ¡variables, ¡ tables, ¡and ¡other ¡symbols. ¡ Visual: ¡Illustrate, ¡show, ¡or ¡work ¡ with ¡mathemaAcal ¡ideas ¡using ¡ diagrams, ¡pictures, ¡number ¡lines, ¡ graphs, ¡and ¡other ¡math ¡drawings. ¡

Huinker, ¡D. ¡(2015). ¡Teaching ¡for ¡representaAonal ¡competence ¡in ¡mathemaAcs. ¡New ¡England ¡ Journal ¡of ¡MathemaAcs. ¡

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Use ¡and ¡Connect ¡ ¡ Mathema&cal ¡Representa&ons ¡

• What ¡is ¡the ¡disAncAon ¡ ¡

between ¡physical ¡and ¡ ¡ visual ¡representaAons? ¡

• Describe ¡some ¡physical ¡ ¡

representaAons ¡that ¡might ¡ ¡ support ¡students’ ¡thinking ¡ ¡ in ¡the ¡Crayon ¡Task. ¡ ¡

• Describe ¡are ¡some ¡visual ¡representaAons ¡you ¡

would ¡expect ¡students ¡to ¡produce. ¡ ¡

• In ¡the ¡diagram, ¡why ¡do ¡the ¡arrows ¡go ¡both ¡ways? ¡ ¡ ¡

Use ¡and ¡Connect ¡ ¡ MathemaAcal ¡RepresentaAons ¡

Person ¡#1 ¡studies ¡the ¡teacher ¡ac&ons. ¡ Person ¡#2 ¡studies ¡the ¡student ¡ac&ons. ¡ ¡ Highlight ¡or ¡mark ¡key ¡ideas ¡on ¡the ¡hand-­‑out. ¡ Make ¡note ¡of ¡important ¡acAons. ¡ ¡ Turn ¡and ¡summarize ¡some ¡of ¡the ¡key ¡ideas ¡with ¡ your ¡partner ¡from ¡your ¡respecAve ¡list. ¡

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Use ¡and ¡Connect ¡Mathema&cal ¡Representa&ons ¡ Teacher ¡and ¡Student ¡Ac&ons ¡

What ¡are ¡teachers ¡doing? ¡ What ¡are ¡students ¡doing? ¡

• SelecAng ¡tasks ¡that ¡allow ¡students ¡to ¡

decide ¡which ¡representaAons ¡to ¡use ¡in ¡ making ¡sense ¡of ¡the ¡problems. ¡

• AllocaAng ¡substanAal ¡instrucAonal ¡Ame ¡

for ¡students ¡to ¡use, ¡discuss, ¡and ¡make ¡ connecAons ¡among ¡representaAons. ¡

• Introducing ¡forms ¡of ¡representaAons ¡that ¡

can ¡be ¡useful ¡to ¡students. ¡

• Asking ¡students ¡to ¡make ¡math ¡drawings ¡
• r ¡use ¡other ¡visual ¡supports ¡to ¡explain ¡

and ¡jusAfy ¡their ¡reasoning. ¡

• Focusing ¡students’ ¡apenAon ¡on ¡the ¡

structure ¡structure ¡or ¡essenAal ¡features ¡

• f ¡mathemaAcal ¡ideas ¡that ¡appear, ¡

regardless ¡of ¡the ¡representaAon. ¡

• Designing ¡ways ¡to ¡elicit ¡and ¡assess ¡

students’ ¡abiliAes ¡to ¡use ¡representaAons ¡ meaningfully ¡to ¡solve ¡problems. ¡

• Using ¡mulAple ¡forms ¡of ¡representaAons ¡

to ¡make ¡sense ¡of ¡and ¡understand ¡

• mathemaAcs. ¡
• Describing ¡and ¡jusAfying ¡their ¡

mathemaAcal ¡understanding ¡and ¡ reasoning ¡with ¡drawings, ¡diagrams, ¡and ¡

• ther ¡representaAons. ¡
• Making ¡choices ¡about ¡which ¡forms ¡of ¡

representaAons ¡to ¡use ¡as ¡tools ¡for ¡solving ¡

• problems. ¡
• Sketching ¡diagrams ¡to ¡make ¡sense ¡of ¡

problem ¡situaAons. ¡

• Contextualizing ¡mathemaAcal ¡ideas ¡by ¡

connecAng ¡them ¡to ¡real-­‑world ¡situaAons. ¡

• Considering ¡the ¡advantages ¡or ¡suitability ¡
• f ¡using ¡various ¡representaAons ¡when ¡

solving ¡problems. ¡

…using ¡these ¡different ¡representaAons ¡ is ¡like ¡examining ¡the ¡concept ¡through ¡ a ¡variety ¡of ¡lenses, ¡with ¡each ¡lens ¡ providing ¡a ¡different ¡perspecAve ¡that ¡ makes ¡the ¡picture ¡(concept) ¡richer ¡and ¡ deeper… ¡ ¡ ¡ ¡Principles ¡to ¡AcAons ¡(NCTM, ¡2014, ¡p. ¡25) ¡ ¡

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Students’ ¡RepresentaAonal ¡ Competence ¡

Young ¡learners ¡will: ¡

• Know ¡how ¡and ¡when ¡to ¡use ¡parAcular ¡

mathemaAcal ¡representaAons ¡

• Self-­‑select ¡representaAons ¡to ¡use ¡during ¡problem ¡
• solving. ¡
• Make ¡and ¡explain ¡connecAons ¡between ¡the ¡
• representaAons. ¡

¡ “This ¡implies ¡students ¡view ¡representa1ons ¡as ¡tools ¡ they ¡can ¡use ¡to ¡help ¡them ¡solve ¡problems, ¡rather ¡ than ¡an ¡end ¡in ¡themselves” ¡(NCTM, ¡2014, ¡p. ¡26). ¡

Teachers’ ¡RepresentaAonal ¡ Competence ¡

Teachers ¡will: ¡

• Encourage ¡purposeful ¡selecAon ¡of ¡
• representaAons. ¡
• Engage ¡in ¡dialogue ¡about ¡explicit ¡connecAons ¡

among ¡representaAons. ¡

• Alternate ¡the ¡direcAon ¡of ¡the ¡connecAons ¡

made ¡among ¡representaAons. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(NCTM, ¡2014, ¡p. ¡26) ¡

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ConnecAng ¡representaAons ¡to ¡ ¡ develop ¡representaAonal ¡competence ¡ in ¡young ¡learners ¡

Orchestra)ng ¡discourse ¡a1er ¡children ¡have ¡worked ¡on ¡problems ¡is ¡par)cularly ¡ important ¡because ¡it ¡is ¡this ¡type ¡of ¡discussion ¡that ¡helps ¡children ¡connect ¡the ¡ problem ¡to ¡more ¡general ¡or ¡formal ¡mathema)cs ¡and ¡make ¡connec)ons ¡to ¡other ¡

• ideas. ¡

¡ Teaching ¡Student ¡Centered ¡MathemaAcs: ¡Developmentally ¡Appropriate ¡ InstrucAon ¡for ¡Grades ¡K-­‑2, ¡2014, ¡p. ¡20. ¡ ¡

¡

What ¡do ¡representaAons ¡do? ¡

“In ¡essence, ¡when ¡we ¡ask ¡our ¡students ¡to ¡create ¡ mathemaAcal ¡[representaAons], ¡we ¡challenge ¡them ¡ to ¡represent ¡their ¡math ¡understanding—to ¡get ¡it ¡

• ut ¡of ¡their ¡heads” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡
• p. ¡62). ¡ ¡

RepresentaAons ¡help ¡students: ¡

• see ¡the ¡problem ¡more ¡clearly. ¡
• visualize ¡the ¡problem. ¡
• simplify ¡the ¡problem. ¡
• make ¡sense ¡of ¡the ¡problem. ¡
• engage ¡in ¡mathemaAcal ¡discourse. ¡

¡ ¡

10/28/15 ¡ 11 ¡

What ¡do ¡representaAons ¡do? ¡

“In ¡essence, ¡when ¡we ¡ask ¡our ¡students ¡to ¡create ¡ mathemaAcal ¡[representaAons], ¡we ¡challenge ¡them ¡ to ¡represent ¡their ¡math ¡understanding—to ¡get ¡it ¡

• ut ¡of ¡their ¡heads” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡
• p. ¡62). ¡ ¡

RepresentaAons ¡help ¡students: ¡

• see ¡the ¡problem ¡more ¡clearly. ¡
• visualize ¡the ¡problem. ¡
• simplify ¡the ¡problem. ¡
• make ¡sense ¡of ¡the ¡problem. ¡
• engage ¡in ¡mathemaAcal ¡discourse. ¡

¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡The ¡Very ¡Hungry ¡Caterpillar ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡A ¡Day ¡In ¡First ¡Grade ¡

On ¡Tuesday ¡he ¡ate ¡ ¡ through ¡two ¡pears! ¡ On ¡Wednesday ¡he ¡ate ¡ Through ¡three ¡plums! ¡ On ¡Thursday ¡he ¡ate ¡ Through ¡4 ¡strawberries. ¡ On ¡Friday ¡he ¡ate ¡ Through ¡5 ¡oranges. ¡ On ¡Monday ¡he ¡ate ¡ through ¡1 ¡apple. ¡ ¡ ¡

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Hungry ¡Caterpillar ¡ Ge8ng ¡to ¡Work ¡

“Represent ¡your ¡thinking!” ¡ “I ¡need ¡to ¡see ¡what’s ¡in ¡your ¡head.” ¡ Review ¡the ¡packet ¡of ¡student ¡: ¡

• IdenAfy ¡the ¡representaAons ¡you ¡see ¡on ¡each ¡

piece ¡of ¡student ¡work. ¡

• Find ¡the ¡story ¡of ¡the ¡Hungry ¡Caterpillar ¡in ¡

each ¡piece ¡of ¡student ¡work. ¡

• Note ¡similariAes ¡and ¡“disAnguishing” ¡
• differences. ¡

“But ¡I ¡don’t ¡know ¡what’s ¡ ¡ in ¡my ¡head.” ¡

How ¡might ¡we ¡put ¡these ¡visual ¡representaAons ¡“to ¡ work” ¡to ¡help ¡a ¡child ¡who ¡does ¡not ¡know ¡what ¡is ¡in ¡ his/her ¡head? ¡ ¡ ¡ MathemaAcal ¡Goal: ¡ We ¡can ¡show ¡how ¡we ¡count ¡ to ¡find ¡a ¡total. ¡ ¡

Everyone ¡is ¡doing ¡

• something. ¡What ¡

am ¡I ¡supposed ¡to ¡ do? ¡ ¡

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Strategy ¡#1 ¡ Encourage ¡purposeful ¡selecAon ¡ ¡

• f ¡representaAons. ¡

¡ Revisit ¡each ¡piece ¡of ¡student ¡work. ¡ ¡

• Select ¡2-­‑3 ¡pieces ¡of ¡student ¡work ¡that ¡honor ¡

the ¡context ¡of ¡the ¡story. ¡ ¡

• Explain ¡how ¡you ¡would ¡use ¡this ¡work ¡as ¡a ¡

vehicle ¡for ¡engaging ¡reluctant ¡learners. ¡ Strategy ¡#2 ¡ Engage ¡in ¡dialogue ¡about ¡explicit ¡ ¡ ConnecAons ¡among ¡representaAons. ¡ ¡ Read ¡the ¡secAon ¡on ¡ ¡

• Select ¡2-­‑3 ¡pieces ¡of ¡student ¡work ¡that ¡show ¡a ¡

range ¡of ¡representaAons. ¡

• Craw ¡a ¡dialogue ¡discussing ¡the ¡similariAes ¡and ¡

differences ¡between ¡the ¡representaAons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡in ¡the ¡student ¡work. ¡ ¡

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Strategy ¡#3 ¡ Alternate ¡the ¡direcAon ¡of ¡connecAons ¡ ¡ made ¡among ¡representaAons ¡ ¡ Create ¡quesAons ¡that ¡push ¡students ¡to ¡move ¡ flexibly ¡between ¡representaAons. ¡

• Student ¡Work ¡A ¡(Evan) ¡
• Student ¡Work ¡F ¡(Mikaela) ¡

¡ ¡

Students’ ¡RepresentaAonal ¡ Competence ¡

Young ¡learners ¡will: ¡

• Know ¡how ¡and ¡when ¡to ¡use ¡parAcular ¡

mathemaAcal ¡representaAons ¡

• Self-­‑select ¡representaAons ¡to ¡use ¡during ¡problem ¡
• solving. ¡
• Make ¡and ¡explain ¡connecAons ¡between ¡the ¡
• representaAons. ¡

¡ “This ¡implies ¡students ¡view ¡representa1ons ¡as ¡tools ¡ they ¡can ¡use ¡to ¡help ¡them ¡solve ¡problems, ¡rather ¡ than ¡an ¡end ¡in ¡themselves” ¡(NCTM, ¡2014, ¡p. ¡26). ¡

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Teachers’ ¡RepresentaAonal ¡ Competence ¡

Teachers ¡will: ¡

• Encourage ¡purposeful ¡selecAon ¡of ¡
• representaAons. ¡
• Engage ¡in ¡dialogue ¡about ¡explicit ¡connecAons ¡

among ¡representaAons. ¡

• Alternate ¡the ¡direcAon ¡of ¡the ¡connecAons ¡

made ¡among ¡representaAons. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(NCTM, ¡2014, ¡p. ¡26) ¡ Use ¡and ¡Connect ¡ ¡ Mathema&cal ¡Representa&ons ¡

Different ¡representaAons ¡should: ¡

• Be ¡introduced, ¡discussed, ¡and ¡connected; ¡
• Focus ¡students’ ¡apenAon ¡on ¡the ¡structure ¡or ¡

essenAal ¡features ¡of ¡mathemaAcal ¡ideas; ¡and ¡

• Support ¡students’ ¡ability ¡to ¡jusAfy ¡and ¡explain ¡

their ¡reasoning. ¡ ¡ ¡

Strengthening ¡the ¡ability ¡to ¡move ¡between ¡and ¡among ¡ these ¡representa1ons ¡improves ¡the ¡growth ¡of ¡children’s ¡ understanding ¡of ¡mathema1cal ¡concepts. ¡

Lesh, ¡Post, ¡& ¡Behr, ¡1987 ¡

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Join ¡us ¡as ¡we ¡explore… ¡

• connecAons ¡between ¡MP4: ¡Model ¡with ¡

mathemaAcs ¡and ¡MTP3: ¡Use ¡and ¡connect ¡ mathemaAcal ¡representaAons. ¡

• representaAonal ¡competence ¡for ¡teachers ¡and ¡
• students. ¡
• the ¡role ¡representaAons ¡play ¡in ¡supporAng ¡

classroom ¡discussions. ¡

• strategies ¡for ¡engaging ¡young ¡learners ¡in ¡

mathemaAcal ¡discussions ¡that ¡scaffold ¡their ¡ representaAonal ¡competence. ¡

Learning ¡Targets ¡

• Explore ¡ways ¡to ¡help ¡young ¡learners ¡translate ¡

between ¡mathemaAcal ¡representaAons ¡so ¡ they ¡can ¡share ¡their ¡thinking. ¡

• Use ¡young ¡learners’ ¡visual ¡representaAons ¡as ¡

sites ¡for ¡discussions ¡of ¡mathemaAcal ¡ideas. ¡

• Engage ¡in ¡Math ¡Teaching ¡PracAce ¡3: ¡Use ¡and ¡

connect ¡mathemaAcal ¡representaAons. ¡

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¡ Thanks ¡for ¡coming! ¡ Beth ¡& ¡Melissa ¡ ¡ We ¡always ¡enjoy ¡thinking ¡ ¡ and ¡learning ¡with ¡you! ¡ ¡

Contact ¡informaAon: ¡ Beth: ¡bschefelker@sdsm.k12.wi.us ¡ Melissa: ¡mehedges@sbcglobal.net ¡